Bao cao Bài tập lớn Robotic

MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 3
CHƯƠNG 1: KHẢO SÁT BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC ..................................... 4
1.1. Xây dựng mô hình khảo sát bài toán động học .................................... 4
1.1.1. Mô hình khảo sát........................................................................................... 4
1.1.2. Xác định hệ trục tọa độ ................................................................................. 5
1.1.3. Xác định bộ thông số Denavit-Hartenbeg .................................................... 5
1.2. Bài toán động học thuận......................................................................... 6
1.2.1. Tìm vị trí điểm thao tác biểu diễn theo các tọa độ khớp, hướng của khâu
thao tác ........................................................................................................ 6
1.2.2.Vận tốc điểm tác động cuối E và vận tốc góc các khâu................................ 8
1.2.3. Tính gia tốc điểm tác động cuối. Tính gia tốc khâu thao tác .................... 10
1.3. Bài toán động học ngược ...................................................................... 11
1.3.1 Tính các tọa độ khớp .................................................................................... 12
1.3.2. Vận tốc dài của các khâu tương ứng với các khớp tịnh tiến và vận tốc góc
ứng với các khớp quay .............................................................................. 14
1.3.3. Gia tốc dài của các khâu tương ứng với các khớp tịnh tiến và gia tốc góc
ứng với các khớp quay .............................................................................. 15
CHƯƠNG 2: TĨNH HỌC ROBOT ................................................................ 17
2.1. Mô hình khảo sát bài toán tĩnh học ..................................................... 17
2.2. Tính toán bài toán tĩnh học .................................................................. 18
CHƯƠNG 3: THIẾT KẾ QUỸ ĐẠO CHUYỂN ĐỘNG ............................. 22
3.1. Thiết kế quỹ đạo trong không gian khớp ........................................... 22
3.2. Thiết kế trong không gian thao tác ..................................................... 24
CHƯƠNG 4: ĐỘNG LỰC HỌC ROBOT .................................................... 28
4.1 Các tham số động lực học ..................................................................... 28
4.2. Ma trận Jacobi tịnh tiến của các khâu ............................................... 28
4.3. Tính ma trận jacobi quay của các khâu ............................................. 30
4.4. Tính tensor quán tính của các khâu.................................................... 31
4.5. Tính ma trận khối lượng ...................................................................... 32
4.6. Tính toán thế năng, lực thế .................................................................. 33

CHƯƠNG 5: ĐIỀU KHIỂN ........................................................................... 34
1


5.1 Điều khiển phản hồi và điều khiển vòng kín ....................................... 34
KẾT LUẬN ....................................................................................................... 41

2


LỜI MỞ ĐẦU
Với sự phát triển mạnh của nền công nghiệp Robot thì môn học Robotícs
trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ sở về tính toán và thiết kế Robot. Đây
là những kiến thức cơ sở hết sức quan trọng. Trong bài tập lớn này đề cập tới
các bài toán động học, tĩnh học, động lực học, thiết kế quỹ đạo chuyển động và
điều khiển phục vụ cho quá trình thiết kế cũng như thực tiễn có thể gặp phải
trong công việc.
Bài báo cáo chọn mô hình robot 3 bậc tự do làm mô hình nghiên cứu
chính. Để thực hiện bài tập lớn này, em xin cám ơn thầy giáo PGS.TS Phan Bùi
Khôi đã hướng dẫn và giúp đỡ trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, Ngày ,Tháng , Năm
Sinh viên thực hiện

3


CHƯƠNG 1: KHẢO SÁT BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC
Trong chương 1 giải quyết các vấn đề sau:
1. Tính số bậc tự do của robot.
2. Vẽ các hệ trục tọa độ gắn liền với khâu theo quy tắc DH.

3. Lập bảng DH. Tính các ma trận DH.
4. Tìm vị trí điểm thao tác biểu diễn theo tọa độ khớp. Xác định hướng của
khâu thao tác.
5. Tính vận tốc điểm tác động cuối E. Tính vận tốc góc các khâu.
6. Tính gia tốc điểm tác động cuối E. Tính gia tốc góc khâu thao tác.
7. Cho vị trí, vận tốc, gia tốc điểm tác động cuối, hướng, vận tốc góc, gia tốc
góc khâu thao tác
8. Tính các tọa độ khớp
9. Tính vận tốc, gia tốc dài của các khâu tương ứng với các khớp tịnh tiến
10.Tính vận tốc góc, gia tốc góc của các khâu ứng với các khớp quay
1.1. Xây dựng mô hình khảo sát bài toán động học
1.1.1. Mô hình khảo sát

Số bậc tự do: DoF=6.(3-3)+3.1=3
4


Robot có 2 khớp quay và 1 khớp tịnh tiến
1.1.2. Xác định hệ trục tọa độ

1.1.3. Xác định bộ thông số Denavit-Hartenbeg
Từ mô hình và hệ trục tọa độ trên ta có bảng thông số D-H như sau
Joint

i

di

ai

i

1

1

d1

a1

0

2

0

d2

0

0

3

3

a3

0

0

Trong đó:
- Các thông số được biển diễn như trên hình vẽ
- Các biến khớp tương ứng là là

1 , d2 ,3

5


Dựa vào bảng thông số động học trên, xây dựng được các ma trận biến đổi tọa
độ thuần nhất như sau

cos(1 )  sin(1 )
 sin( ) cos( )
1
1
0
A1  
 0
0

0
 0

1
0
1
A2  

0

0

0 a1 cos(1 ) 
0 a1 sin(1 ) 

1
d1

0
1


0
0 
0 1 d2 

0 0 1

0 0
1 0

cos(3 )  sin(3 )
 sin( ) cos( )
3
3
2
A3  
 0

0

0
 0

0 a3 cos(3 ) 
0 a1 sin(3 ) 

1
0

0
1


1.2. Bài toán động học thuận
1.2.1. Tìm vị trí điểm thao tác biểu diễn theo các tọa độ khớp, hướng của
khâu thao tác
Ta có các ma trận biến đổi thuần nhất biểu diễn vị trí và hướng của hệ tọa độ
khâu thứ i đối với hệ tọa độ cơ sở O0 x0 y0 z0 là:

cos(1 )  sin(1 )
 sin( ) cos( )
1
1
0
A1  
 0
0


0
 0

0 a1 cos(1 ) 
0 a1 sin(1 ) 

1
d1

0
1


6


cos(1 )  sin(1 )
 sin( ) cos( )
1
1
0
0
1
A2  A1. A2  
 0
0

0
 0

0 a1 cos(1 ) 
0 a1 sin(1 ) 
1 d1  d 2 

0
1


cos(1  3 )  sin(1  3 )
 sin(   ) cos(   )
1
3
1
3
0
0
1
A3  A1. A2 

0
0

0
0


0 a1 cos(1 )  a 3 cos(1  3 ) 
0 a1 sin(1 )  a 3 sin(1  3 ) 

1

d1  d 2

0
1


Từ ma trận trên ta xác địnhđược
Ma trận biểu diễn vị trí điểm thao tác theo các tọa độ khớp

 xE   a1 cos(1 )  a 3 cos(1  3 ) 
0
rE   yE    a1 sin(1 )  a 3 sin(1  3 ) 
 zE  

d1  d 2
Hướng của tọa độ khâu thao tác so với hệ tọa độ cơ sở được các định từ
các góc Roll-Pitch-Yaw, với kí hiệu  Roll ,  Pitch,   Yaw và các
phép quay tương ứng như sau:

Mô tả các phép quay RPY

7


RRPY

cos .cos  sin .cos  cos .sin .sin sin .sin  cos  .sin .cos 
  sin .cos cos .cos  sin .sin .sin  cos .sin  sin .sin .cos 
  sin 


cos.sin
cos.cos

Để tính được các góc  , , thì sẽ so sánh với ma trận quay của khâu
cuối:

cos(1  3 )  sin(1  3 ) 0 
0
R3   sin(1  3 ) cos(1  3 ) 0 

0
0
1 
Giải các hệ phương trình tìm được các góc như sau:



 0

 0


sin(1  3 )
  arctan(
)
cos(



)


1
3
1.2.2.Vận tốc điểm tác động cuối E và vận tốc góc các khâu
 Xác định vận tốc điểm tác động cuối E
Vận tốc điểm tác động cuối E có được từ việc đạo hàm theo t ma trận
định vị củađiểm tác động cuối E, nhận được ma trận biểu diễn vận tốc
tuyệt đối trong hệ cơ sở:







 a3 1  3 .sin 1  3   a1.1.sin 1  


0
0

VE  rE  a3 1  3 cos 1  3   a1.1.cos 1  




d2


 Xác định vận tốc góc các khâu.

Các ma trận quay biểu diễn hướng của hệ tọa độ khâu i so với hệ tọa độ
cơ sở O0 x0 y0 z0
8


cos 1   sin 1  0 


0
R1   sin 1  cos 1  0  ;
 0
0
1 
cos 1   sin 1  0 


0
R2   sin 1  cos 1  0  ;
 0
0
1 
cos 1  3   sin 1  3  0 


0
R3   sin 1  3  cos 1  3  0 

0
0
1 

Đạo hàm của các ma trận quay

 1.sin 1  1.cos 1  0 


0
R1   1.cos 1  1.sin 1  0 

0
0
0 

 1.sin 1  1.cos 1  0 


0
R2   1.cos 1  1.sin 1  0 

0
0
0 










      .cos    
      .sin    

  1  3 1.sin 1  3

0
R3   1  3 .cos 1  3


0




1

3

1

3

1

3

1

3

0

Chuyển vị của các ma trận quay

 cos 1  sin 1  0 


0 T
R1    sin 1  cos 1  0 

0
0
1 

9

0

0

0



 cos 1  sin 1  0 


0
R2T    sin 1  cos 1  0 


0
0
1 
 cos 1  3  sin 1  3  0 


0
R3T    sin 1  3  cos 1  3  0 

0
0
1 
Các ma trận sóng tương ứng

0

1  0 R1. 0 RT 1  1
0


1 0

0 0
0 0 

0

 1
0



1 0 

0 0
0 0 

~

~

 2  0 R2 . 0 RT 2

~

 3  0 R3 . 0 RT 3

 0

 1  3
 0


1  3
0
0

0

0

0 

 Vận tốc của các khâu trong hệ cố định là

0
0
 0 
1   0  ; 2   0  ; 3   0 
1 
1 
1  3 
1.2.3. Tính gia tốc điểm tác động cuối. Tính gia tốc khâu thao tác
 Xác định gia tốc điểm tác động cuối
Gia tốc điểm tác động cuối E có được từ việc đạo hàm theo t ma trận
biểu diễn vận tốc của điểm tác động cuối E trong hệ cơ sở, nhận được ma
trận biểu diễn gia tốc của điểm tác động cuối E trong hệ cơ sở:
10


2
 

 





2
 a3  1  3  sin  1  3   a3  1  3  cos  1  3   a1 1 sin 1  a1 1 cos 1 

 





 

2
 

 





0
aE  0 vE   a3  1  3  cos  1  3   a3  1  3  sin  1  3   a1 1 cos 1  a1 12 sin 1 
 





 



d2






 Xác định gia tốc góc khâu thao tác
Gia tốc góc khâu thao tác có được từ việc đạo hàm theo t ma trận biểu
diễn vận tốc góc của khâu thao tác trong hệ tọa độ cơ sở, nhận được ma
trận biểu diễn gia tốc góc khâu thao tác trong hệ tọa độ cơ sở:



0


 E  E  3   0 


   
 1 3
1.3. Bài toán động học ngược
Đã biết


 p   xE , yE , zE T

T
 p   xE , y E , z E 

T



p  x , y ,z
  E E E 
Cần tìm

11



 q   q1 , q2 , q3 T

T
q

q
,
q
,
q



1
2
3

T



q  q , q , q
 1 2 3 

1.3.1 Tính các tọa độ khớp
Ta có:

 xE   a1 cos(1 )  a 3 cos(1  3 ) 
0
rE   yE    a1 sin(1 )  a 3 sin(1  3 ) 
 zE  

d1  d 2
Rút ra các hệ phương trình sau:

a1 cos(1 )  a 3 cos(1  3 )  x E (1)

 a1 sin(1 )  a 3 sin(1  3 )  y E (2)

d1  d 2  z E (3)

Trong đó
- q1  1; q2  d2 ; q3  3 là các biến khớp cần giải
- a1; a3 ; d1; x E ; yE ; zE là các số liệu cho trước
Bình phương 2 vế của phương trình (1) và (2) sau đó cộng 2 phương
trình này lại ta được phương trình sau

a12  a32  2a1a3 cos 1 cos 1  3   sin 1 sin 1  3   xE 2  yE 2
 a12  a32  2a1a3 cos 3  xE 2  yE 2

xE 2  yE 2  a12  a32

 cos 3 
2a1a3
12


Ta có

sin 3   1  cos 32

 x 2  yE 2  a12  a32  
  1  E

2
a
a

1 3


 q3  arctan 

2
2
2
2
xE  yE  a1  a3


2a1a3






Biến đối phương trình (1) (2) đưa về dạng sau


a1 cos 1  a3  cos 1 cos 3  sin 1 sin 3   xE


 a1 sin 1  a3  sin 1 cos 3  cos 1 sin 3   yE
xE (a1  a3 cos 3 )  yE a3 sin 3

cos


1

a12  a32  2a1a3 cos 3


 sin   yE (a1  a 3cos 3 )  xE a3 sin 3
1

a12  a32  2a1a3 cos 3


 yE  a1  a3 cos 3   xE a3 sin 3 
 q1  arctan 


x
a

a
cos


y
a
sin



3
E 3
3 
 E 1 3
Từ phương trình (3)  q2  zE  d1

Như vậy ta đã hoàn thành xác định được các tọa độ khớp như sau

13






 yE  a1  a3 cos 3   xE a3 sin 3 


q

arctan


1

xE  a1  a3 cos 3   yE a3 sin 3 


q2  z E  d1



 xE 2  yE 2  a12  a32  

  1 


2a1a3



 q3  arctan 

2
2
2
2


xE  yE  a1  a3



2
a
a


1 3




1.3.2. Vận tốc dài của các khâu tương ứng với các khớp tịnh tiến và
vận tốc góc ứng với các khớp quay
Ta có các phương trình động học sau

 f1  a1 cos 1  a3 cos 1  3   xE  0

 f 2  a1 cos 1  a3 cos 1  3   yE  0

f3  d1  d 2  z E  0

1
Áp dụng công thức q  J q J P p để tính vận tốc các biến khớp

 f1

 p1

 f
Jq   2
 p1
 f3

 p1

f1
p2
f 2
p2
f 3
p2

f1 

p3 
f 2 

p3 
f 3 

p3 

 a1 sin 1  a3 sin 1  3  0 a3 sin 1  3  


   a1 cos 1  a3 cos 1  3  0 a3 cos 1  3  



0
1
0

14


 f1

 p1
 f
Jp   2
 p1
 f3

 p1

f1
p2
f 2
p2
f3
p2

f1 

p3 
 1 0 0 
f 2  


   0 1 0 
p3 
 0 0 1
f3 

p3 

sin 1  3  yE  cos 1  3  xE




a
sin

 q1 
1
3




1


 q   q2   J q J p p 
zE


 q3 


sin

a
y

sin



a
y

cos



a
x

cos

a
x





1 1 E

1
3
3 E
1
3
3 E
1 1 E


a1a3 sin 3


1.3.3. Gia tốc dài của các khâu tương ứng với các khớp tịnh tiến và gia
tốc góc ứng với các khớp quay
Ta có:

J pq  J p p
 Jqq  Jq q  J p p  J p p

 q  J q 1   J q q  J p p  J p



p


Trong đó













 a11 cos 1  a3 1  3 cos 1  3  0 a3 1  3 cos 1  3  


J q   a11 sin 1  a3 1  3 sin 1  3  0 a3 1  3 sin 1  3  




0
0
0



15


0 0 0
J p  0 0 0 
0 0 0 

 cos 1  3 


a1 sin 3

J P 1  
0

 a1 cos 3  a3 cos 1  3 

a1a3 sin 3


 sin 1  3 
a1 sin 3
0
a1 sin 3  a3 sin 1  3 
a1a3 sin 3

16


0

1


0


CHƯƠNG 2: TĨNH HỌC ROBOT
2.1. Mô hình khảo sát bài toán tĩnh học

Cho trước các thông số:
➢ Coi các thanh là thanh đồng chất, tiết diện ngang không đáng kể, khối lượng
các khâu là m1, m2, m3.
➢ Khâu 2 có chiều dài L2
Cho lực tác dụng từ robot lên môi trường F, M:
0

F  0

0

M  0 M y

0

Fy

0

T

Fz   0 F4,3  0
T

0

Fy

0  0 M 4,3  0 M y

17

0

Fz 

0 

T

T


2.2. Tính toán bài toán tĩnh học
 Biễu diễn các lực Pi:
0

g1   0 0  g  , 0 g 2   0 0  g  , 0 g3   0 0  g 

0

P1  m1. 0 g1   0 0 m1 g 

0

P2  m2 . 0 g 2   0 0 m2 g 

0

P3  m3 . 0 g3   0 0 m3 g 

T

T

T

T
T

T

i i

i

i

 Biễu diễn các vector r i 1 ; rci trong hệ tọa độ các khâu

 a

r   a1 0 d1  , 1r1c1   1 0 0 
 2

d 2 


2 2
r 1   0 0 d 2  , 2 r 2 c 2  0 0
2 

 a

3 3
r 2   a3 0 0 , 3 r 3c 3   3 0 0 
 2


1 1
0

 Tính lực và momen của khâu 2 tác dụng lên khâu 3
Hệ phương trình cân bằng dạng ma trận khảo sát trong hệ tọa độ cơ sở:
0

F3,2  0 F4,3  0 P3

~
~
0
0
0 3
0
0 3
0


 M 3,2  M 4,3  r 2 . F3,2  r c 3 . P3

Trong đó:

0 3

r

2

 0 R3 3 r 32

 a3 cos(1  3 ) 
  a3 sin(1  3 ) 


0

18


0
0
a3 sin(1  3 ) 

r 2  
0
0
a3 cos(1  3 ) 
 a3 sin(1  3 ) a3 cos(1  3 )


0

0 ~3

0 3

r

c3

 0 R3 3 r 3c 3

 a3 cos(1  3 ) 


2


a3 sin(1  3 ) 




2


0







0


0 ~3
 r 2 
0


 a3 sin(1  3 )

2

0
0
a3 cos(1  3 )
2

a3 sin(1  3 ) 

2

a3 cos(1  3 ) 

2



0



0
 0   0  








0
0
0
F3,2   Fy    0   
Fy



  0 Fz   m3 g    0 Fz  m3 g 

1



0
sin(




)
a
(
m
g

F
)

sin(1  3 )a3 m3 g
1
3
3
3
z



2



1
0
0
0


 M  M  cos(   )a (m g  F )  cos(   )a m g 
1
3
3
3
z
1
3
3 3

 3,2  y
2


0

cos(



)
a
F
1
3
3
y







 Tính lực và momen của khâu 1 tác dụng lên khâu 2
Hệ phương trình cân bằng dạng ma trận khảo sát trong hệ tọa độ cơ sở
0

F2,1  0 F3,2  0 P2

~
~
0
0
0 2 0
0 2
0

 M 2,1  M 3,2  r 1 . F2,1  r c 2 . P2

Trong đó:
19


 0 
 0
0 ~2
0 2
r 1  0 R2 2 r 21   0   r 1   d 2
 d 2 
 0

0 2

r

c2

 0 R2 2 r 2 c 2

d2
0
0




 0
 0 

0 ~2


L
  0   r c2   2
 2
  L2 
 0




 2 


0
0 
0 
L2
2
0
0


0

0

0 



0




0
0
F2,1  
Fy



0

  Fz  m3 g  m2 g 

1



0
sin(



)
a
(
m
g

F
)

sin(1  3 )a3 m3 g  d 2 0 Fy 
1
3
3
3
z



2



1
0
0
0

 M  M  cos(   )a (m g  F )  cos(   )a m g 
y
1
3
3
3
z
1
3
3 3

 2,1 
2



cos(1  3 )a3 0 Fy







 Tính lực và momen của khâu 0 tác dụng lên khâu 1
Hệ phương trình cân bằng dạng ma trận khảo sát trong hệ tọa độ cơ sở
0

F1,0  0 F2,1  0 P1

~
~
0
0
0 1 0
0 1
 M1,0  M 2,1  r 0 . F1,0  r c1 . 0 P1

Trong đó:

 a1 cos 1 
0 1
r 0  0 R1 1r10   a1 sin 1 
 d1 

20


d1
 0
 r 0   d1

0
 a1 sin 1 a1 cos 1
0 ~1

a1 sin 1 
a1 cos 1 

0

 a1 cos 1 


2


a1 sin 1 
0 1
0
1 1

r c1  R1 r c1 


2


0






 0

0 ~1
 r c1   0

 a sin 
1
 1
 2

0
0
a1 cos 1
2

a1 sin 1 

2

a1 cos 1 

2


0




0





0
0
F1,0  
Fy



  0 Fz  m3 g  m2 g  m1 g 

1
1



0
0
0
0

 s (13 )a3 (m3 g  Fz )  2 s (13 )a3m3 g  d 2 Fy  d1 Fy  a1s1 (m1 g  m2 g  m3 g  Fz )  2 a1s1m1g 



1

1
0
0
0

 0M  
M y  c(13 )a3 (m3 g  Fz )  c(13 )a3m3 g  a1c1 (m1 g  m2 g  m3 g  Fz )  a1c1m1g

 1,0 
2
2


0
0

c(13 )a3 Fy  a1c1 Fy







21


CHƯƠNG 3: THIẾT KẾ QUỸ ĐẠO CHUYỂN ĐỘNG
3.1. Thiết kế quỹ đạo trong không gian khớp
Cho 2 điểm A, B bất kì trong không gian làm việc, biết tọa độ điểm thao tác

( xE , yE , zE ) và hướng của khâu thao tác. Thiết kế quỹ đạo chuyển động bất kì từ
A đến B, chỉ quan tâm đến các điều kiện về vị trí,vận tốc gia tốc tại điểm đầu và
điểm cuối.
Chọn quỹ đạo thiết kế là đa thức bậc 3 theo thời gian có dạng:
qi (t )  ai  bit  cit 2  dit 3 với i = 1,2,3. Ứng với 3 biến khớp là 1 , d 2 ,3
Ta được hệ phương trình quỹ đạo chuyển động :

 q1 (t )  a1  b1t  c1t 2  d1t 3

2
3
q2 (t )  a2  b2t  c2t  d 2t
 q (t )  a  b t  c t 2  d t 3
3
3
3
3
 3
Yêu cầu thời gian robot đi từ A đến B trong t(s) và vận tốc tại 2 điểm A, B bằng
0.
Từ đó ta có:

qi (0)  qi ( A)  ai


2
3
 qi (t )  qi ( B)  ai  b i t  ci t  di t

qi  0   qi ( B)  bi  0


2
 qi (t )  qi ( B)  ai  b i t  2ci t  3di t  0

ai  qi ( A)


bi  0


3 qi ( B)  qi ( A) 
  ci 
t2


2  qi ( B)  qi ( A) 
di  
t3


Cho các thông số của robot: a1  0.2, a3  0.2, d1  0.2
22


Giả sử Robot cần dịch chuyển từ điểm A(-0.2932, 0.2250, 0.3) tới điểm B(0.3, 0.1732, 0.35) trong thời gian t=5(s). Giải động học ngược ta được

5
2 

q

(
B
)

q
(
A
)

1
1


3
3


 q2 ( A)  0.1 và q2 ( B )  0.15




 q3 ( B ) 
 q3 ( A) 
3
4


Từđó ta tính được các hệ số của phương trình quỹ đạo cho khâu 1:

 a1  2.0944
 b 0

1

 c1  0.377
d1  0.0503

=> q1 (t )  2.0944  0t  0.377t 2  0.0503t 3

Tương tự ta tính được
 q1 (t )  2.0944  0t  0.377t 2  0.0503t 3

1 3

2
t
 q2 (t )  0.1  0t  0.006t 
1250

q3 (t )  0.7854  0t  0.0314t 2  0.0042t 3

Sử dụng matlab để vẽ đồ thị:
Đồ thị khớp 1

23


Đồ thị khớp 2

Đồ thị khớp 3

3.2. Thiết kế trong không gian thao tác
Thiết kế quỹ đạo cho điểm tác động cuối đi từ điểm A tới điểm B nhận AB làm
đường kính. Dùng phương trình đường tròn trong không gian là mặt phẳng giữa
2 điểm A( x0 , y0 ,0), B( xe , ye ,0) lấy AB làm đường kính.
2
2
2
Phương trình đường tròn ( x  xi )  ( y  yi )  R

24


Với

x0  xe

x

i

2

y  ye

yi  0

2


1

2
2
 R  2 ( xe  x 0 )  ( ye  y0 )

Phương trình viết dưới dạng tham số như sau:

 x  xi  R cos  (t )

 y  yi  R sin  (t )

z0

Để thỏa mãn điều kiện về vận tốc thì tính toán hàm  (t ) là hàm bậc 3 theo thời
gian:

 (t )  a0  a1t  a2t 2  a3t 3
 s (0)  A( x0 , y0 , 0)
 v(0)  v  0

0

Thỏa mãn các điều kiện: s (t )  B( x , y , 0)
e
e
 e
 v(te )  ve  0
Từ điều kiện trên tìm được các hệ số a0 , a1 , a2 , a3 như sau:
x0  xi


a0  arc cos( R )

a1  0


3k
x x 
x x 

k  arccos  0 i   arccos  e i 
a2  2
và

te
 R 
 R 

2k

a3  3

te


25