42 bài toán vận dụng cao tích phân và nguyên hàm có Đáp Án
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (189.76 KB, 20 trang )
Th.S: MAI THÀNH LONG
ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM
42 BÀI TẬP TÍCH PHÂN - LTĐH 2015
4
1
dx
2
�
1
2cos
x
1) I =
2) I =
4
2
4) I =
4
4
�
2
�
�
sin x cos x
cos3 2 x �
.sin 4 xdx
�
2
0
7) I =
2
1 sin x x
.e dx
�
1
cos
x
0
1
dx
10) I = �
�
�
0 cos x.cos x
�
�
� 4�
15) I =
3sin x 4cos x
dx
2
2
�
3sin
x
4cos
x
0
12) I =
� �
tan �x �
� 4�
dx
�
cos 2 x
0
�
sin x
3 cos x
e
�
x
1
14) I =
�
sin x cos x
3
dx
2
1
�
�
cos
x
x
dx
�
�
�
�2 3sin x 1
�
0
2
3
1
dx
16) I = �
�
�
sin
x
cos
x
�
�
6
� 6�
dx
ln 3 x
4 ln x 4 ln x
2
7sin x 5cos x
4
6
0
17) I =
2
2
sin x
x x sin x sin x
dx
2
�
1 sin x sin x
3
6
6
2
8) I =
1
sin x. sin 2 x dx
9) I = �
2
13) I =
6) I =
sin x. 1 cos 2 x
dx
2
�
cos x
3
2
3
2
11) I =
1
dx
2
2
�
sin
2
x
.cos
x
4
3
5) I =
x sin 2 x
dx
�
1
sin2x
0
3
1
dx
�
sin
x
.
1
cos
x
3) I =
2
2
dx
2
18) I =
x2
dx
2
2 x 4
�
x 1 x
0
Th.S: MAI THÀNH LONG
ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM
(x 2 5 x 6)e x
19) I= �
dx
x
x
2
2013.
e
0
2
20) I =
�sin x
sinx-sin x �
e
.sìn2x+
dx
�
�
�
cos
2
x
7
�
0�
1
e 2
ln x 1
23) I =
x
dx
�
x
ln
x
1
21) I =
3
1
25) I =
�
2
0
2
x
9 . 3 2
�
1 x
29) I =
1 x
�
8
24) I =
26) I =
2
dx
28) I =
.e
1
cot x
sin 2 x
32) I =
�
3 3 e
0
H D GIẢI:
x
e
34) I =
ln 3 1 ln 2 x
dx
�
x
1
1
2e x 7
2
dx
1
2
1
dx
2
1 �x x
�
1
x
e dx
�
�
38) I = �
x�
1�
40) I =
e
x 2 .e x
0
x
dx
2 cos 4 xdx
�
0
ex
1 x 2 1
0
3
�
x 2
2
�
x x 3 2014 x
dx
4
37) I = �
x
1
41) I =
2
36) I x.log 2 x 9 dx
.e dx
1 3
1
�x
dx 30) I = x tan 2 xdx
�
0
39) I =
10 x3 3 x 2 1 10 x
4
x
ln 6
dx
0
�1x
�
e
x
�
�
�
�
31) I = � 2 x � 2 2 tan x �dx
�
�
�cos x
�
3 x
�
�
4
3
x ln x
dx
33) I �2
2
1 x 1
2
2
4
�
x 1
�1 6 x 3x
0
4
35) I =
ln x
dx
�
x
1
3
0
sin 3 x
x2 1
x tan x e x dx
2
0
dx
cos x 2cot 2 x 3cot x 1
1
tan
�
1
1
1
2
22) I =
4
1
1 x
1
27) I =
x
2
� 2 x3 4 x �
dx
�x e
�
�
1 x �
0�
1
1
42)
�
ln 3x
�
�
1
3
x 2 2ln x �
dx
�
2 x 2 x 1 2ln x ln 2 x
�
1
4
x
2
x ln x
2
dx
Th.S: MAI THÀNH LONG
4
1) I =
1
dx =
2
�
1 2cos x
4
Đặt t = tanx => dt =
=> dt =
ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM
4
�
1
4
1
cos 2 x
4
1
1
1
dx � 2
. 2 dx
2
tan x 3 cos x
2 cos x
.
4
1
dx . Đổi cận... => I =
cos 2 x
3 (1+tan2 u)du. Đổi cận... => I =
2
1
1
dt . Đặt t = 3 tanu
2
�
t
1
1
3
9
2
x
sin
x =
2) I =
dx
�
1
sin2x
0
2
2
x
sin 2 x
dx
dx I1 I 2
�
�
1 s ìn2x
1 s ìn2x
0
0
2
2
x
x
12
x
I1 �
dx �
dx
dx
2
�
1
s
ìn2x
2
�
�
2
sin
x
cos
x
0
0
0 sin
�x �
� 4�
ux
�
� �
2
du
dx
�
cos �x �
4
�
1
1
�
�
� � 1
� 4�
dx ...
dv
dx � �
�
� �� I1 x cot �x � �
v cot �x �
2
4
� �
� 4 � 2 0 sin �x �
�
�
sin 2 �x �
4�
�
�
�
�
0
�
� 4�
� 4�
�
2
2
2
2
sin x
1
1 cos 2 x
1
1
1 cos 2 x sin 2 x
I2 �
dx �
dx �
dx �
dx
2
2
1
sìnx
2
4
2
�
�
2
0
0 sin x cos x
0 sin
0 sin x cos x
�x �
� 4�
2
2
2
1
1 1
� � 1 d sin x cos x
cot �x � �
dx ln sin x cos x
4
2 2
� 4 �0 2 0 sin x cos x
2
Vậy I = I1 I 2
4
2
0
1
2
2
3) I =
1
dx
�
sin x. 1 cos x
3
. Đặt t =
1 cos x => 2tdt = - sinxdx. Đổi cận...
Th.S: MAI THÀNH LONG
1
2tdt
I �2
2
t
2
t
.
t
3
2
1
t 2
ln
2 2 t 2
1
3
2
ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM
1
2dt
�
2
2
t
t
2
3
2
1
t
1
1
dt
2
�t 2 t 2 2 dt �
t
2
3
3
2
1
3
2
t 2 t 2 2
... 1
2
6 1
ln 2 3
3
2
1
dt
�t
2
3
2
3
1
dx
2
2
�
sin
2
x
.cos
x
4) I =
4
3
3
3
4
4
sin x cos x
1
1
dx
dx
� 2
dx � 2 . 2 � 2
4
4 cos x cos x sin 2 x
4sin x.cos x
2
2
4
3
3
4
3
1
1
1�
tan x �
3 2 3 1
2
1
tan
x
d
tan
x
cot
2
x
tan
x
�
�
4 �
2
4�
3 �
6
3
5) I =
4
4
3
4
sin x cos x
�
2
cos3 2 x �
.sin 4 xdx
�
�
�
2
0
4
=
1sin2x
2
�
0
4
4
.2sìn2xcos2xdx �
2sìn2xcos 4 2xdx I1 I 2
0
Tính: I1= 21sin2x.2sìn2xcos2xdx . Đặt t = 1 + sìn2x => dt = 2cos2xdx . Đổi cận ...
�
0
�
�du dt
� u t
�
I1 �
2 t 1 dt �
t.2 dt �
2 dt . Đặt: �
� � 2t
t
dv 2 dt �
v
1
1
1
�
� ln 2
�
2
2
2
t
1
6 �1
� t
t 2
t
t
I1
.2
2 dt �
2 dt
� 1�
2 dt
�
ln 2 1 ln 2 �
ln
2
ln
2
�
�
1
1
1
2
2
t
2
t
t
6 �1
4
2
�1 t 2
� 1�
.
.2
2
ln 2 �ln 2 �ln 2 1 ln 2 ln 2
4
4
0
0
Tính: I 2sìn2x.cos 4 2 xdx cos 4 2 xd cos 2 x 1 cos 5 2 x 4 1
2
0
�
�
5
5
Th.S: MAI THÀNH LONG
Vậy I I1 I 2
2 � 1 �1
2
�
�
ln 2 � ln 2 � 5
4
6) I =
ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM
sin x. 1 cos x
dx
2
�
cos
x
2
3
4
0
4
sin x sin x
sin x
sin 2 x
dx � 2 dx � 2 dx
= �
2
cos
x
cos x
cos x
0
3
2
3
4
0
0
1 �
�
� 1
�
�
1
dx �
dx x tan x tan x x 04
�
�
� 2 1�
2
cos 1 �
3
� cos x �
0�
3
7
3 1
12
7) I =
2
1 sin x x
.e dx
�
1 cos x
0
2
x
2
=
x
2
2
x
e dx
sin x.e dx 1
e
sin x x
I�
�
�
dx �
e dx
x
1
cos
x
1
cos
x
2
1
cos
x
2
0
0
0 cos
0
2
x
x
x
2
2
2sin
.cos
x
2
1
e
x
12 e
x
2
2
dx �
tan e x dx I1 I 2
I �
dx �
e dx = I �
x
2 0 cos 2 x
2
2 0 cos 2 x
0
0
2cos 2
2
2
2
x
� u e
�du e x dx
x
2
�
1 e dx
�
�
1
��
Tính: I1 = �
Đặt �
dv
dx
x
2 0 cos 2 x
v 2 tan
2 x
�
�
cos
�
2
2
�
2
�
�
1� x
x2
� I1 2.e tan
2 I 2 � e 2 I 2
�
2�
20
�
�
� I I1 I 2 e
2
2
3
8) I =
x x sin x sin x
dx
2
�
1
sin
x
sin
x
3
2
3
=
x
�
sin
3
2
x
dx
2
3
dx
=I
�
1
sin
x
1
3
+I2
Th.S: MAI THÀNH LONG
2
3
� ux
�du dx
�
Đặt �
hoctoancapba.com
dx � �
v
cot
x
dv
�
�
sin 2 x
�
x
Tính: I1 = � 2 dx
sin x
3
I1 = - xcot x
2
3
3
ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM
2
3
cot xdx
ln sin x
�
3
2
3
3
3
3
2
3
2
3
dx
1
� x
x� 2
�
sin
cos
�
3 �
3
2�
� 2
7
5
5
cot
cot
2cot
42 3
12
12
12
42 3
Vậy I =
3
dx
Tính: I2 = �
=
1 sin x
9) I =
2
2
2
6
6
2
3
2
3
dx
�x �
cot
� �
� 2 �x �
�2 4 �
sin
3
�
�
3
�2 4 �
1
3
2
sin
x
.
cos 2 xdx . Đặt t = cosx => dt = - sinxdx
sin
x
.
sin
x
dx
=
�
�
2
2
0
Đổi cận... => I = -
3
�2 t
3
2
4
2
dt
3
2
3
�2 t
2
dt
3
3
sin u � dt
cos udu
2
2
Đặt t =
0
4
3
3
3� 1
�4 3
2
I=
cos
udu
1
cos
2
u
du
u
sìn2u
�
� 2
�
2�
4
4
2
�
�0 16
0
0
6
1
dx
10) I = �
�
�
0 cos x.cos x
�
�
� 4�
1
1
1
Ta có: cosx. cos (x + ) = cosx (
cosx sinx) =
cos2x (1- tanx)
2
2
2
4
=> I =
6
6
3 3
d tan x
dx
2� 2
2�
2 ln tan x 1 06 2 ln
3
cos x 1 tan x
tan x 1
0
0
Th.S: MAI THÀNH LONG
11) I =
ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM
2
3sin x 4cos x
dx
2
2
�
3sin
x
4cos
x
0
2
=3
2
sin x
cos x
dx
4
dx
�
�
2
2
2
2
3
1
cos
x
4cos
x
3
sin
x
4
1
sin
x
0
0
2
=3
2
sin x
cos x
dx
4
dx = I1 +I2
2
2
�
�
3 cos x
4 sin x
0
0
Tính: I1 = 3
2
sin x
dx Đặt t = cosx => dt = - sinxdx, đổi cận....
2
�
3 cos x
0
1
I1 = 3
dt
3
Đặt t = 3 tanu => I1 = ... =
2
�
t 3
6
0
Tính: I2 = 4
2
2
2
d sin x
cos x
sin x 2 = ln3
=-4
dx
ln
�
�
4 sin 2 x
sin x 2 sin x 2
sin x 2 0
0
0
3 + ln3
6
Vậy I =
2
2
7sin x 5cos x
dx Đặt t = x + => dt = dx
12) I =
�
2 2 sin 3 �x �
4
sin x cos x
�
�
4
4
�
�
4
�
� �
2
2
2
2�
3
7�
sin t.
.cos t � 5 �
cos t.
sin t.
�
4
2
2
2
2
1
�
� �
�
Đổi cận... => I =
dt
3
�
sin t
2 2
7sin x 5cos x
dx =
3
�
1
2
3
4
2 sin t 6 2 cos t
1
dt
cot t
=
sin 3 t
2
2 2 �
1
2
13) I =
� �
tan �x �
� 4�
dx
�
cos
2
x
0
6
3
4
2
3
4
d sin t 1
3
3� 3
sin t
2 2sin 2 t
2
3
4
2
2
Th.S: MAI THÀNH LONG
ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM
� sin 2 x �
1
� � tan x 1
2
x �
;cos 2 x cos x. �
1
. 1 tan 2 x
Ta có: tan �
�
2
2
� 4 � 1 tan x
� cos x � 1 tan x
6
tan 2 x 1
�
tan x 1
=> I = -
2
2
dx Đặt t = tanx => dt = ( tan x + 1) dt, đổi cận...
0
1
3
dt
�
t 1
I=-
2
0
14) I =
1
3
1
1
1 3
t 1 0
2
3 1
2
1
�
�
cos
x
x
dx
�
�
�
2
3sin
x
1
�
�
0
2
2
cos x
I�
dx �
x.cos xdx I1 I 2
2
3sin
x
1
0
0
* Tính I1 = I
1
2
�
2
0
2
cos x
dx ; Đặt t 3sin x 1 => t = 3sinx + 1
3sin x 1
=> 2tdt = 3cosx dx
2
2
2
2
t
2
2
2
2
dt
1
dt
t
2ln
t
2
2 2ln 2 2 1 2ln 3
�
�
3 1 2t
3 1 2t
3
3
1
2 4 3
� I1 ln
3 3 4
� I1
* Tính I
2
2
x.cos xdx
�
� ux
�du dx
��
dv cos xdx �
v sin x
�
Đặt �
0
2
� I 2 x.sin x �
sin xdx cos x 02 1
2
2
0
2
0
2
� I 2 x.sin x �
sin xdx cos x 02 1
2
2
0
4 3 1
Vậy: I I1 I 2 ln
3 4 2 3
2
0
2
15) I =
�
0
sin x
sin x
3 cos x
3
dx
Th.S: MAI THÀNH LONG
ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM
2
1
sin x
dx
Do : sin x 3 cos x 2sin( x ) nên I = 8 � � �
Đặt t = x +
3
0 sin 3 x
3
�
�
� 3�
1
3
dt =dx, sinx = sin ( t ) = sin t
cos t . Đổi cận...
3
2
2
5
5 1
3
5
6
sin t
cos t
1
3
1 6 2
6
2
cot td cot t
I=
dt = cot t
�
3
�
16
16
8
sin t
3
3
3
5
3
1
3
3
2
cot t 6
=
6
4 3 32
4 3 12
3
1
�
� ��
cos
�x � �
�
1
2
� 6 � 6�
�
dx =
16) I = �
dx
�
� �
�
�
3
sin x cos �x �
sin x.cos �x �
6
6
� 6�
� 6�
� �
� �
� ��
�
x �
cos x sin �x �
sin x
sin �x ��
2 cos �
2�
2
cos x
� 6�
� 6 � dx 2 �
� 6 ��
dx
=
�
sin
x
� �
�
�
3 �
3
�
�
sin x.cos �x �
cos �x �
6
6 �
�
� 6�
� 6�
�
�
2
2
2
=
ln 4
2 �
2
� ��
ln
sin
x
ln
cos
x
.ln
2
=
�
�
��
3
3�
3
� 6 ��
6
* Cách khác: Do sinx.cos (x +
2
�3
� 1
1
) sin x � cos x sin x � sin 2 x
6
2
�2
� 2
2
1
1
2 d 3 cot x 1
2
. 2 dx
ln 3 cot x 1 2
Nên I = 2 �
�
3 cot x 1 sin x
3
3
3 cot x 1
6
6
6
2
ln 4
.ln 2
3
3
e
17) I =
�
x
1
ln 3 x
4 ln x 4 ln x
2
2
dx
Đặt t = lnx =>dt =
3 cot x 1
1
dx , đổi cận...
x
Th.S: MAI THÀNH LONG
1
ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM
1
t3
1
dt �
t 4 t 2 4 t 2 dt hoctoancap ba.com
I= �
20
4 t2 4 t2
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2 2
2
2 2
t 4 t dt �
t 4 t dt �
4t d 4t �
4 t d 4 t2
= �
20
20
40
40
1
1
3
3
1
1
1
2 2
2 2
4 t 4 t 5 5 3 3 16
6
6
6
0
0
*Cách khác:
Đặt t = 4 ln 2 x
4 ln 2 x � t 2 8 2 16 x � t 2 8 2 16 ln 4 x
� t 3 � ,đổi
ln 3 x
4
2
4
4
2
4
� t 64 16t 4 16 ln x � 4ln x 16t t �
dx �2t �
dt
x
� 4�
5 3
5 3
cận... => I =
3
� 1 2� � t �
2 t �
dt �
2t �
�
�
4
12 �4
�
�
�
4
1
5 5 3 3 16
6
2
x 11
dx
�
2
�
�
0 x 1 x 1 3
�
�
2
2
dx
x 1
�
dx I1 I 2
2
�
2
2
�
�
x
1
3
x
1
.
x
1
3
�
�
0
0
2
dx
Tính I1 = �
Đặt x+1 = 3 tant => dx = 3 (1+ tan2t)dt, đổi cận...
2
0 x 1 3
2
x2
dx =
18) I = �
2
x
1
x
2
x
4
0
3
3 1 tan 2 t
3
I1 �
dt
...
2
18
3 1 tan t
6
2
x 1
dx Đặt u = (x+1)2 + 3 =>du = 2(x +1)dx, đổi cận...
Tính: I2 = �
2
2
�
�
0 x 1
x 1 3�
�
12
12
1
du
1 �1
1�
1 u 3
I2 �
�
�
du ln
�
2 4 u u 3 6 4 �u 3 u �
6
u
Vậy I =
12
4
ln 3
.
6
3 3ln 3
18
1
(x+2)e x . x 3 e x
(x 2 5 x 6)e x
19) I= �
dx = �
dx . Đặt t = (x+2)ex +2013
x
x
x 2 2013.e
x 2 e 2013
0
0
1
=> (x+2)ex = t – 2013, dt = [ex+(x + 2)ex]dx = [(x + 3)ex]dx, đổi cận...
Th.S: MAI THÀNH LONG
ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM
3e 2013
t 2013
3e 2013
dt
t
2013ln t
�
2015
t
2015
I=
� 2 x3 4 x �
dx
�x e
�
�
1
x
0�
�
1
20) I =
1
1
=
3e 2013
2015
1
3e 2 2013ln
3e 2013
2015
4
x
x
.
e
dx
dx I1 I 2
�
�
1
x
0
0
2
x3
1
1 t
e 1
e dt
Tính I1 = x .e dx Đặt t = x3 => dt = 3x2dx => I1 = �
30
3
0
�
2
1
Tinh I2 =
4
�
1
x3
x
0
x
dx Đặt t =
4
x � t 4 x � dx 4t 3 dt
1
1
1
�t 3 � 1 dt
t 3
1 �
�2
� I 2 4 � 2 .t dt 4�
t 1 2
dt 4 � t � 4�
�
�
1
t
t
1
t 2 1
�
�3 �0
0
0�
0
8
4J
3
1
4
dt
2
1 tan 2 u
Với J �
Đặt
t
=
tanu
=>
dt
=
(1
+
tan
u)du
=>
4
2
J
du
u
2
�
0
t 1
0
1 tan u
4
0
8
� I2
3
e 9 3
Vậy I =
3
21) I =
I=
2
2
�sin x
sinx-sin 3 x �
e .sìn2x+
dx
�
�
�
cos
2
x
7
�
�
0
e
�
sin x
0
Tính: I1 =
2
sin x.cos 2 x
.sìn2xdx � 2
dx I1 I 2
2cos
x
8
0
2
e
�
sin x
0
Đặt
2
.sìn2xdx = 2 �
sin x.esin x d sin x
0
� u sin x
du cos dx
�
�
�
�
sin x
dv esin x d sin x
�v e
�
I1 2sin x. e
sin x 2
0
2
2
2�
e .cos xdx 2e 2 �
e .d sin x 2e 2 e
0
sin x
0
sin x
sin x 2
0
2
Th.S: MAI THÀNH LONG
Tính: I2 =
ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM
2
sin x.cos 2 x
dx Đặt t = cosx => dt = -sinxdx, đổi cận...
2
�
2cos x 8
0
1
1
1
t2
1 �
4 � 1 1 t 2
I2 = �
dt �
1 2
dt ln
�
�
2
2 0 t 4
2 0� t 4� 2 2 t2
5 ln 3
Vậy I =
2
22) I =
=
4
tan
�
2
0
4
1
0
1 ln 3
2 2
x tan x e x dx
4
4
1
.e x dx �
e x dx �
tan x.e x dx I1 I 2 I 3
2
�
cos x
0
0
0
� u ex
�du e x dx
�
1
��
Tính: I1 =
1
.e x dx Đặt �
2
�
dv
dx
�v tan x
cos x
�
0
cos 2 x
�
4
I1 = tan x.e
Tính: I2 =
4
x 4
0
4
4
�
tan x.e dx e I 3 � I1 I 3 e
x
4
0
e dx e
�
x
0
x 4
0
4
e 1
Vậy I = 1
23) I =
e
2
�
1
1
ln x 1
x
dx
x ln x
1
e
=
2 x ln x 1
dx
�
x
x
ln
x
1
Đặt t = lnx => x = et, dt =
1
1 t
� et 1 �
2et t 1
e 1
dt �
1 t
dt 1 �t dt 1 J
cận... => I � t
�
�
e 1
e t �
e t
0
0�
0
1 t
e 1
dt Đặt u = et t � du et 1 dt , đổi cận...
Tính: J = �
t
e t
0
J
e 1
du
�u
... ln e 1
1
Vậy I = 1 + ln(e + 1)
1
dx ,đổi
x
Th.S: MAI THÀNH LONG
ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM
dx
�
� u ln x
ln x
�
� du
dx Đặt �
x
24) I = �
dx � �
dv
x
1
3
�
�
v 2 x 1
x 1 �
�
8
8
x 1
I 2 x 1.ln x 2 �
dx 6ln 8 4ln 3 2 J
3
x
3
8
8
Tính: J =
x 1
dx Đặt t =
�
x
3
x 1 � t 2 x 1 , 2tdt dx , x = t2 – 1, đổi cận...
3
3
3
t
1 � �
t 1 �
� 1
J �
.2tdt �
2
dt �
2t ln
2
�
�
� 2 ln 3 ln 2
t
1
t
1
t
1
t
1
�
�
�
�2
2
2
Vậy I = 20ln2 - 6ln3 – 4
1
25) I =
�
2
0
1
2
x
x
2
9 . 3 21 x
dx
x
2
1
x
2
x
2
1
2
2 .2
2x
�I �
dx �
dx �
dx
x
x
x
x
2
2
9
3.2
2
x
0
3.2 2
0 2 9
2 9 3 2x 0
t 2 25
2t
x
2
x
x
Đặt t 3.2 2 � t 3.2 2 � 2 9
� 2 x dx
dt
3
3ln 2
2
2
t 5
2
t
2 1 t 5 t 5
1
I
.�2
dt
. .�
dt
ln
ln 2 1 t 25 t
ln 2 0 1 t 5 . t 5
5ln 2 t 5
2
1
1 � 3
2� 1
9
ln ln �
.ln
�
5ln 2 � 7
3 � 5ln 2 14
1
26) I =
�1 6 x 3x
2
dx cau ca
0
1
2
�
I �22 �
� 3 x 1 � dx Đặt 3 x 1 2sin t � 3dx 2cos tdt
0
Khi x = 0 � sin t
3
�t
2
3
Khi x = 1 => sin t = 0 => t = 0
0
0
0
3
3
2
4 1
� I �4 4sin t 2 �
cos t.
cos tdt
. �
1 cos 2t dt
2
3
3
2
3
Th.S: MAI THÀNH LONG
ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM
0
�
2 � 1
2 �
1 � 3 �
�
t
sin
2
t
�
�
�
�
�
�
3� 2
3 �3 2 � 2 �
�
�
3
2 1
Vậy I
3 3 2
1
1
1
1
x 1 x2 1
x 1
x2 1
dx
27) I = �
= �
dx � dx �
dx I1 I 2
2
2x
2x
2x
1 1 x 1 x
1
1
1
1
1
1 � 1� 1
1
dx
x
ln
x
1
Tính: I1 �
� �
1
2 1 � x � 2
1
1
x2 1
I2 �
dx; t x 2 1 � 2tdt 2 xdx; x �1 � t 2 � I 2 0
2x
1
Vậy I = 1
1
28) I =
10 x3 3 x 2 1 10 x
�x
0
2
1 x 2 1
1
1
x
1
dx 10 �
dx 3�2 dx 10 I1 3I 2
x 1
x2 1
0
0
1
x
I1 �
dx; t x 2 1... � I1 2 1
2
x 1
0
1
1
I 2 �2 dx; x tan t... � I 2
x 1
4
0
3
Vậy I 10 2 1
4
2
29) I =
cos x 2cot 2 x 3cot x 1
�
sin 3 x
4
2
cot x 2cot 2 x 3cot x 1
�
4
2
sin x
.e cot
2
.e
1
cot x
sin 2 x
x cot x 1
1
dx
dx
2
1
u 2u 2 3u 1 eu u 1du; t u 2 u 1
u cot x � du 2 dx... � I �
sin x
0
3
dt 2u 1 du � I �
t 1 et dt
1
Th.S: MAI THÀNH LONG
ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM
�u t 1
du dt
�
�
�
�
dv et dt �v et
�
3
I e t 1 1 �
et dt ... e e 2 1
3
t
1
30) I =
4
4
4
1
2
�
1�
dx �
x. 2 dx �
xdx J
�
cos
x
cos
x
32
�
�
0
0
0
� 1
x tan xdx = x � 2
�
4
2
0
4
� ux
�du dx
1
�
J �
x. 2 dx; �
��
1
v tan x
cos x �
dv
dx �
0
cos 2 x
�
4
4
d cos x
J x tan x �
tan xdx �
ln cos x
4
cos
x
4
0
0
1
2
Vậy I = ln 2
4 2
32
1
�
�x
e
x
�
�
�
�
31) I = � 2 x � 2 2 tan x �dx
�
�
�cos x
�
3 x
�
�
4
4
0
1
x
4
4
4
0
1
ln 2
4 2
e
x2
I �2 dx � 2 dx �
2 x tan xdx J M N
x
cos
x
3
3
3
4
1
x
e
1
1
J �2 dx; t � dt 2 � J
x
x dx
3 x
4
4
3
e dt e
�
t
4
3
e
1
1
� u x2
du 2 xdx
�
x
�
2
M � 2 dx; �
��
� M x tan x 3 �
2 x tan xdx
1
v
tan
x
cos
x
4
dv
dx �
3
3
�
cos 2 x
�
4
4
2
2
9
9
M
N �M N
16
16
4
1
2
9
Vậy I = e 3 e
16
2
Th.S: MAI THÀNH LONG
ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM
�
du 2 x.ln 2.dx
� u2
�
��
32) I = 2 x cos 4 xdx Đặt �
1
�
dv cos 4 xdx � v sin 4 x
�
0
�
4
2
x
2
2
2
1
1
ln 2 x
I .2 x.sin 4 x .ln 2 �
2 x sin 4 xdx
.�
2 sin 4 xdx
4
4
4
0
0
0
�
�
u 2 x , du 2 x ln 2dx
�
Đặt � dv sin 4 xdx
�
1
� v cos 4 x
�
4
�
�
2
ln 2 �1 x
ln
2
1
�
�
�
I
. � .ln 2.�
2 x.cos 4 xdx �
� .2 .cos 4 x �
4 �4
4 �4
�0
0
�
�
�
�2
�
2
1
.ln 2
�
�
2
2
�
�
�
�
ln 2 2
ln 2
ln 2
�
I
2 1�
.I � I �
1
�
�
�
16 �
16
� 16 �
� 16
� 2 �
.ln 2
�2 1�
�
�
I
16 ln 2 2
� u ln x
1
�
du
dx
3
�
�
x ln x
x
�
�
dx
x
�
33) I �2
2
�
dv
dx �
1
2
1 x 1
2
v
�
�
x
1
2
�
� 2 x 1
�
�
2
1
dx
ln 3 1 x 1 x
I
.ln
x
� 2
dx
1
2
2�
20
2
2 x 2 1
x
x
1
x
x
1
1
1
1
3
3
3
2
2
3
3
d x 2 1 9ln 3 1
3
3
ln 3 1
1
x
ln
3
ln
3
1
ln x 1 �2 dx
�2
ln x 2 1
1
20 2
2 1 x 1
20
2 4 1 x 1
20
4
9ln 3 ln 5 9ln 3 5ln 5
20
4
20
e
34) I =
ln 3 1 ln 2 x
dx
�
x
1
Đặt t = lnx => dt =
1
dx , đổi cận...
x
Th.S: MAI THÀNH LONG
ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM
2t
�
�
u ln t 2 1
du 2
dt
�
�
�� �
t 1
�
� dv dt
�
� vt
1
1
1
2 t2
1
2
2
I t.ln t 1 �
dt ln 2 J
2
0
3
3 0 t 1
3
3
1
1
I �
ln t 2 1 dt
30
1
1
t 2 1 1
dt
dt 1 �
Tính J = � 2
2
t 1
t 1
0
0
Đặt t = tanu => dt = ( 1 + tan2u)du, đổi cận...
4
tan 2 u 1
J 1 � 2
du 1
tan u 1
4
0
2 ln 2 2
6
1
2
x 1 x
.e dx
35) I = �
2
0 x 1
Vậy I
Do :
x2 1
x 1
2
e 1 2J
1
Tính J
1
1
�x
2 x.e x �
x.e x
x
1
�I �
e
dx �
e dx 2 �
dx
�
�
2
2
2
�
�
x 1
x 1 � 0
0�
0 x 1
1
2x
x.e
� u x.e x
�
du e x x 1 dx
�
�
dx � �
1
�
dv
v
2
� x 1
�
x 1
�
�
x
�
x 1
2
dx
0
1
1
x.e x
e
J
�
e x dx e 1
x 1 0 0
2
Vậy I = 1
4
�
36) I x.log 2 x 9 dx
0
2
2x
�
du
dx
2
2
�
�
x
9
ln
2
u
log
x
9
�
�
2
��
�
� x2 9 x2 9
� dv xdx
v
�
� 2 2
2
4
4
x2 9
1
25ln 5 9ln 3 8
I
.log 2 x 2 9
xdx ...
�
2
ln 2 0
ln 2
0
Th.S: MAI THÀNH LONG
ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM
* Cách khác: t = x2 + 9...
25
25
1
t
t
25ln 5 9ln 3 8
25
ln
tdt
.ln
t
dt
=> I =
9
2ln 2 �
2ln 2
2ln 2 �
ln 2
9
9
1 3
1
1
3
3
3
3
x x 3 2014 x
x x3
dx
dx
dx
2014
I1 I 2
3
37) I = �
= � x4
�
x4
1
1
1 x
1
1
2
xx
x
I1 � 4 dx � 3 dx
x
x
1
1
1 3
1 3
3
3
Đặt t
3
1
1
dx
3
1 � t 3 2 1 � 3 t 2 dt ,đổi
2
x
x
x
2
3
cận... => I1 6
1
1
3
3
dx
� 1 �
I 2 2014 �3 2014. �
2 � 8056 hoctoan capba.com
x
� 2 x �1
1
Vậy I = I 6 8056 8062
1
1
1
2
2
2
1
1
x
1 �x 1x
�
� 1 �x x
x
1 x �
e dx = �
e dx �
e dx J K
�
�x �
38) I = �
x
x
�
�
1�
1
1�
1
� � 1 �x x
�
du �
1 2 �
e dx
�
u e ��
�
� � x �
�
�
�dv dx
vx
�
1
x
x
J �
e dx
1
2
J x. e
1 1
x
x
1
2
1
1
x
x
1
5
2
1
x
e
� 1�
�
e dx e 2 K
�x �
x�
2
1�
x
2
5
2
Vậy I J K e 2 e
e2 2 e
2
ln 6
39) I =
�
3 3 e
0
e
x
x
2e 7
x
2
dx
Đặt t =
x
3 e x � t 2 3 e x , 2tdt e dx ,đổi cận....
3
3
2t 1 t 1 dt
2t
t
I �
dt
2
dt
2
�
�
2
2t 2 3t 1
2t 1 . t 1
2 3t 2 t 3 7
2
2
3
3
3
2ln t 1 2 ln 2t 1 2 ... ln
1
40) I =
�
ln 3 x
�
�
1
3
4
x 2 2ln x �
dx
�
80
63
Do: ln( x4 + x2 ) -2lnx = ln [ x2.( 3x2+1 )] – lnx2
Th.S: MAI THÀNH LONG
ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM
6 xdx
�
2
�
u
ln
3
x
1
du
�
�
ln 3 x 1 dx Đặt:
��
= ln( 3x2 + 1 ), nên I = �
3x 2 1
�
1
� dv dx
�
3
� vx
1
1
6x2
4ln 2 ln 3
2
I x.ln 3x 1 1 � 2 dx
J
3
x
1
3
1
3
1
2
3
1
1
1
3
3
3
6x2
2 �
1
4
1
�
J � 2 dx �
2
dx
2
x
2
dx
2K
1
�
�
2
�
3x 2 1 �
3
3
1 3x 1
1�
1
3x 1
1
Với K =
�
1
3
1
3x
2
1
dx
Đặt
3 x tan t � 3dx 1 tan 2 t dt
3
1 1 tan 2 t
4
�K
dt
�
J
2
�
1
tan
t
3
3
6 3
3 3
6
12ln 2 3ln 3 12 3
9
�
2 x
�
x. 2 x
u
x
.
e
1
du
dx
2 x
�
�
x
x .e
�
�
e
dx
dx � �
41) I = �
Đặt �
2
dv
2
0 x 2
�
� v 1
x 2
�
�
2 x
�
Vậy I
1
1
x 2 .e x
1
I
�
x.e x dx J
2 x 0 0
e
1
�
x
Với J x.e dx
� ux
�du dx
�
�
dv e x dx �
v e x
�
Đặt �
0
1
1
1
2
�
e x dx e x 1
0
0
e
e
0
3e
Vậy I =
e
J x. e
e
42)
2 x 2 x 1 2ln x ln 2 x
�
1
e
x
2
x ln x
2
(ln 2 x 2 x ln x x 2 ) x 2 x
�
1
x 1
x 2 ln x x
2
dx
e
e
1
x2 x
dx �2 dx �2
dx A B
2
x
1
1 x ln x x
Th.S: MAI THÀNH LONG
e
ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM
e
1
1
e 1
A �2 dx
x
x1
e
1
e
1
1
e
e
d ln x 1
1
e
x
B�
dx
2
2
�
ln x x
e 1
1 ln x x
1 ln x 1
1
2e 2 1
Vậy I = I
e e 1
