CHUYÊN ĐỀ VỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ( CÓ ĐÁP ÁN )

Lê Trung – Uyên Vi

Toán học là đam mê

TÀI LIỆU VỀ: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT, RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
PHẦN I. LÝ THUYẾT
1. Kiến thức 6, 7, 8 quan trọng cần nhớ
a. Tính chất về phân số ( phân thức):

A.M A

( M  0, B  0)
B.M B

b. Những hằng đẳng thức đáng nhớ







(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
A2 - B2 = (A - B)(A + B)
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3



A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)



A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)

 Chú ý: A  B  ( A  B )( A  B )
2. Các kiến thức về căn bậc hai


Nếu a ≥ 0, x ≥ 0,



Để

a = x  x2 = a

A có nghĩa  A  0



A2  A



AB  A. B ( với A  0; B  0)

Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

Page 1


Lê Trung – Uyên Vi


A

B



A2 B  A B ( với B  0)

Toán học là đam mê

A
( với A  0; B  0)
B



A B  A2 B ( với A  0; B  0)



A B   A2 B ( với A  0; B  0)



A

B



A
A B
( với B  0)

B
B



C
C ( A B)
( với A  0; A  B 2 )

A  B2
AB



C
C( A
B)
( với A  0; B  0 và A  B)

A B

A B

AB
( với AB  0; B  0)
B

3. CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN
CĨ LIÊN QUAN
Xét biểu thức A với biến số x
Dạng 1. Rút gọn biểu thức
- Ngoài việc rèn kỹ năng thực hiện các phép tính trong bài toán rút gọn. Học sinh hay
quên hoặc thiếu điều kiện xác định của biến x ( ĐKXĐ gồm điều kiện để các căn thức
bậc hai có nghĩa, các mẫu thức khác 0 và biểu thức chia (nếu có) khác 0)

Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

Page 2


Lê Trung – Uyên Vi

Toán học là đam mê

Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức A khi x = m ( với m là số hoặc biểu thức chứa x)
- Nếu m là biểu thức chứa căn ( bằng số), trước tiên phải rút gọn; nếu m là biểu thức có
dạng căn trong căn thường đưa về hằng đẳng thức để rút gọn; nếu m là biểu thức ta
phải đi giải phương trình tìm x.
- Trước khi tính giá trị của biểu thức A, học sinh thường quên xét xem m có thỏa mãn
ĐKXĐ hay khơng rồi mới được thay vào biểu thức dã rút gọn để tính.
Dạng 3. Tìm giá trị của biến x để A  k ( với k là hằng số hoặc là biểu thức chứa x)

- Thực chất đây là việc giải phương trình.
- Học sinh thường quên khi tìm được giá trị của x khơng xét xem giá trị x dó có thảo
mãn ĐKXĐ của A hay khơng.
Dạng 4. Tìm giá trị của biến x để A  k ( hoặc A  k , A  k , A  k ,<) trong đó k là
hằng số hoặc là biểu thức chứa x.
- Thực chất đây là việc giải bất phương trình.
- Học sinh thường mắc sai lầm khi giải bất phương trình thường dùng tích chéo hoặc sử
dụng một số phép biến đổi sai.
Dạng 5. So sánh biểu thức A với một số hoặc một biểu thức.
- Thực chất đây là việc đi xét hiệu của biểu thức A với một số hoặc một biểu thức rồi so
sánh hiệu đó với số 0.
Dạng 6. Chứng minh biểu thức A  k ( hoặc A  k , A  k , A  k ) với k là một số.
- Thực chất đây là việc đưa về chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức.

Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

Page 3


Lê Trung – Uyên Vi

Toán học là đam mê

Dạng 7. Tìm giá trị của biến x là số nguyên, số tự nhiên để biểu thức A có giá trị
nguyên
- Cách làm: chia tử thức cho mẫu thức, rồi tìm giá trị của biến x để mẫu thức là ước của
phần dư (một số)
- Học sinh thường quên kết hợp với điều kiên xác định của biểu thức.
Dạng 8. Tìm giá trị của biến x là số thực, số bất kì để biểu thức A có giá trị nguyên
- Học sinh thường nhầm lẫn cách làm của dạng này với dạng tìm giá trị của biến x là số

nguyên, số tự nhiên để biểu thức A có giá trị nguyên.
- Cách làm: sử dụng ĐKXĐ để xét xem biểu thức A nằm trong khoảng giá trị nào, rồi
tính giá trị của biểu thức A và từ đó tìm giá trị của biến x.
Dạng 9. Tìm giá trị của biến x để phương trình hoặc bất phương trình có nghiệm.
- Thực chất đây là việc giải phương trình hoặc giải bất phương trình.
Dạng 10. Tìm giá trị của biến x để A  A (hoặc A  A ; A  A ;...)
- Nếu A  A  A < 0
- Nếu A  A  A > 0
Dạng 11. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.
- Học sinh cần biết cách tìm cực trị của phân thức ở một số dạng tổng quát.
- Học sinh cần đưa biểu thức rút gọn A về một trong những dạng sau để tìm cực trị:
+ Tử thức và mẫu thức là một số hoặc là một biểu thức có dấu xác định trong tập
ĐKXĐ
+ Biến đổi biểu thức A thành một hằng đẳng thức có chứa biến x.

Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

Page 4


Lê Trung – Uyên Vi

Toán học là đam mê

+ Biến đổi biểu thức A thành một tổng của hai (hoặc nhiều) số dương rồi áp dụng bất
đẳng thức Cô – si hoặc một vài bất đẳng thức phụ.
- Học sinh thường mắc sai lầm khi chỉ chứng minh biểu thức A  k ( hoặc A  k ) chưa
chỉ ra dấu bằng nhưng đã kết luận cực trị của biểu thức A.
PHẦN II. VÍ DỤ MINH HỌA
Bài 1. Cho các biểu thức : A 

x
2
và B 

x 1 x  x

1
( với x > 0; x  1)
x 1

1. Tính giá trị của biểu thức B khi x  9
2. Đặt C  A : B , rút gọn biểu thức C
3. Tìm giá trị của x để C  3
4. So sánh C với

1
4

5. Chứng minh C  2
6. Tìm x ngun để biểu thức C có giá trị nguyên
7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C
8. Tìm các giá trị của m để nghiệm x thoản mãn bất phương trình :  x .C  x  m  3
Hướng dẫn giải
1. Với x  9 (thỏa mãn ĐKXĐ) thay vào biểu thức B, ta được : B 

Vậy khi x  9 thì giá trị của biểu thức B 

1
1


9 1 8

1
8

2. Đặt C  A : B , rút gọn biểu thức C

Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

Page 5


Lê Trung – Uyên Vi

Toán học là đam mê

C (

x
2
1

):
x 1 x  x
x 1

C (

x

2
1

):
x 1
x ( x  1)
x 1

C

( x )2  2
x 1
.
1
x ( x  1)

C

( x  2)( x  1)
x ( x  1)

C

x2
x

3. ĐKXĐ: x > 0; x  1
Để C  3



x2
3
x



x2 3 x

0
x
x

 x3 x  2  0

(*)

Giải phương trình (*) ta suy ra được : x  1 ( loại) và x  4 ( thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy để C  3 thì x  4
2

1  127

2x   

1 x  2 1 4x  x  8 
4
16
4. Xét hiệu C  
 


4
x 4
4 x
4 x
2

1

Vì  2 x    0 với mọi x nên
4

Vì x  0 nên

2

1  127

0
 2x   
4
16


x  0 suy ra 4 x  0

Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

Page 6

Lê Trung – Uyên Vi

Toán học là đam mê

2

1  127

 2x   
1
4
16
Suy ra 
 0 . Do đó C 
4
4 x

5. Xét hiệu C  2 

Vì







2


x  0 , suy ra





2

x 1  1

x2
x2
2
x
x

x  1  0 với mọi x nên

Vì x  0 nên

x 2 


x

2

x 1  1  0



2

x 1 1
x

 0 . Do đó C  2

6. ĐKXĐ: x > 0; x  1
Ta có : C 

x2
2
 x
x
x

Để giá trị của biểu thức C nguyên thì

x

2
nguyên
x

Suy ra

2
 Z  x là ước của 2

x

Từ đó

x nhận các giá trị 1 ; 2 nên x nhận các giá trị x  1 (loại) và x  4 ( TMĐK)

Khi đó với x  4 thì C có giá trị là 3
Vậy với x  4 thì biểu thức C có giá trị nguyên
7. Ta có : C 

x2
2
 x
x
x

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si với hai số dương

x

Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

x và

2
, ta được :
x

2
2 2

x

Page 7


Lê Trung – Uyên Vi

Toán học là đam mê
 Amin  2 2

Dấu “ = ” xảy ra  x 

2
 x  2 ( thỏa mãn ĐKXĐ)
x

Vậy giá trị nhỏ nhất Amin  2 2  x  2
8. Ta có :  x .C  x  m  3
Suy ra :  x  x  1  m  0
 x  x 1 m  0
1
5
 x x  m  0
4
4
2

1
5


  x   m  0
2
4

2

1 5

 x    m
2 4

2

Vì x  0 nên

1 1

x  0 , suy ra  x   
2
4

2

1 5
1 
1 5
Suy ra   x     m    m  m  1
4 
2 4
4 4

Vậy với m  1 thì x thoản mãn bất phương trình :  x .C  x  m  3
Bài 2. Cho các biểu thức :
 x 3 x   9 x
4 x 8
x 3
x 2
M  
 1 : 


 và N 
x 3
x 3
 x 9
  x x 6 2 x

(với x  0; x  4; x  9)
1. Rút gọn biểu thức M

Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

Page 8


Lê Trung – Un Vi

Tốn học là đam mê

2. Tìm x để M  M
3. Đặt Q  M .N , tìm các giá trị của x để biểu thức Q có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải
1. Rút gọn biểu thức M
 x 3 x   9 x
x 3
x 2
M  
 1 : 



x  3 
 x 9
  x x 6 2 x
M

M
M

3





x 3



9 x
:

 x  3
3  x  2  x  3
.
x 3
  x  2
x 3



 
 x  2 x  3
x 3



x 3 

x 2



2

2

3
x 2

2. ĐKXĐ : x  0; x  4; x  9

Để M  M  M  0



3
0
x 2

 x 20
 x 2
x4
Kết hợp với ĐKXĐ: x  0 , suy ra 0  x  4
Vậy với 0  x  4 thì M  M
3. ĐKXĐ : x  0; x  4; x  9

Q  M .N 

3
4 x 8
.

x 2
x 3

12
x 3

Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

Page 9

Lê Trung – Uyên Vi
Vì x  0  x  0 

Tốn học là đam mê
12
0
x 3

Vì x  0  x  0  x  3  3 

1
1
 
x 3 3

12
4
x 3

Do đó: 0  Q  4
Mà Q  Z , suy ra Q 1; 2; 3; 4
TH1: Q  1 

12
 1  x  3  12  x  9  x  81 ( thỏa mãn ĐKXĐ)
x 3

TH2: Q  2 

12
 2  x  3  6  x  3  x  9 ( loại)
x 3

TH3: Q  3 

12
 3  x  3  4  x  1  x  1 ( thỏa mãn ĐKXĐ)
x 3

TH4: Q  4 

12
 4  x  3  3  x  0  x  0 ( thỏa mãn ĐKXĐ)
x 3

Vậy để biểu thức Q có giá trị ngun thì x 0; 1; 81
Bài 3. Cho biểu thức A 

x 1
x 1 3 x 1
với x  0, x  1


x 1
x 1
x 1

1) Rút gọn biểu thức A .

2) Tính giá trị của A khi x  9 .
3) Tìm giá trị của x để A 

1
.
2

4) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
5) Tìm m để phương trình mA  x  2 có hai nghiệm phân biệt.
6) Tính các giá trị của x để A  1.
7) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Hướng dẫn giải

Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

Page 10


Lê Trung – Uyên Vi
1) A 


A
A

A

Toán học là đam mê

x 1

x 1 3 x 1


 x  0; x  1
x 1
x 1
x 1

  x 1  3
 x 1 x  1
2

2

x 1 

x 1

x  2 x  1  x  2 x  1  3 x 1





x 1



x 1

2x  3 x 1

 x  1 x  1
 2 x  1 x  1
A
 x  1 x  1
A

2 x 1
x 1

2) Thay x  9 (TMĐK) vào A ta được: A 
Vậy với x  9 thì A 

2 9 1 5

9 1 4

5
4

3) ĐKXĐ: x  0, x  1

A

1
2 x 1 1


2

x 1 2

 4 x  2  x 1

3 x 3
 x 1

 x  1 (Khơng thỏa mãn)
Vậy khơng có giá trị của x để A 

1
2

4) ĐKXĐ: x  0, x  1

Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

Page 11


Lê Trung – Uyên Vi

Ta có: A 

2 x 1 2

x 1

Toán học là đam mê





x 1  3
x 1

Để A nhận giá trị nguyên thì

 2

3
x 1

3
nhận giá trị nguyên  3
x 1

x  1  x  1U 3

U3  3; 1;3;1
Ta có bảng sau:

3

x 1

1

x

4
2
x


ĐK
Vậy x  0; 4 thì A nhận giá trị nguyên

3

1
0

2

0
TM

4
TM

5) ĐKXĐ: x  0, x  1
Để m. A  x  2

 m.

2 x 1
 x 2
x 1

 2m x  m  x  x  2

 x   2m  1 x  m  2  0 (1)
Đặt t  x  t  0; t  1 ta có phương trình:

1  t 2   2m  1

x  m  2  0 *

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm
phân biệt khác 1 và t2  t1  0

  0
P  0


S  0
a  b  c  0

Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

Page 12


Lê Trung – Uyên Vi
4m2  9  0 m

m  2

1

m 
2

m  2
Vậy với m  2 thì pt (1) có 2 nghiệm phân biệt
    2m  1  2  4.  m  2   0



 m  2  0
 2m  1  0
1  (2m  1)  m  2  0


Toán học là đam mê

m2

6) ĐKXĐ: x  0, x  1
Để A  1 





2 x 1
1
x 1

2 x 1  x 1

0
x 1
x 2
0
x 1

Ta có :

x  0 x ĐKXĐ

 x  1  1 x  ĐKXĐ



x 2
0
x 1

 x 20
 x 2
 x4
Kết hợp với điều kiện ta có 0  x  4; x  1
Vậy với 0  x  4; x  1 thì A  1
7) ĐKXĐ: x  0, x  1

A  2

3
 x  0; x  1
x 1

Ta có: x  0  x  1  1
3
3

 3 2
 2  3  A  1
x 1
x 1
Dấu “ = “ xảy ra  x  0  x  0 (TMĐK)
Vậy GTNN của A là 1 khi x  0

Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

Page 13


Lê Trung – Uyên Vi

Toán học là đam mê


x
1 
x 1
Bài 4. Cho biểu thức B  
với x  0, x  1

:


 x x 1
x  1  x  x  1


1) Rút gọn B
2) Tính giá trị của B khi x  3  2 2  3  2 2.
3) Tìm x để B  x
4) Với x >1, hãy so sánh B với B
Hướng dẫn giải


1) B  






B




. x  x 1
x 1
x 1 x  x  1 


B




1 
x 1

:
x 1  x  x  1
x 1 x  x  1




x



x  x  x 1





x 1
x 1

2) x  3  2 2  3  2 2 





2

2 1 





2 1

2

 2 1 2 1  2

Thay x = 2 (TMĐK) vào B ta được
2 1
B

2 1





2 1

2

1

 3 2 2 .

Vậy khi x  3  2 2  3  2 2 thì B  3  2 2
3) ĐKXĐ: x  0, x  1

B x


x 1
 x
x 1

 x 1  x  x
 x  2 x 1  0








2

x 1  2  0

x 1  2





x 1  2  0

Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

Page 14


Lê Trung – Uyên Vi

Toán học là đam mê

 x  1 2  L

 x  1  2



 x  1 2



2

 x  3 2 2
4) Xét hiệu B  B  B





B 1

CÁCH 1
+) Ta có : x  1  B  0  B có nghĩa
+) Xét 1  B  1 

x 1
x 1



2
x 1

0

 B 1
 B 1

+) Ta có : B  B  B ( B  1)  0

B B
CÁCH 2
+) Ta có: x  1 x  1  x  1  0
Mà x  1  0 
+) Lại có: B 

x 1
 0  B  0  B  0 1
x 1

2 x 9
x  3 2 x 1


x 5 x 6
x  2 3 x

x 1
x 1 x 1
1 

x 1
x 1
2
Mà x  1  0 
0
x 1
 B 1  0
B 1 







B 1

2
x 1



B 1  0

Mà B  0

 B 1  0
 B 1  0  2
Từ (1) và (2)  B





B 1  0

 B B 0
B B

Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

Page 15

Lê Trung – Uyên Vi

Toán học là đam mê

2 x 9
x  3 2 x 1
với x  0, x  4, x  9


x 5 x 6
x  2 3 x

Bài 5. Cho biểu thức C 

1) Rút gọn biểu thức C
2) Tính giá trị của x để C đạt giá trị lớn nhất
1
3) So sánh
với 1
C
Hướng dẫn giải
1) C 

C
C

C

2



2 x 9

x  3 2 x 1

x 2
x 3



 x  3
x  9   x  3 x  3   2 x  1
 x  2 x  3
x 2

x 2



2 x  9  x  9  2x  3 x  2





C

x 2



x x 2
x 2



x 3

x 3





x 1
x 3

2) ĐKXĐ: x  0, x  4, x  9
1
Để Cmax  min
C
Ta có:
Ta có:

1

C

x 3

x 1



x 1 4
x 1

 1

4
x 1

x  0 x  ĐKXĐ

 x 1  1
1
1
x 1
4

 4
x 1
4
 1
 3
x 1



Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

Page 16


Lê Trung – Uyên Vi

Toán học là đam mê

1
 3
C
1
C 
x  ĐKXĐ
3
Dấu “ = ” xảy ra  x  0  x  0 (TMĐK)
1
Vậy GTLN của C là khi x = 0
3


3) Xét hiệu
Ta có:

1
1 
C

x 3
1 

x 1

4
x 1

x  0 x  ĐKXĐ

 x 1  1  0


4
0
x 1

1
1  0
C
1
  1 x  ĐKXĐ
C



Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

Page 17


Lê Trung – Uyên Vi

Toán học là đam mê

PHẦN III. BÀI TẬP VẬN DỤNG
A. Đề bài
Bài 1 . Cho biểu thức A 

 x 1
x4
x 2
3
và B  
Với x  0, x  1, x  4 .

 :
x 1
x 1  x 1
 x 2

1) Tìm giá trị của x để A  4.
2) Rút gọn biểu thức B
3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 2. Cho hai biểu thức A 

18
.
A.B

 1

x  

x
2 x 1
và P  

 1  x  0; x  1
 : 
x  x 1
 x 1 1  x   x 1 

1) Tính giá trị của biểu thức A với x  16
2) Rút gọn biểu thức P .
3 ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M 

A
.
P

Bài 3. Cho hai biểu thức

A

4
2 x  x  13
x


 x  0; x  9  và B 
x 9
x 3
x 3

x 5
 x  0; x  9 
x 3

1) Tính giá trị của biểu thức B với x  11  6 2
2) Rút gọn biểu thức P 

3) Tìm x để P 

A
.
B

1
.
9

Bài 4. Cho biểu thức A 
1) Tính A khi x 

x
và B 
x 2

x
5
x 4



 x  0; x  1
x 1
x 2 x x 2

1
.
4

Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

Page 18


Lê Trung – Uyên Vi

Toán học là đam mê

2) Rút gọn B.
3) Biết P 

A
. Hãy Chứng tỏ P  P với  x  1 .
B

Bài 5. Cho hai biểu thức

A

x 2
4 x  13

x 2
6 x 8
và B 


 x  0; x  1; x  4
x 1
x 2 x 3 x  2
x 1

1) Tính giá trị của biểu thức B với x  36
2) Rút gọn biểu thức A.
3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  A.B
Bài 6. Cho biểu thức A 

 15  x
3  x 3
2 x
và B  

, x  0, x  25.
:
x  5  x  5
3 x
 x  25

1) Khi x  9 3 5  2. 3 5  2, Tính giá trị của A.
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm x để P  A  B nhận giá trị nguyên.
Bài 7 . Cho hai biểu thức A 

1) Rút gọn B và tính P 

x 2
x
1
1
; B


( x  0; x  2)
x4
x
x 2
x 2

A
B

2) Tìm x để B = |B|
3) Tìm x thỏa mãn: xP  10 x  29  x  25
Bài 8. Cho biểu thức: A 


x
2 x 3x  9   x  2 
25 x


 1

và B  
 . 
x

9
3
x

3
x

3
x 1




(với x  0, x  9 )

Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

Page 19


Lê Trung – Un Vi

Tốn học là đam mê

1) Tính giá trị của A khi x  19  8 3  19  8 3
2) Rút gọn B

3) Gọi M  A.B . So sánh M và
Bài 9. Cho biểu thức P 

M

2x  2 x x 1 x2  x
với x  0, x  1 .


x
x x x x x

1) Rút gọn biểu thức P .
2) Tìm giá trị của biểu thức P khi x  3  2 2 .
3) Chứng minh rằng với mọi giá trị của x đề biểu thức P có nghĩa thì biểu thức

7
chỉ
P

nhận một giá trị nguyên.

 x3 x 2
1  1
Bài 10. Cho hai biểu thức U  
với x  0 và x  4 .


x  2 
x

 x x 8
1) Rút gọn biểu thức U .
2) Tìm giá trị của U tại x  14  6 5 .
3) Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức K  8U có giá trị là số nguyên
Bài 11 . Cho hai biểu thức A 

x
và B 
4 x 3

x
x  10
9
với x  0, x  4, x  .

x4
16
x 2

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  25.
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm giá trị của x để B  2 A.

 
x
2
6
1 



Bài 12. : Cho biểu thức P  
 : 1 

x  2 x  x  2   1 x 
 x 1
với x  0 , x  1 , x  4 .
1) Rút gọn P .

2) Tính P biết x  3  2 2 .

Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

1
3) Tìm x để P   .
2

Page 20


Lê Trung – Uyên Vi
Bài 13. Cho biểu thức A 

Toán học là đam mê

x
x3
2
1
với x  0, x  9 .
,B 



x 9
1 3 x
x  3 3 x

1) Tính giá trị biểu thức A khi x 

4
.
9

2) Rút gọn B .
B
3) Cho P  , tìm x để P  3 .
A
Bài 14 . Cho biểu thức :

A

1
1
x3 x 2
x x

và B 
( với x  0; x  1 )

x 1
( x  2)( x  1)

x 1
x 1

1) Rút gọn và tính giá trị biểu thức A khi x  4  2 3
2) Rút gọn biểu thức B
3) Đặt M = B : A , tìm x để

Bài 15. Cho biểu thức: P 

1
x 1

1
M
8

x x 1

x x
1) Tính giá trị của Q khi x  25 .
2) Rút gọn biểu thức A  P.Q .



x x 1
x x



4

x

và Q 

x 1
x 1

với x  0; x  1

3) Tìm các giá trị của x để A. x  8 .


x 2
x 2

Bài 16. Cho biểu thức A  
 ; B 
 x  2 x  1 x 1 

x 1
với x  0, x  1
x

1) Tính giá trị của B khi x  36
2
2) Chứng minh rằng A.B 
x 1
3) Tìm x để A.B  1  A.B  1
Bài 17. Cho hai biểu thức A 

x  12
1 
1
 3

:
và B  
với x  0, x  1

x 1  x 1
x 1
 x 1

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  9 .

Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

Page 21


Lê Trung – Uyên Vi

Toán học là đam mê

2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 

A
.
B

2x  3 x  2
Bài 18. Cho hai biểu thức A 
và B 
x 2

x3  x  2 x  2
với x  0 và x  4 .
x 2

1) Tính giá trị của A khi x  4  2 3 .
2) Tìm giá trị của x để B  A  1.
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C  B  A .
Bài 19. Cho biểu thức A 

x 1
x 1 3 x 1
với x  0; x  1


x 1
x 1
x 1

1) Rút gọn biểu thức A .
2) Tìm giá trị nguyên của x để A  1.
3) Tìm m để phương trình mA  x  2 có hai nghiệm phân biệt
Bài 20. Cho 2 biểu thức: A 

x 1

2
và B 

x 2 x4

x
với x  0 và x  4 .
x 2

1) Tính giá trị biểu thức B khi x  16 .
2) Rút gọn biểu thức M  A : B .
3) Tìm các giá trị thực của x để M  1.

Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

Page 22


Lê Trung – Uyên Vi

Toán học là đam mê
B. Đáp án

Bài 1 . Cho biểu thức A 

 x 1
x4
x 2
3
và B  

Với x  0, x  1, x  4 .

 :
x 1  x 1
x 1
 x 2

1) Tìm giá trị của x để A  4.
2) Rút gọn biểu thức B
3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

18
.
A.B

Lời giải.
1) Ta có A  4 suy ra

x4
 4  x4 4
x 1





x 1  x  4 x  0  x





x 4  0

 x 0
x  0


 x  16
 x  4  0
Kết hợp điều kiện xác định vậy x  0 hoặc x  16 .

 x 1
x 2
3
2) B  

 :
x 1  x 1
 x 2

B

B

B

B








x 1 .

 
 x  2.
x 1 

x 1  x  4



x 2 .

3



x 2 .


x  1

x 2 .



.

x 1
3



.

x 1
3

x 1

x 1

x 2

.

x 1
3

1
(đkxđ: x  0, x  4 ).
x 2

Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

Page 23


Lê Trung – Uyên Vi

Toán học là đam mê

3) Ta có

A.B 



x4
1
.

x 1 x  2



x 2
x 1



18 18 x  1
54
.


 18 
A.B
x 2
x 2

54
54

 27 .
x 2 2

Vì x  0  x  2  2 

Nên 18 

Hay

54
 18  27  9 .
x 2

18
 9 .
A.B

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 2. Cho hai biểu thức A 

18

là 9 , đạt được khi x  0. .
A.B

 1

x  
x
2 x 1

 1  x  0; x  1
và P  
 : 
x  x 1
 x 1 1  x   x 1 

1) Tính giá trị của biểu thức A với x  16
2) Rút gọn biểu thức P .
3 ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M 

A
.
P

Lời giải.
1) Thay x  16 vào A 

A

2 x 1
 x  0; x  9 

x  x 1

2 16  1
9 3


16  16  1 21 7

Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

Page 24


Lê Trung – Uyên Vi

Toán học là đam mê

 1

x  
x
2) P  

 1  x  0; x  1
 : 
 x 1 1  x   x 1 


P








x 1
x 1


x   x  x 1 
:

x  1  
x  1 


 2 x 1   1  2 x 1
P  
 : 

x

1
x

1
x 1






2 x 1
A
x 1
3) M   x  x  1 
P
2 x 1
x  x 1
x 1
M

x 1
x  x 1

1 0  x

Vậy max M  1dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x  0 .
Bài 3. Cho hai biểu thức

A

4
2 x  x  13
x


 x  0; x  9  và B 
x 9

x 3
x 3

x 5
 x  0; x  9 
x 3

1) Tính giá trị của biểu thức B với x  11  6 2
2) Rút gọn biểu thức P 

3) Tìm x để P 

A
.
B

1
.
9
Lời giải



1) Thay x  11  6 2  3  2



2

vào B 

Tài liệu tự học - luyện thi vào 10

x 5
 x  0; x  9 
x 3

Page 25