Ôn luyện các nhóm câu hỏi vận dụng cao trong đề thi THPTQG môn Toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.49 MB, 42 trang )
ĐỀ ÔN LUYỆN CÁC NHÓM CÂU HỎI
VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA
Đề gồm 40 câu trắc nghiệm
Sản phẩm được thực hiện bởi nhóm
Chinh Phục Olympic Toán
Câu 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
m2
mx
2m x
mx
Có đúng một nghiệm nhỏ hơn 10 .
A. 5
C. 9
B. 4
D. Vô số.
Câu 2: Cho 2 dãy cấp số cộng un u1 ; u2 ;...un có công sai d 1 và vn v1 ; v2 ;...vn có công sai
d2 .
Gọi
tổng
của
n
số
hạng
đầu
của
mỗi
cấp
số
theo
Sn u1 u2 ... un 7 n 1 và Tn v1 v2 ... vn 14n 27 . Tính tỉ số của
thứ
tự
là
u11
v11
5
4
9
5
B.
C.
D.
3
3
4
4
Câu 3: Cho hình chóp S. ABC có SA x , BC y , AB AC SB SC 1. Thể tích khối chóp
A.
S. ABC đạt giá trị lớn nhất khi tổng x y bằng :
A.
2
.
3
B.
C.
3.
4
.
3
D. 4 3.
Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của m để hệ phương trình sau có nghiệm :
log 2 x y log 3 xy 2 2
3
3
x y 2 xy m
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 5: Cho 2 sin a b cos a b , a b k. Tính giá trị của biểu thức
E
1
1
1 2 sin 2 a 1 2 sin 2b
2
1
A. .
B. .
C. 2.
D. 0.
2
3
Câu 6: Cho dãy un thỏa mãn 25.2 2 u5 1 15.2 u1 u5 2 5.2 u5 15.2 u1 4 0 và un 1 un 8.
Giá trị nhỏ nhất của n để un 2019.
A. 512.
B. 258.
C. 511.
D. 257.
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD là hình vuông, AB 1 , cạnh bên SA 1 và
vuông góc với mặt phẳng đ{y ABCD . Kí hiệu M l| điểm di động trên đoạn CD và N là
điểm di động trên đoạn CB sao cho MAN 45 . Thể tích nhỏ nhất của khối chóp S. AMN
là ?
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 1
60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
A.
2 1
9
2 1
3
B.
C.
2 1
6
D.
2 1
9
Câu 8: Cho một cấp số cộng : u1 , u2 , u3 , u4 thỏa u1u4 u2 u3 6 . Tìm tập x{c định D của
hàm f x
x u1 x u2 x u3 x u4 9
A. D ; 6
B. D 6;
C. D
x 2 sin x sin 1
Câu 9: Cho hàm số y
C . Tìm
D. D 6; 6
để C sao cho khoảng cách
x1
giữa 2 điểm cực đại và cực tiểu là lớn nhất ?
A. k 2 .
B. k.
C. k 2 .
D. k.
4
4
2
3
Câu 10: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng 1. Gọi G là trọng tâm của tam giác
BCD. Mặt phẳng P thay đổi luôn luôn đi qua AG cắt BC , BD lần lượt tại I , K . Tính thể
tích nhỏ nhất của ABIK .
A.
2
.
27
B.
2
.
18
C.
Câu 11: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn
4
.
9
D.
2
.
36
z1 2 3i 17 ; z2 1 5 . Biết rằng
z1 1 i k z2 1 i k 0 . Tìm k khi P z1 z2 đạt giá trị lớn nhất.
A. k 1
B. k 2
D. k 5
C. k 3
Câu 12: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A .
Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 7 và có chữ số h|ng đơn vị bằng 2.
257
257
127
127
A.
B.
C.
D.
90000
18000
90000
30000
Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn z 1 i 5 . Tìm GTLN của P 2 z 8i z 7 9i .
A. P 109
B. P 1 109
C. P 109 2
D. P 109 1
Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn 4 z z i 1 2 z i 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức P z 2 2i
A. P
30
2 2
3
B. P
30
3 2
4
2
C. P
2
30
4 2
5
D. P
30
5 2
6
2
1
1
1
Câu 15: Biết tổng Sn 2 2 2 2 ... 2 n n . Giá trị nhỏ nhất của n để
2
2
2
399 2n4n
, n
Sn
4n
A. 41
*
2 | Chinh phục olympic toán
B. 40
C. 51
D. 50
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
z2 z2 8
3
Câu 16: Cho 3 số phức z0 , z1 , z2 thỏa mãn đồng thời
, với z3 1 i . Biết
2
z1 z3 z3 z2
z z a bi
1
rằng 0 1
a, b , c , d R . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P ad bc
2
z0 z2 c di
A. P 17
B. P 18
C. P 19
D. P 20
Câu 17: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên . Gọi C1 , C 2 , C 3 lần lượt l| đồ thị
của các hàm số y f x , y f f x , y f x 2 1 . Các tiếp tuyến C 1 , C 2 tại điểm
x0 2 có phương trình lần lượt là y 2 x 1, y 4 x 3 , hỏi tiếp tuyến của C 3 tại điểm
x0 2 đi qua điểm n|o sau đ}y?
A. Q 2; 11
B. M 2; 11
C. N 2; 21
D. P 2; 21
Câu 18: Cho dãy ( xn ) thỏa mãn x1 5, xn 1 xn2 2, n 1 . Tính giá trị của
1
1
1
M lim
........
x1x2 ...xn
x1 x1 x 2
5 21
5 21
3 31
3 15
B. M
C. M
D. M
2
2
3
3
Câu 19: Có bao nhiêu cặp số nguyên a ; b thỏa mãn 0 a , b 100 sao cho đồ thị của 2 hàm
A. M
số y
1 1
1 1
và y x cắt nhau tại đúng 2 điểm phân biệt?
x
a b
b
a
A. 9704
B. 9702
C. 9698
D. 9700
Câu 20: Xét các hình chóp S.ABCD thỏa mãn điều kiện: đ{y ABCD là hình vuông, cạnh
bên SA vuông góc với đ{y và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng a. Biết
rằng thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất V0 khi cosin góc giữa đường thẳng SB
và mặt phẳng ABCD bằng
p
p
là
, trong đó p , q là các số nguyên dương v| ph}n số
q
q
tối giản. Tính T p q .V0 .
5 3 3
a.
2
Câu 21: Cho số phức z1 , z2 , z3 lần lượt thỏa mãn z1 3 i , z2 là số thuần ảo với thuần ảo
A. T 3 3 a 3 .
B. T 6 a 3 .
C. T 2 3 a 3 .
không âm, z3 là số thực không âm. Biết rằng z2 z3
D. T
2
2
z2 z1 z3 z1 . Gọi M,n lần
lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P z2 z1 z3 z1 . Khi đó M.n bằng?
A. M.n 90
B. M.n 80
C. M.n 100
D. M.n 70
2
2
2
Câu 22: Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn 5 x y z 9 xy 2 yz zx . Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức: P
x
1
.
2
y z x y z 3
2
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 3
60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
A. 14
C. 12
B. 16
D. 18
Câu 23: Gieo một con súc sắc c}n đối đồng chất hai lần. Giả sử m là tích số chấm mà con
súc
sắc
xuất
hiện
sau
hai
lần
gieo.
Tính
xác
suất
sao
cho
hàm
số
y m 3 x 41 2m x 2 đồng biến trên khoảng 0; .
2
A.
1
2
B.
2
3
C.
3
4
D.
17
36
1
Câu 24: Cho hàm số y f x ln 1 2 . Biết rằng :
x
f 2 f 3 ... f 2018 ln a ln b ln c ln d
trong đó a , c , d l| c{c số nguyên tố v| a b c d . Tính P a b c d
A. 1986
B. 1698
C. 1689
D. 1989
Câu 25: Cho hàm số y f x x 3 2m 1 x 2 2 m x 2 . Tìm tất cả các giá trị của tham
số m để hàm số y f x có 5 điểm cực trị.
A.
5
m2
4
B. 2 m
5
4
C.
5
m2
4
D.
5
m2
4
Câu 26: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn đẳng thức:
3x 3 f x
f ' x xf ' x x 2
2
f ' x x , x 1; 2 và f 1
7
. Tính f 2 .
3
7 7 1
7 7 1
2 7 1
2 7 1
B. f 2
C. f 2
D. f 2
3
3
3
3
Câu 27: Cho hàm số đa thức bậc ba y f x có đồ thị đi qua c{c điểm sau
A. f 2
A 2; 4 , B 3; 9 , C 4; 16 . C{c đường thẳng AB, AC , BC lại cắt đồ thị tại lần lượt tại các
điểm D , E , F ( D khác A và B , E khác A và C , F khác B và C ). Biết rằng tổng các
ho|nh độ của D , E , F bằng 24 . Tính f 0 .
A. f 0 2
B. f 0 0
C. f 0
24
5
D. f 0 2
Câu 28: Cho hàm số g x f sin 2 x f cos 2 x trong đó f thỏa mãn điều kiện :
f cot x sin 2 x cos 2 x , x 0; .
Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của g x bằng:
1
.
25
1
1
C. .
D. .
5
25
Câu 29: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 1; 4 thỏa mãn f 1 1, f 4 8 v| đồng
A.
thời f ' x
B.
2
1
.
5
x 3 f x 9 x 3 x 3x , x 1; 4 . Tích phân
A. 7
4 | Chinh phục olympic toán
B.
89
6
C.
79
6
4
f x dx bằng
1
D. 8
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 30: Cho phương trình log 2 2 x 2 2 x 2 2 y y 2 x 2 x . Hỏi có bao nhiêu cặp số
2
nguyên dương x ; y , với 0 x 500 thỏa mãn phương trình đã cho?
A. 4.
B. 2.
C. 3.
D. 1.
Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD là hình bình hành. Gọi A l| điểm trên SA
1
sao cho AA AS . Mặt phẳng qua A cắt các cạnh SB, SC , SD lần lượt tại B, C , D.
2
SB SD SC
Tính giá trị của biểu thức T
.
SB SD SC
3
1
1
A. T
B. T
D. T
C. T 2
3
2
2
4
Câu 32: Gọi q là công bội của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng 16 , đồng
9
thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư v| thứ tám của một cấp số cộng . Hỏi
q thuộc khoảng n|o sau đ}y?
A. q 3; 4
B. q 1; 2
1
2
Câu 33: Cho tích phân I
0
C. q 2; 3
dx
1x
2n
,n
*
D. q 0; 1
, biết rằng tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
a c
a c
, trong đó a, b, c, d l| c{c số nguyên dương v| ,
b d
b d
là phân số tối giản. Tính S a b c d ?
nhất của I được viết dưới dạng
A. 9
C. 11
B. 10
Câu 34: Cho 3 hàm số
D. 12
y f x , y g x , y h x
. Đồ thị của 3 hàm số
y f x , y g x , y h x có đồ thị như hình vẽ dưới, trong đó đường đậm hơn l| đồ
3
thị của hàm số y f x . Hàm số k x f x 7 g 5x 1 h 4x đồng biến trên
2
khoảng n|o dưới đ}y ?
y g ' x
y
10
y f ' x
5
O
34
8
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
x
y h ' x
Chinh phục olympic toán | 5
60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
15
A. ; 0 .
4
3
3
C. ; 1 .
D. ; .
8
8
7 5i
9 3i
Câu 35: Cho 2 số phức z1 thỏa mãn z1
z1 , z2 a bi với
4 4
4 4
1
B. ; .
4
3 2 a b 1 0 Biết rằng z1 i 2 z2 i . Tìm GTNN của P z1 3 i 2 z2 3 i
A. P 38
C. P 2 38
B. P 39
D. P 2 39
Câu 36: Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn abc a c b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
2
2
3
thức P 2
2
2
.
a 1 b 1 c 1
5
10
7
14
A. Pmax .
B. Pmax .
C. Pmax .
D. Pmax .
3
3
2
3
Câu 37: Cho hàm số f x liên tục trên , có đạo h|m đến cấp hai trên
và thỏa mãn
2
f x . 4 f ' x f x . f '' x e x , x
3
, biết f 0 0 . Khi đó
f 5 x dx bằng?
0
25ln 2 2
A. 5 31
5ln 2
2
C.
5ln 2
B.
1
355ln 2
31
5
2
355ln 2
D. 5 31
2
1
25ln 2 2
31
5ln 2
5
2
Câu 38: Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ:
y
f ' x
2
5
B
Xét
hàm
số
5
O
13
g x 2 f x 2 x 3 4x 3m 6 5 với
x 5 ; 5 thì điều kiện của m là
2
A. m f 5
3
2
C. m f 0 2 5
3
6 | Chinh phục olympic toán
x
A
m
là
số
thực.
Để
g x 0
2
f 5
3
2
D. m f 5 4 5
3
B. m
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 39: Cho 4 số nguyên a , b , c , d thay đổi thỏa: 1 a b c d 50 . Tìm giá trị nhỏ nhất
a c
của biểu thức P .
b d
53
61
58
73
A. Pmin
B. Pmin
C. Pmin
D. Pmin
175
200
175
200
Câu 40: Cho các số tự nhiên từ 1 đến 100 . Chọn ra 6 số bất kỳ. Tính xác suất để chọn ra 6
số sao cho chúng có thể xếp thành 1 cấp số cộng.
95
95
95
A.
B.
C.
7528752
1254792
2509584
Câu 41: Cho các số thực x,y thỏa mãn
D.
log 2 x 3 2 log 2 2 y 3 log 2 y 3 2 log
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4 x 2 y 2 15xy là?
A. min P 80
B. min P 91
C. min P 83
2
95
3764376
x3 2 .
D. min P 63
Câu 42 : Cho hàm số f x và g x thỏa mãn f ' 1 g 1 1; f 2 . g 2 f 1 v| đồng
1
thời 1 f ' x g ' x g x f '' x f ' x , x \ 0 . Tính tích phân
x
2
I f x g ' x dx ?
1
3 1
3 1
3 1
3 1
B. ln 2
C. ln 2
D. ln 2
ln 2
4 2
4 2
4 2
4 4
Câu 43: Có tối đa bao nhiêu hình vuông được tạo bởi các ô vuông của bàn cờ 8x8 khi bớt
đi một ô vuông?
A. 204
B. 63
C. 196
D. 150
A.
Câu 44: Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng ABC . A1 B1C 1 . Giả sử
BC a , AA1 h . Khi R ngắn nhất thì tam giác ABC
A. Đều.
B. Cân tại A.
C. Vuông tại A.
D. Nhọn
z i a bi
Câu 45: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 2 , z2 5 . Biết rằng 1
.
z2 i c di
1
Tìm GTLN của biểu thức P ad bc .
2
A. P 1
B. P 2
C. P 3
D. P 4
Câu 46: Cho tứ diện ABCD nội tiếp trong một mặt cầu bán kính R và thỏa mãn điều kiện
AB CD, BC AD, AC BD .
M
là một điểm thay đổi trong không gian. Đặt
P MA MB MC MD, giá trị nhỏ nhất của P là?
A. Pmin 2 R 3.
B. Pmin 4 R.
C. Pmin 3 R.
D. Pmin
16 R
.
3
Câu 47: Cho 2 số thực x,y dương thỏa mãn điều kiện
log 22 2 x log 22 4 y 1 log 2 xy
3
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
11
2
Chinh phục olympic toán | 7
60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt P x 3 y 3 . Hỏi P có bao nhiêu ước số nguyên?
A. 1
C. 5
B. 2
Câu 48: Cho phương trình
m3 m3
D. 0
3x 10 2 x 3x 10 2 x . Có bao nhiêu
giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm?
A. 10
C. 9
B. 11
Câu 49: Cho hàm số y f x
sin 6 x cos x cos6 x sin x
sin x cos x
D. 12
. Hỏi có bao nhiêu giá trị
x 2019; 2019 thỏa mãn hàm số f x đạt giá trị lớn nhất.
A. 2453
B. 5142
C. 2571
D. 4906
2
2m 1, h x x 61x . Tìm tham số m để
6x
hàm số g x h x . f x có giá trị nhỏ nhất là 0 với mọi x 0; 1
Câu 50: Cho 2 hàm số f x m 1 6 x
A. m 1
B. m
1
C. m ; 1
2
1
2
trong đó ui 0, i 1, 2,..., n . Biết rằng
Câu 51: Cho cấp số nhân u1 , u2 , u3 ,.., un ;
Sn u1 u2 u3 ... un 2018 , Tn
D. m 1
1
1 1 1
1
.
...
2019 và P u1 .u2 .u3 ....un
100
u1 u2 u3
un
Hỏi số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn P là:
A. 9295
B. 9296
C. 18592
Câu 52: Cho tập A {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9} .
D. 18591
ọi S l| tập hợp tất cả c{c số có 5 năm chữ số
ph}n biệt được lập từ A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S . Khi đó x{c suất để chọn được số
có dạng a1 a2 a3 a4 a5 sao cho a1 a2 a3 v| a3 a4 a5 l|?
A.
5
7
B.
1
12
C.
Câu 53: Cho bất phương trình log 3 a 11 log 1
7
5
12
D.
1
24
x 2 3ax 10 4 log 3 a x 2 3 ax 12 0 .
Giá trị thực của tham số a để bất phương trình trên có nghiệm duy nhất thuộc khoảng nào
sau đ}y?
A. 1; 0
B.
1; 2
C. 0; 1
D. 2;
Câu 54: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện
2
2 log y 2 y x2 x x y 1
x 2 y
2
1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P log x y 1 y x .2 2 x 4 y
A.
1
2
8 | Chinh phục olympic toán
B.
1
4
C.
1
8
D.
1
16
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 55: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A .
Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 7 và có chữ số h|ng đơn vị bằng 2.
257
257
127
127
A.
B.
C.
D.
90000
18000
90000
30000
Câu 56 : Có tất cả bao nhiêu cặp số thực x ; y thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện
3 x2 2 x 3 log 3 5 5 y 4
?
2
4 y y 1 y 3 8
A. 3
B. 2
D. 0
C. 1
Câu 57: Cho (C m ) l| đồ thị của h|m số y x 3 3mx 1 (với m 0 l| tham số thực).
ọi d là
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C m ). Đường thẳng d cắt đường tròn t}m
I 1; 0 bán kính R 3 tại hai điểm ph}n biệt A , B.
ọi S l| tập hợp tất cả c{c gi{ trị của
m sao cho diện tích tam gi{c IAB đạt gi{ trị lớn nhất. Hỏi S có tất cả bao nhiêu phần tử ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
2
Câu 58: Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn 2z y . Khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ
nhất, hãy tính log 2 xyz ?
P log 22 xy log 2 x 3 y 3 x 3 z3 y 4 xy 2 2 zy 2 2 xz
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
Câu 59: Cho phương trình sin 2 x cos 2 x sin x cos x 2 cos 2 x m m 0. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm ?
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 9.
1
1
k
Câu 60: Giả sử k là số thực lớn nhất sao cho bất đẳng thức
2 1 2 đúng với
2
sin x x
x 0; . Khi đó gi{ trị của k là?
2
A. 5
B. 2
C. 4
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
D. 6
Chinh phục olympic toán | 9
60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ 3
Câu 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
mx
m2
2m x
mx
Có đúng một nghiệm nhỏ hơn 10 .
A. 5
C. 9
B. 4
D. Vô số.
Lời giải
m x m 2 m x . m x
Phương trình
I
m
x
0
x x . x
Xét m 0 : I
mọi x 0 đều là nghiệm của phuơng trình đã cho.
x 0
2m
x 3 0
x 2 2m x m x
x 2m x . m x
Xét m 0 : I
x 0
x 0
vô nghiệm.
m x 0
m x 0
m x 0
2m x 2 2m x m x
2 m x 2m x . m x
Xét m 0 : I
m x 0
2m x 0
m x 0
x 2 m
2 m x 0 x 2 m .
m x 0
m
m 4, 3, 2, 1 .
Vì x 2 m 10 m 5
m 0
Câu 2: Cho 2 dãy cấp số cộng un u1 ; u2 ;...un có công sai d 1 và vn v1 ; v2 ;...vn có công sai
d2 .
Gọi
tổng
của
n
số
hạng
đầu
của
mỗi
cấp
số
theo
Sn u1 u2 ... un 7 n 1 và Tn v1 v2 ... vn 14n 27 . Tính tỉ số của
A.
5
3
B.
4
3
C.
9
4
D.
thứ
tự
là
u11
v11
5
4
Lời giải
n 2u1 n 1 d1
n 2 v1 n 1 d2
Từ giả thiết, ta có Sn
và Tn
2
2
Sn 2 u1 n 1 d1
7n 1
2 v1 n 1 d2 4n 27
T
n
u11 u1 10 d1 2 u1 20 d1
v11 v1 10 d2 2 v1 20 d2
10 | Chinh phục olympic toán
1
2
.
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
So sách (1) và (2) bằng c{ch đồng nhất n 1 20 n 21
u11 148 4
v11 111 3
Câu 3: Cho hình chóp S. ABC có SA x , BC y , AB AC SB SC 1. Thể tích khối chóp
S. ABC đạt giá trị lớn nhất khi tổng x y bằng :
A.
2
.
3
B.
C.
3.
4
.
3
D. 4 3.
Lời giải
Gọi H , K lần lượt l| trung điểm BC , SA.
Đặt BC 2 x , SA 2 y.
Có SH SC 2 CH 2 1 x 2 ; AH AB2 BH 2 1 x2 .
Do đó SAH cân tại H . Hay HK SA.
Có d BC , SA HK 1 x 2 y 2 .
Thể tích khối chóp S. ABC là
BC .SA.d BC , SA sin BC , SA 2
2 x2 y2 1 x2 y2
2 3
xy 1 x 2 y 2 .
.
6
3
3
3
27
3
VS. ABC
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y 1 x 2 y 2 x y
3
2
xy
.
3
3
Chọn đ{p {n A.
Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của m để hệ phương trình sau có nghiệm :
A. 1.
B. 2.
log 2 x y log 3 xy 2 2
3
3
x y 2 xy m
C. 3.
D. 4.
Lời giải
Đặt log 2 x y a , log 3 xy 2 b khi đó a b 2
Lại có: x y 4xy 2 a 4 3b 2 4 32 a 2 12 a 8.3 a 36 0
2
2
Xét hàm g a 12 a 8.3 a 36 đồng biến trên
, g 1 0 a 1
m x y 3xy x y 2 xy 2 a 3 32 a 2 .2 a 2 32 a 2 f a
3
3
H|m f đồng biến trên 1; suy ra m f (1) 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương trình thứ 2 có nghiệm
a1m1
Câu 5: Cho 2 sin a b cos a b , a b k. Tính giá trị của biểu thức
E
2
A. .
3
B.
1
.
2
1
1
1 2 sin 2 a 1 2 sin 2b
C. 2.
Lời giải
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
D. 0.
Chinh phục olympic toán | 11
60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Dễ dàng chứng minh được: sin 2 a 2 sin 2 a b cos a b sin a b
1 2 sin 2 a 1 4 sin 2 a b 2 cos a b sin a b
1 cos 2 a b 2 cos a b sin a b
sin 2 a b 2 cos a b sin a b sin a b sin a b 2 cos a b
Tương tự ta có: 1 2 sin 2 b sin a b sin a b 2 cos a b
Suy ra:
E
2 sin a b
1
2
.
2
2
2
sin a b sin ( a b ) 4 cos ( a b ) sin ( a b ) 4 sin 2 ( a b ) 4
2
2
2
sin ( a b ) cos ( a b ) 4
3
2
Câu 6: Cho dãy un thỏa mãn 25.2 2 u5 1 15.2 u1 u5 2 5.2 u5 15.2 u1 4 0 và un 1 un 8.
Giá trị nhỏ nhất của n để un 2019.
A. 512.
B. 258.
C. 511.
D. 257.
Lời giải
Từ un 1 un 8. un là CSC công sai d 8 un u1 8 n 1 u5 u1 32
Thay vào giả thiết ta được:
2 5.2 32 3 2 u1 5.2 32 3 2 u1 4 0
2
1 33
1 33
u1 log 2
32
4
4 5.2 3
Có dạng phương trình bậc 2 suy ra: 5.2 32 3 2 u1
2019 u1
1 257, 63 nmin 258
8
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD là hình vuông, AB 1 , cạnh bên SA 1 và
vuông góc với mặt phẳng đ{y ABCD . Kí hiệu M l| điểm di động trên đoạn CD và N là
un u1 8 n 1 2019 n
điểm di động trên đoạn CB sao cho MAN 45 . Thể tích nhỏ nhất của khối chóp S. AMN
là ?
A.
2 1
9
2 1
3
B.
2 1
6
C.
2 1
9
D.
Lời giải
Đặt DM x , BN y ta có
tan 45 tan DAM BAN
tan DAM tan BAN
1 tan DAM.tan BAN
xy
1x
. Suy ra y
.
1 x
1 xy
2
1x
và AM AD DM x 1 , AN AB BN 1 y
1
1 x
2
2
2
2
2
2
1
1
x2 1
Vì vậy V SA.SAMN SA. AM. AN sin 45 f x
f
3
6
6 x 1
12 | Chinh phục olympic toán
21
2 x 2 1
x1
.
2 1
.
3
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
S
A
D
M
B
C
N
Câu 8: Cho một cấp số cộng : u1 , u2 , u3 , u4 thỏa u1u4 u2 u3 6 . Tìm tập x{c định D của
hàm f x
x u1 x u2 x u3 x u4 9
A. D ; 6
B. D 6;
C. D
D. D 6; 6
Lời giải
Theo tính chất của cấp số cộng , ta có : u1 u4 u2 u3
Do đó x u1 x u2 x u3 x u4 x 2 u1 u4 x u1u4 x 2 u2 u3 x u2 u3 *
Đặt t x 2 u1 u4 x x 2 u2 u3 x , khi đó :
*
f (t ) t u1u4 t u2 u3 9 t 2 u1u4 u2 u3 t u1u4 u2 u3 9
Với : t u1u4 u1u3 4u1u2 u3u4 36 u1u4 u2 u3 36 .
2
2
Rõ ràng u1u4 u2 u3 6 t 0 f (t ) 0, t f x có nghĩa với mọi x.
x 2 sin x sin 1
C . Tìm để C sao cho khoảng cách
x1
giữa 2 điểm cực đại và cực tiểu là lớn nhất ?
A. k 2 .
B. k.
C. k 2 .
D. k.
4
4
2
3
Lời giải
Câu 9: Cho hàm số y
Hàm số y
có y '
x 2 sin x sin 1
x1
x 2 2 x sin x sin 1
x 1
2
U x
V x
có miền x{c định D
\1 v| đồng thời ta
. Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu là 'y ' 0 hay
sin sin 0 sin 0 .
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 13
60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi x1 , x2 lần lượt l| ho|nh độ c{c điểm cực đại, cực tiểu của C thì khi đó:
ymax
U ' x1
V ' x1
2 x1 sin , ymin
U ' x2
V ' x2
2 x2 sin
Gọi A x1 , 2 x1 sin , B x 2 , 2 x 2 sin l| c{c điểm cực đại, cực tiểu tương ứng của C ,
x1 x2 2
khi đó x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình y ' 0 nên
x1 x2 sin sin 1 2 sin 1
Ta có AB2 xB x A y B y A 5 x2 x1 40 sin
2
2
2
Do vậy AB lớn nhất khi k 2 k
2
Câu 10: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng 1. Gọi G là trọng tâm của tam giác
BCD. Mặt phẳng P thay đổi luôn luôn đi qua AG cắt BC , BD lần lượt tại I , K . Tính thể
tích nhỏ nhất của ABIK .
A.
2
.
27
B.
2
.
18
4
.
9
C.
D.
2
.
36
Lời giải
A
K
B
G
O
I
D
H
C
Đặt BK x , BI y
Sử dụng công thức tính tỷ số thể tích ta có
VA.BKG 2VA.BKG 2 x 2VA.BGI 2 y VA.BIK
,
,
xy
VA.BHD VA.BCD
3 VA.BCD
3 VA.BCD
2 x y
4 xy
4
1
Mặt khác ta có VA.BHD VA.BCH VA.BCD nên
xy
xy
2
6
6
9
Ta có VA.BIK
xy 2
2
2
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y . Chọn đ{p {n A.
3
12
27
14 | Chinh phục olympic toán
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 11: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 2 3i 17 ; z2 1 5 .
Biết rằng z1 1 i k z2 1 i k 0 . Tìm k khi P z1 z2 đạt giá trị lớn nhất.
B. k 1
B. k 2
D. k 5
C. k 3
Lời giải
I
J
M
H
A
K
N
Gọi M z1 , N z2 , I 2; 3 , J 0; 1 . Theo giả thiết ta có:
Điểm M thuộc đường tròn C 1 tâm I bán kính R1 17
Điểm N thuộc đường tròn C 2 tâm J bán kính R2 5
z 2 3i 17
Ta thấy rằng số phức z 1 i đều thỏa mãn
. Điều này chứng tỏ A 1; 1
z
1
5
l| giao điểm của C 1 , C 2 và theo giả thiết ta suy ra được A , M , N thẳng hàng.
Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của I,J lên MN P MN 2 HK 2 IJ .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi MN IJ . Khi đó phương trình MN đi qua điểm A và có
vector pháp tuyến IJ 3; 3 là MN : x y 2 0 . Từ đ}y suy ra điểm M 6; 4 , N 0; 2
Vậy k
z1 1 i 6 4i 1 i
5 . Chọn ý D.
z2 1 i
2i 1 i
Câu 12: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A .
Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 7 và có chữ số h|ng đơn vị bằng 2.
257
257
127
127
A.
B.
C.
D.
90000
18000
90000
30000
Lời giải
Gọi số tự nhiên gồm 5 chữ số là abcde
Chọn a 0 có 9 cách.
Chọn b , c , d , e mỗi số có 10 cách.
Nên A 9.10 4 .
Gọi B là biến cố "chọn được tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 7 và có chữ số h|ng đơn vị
bằng 2''.
Gọi số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 7 và có chữ số h|ng đơn vị bằng 2 là abcd 2
Ta có abcd 2 10.abcd 2 7 abcd 3abcd 2
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 15
60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
abcd 2 chia hết cho 7 nên 3abcd 2 chia hết cho 7 hay 3abcd 2 7t ,(t )
7t 2
t2
abcd 2t
3
3
Suy ra (t 2) 3 hay t 2 3n t 3n 2
3abcd 2 7t abcd
Khi đó abcd 7 n 4 mà 1000 abcd 9999 nên 1000 7 n 4 9999
Mặt khác n là số nguyên n 143; 144; 145;...; 1427
996
9995
n
7
7
Nên B 1285 .
1285
257
.
4
9.10
18000
Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn z 1 i 5 . Tìm GTLN của P 2 z 8i z 7 9i .
Khi đó, P( B)
A. P 109
B. P 1 109
D. P 109 1
C. P 109 2
Lời giải
ọi I 1; 1 , A 7; 9 , B 1; 8 .
M
Yêu cầu b|i to{n chuyển về tìm gi{ trị lớn
nhất của biểu thức P 2 MB MA .
Ý tưởng cho b|i to{n n|y l| ta sẽ sử dụng D
bất đẳng thức tam gi{c, nhưng do có số 2
I
A
C
K
ở giữa nên ta sẽ nảy ý tưởng tìm một điểm
K cố định thỏa mãn MA 2 MK .
iả sử
B
tồn tại một điểm K như thế thì ta có:
2
2
2
MA 4 MK MA 4 MK MI IA
2
4 MI
2
IK
2
3 MI 2 4 IK 2 IA2 2 MI 4 IK IA 0
3 MI 2 4 IK 2 IA2 0
2 IA2
3 R
Để tồn tại điểm K thì
0 . Dễ thấy điều này luôn
4
4 IK IA 0
đúng do đó luôn tồn tại điểm K cố định thỏa mãn MA 2 MK v| điểm K này nằm trên IC.
R
Lấy điểm K thuộc IC sao cho IK .
2
Ta có: IK .IA IM 2 IAM IMK c.g.c MA 2 MK
Vậy khi M thay đổi thì MA 2 MK . Theo bất đẳng thức tam giác thì ta có:
P 2 MB MA 2 MB MK 2 BK
5
Ta có: K ; 3 P 2 BK 109 .
2
16 | Chinh phục olympic toán
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn 4 z z i 1 2 z i 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức P z 2 2i
A. P
30
2 2
3
B. P
30
3 2
4
C. P
30
4 2
5
D. P
30
5 2
6
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:
16 z z i 1 2 z i 1 1 4 z i 1 z i 1
2
2
2
Từ đ}y sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối ta có P
2
2
2
5 2 z
2
2 i1
2
30
2 2.
3
2
1
1
1
Câu 15: Biết tổng Sn 2 2 2 2 ... 2 n n . Giá trị nhỏ nhất của n để
2
2
2
399 2n4n
, n
4n
A. 41
Sn
*
B. 40
C. 51
D. 50
Lời giải
1
Ta có Sn 2 2 2 2
2
1
1
4
2n
2 2 4 ... 2 2 2 n
2
2
1
1
1
2 2 2 4 .. 2 2 n 2n 2 4 .. 2 n
2
2
2
Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân : Sn u1
qn 1
:
q1
n
1
1
n
4n 1 4 n 1 1
4 1
1 4
Sn 4.
2n .
2n
3
4 1 1
3.4n
4
Theo đề bài ta có:
4
2n
n
1 4n1 1
3.4n
399 2n4n
4n 1 4n1 1 3100 n 39, 124... nmin 40
4n
3
z2 z2 8
Câu 16: Cho 3 số phức z0 , z1 , z2 thỏa mãn đồng thời
, với z3 1 i . Biết
2
z1 z3 z3 z2
z0 z1 a bi
1
rằng
a, b , c , d R . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P ad bc
2
z0 z2 c di
A. P 17
B. P 18
C. P 19
Lời giải
D. P 20
Gọi A z1 , B z2 , M z 3 ,C z 0 . Theo giả thiết ta có z1 z3 z3 z2 AM MB , suy ra
CA a ; b
z0 z1 a bi
được A đối xứng với B qua điểm M. Mặt khác
.
z0 z2 c di
CB c ; d
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 17
60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
1
ad bc SABC . Do AB z1 z2 3 5 nên để diện tích lớn nhất thì d C ; AB max .
2
Gọi A x ; y , B 2 x ; 3 y mà A,B thuộc elip nên ta có:
Vậy P
A 4; 0 , B 2; 3 AB : x 2 y 4 0
Sử dụng tiếp giả thiết z 2 z 2 8 ta suy ra điểm C thuộc v|o elip có phương trình l|
2
2
x
y
E :
1 C 4 sin ; 2 3 cos
4 2 3
Ta có d C ; AB
8
1 12 5
sin
Pmax 18
3 2
5
6
5
Câu 17: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên
. Gọi C1 , C 2 , C 3 lần lượt l| đồ thị
của các hàm số y f x , y f f x , y f x 2 1 . Các tiếp tuyến C 1 , C 2 tại điểm
x0 2 có phương trình lần lượt là y 2 x 1, y 4 x 3 , hỏi tiếp tuyến của C 3 tại điểm
x0 2 đi qua điểm n|o sau đ}y?
A. Q 2; 11
B. M 2; 11
C. N 2; 21
D. P 2; 21
Lời giải
f ' x0 2
f ' x0 2
f x0 5
f x0 5
Theo giả thiết ta có
f ' x0 . f ' f x 0 4 f ' 5 2
f f x 11
f 5 11
0
Do đó hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có ho|nh độ x0 2 của đồ thị hàm số C 3 là
k 2 x0 . f ' x02 1 4 f ' 5 8 từ đ}y suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị C 3 là
y 8 x 2 11 8x 5 .
Câu 18: Cho dãy ( xn ) thỏa mãn x1 5, xn 1 xn2 2, n 1 . Tính giá trị của
1
1
1
M lim
........
x1x2 ...xn
x1 x1 x 2
A. M
5 21
2
B. M
5 21
2
C. M
3 31
3
D. M
3 15
3
Lời giải
Đầu tiên dễ thấy xn
Ta có xn2 1 xn2 2 xn21 4 xn2 xn2 4 ... x1 .x2 ....xn x1 2 4
2
Lại có
xn 1
x1 .x2 ....xn
2
4
x1 .x2 ....xn
2
21 lim
xn 1
lim
x1 .x2 ....xn
4
x1 .x2 ....xn
2
21 21
1
xn 1
x 2 2
xn
2
1
1
n
... x1 2
........
x1 x2 ...xn x1 x2 ...xn x1 ...xn1 x1x2 ...xn
x1x2 ...xn
x1 x1 x 2
18 | Chinh phục olympic toán
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
xn 1
1
1
1
1
........
x1
x1 x1 x 2
x1 x2 ...xn 2
x1 x2 ...xn
1
1
xn 1 5 21
1
1
lim
........
5 lim
x
x
x
x
x
...
x
2
x
x
...
x
2
1 2
1 2
n
1 2
n
1
Câu 19: Có bao nhiêu cặp số nguyên a ; b thỏa mãn 0 a , b 100 sao cho đồ thị của 2 hàm
số y
1 1
1 1
và y x cắt nhau tại đúng 2 điểm phân biệt?
x
a b
b
a
A. 9704
B. 9702
C. 9698
D. 9700
Lời giải
Ta thấy a 1; b 1 , nếu a b 2 đường cong trùng nhau nên có vô số điểm chung, loại.
Vì vai trò của a,b như nhau nên ta chỉ cần tìm cặp số nguyên a ; b với a b 1 sao cho
phương trình
1 1 1 1
1 1 1 1
x x x 0 có 2 nghiệm phân biệt.
x
a b b
a
a b
a b
x
x
1 1 1 1
1
1
Xét hàm số f x x x f ' x ln a , f 1 0
a b
a b
a
b
ln b
Ta có f ' x 0 x x0 log b
, f ' x 0 khi x x0 , f ' x 0 khi x x0 .
a lna
ln a lnb
ln b
Nếu x0 1 log b
a; b 4; 2 .
1
a
b
a lna
lnt
ln 3 ln 2 ln 4 ln 5
ln 100
...
t
3
2
4
5
100
Khi đó f x f x0 f 1 0 f x có đúng 1 nghiệm x0 1
Chú ý xét hàm số f t
Nếu x0 1 , khi đó vẽ bảng biến thiên cho hàm số ta thấy phương trình f x 0 luôn có 2
nghiệm phân biệt.
Với mỗi b k 2, 3,...,99 a k 1,...,100 tức có 100 k cách chọn a.
99
Vậy có
100 k 4851 cặp a; b a b 1
và loại đi cặp 4; 2 ta có 4850 cặp.
k 2
Xét tương tự với trường hợp b a 1 ta có tất cả 9700 cách chọn.
Câu 20: Xét các hình chóp S.ABCD thỏa mãn điều kiện: đ{y ABCD là hình vuông, cạnh
bên SA vuông góc với đ{y v| khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng a. Biết
rằng thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất V0 khi cosin góc giữa đường thẳng SB
và mặt phẳng ABCD bằng
p
p
là
, trong đó p , q là các số nguyên dương v| ph}n số
q
q
tối giản. Tính T p q .V0 .
A. T 3 3 a 3 .
B. T 6 a 3 .
C. T 2 3 a 3 .
D. T
5 3 3
a.
2
Lời giải
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 19
60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có BC AB; BC SA nên BC SAB .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Khi đó AH SBC và d A, SBC AH .
Ta có góc giữa hai đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD là góc SBA .
a
a
; SA
.
sin
cos
1
1
Thể tích khối chóp S.ABCD là V .SA.SABCD
a3 .
2
3
3 sin cos
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM , ta có
Đặt SBA .Theo giả thiết ta có AB
3
sin 2 sin 2 2 cos2
8
2 3
sin 2 cos
sin .sin .2 cos
9
3
27
2
Do đó V
2
2
1
3 3
.
a . Dấu bằng xảy ra khi sin 2 2 cos 2 cos
3
2
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD đạy giá trị nhỏ nhất bằng
1
3 3
a khi cos
3
2
3 3
a ; p 1, q 3 T p q V0 2 3a 3 .
2
Câu 21: Cho số phức z1 , z2 , z3 lần lượt thỏa mãn z1 3 i , z2 là số thuần ảo với thuần ảo
Suy ra V0
không âm, z3 là số thực không âm. Biết rằng z2 z3
2
2
z2 z1 z3 z1 . Gọi M,n lần
lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P z2 z1 z3 z1 . Khi đó M.n bằng?
A. M.n 90
B. M.n 80
C. M.n 100
Lời giải
D. M.n 70
Gọi M 3; 1 , A z2 , B z3 . Theo giả thiết ta có:
2
z2 z3
2
z2 z1 z3 z1 AB2 MA2 MB2 MA MB
Do z2 là số thuần ảo với thuần ảo không âm, z3 là số thực không }m nên ta có điều kiện
10
là A a ; 0 , B 0; b a , b 0 . MA.MB 0 b 10 3a 0 a
3
Ta có: P z2 z1 z3 z1 MA.MB 3 a 2 6 a 10 3; 30 .
Vậy min P 3, max P 30
Câu 22: Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn 5 x 2 y 2 z 2 9 xy 2 yz zx . Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức: P
A. 14
B. 16
x
1
.
2
y z x y z 3
2
C. 12
D. 18
Lời giải
Ta có: 5 x 2 y 2 z2 9 xy 2 yz zx 5 x y z 9 xy 2 yz zx 10 xy yz zx
2
20 | Chinh phục olympic toán
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
5 x y z 19x y z 28yz 19x y z 7 y z
2
2
2
x
x
x
5
1 19
7
2 x 2 y z
yz
yz
yz
Mặc khác ta có: y z
2
y z
2
2
2
P
2 y z
y z
2
1
2 y z y z
3
4
1
y z 27 y z 3
2
4
1
, t 0 max f t 16 Pmax 16
t 27t 3
1
x 3
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
y z 1
12
Câu 23: Gieo một con súc sắc c}n đối đồng chất hai lần. Giả sử m là tích số chấm mà con
Xét hàm số f t
súc
sắc
xuất
hiện
sau
hai
lần
gieo.
Tính
xác
suất
sao
cho
hàm
số
y m 3 x 41 2m x 2 đồng biến trên khoảng 0; .
2
A.
1
2
B.
2
3
C.
3
4
D.
17
36
Lời giải
Ta có a ; b |a , b ; 1 a , b 6 n 36 .
Gọi biến cố A: “ h|m số đã cho đồng biến trên khoảng 0; .
Ta xét c{c trường hợp sau:
+ Trường hợp 1: m 3 0 m 3 , ta được: y 35x 2 đồng biến trên
nên y cũng
đồng biến trên 0; .
+ Trường hợp 2: m 3 : Hàm số đồng biến trên 0;
a 0
a 0
m 3 0
41
b
3m
2
b 0
41 2 m 0
2 a 0
Từ hai trường hợp ta suy ra 3 m 20.
A 1; 1 , 1; 2 , 2; 1 , 4; 6 , 6; 4 , 5; 5 , 5; 6 , 6; 5 , 6; 6 n A 9 .
p A 1 p A 1
n A
n
3
.
4
1
Câu 24: Cho hàm số y f x ln 1 2 . Biết rằng :
x
f 2 f 3 ... f 2018 ln a ln b ln c ln d
trong đó a , c , d l| c{c số nguyên tố v| a b c d . Tính P a b c d
A. 1986
B. 1698
C. 1689
D. 1989
Lời giải
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 21
60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
x2 1
Ta có y ln 2 ln x 1 ln x 1 2 ln x
x
Khi đó:
f 2 ln 1 ln 3 2 ln 2
f 3 ln 2 ln 4 2 ln 3
f 4 ln 3 ln 5 2 ln 4
..........
f 2017 ln 2016 ln 2018 2 ln 2017
f 2018 ln 2017 ln 2019 2 ln 2018
f 2 f 3 f 4 ... f 2017 f 2018
ln 2 ln 2018 ln 2019 ln 3 ln 4 ln 673 ln 1019
Câu 25: Cho hàm số y f x x 3 2m 1 x 2 2 m x 2 . Tìm tất cả các giá trị của tham
số m để hàm số y f x có 5 điểm cực trị.
A.
5
m2
4
B. 2 m
5
4
C.
5
m2
4
D.
5
m2
4
Lời giải
Ta có: y 3x 2 2m 1 x 2 m
2
Hàm số y f x có 5 điểm cực trị khi chi khi hàm số f x có hai điểm cực trị dương.
2
4m 2 m 5 0
2 m 1 3 2 m 0
0
2 2m 1
0
1
5
m
S 0
m2
3
2
4
P 0
m
2
2
m
3 0
Câu 26: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn đẳng thức:
3x 3 f x
f ' x xf ' x x
2
A. f 2
2
f ' x x , x 1; 2 và f 1
7 7 1
3
B. f 2
7 7 1
3
7
. Tính f 2 .
3
C. f 2
2 7 1
3
D. f 2
2 7 1
3
Lời giải
Biến đổi giả thiết ta có:
3x 3 f x
f ' x x 3x 3 f x f ' x x f ' x xf ' x x 2
f ' x xf ' x x
f ' x
3
3
3x 3 f x f ' x x 3 x 3 3 f x 1 f ' x
x
3 3f x 1
2
22 | Chinh phục olympic toán
2
2
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
f ' x
2
1
3
2
2
1
3
1
3
dx xdx 3 f x 1 3 d 3 f x 1
2
31
2
3 f x 1
1
2
2
2
2
1 3
3
. 3 f x 1 3 3 f 2 1 3 3 f 1 1 3 3
3 2
2
1
2
3 f 2 1 3 7 f 2
7 7 1
3
Câu 27: Cho hàm số đa thức bậc ba y f x có đồ thị đi qua c{c điểm sau
A 2; 4 , B 3; 9 , C 4; 16 . C{c đường thẳng AB, AC , BC lại cắt đồ thị tại lần lượt tại các
điểm D , E , F ( D khác A và B , E khác A và C , F khác B và C ). Biết rằng tổng các
ho|nh độ của D , E , F bằng 24 . Tính f 0 .
A. f 0 2
B. f 0 0
C. f 0
24
5
D. f 0 2
Lời giải
Giả sử f x a x 2 x 3 x 4 x
2
a 0 .
Ta có AB qua A 2; 4 và nhận AB 1; 5 là một VTCP
AB : 5 x 2 y 4 0 y 5x 6 .
Tương tự AC : y 6 x 8 và BC : y 7 x 12 .
Ho|nh độ của điểm D là nghiệm của phương trình
a x 2 x 3 x 4 x 2 5x 6 a x 2 x 3 x 4 x 2 x 3
1
a x 4 1 x 4 .
a
1
1
Tương tự, ho|nh độ của điểm E và F lần lượt là x 3 và x 2 .
a
a
1
1
1
1
Bài ra ta có 2 3 4 24 a .
5
a
a
a
Do đó f 0 a. 2 . 3 . 4 0 2
24
.
5
Câu 28: Cho hàm số g x f sin 2 x f cos 2 x trong đó f thỏa mãn điều kiện :
f cot x sin 2 x cos 2 x , x 0; .
Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của g x bằng:
A.
1
.
25
B.
1
.
5
1
C. .
5
Lời giải
D.
1
.
25
Đặt t cot x
sin 2 x
2 tan x
2 cot x
2t
t2 1
;
cos
2
x
1 tan 2 x 1 cot 2 x 1 t 2
1 t2
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 23
60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
2t
t 2 1 t 2 2t 1
x2 2x 1
hay f x
f t
1 t2 1 t2
t2 1
x2 1
g x
sin
4
x 2 sin 2 x 1 cos 4 x 2 cos 2 x 1
1 sin x 1 cos x
4
4
Đặt u sin 2 x.cos2 x 0 u
sin 4 x.cos 4 x 8 sin 2 x.cos 2 x 2
sin 4 x.cos 4 x 2 sin 2 x.cos 2 x 2
1
, khi đó phương trình trở thành:
4
h u
u2 8u 2
1
, u 0;
2
u 2u 2
4
1 1
Dễ d|ng tìm được max h u h
và min h u h 0 1
1
1
4 25
u0;
u0;
4
4
Câu 29: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 1; 4 thỏa mãn f 1 1, f 4 8 v| đồng
thời f ' x
2
x 3 f x 9 x 3 x 3x , x 1; 4 . Tích phân
B.
A. 7
89
6
C.
4
f x dx bằng
1
79
6
D. 8
Lời giải
Giả thiết đã cho tương đương f ' x
2
f x
x
3
9
1 3
x
x
Lấy tích phân 2 vế trên đoạn 1; 4 ta được:
4
4
f ' x dx
1
2
1
f x
4
1 3
dx 9
dx 21 2 ln 2
1
x
x
x
3
Sử dụng tích phân từng phần ta được:
4
f x
4
2
dx f x d
a , a sẽ được x{c định sau
1
x
x3
1
4
4
4 1
2
2
a
a
f ' x dx
f x 1 a
f ' x dx 7 a 6 2 1
x
x
x 2
1
Từ đ}y ta có đẳng thức:
f ' x
1
1
2
4 1
a
dx 7 a 6 2
f ' x dx 21 2 ln 2
1
x 2
2
1 a
3a2
f ' x
dx 2 ln 2 9 a
6 21 2 ln 2
1
4
x 2
4
3a2
Ta dễ tìm được a 3 để 2 ln 2 9 a
6 21 2 ln 2 , khi đó
4
1
f ' x
3, x 1; 4 f x 2 x 3x
x
4
4
79
Vậy f x dx 2 x 3x dx
1
1
6
24 | Chinh phục olympic toán
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 30: Cho phương trình log 2 2 x 2 2 x 2 2 y y 2 x 2 x . Hỏi có bao nhiêu cặp số
2
nguyên dương x ; y , với 0 x 500 thỏa mãn phương trình đã cho?
A. 4.
B. 2.
C. 3.
D. 1.
Lời giải
Biến đổi giả thiết ta được:
log 2 2 x 2 2 x 2 2 y y 2 x 2 x log 2 x 2 x 1 x 2 x 1 2 y y 2
2
2
log 2 x 2 x 1
2
log 2 x 2 x 1 2 y y 2 log 2 x 2 x 1 y 2
2
Do 0 x 500 y 2 log 2 x 2 x 1 0; 18 0 y 5 . Vậy ta có 4 giá trị nguyên của y
thỏa mãn yêu cầu đề b|i đồng nghĩa có 4 cặp số x , y thỏa mãn phương trình đã cho.
Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD là hình bình hành. Gọi A l| điểm trên SA
1
sao cho AA AS . Mặt phẳng qua A cắt các cạnh SB, SC , SD lần lượt tại B, C , D.
2
SB SD SC
Tính giá trị của biểu thức T
.
SB SD SC
3
1
1
A. T
B. T
D. T
C. T 2
3
2
2
Lời giải
Gọi O là giao của AC và BD . Ta có O l| trung điểm của đoạn thẳng AC , BD .
C{c đoạn thẳng SO , AC , BD đồng quy tại I .
Ta có SSA ' I SSC I SSAC
SSAI SSC I SSAC
S
S
S
SAI SC I SAC
SSAC SSAC SSAC
2SSAO 2SSCO SSAC
SA SI SC SI SA SC
SA SC
SO
SI SA SC SA SC
.
.
.
.
2.
.
2SA SO 2SC SO SA SC
SA SC
SI
2SO SA SC SA SC
Tương tự:
SB SD
SO
SB SD SC
SA 3
. Suy ra:
2.
.
SB SD
SI
SB SD SC SA 2
4
Câu 32: Gọi q là công bội của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng 16 , đồng
9
thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư v| thứ tám của một cấp số cộng . Hỏi
q thuộc khoảng n|o sau đ}y?
A. q 3; 4
B. q 1; 2
C. q 2; 3
D. q 0; 1
Lời giải
Gọi : u1 , u2 , u3 là 3 số hạng đầu tiên của cấp số nhân , với công bội q . Gọi vn là cấp số
cộng tương ứng với công sai là d . Theo giả thiết ta có :
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 25
