ToiuudamBTCT.DOC

Học viên : Lê xuân Long

Lớp : Cao học

XDCTGT K11

Phần 1: thiết kế tối u

Bài toán tối u hoá mặt cắt dầm BTCT thờng giản
đơn
1.

Đặt vấn đề.

Trong các bài toán kỹ thuật nói chung và các ngành xây
dựng giao thông nói riêng, ta thờng gặp các bài toán thiết kế
tối u, chẳng hạn cần xác định các tham số của kết cấu xây
dựng tối u theo tiêu chuẩn khối lợng, vật liệu, giá thành... Về
tổng quát, có thể phát triển bài toán thiết kế tối u nh sau:
Hãy xác định các giá trị của các biến độc lập (các thông
số độc lập của kết cấu): x1,x2, ..xn
Sao cho khi đó hàm mục tiêu của kết cấu:
F = F(x1, x2,...., x4)

(1)

là hàm phi tuyến của các biến độc lập có thể đánh giá
trị cực tiểu (hay cực đại) với điều kiện các biến x 1,x2, ..xn chỉ
nhận các giá trị dơng, tức là:
xj > 0

j = 1, 2, ....., n

(2)

Và thoả mãn các điều kiện ràng buộc cho dới dạng bất
đẳng thức, trong trờng hợp tổng quát là các hàm phi tuyến
của các biến trên:
Ri = Ri (x1, x2,......., xn) 0

i = 1.....m, m

Tổ hợp bao gồm các công thức xác định nên tập hợp các
giá trị thông số thiết kế x 1,x2, ..xn và xác định tất cả các đặc
tính của chúng, trong đó có giá trị các ràng buộc và hàm mục
tiêu, đợc gọi là mô hình toán học của đối tợng thiết kế.
2. Bài toán.
Bài tập môn họcThiết kế tối u
Trang : 1


Học viên : Lê xuân Long

Lớp : Cao học

XDCTGT K11

Với mục đích học tập, đặt bài toán tối u nh sau:
Nh vậy bài toán đặt ra là phải xác định đợc các kích thớc
tối u của dầm. Cho biết chiều dài nhịp, tải trọng tác dụng, giới

hạn trên và giới hạn dới của các biến số ( chiều cao mặt cắt,

c ắt ng ang

hc

O

O

Fa
at

xd

h

xt

bc

bs

chiều rộng cánh, chiều dày cánh, chiều dày sờn, các kích thớc
của bầu dầm, diện tích cốt thép ), đơn giá của thép và bê
tông, Các kích thớc này bao gồm các kích thớc của cánh dầm,
sờn dầm, bầu dầm., và diện tích cốt thép. Các yếu tố này
phải thoả mãn điều kiện giá thành của dầm là nhỏ nhất nhng
vẫn phải thoả mãn các điều kiện ràng buộc (các điều kiện
ràng buộc ở đây là các điều kiện theo các trạng thái giới hạn)

Các điều kiện ràng buộc :
2.1. Tính theo trạng thái giới hạn thứ nhất (về cờng độ) :
Nội lực do các tác động của lực tính toán gây ra không đợc lớn hơn sức chịu lực tính toán của mặt cắt cấu kiện. (Các
công thức : xem quy trình)
2.2. Tính theo trạng thái giới hạn thứ hai (về biến dạng) :
Độ võng của dầm do hoạt tải tiêu chuẩn phải thoả mãn
điều kiện:

Bài tập môn họcThiết kế tối u
Trang : 2


Học viên : Lê xuân Long

Lớp : Cao học

XDCTGT K11

f
f
<=
L
L

Trong đó:
- f : là độ võng lớn nhất do hoạt tải tiêu chuẩn
- L : là chiều dài nhịp tính toán
f
- : là trị số cho phép của độ võng (tra trong quy
L

trình)
Độ võng của dầm giản đơn đợc xác định theo công thức :
f =

5 Ptc .L4
x
384
B

Trong đó:
- ptc : là hoạt tải tiêu chuẩn
- L : là chiều dài nhịp tính toán
- B : là độ cứng của dầm
2.3. Tính theo trạng thái giới hạn thứ ba (về độ mở rộng
vết nứt):
Độ mở rộng vết nứt của dầm phải thoả mãn điều kiện :
an < = [an]
Trong đó
- [an] : Độ mở rộng vết nứt cho phép (tra quy trình)
- an : Độ mở rộng vết nứt của dầm, xác định theo
công thức
an = t.

Trong đó :
Bài tập môn họcThiết kế tối u
Trang : 3

t
.R r

E


Học viên : Lê xuân Long

Lớp : Cao học

XDCTGT K11

- t : ứng suất trong cốt thép chịu kéo
- Et : mô đun đàn hồi của cốt thép
- t : hệ số xét ảnh hởng của bê tông vùng chịu kéo
đến biến dạng cốt thép

3.

Lựa chọn phơng pháp thiết kế tối u bài toán

Để giải quyết đợc bài toán trên, có thể áp dụng nhiều phơng pháp nh phơng pháp tụt dốc nhanh nhất (gradient), phơng
pháp dò dần theo từng trục toạ độ (phơng pháp Gause
Zaidel), phơng pháp nghiệm lần lợt (chia ô).. ở đây giới thiệu
và áp dụng phơng pháp Gradient để giải.
3.1. Giới thiệu phơng pháp gradient.
Phơng pháp Gradient thuộc nhóm các phơng pháp xác
định. Xác định hớng chuyển dịch đến điểm tối u.
a.Tính toán Gradient.
Gradient của hàm F(x) với x = (x1,x2, .. xn ) là véc tơ mà các
toạ độ của nó là các đạo hàm riêng của hàm F(x) theo các biến
số:

F
F

F =
x , x ,....., x
2
n
1






(4)

Về mặt hình học giải tích, Gradient của hàm Fx chính là
véc tơ chỉ hớng tăng nhanh nhất các giá trị hàm đó. Nh vậy,
ta có véc tơ ngợc : Gradient sẽ chuyển hớng giảm nhanh nhất
giá trị của hàm F(x). Điều đó có nghĩa là nếu di chuyển trong


không gian n chiều của các biến số theo hớng ngợc với
F (ở
lân cận với điểm đang xét) một đoạn x nào đó, hàm mục tiêu
sẽ giảm nhanh hơn so với di chuyển theo bất cứ hớng nào. Nh
vậy, có thể lợi dụng tính chất này để giải các bài toán tối u hoá
và phơng pháp sử dụng Gradient nói chung đợc gọi là phơng
Bài tập môn họcThiết kế tối u
Trang : 4

Học viên : Lê xuân Long

Lớp : Cao học

XDCTGT K11

pháp Gradient. Trong thực tế, có thể có hàm F(x) là khả vi nên
có thể tính đợc các đạo hàm riêng theo các biến số bằng giải
tích. Nếu hàm F(x) không thể tính đợc các đợc hàm riêng bằng
phơng pháp giải tích thì có thể dùng phơng pháp sai phân
để ớc lợng gần đúng Gradient. Chẳng hạn trong trờng hợp tổng
quát khi hàm mục tiêu F(x) có nhiều biến số x = (x 1,x2, .. xn )
thì đạo hàm riêng theo phơng pháp sai phân có thể theo công
thức sau:
F ( xi + xi ) F ( xi )
F

xi
hi

(5)

Trong đó :
F( xi ) :

là gía trị của hàm mục tiêu tại điểm x

F ( xi + xi )

là gía trị của hàm mục tiêu tại điểm

xi + xi = (x1,..., xi + hi,...., xn)

(6)

Bằng toán học có thể chứng minh đợc nếu hi càng giảm
thì độ chính xác của phép tính càng tăng với tốc độ của hàm
tuyến tính.
Ngoài ra có thể tính đạo hàm riêng qua các giá trị hàm
mục tiêu tại ( x + xi ) và ( x xi ) nh sau:
F ( x + xi ) F ( x xi )
F

x1
2hi

(7)

Đánh giá gradient theo công thức (7) ở mỗi đợt tìm kiếm
cần tính (2n +1) lần giá trị hàm mục tiêu. Điều này chỉ nên
làm nếu độ chính xác tính Gradient có ý nghĩa quyết định
đối với thủ tục tìm kiếm cực trị, ví dụ khi đã tiến tới gần
điểm tối u.
b.Các phơng pháp Gradient.

Bài tập môn họcThiết kế tối u
Trang : 5

Học viên : Lê xuân Long

Lớp : Cao học

XDCTGT K11

Các phơng pháp tìm kiếm đi từ điểm xk đến điểm xk+1
đợc xác định bằng hớng ngợc Gradient đã đợc tính tại điểm xk
đều mang tên gọi là phơng pháp Gradient. Dọc theo hớng ngợc
Gradient sẽ bớc 1 bớc có độ dài nào đó và tại điểm mới tìm đợc
xk+1 sẽ lại xác định Gradient một lần nữa.
Các phơng pháp Gradient chỉ khác nhau ở cách chọn độ
dài của bớc theo véc tơ ngợc Gradient.
Phơng pháp đơn giản nhất là di chuyển từ điểm x k theo
hớng ngợc Radient với độ dài cố định của bớc l1= const, nghĩa
là:
xk+1 = xk - h .

F

(8)

F T .F

Nếu phát hiện thấy hàm mục tiêu tại xk+1 lớn hơn giá trị
hàm mục tiêu tại xk thì việc tìm kiếm lại phải lùi về x k, sau đó
từ xk bớc một bớc có độ dài bằng l1/2 theo hớng ngợc lại với Vectơ
Gradient. Việc chia ngắn đợc thực hiện cho đến khi giá trị bớc
nhỏ hơn giá trị dơng đủ nhỏ theo ý chúng ta. Quá trình tìm

kiếm sẽ dừng lại khi mô đun của véctơ Gradient nhỏ hơn một
trị số > 0 cho trớc nào đó, nghĩa là khi
Trong một số trờng hợp thì hợp lý hơn là di chuyển với độ
dài bớc tỉ lệ thuận với mô đun của Gradient.
xk+1 = xk - l1 F

(9)

- Phơng pháp xuống dốc nhanh nhất.

Bài tập môn họcThiết kế tối u
Trang : 6


Học viên : Lê xuân Long

Lớp : Cao học

XDCTGT K11

Sau khi xác định Gradient của hàm mục tiêu tại điểm x k
thì di chuyển dọc theo đờng thẳng xk - t F(xk) cho đến
điểm nào mà ở đó có trị số cực tiểu của hàm mục tiêu. Sau
đó, tại điểm này lại xác định lần nữa Gradient và di chuyển
lại thực hiện theo đờng thẳng tơng ứng với hớng mới của
Gradient và cứ thế cho đến chừng nào cha đạt đến điểm có
cực tiểu của hàm mục tiêu F(x) hoặc cha ra khỏi biến của miền
cho phép. Gradient F (xk+1) tại điểm xkt-1 trực giao với F (xk)
Thông thờng phơng pháp tính dốc nhanh nhất yêu cầu
tính Gradient tại ít điểm hơn so với phơng pháp Gradient có

độ dài bớc không thay đổi hoặc có độ dài bớc tỉ lệ thuận với
mô đun của Gradient.
Có thể tăng nhanh tốc độ hội tụ hơn nữa bằng cách sử
dụng các kết quả tính toán Gradient chỉ các đợt tìm kiếm tối u trớc đó.
3.2. áp dụng Gradient để giải bài toán.
a.Mục đích và phạm vị áp dụng.
Với mục đích học tập, sử dụng phơng pháp Gradient để
thiết kế tối u dầm BTCT thờng dạng T theo điều kiện giá thành
kết cấu nhỏ nhất, hàm mục tiêu có hai biến là bc (chiều rộng
bản cánh) và h (chiều cao dầm). Có thể phát triển cho bài toán
có nhiều biến hơn nh chiều dày sờn, chiều dày bản cánh và
kết hợp với phơng pháp tìm kiếm theo hớng liên hợp.
b.Thuật toán của phơng pháp.
+ Các công thức áp dụng:

Bài tập môn họcThiết kế tối u
Trang : 7


Học viên : Lê xuân Long

Lớp : Cao học

XDCTGT K11

2

l g T .l 2
M =
2

8
f


; M


l
5 g Tc l 4
=
.
2 384 Eb I td

L
l
; f =
2 400

a
. 2 . RT
Ea
TC

a = 3.

l
= Ra Fa (ho a ' )
2

; [ a ] = 0.02cm

Vb = Fb.L = [Bc.hc + (h - hc).bs].L
a = 7850 kg/m3

Ga = Fa. a ;

Fa =

M
Ra .ho .

( tra bảng phụ thuộc A =

M
Ru b.ho2

h

Fa .a.( n 1) + bs .(h hc ) 2 / 2 + bc .hc . h c
2
xd =

Ftd

xt= h - x d
Ftđ = bc.hc + (li - hc).bs + Fa (n - 1)
Itđ = Ia
Ia

(0,0)

Isờn

Icách

(0-0)

+ Is

(0 - 0)

+ Ic

(0 - 0)

= Fa (n - 1) . (xd - a)2

(0 - 0)

(0 - 0)

(h hc ) 3 .bs
h hc

+ bs .(l i hc ).
xd
=
12
2

=

bc .hc 2
12

h

+ bc .hc x t c
2


2

2

TC
TC
TC
gTC = g tha + g phu + q

Trong đó:

TC
g than
= Ftđ. b ( b cho trớc = 2,5 T/m3)

3
g TC
phu = bc. hphủ phủ ( phủ = 2,3T/m ; hphủ = 0,12m)

qTC sẽ cho khi tính toán
Bài tập môn họcThiết kế tối u
Trang : 8


Học viên : Lê xuân Long

Lớp : Cao học

XDCTGT K11

TC
gT2 = g btTC . 1,1 + g phu . 1,5 + qTC. (1 + à)

+ Thuật toán.
Xét hàm mục tiêu là hai lần biến.
F = Vb.Prb + Ga.Pra = F(x, y)

(1')

(Trong đó ta thay x=bc, y =h)
Hàm F(x,y) là hàm phi tuyến. Để sử dụng phơng pháp
Gradient trên mặt F(x,y), ta tìm cực điểm theo hớng có độ


dốc lớn nhất, nghĩa là theo hớng ngợc F .
Nếu F(x,y) có cực tiểu tại (xt , yt) ta có quá trình lặp
Xi + 1 = Xi - Ui. F'(x) (xi, yi)
yi

+1

(10)

= yi - Ui. F'(y) (xi, yi)

Giá trị bớc lập Ui trong công thức (10) sẽ đợc xác định ở
mỗi bớc.
Gọi h là bớc lặp Gradient, ta có:
delta x = f(x + h, y) - F (x -h, y)

(11)

delta y = f(x, y + h) - F (x, y - h)

(12)

delta xy =

( delta x) 2 + (delta y ) 2

(13)

Quá trình lặp thuật toán
xi + 1 = xi - l. delta x /delta xy

(14)

yi

(14)

+1

= yi - l. delta y /delta xy

Trong đó l là khoảng cách cho trớc.
Quá trình lặp lại này dừng đến khi l < ep cho trớc và x1
x x2, y1 y y2 cho trớc.

Bài tập môn họcThiết kế tối u
Trang : 9


Học viên : Lê xuân Long

Lớp : Cao học

XDCTGT K11

4.

Cấu trúc chơng trình :
Cấu t r ú c c h ơng t r ì
nh
Nhập từ bàn phím
Nhập số liệu tính

Nhập từ đĩ

a
Nhập từ vídụ

Kiểm tra điều
kiện ràng buộc

Thiết kê tối u
dầm BTCT

Tính toán

Tính toán hàm
mục tiêu

Kiểm tra hàm
mục tiêu
In ra màn hì
nh
in kết quả

In ra máy in

In ra đĩ
a

Bài tập môn họcThiết kế tối u
Trang : 10


Học viên : Lê xuân Long

Lớp : Cao học

XDCTGT K11

5.

Sơ đồ khối chơng trình :
s ơ đồ khố i c h ơng t r ì
nh
Mở đầu
Giớ i thiệu
ý nghĩ
a
Nhập số liệu
Xem sửa
Thể hiện đồ họa số liệu đã nhập
Không đạ t

Kiểm tra điều kiện ràng buộc
Đ ạt
Tính toán hàm mục tiêu

Không đạ t

Kiểm tra hàm mục tiêu
Đ ạt
In kết quả
Có tính tiếp nữa không
Không

Kết thúc

Bài tập môn họcThiết kế tối u
Trang : 11

Có


Học viên : Lê xuân Long

Lớp : Cao học

XDCTGT K11

Phần 2: phát minh sáng chế
Đề tài : Nghiên cứu một chiếc ô tô
Các thuật toán sáng chế đợc áp dụng gồm
1. Thuật toán phân nhỏ : 1 chiếc ôtô gồm rất nhiều bộ phận
nh: Động cơ, các bộ phận truyền lực, phanh, khung xe,
radio, điều hoà nhiệt độ, ăng ten...
2. Thuật toán tách khỏi: Khí thải của ôtô
3. Thuật toán phẩm chất cục bộ: trong một chiếc ôtô gồm
nhiều bộ phận có chất lợng khác yêu cầu cao nh: phanh,
động cơ, nhng cũng có các bộ phận có chất lợng thấp
hơn nh: radio, ăng ten
4. Thuật toán kết hợp: trong ôtô có radio, cassette, đầu CD,
điều hoà nhiệt độ
5. Thuật toán lồng ghép: trong ôtô xăm lồng vào trong lốp,
ăngten của radio
6. Thuật toán dự phòng: trong ôtô có lốp dự phòng

7. Thuật toán cầu hoá: cấu tạo vòng bi trong ôtô, khớp quay của
cần số
8. Thuật toán tự phục vụ: bình xăng ở trên cao hơn động cơ

Bài tập môn họcThiết kế tối u
Trang : 12