Giáo trình Toán cao cấp Đại học Ngoại Thương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG
TS PHÙNG DUY QUANG

TOÁN CAO CẤP
ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH
KINH TẾ

Nhà xuấ t bản Đa ̣i ho ̣c Sư pha ̣m Hà nô ̣i, 2016

1


LỜI NÓI ĐẦU
Cuố n sách “Toán cao cấp ứng dụng trong phân tích kinh tế ” được biên soạn tương
ứng chương trình Toán cao cấp trong chương trình đào tạo các ngành Kinh tế, Tài chính
Ngân hàng, Quản trị Kinh doanh, Kinh tế quốc tế, Thương mại quốc tế của trường Đại
học Ngoại thương Hà nội. Ngoài ra cuốn sách còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh
viên các trường đại học có học Toán cơ sở cũng như các học viên chuẩn bị các kiến thức
Toán cao cấp cho việc ôn thi đầu vào hệ Sau đại học các trường Đại học Kinh tế quốc
dân Hà nội, Đại học Ngoại thương Hà nội.
Với mục đích là rèn luyện tư duy suy luận bằng các tri thức của toán học cao cấp
trang bị trong lý thuyết, cũng như các kỹ năng giải toán bằng các công cụ của toán học
cao cấp khi tiếp cận các bài tập. Nhằm mục đích đổi mới việc giảng dạy và học tập toán
cao cấp của sinh viên Đại học Ngoại thương Hà nội theo phương thức đào tạo tín chỉ, bộ
sách này được biên soạn trên tinh thần hỗ trợ và giúp đỡ các bạn sinh viên học tập tốt
môn Toán cao cấp. Với mục đích đó ngoài các khái niệm toán học, chúng tôi cố gắng
trình bày các kết quả toán học, và ý nghĩa của các định lý để người đọc hiểu và vận dụng
kết quả đó vào trong giải bài tập toán cao cấp. Bên cạnh đó sách cũng mạnh dạn đưa vào
khối lượng tương đối lớn các ví dụ cùng với các phương pháp giải toán, kết với các ví dụ
áp dụng toán cơ sở trong các bài toán kinh tế để người đọc thấy được mạch ứng dụng của
toán học cao cấp trong lĩnh vực kinh tế.

Với mục đích trên, ngoài lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo; cuố n sách được kết
cấu như sau:
Chương 1. Ma trận và định thức
Chương 2. Không gian véc tơ
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng
Chương 4. Phép tính vi phân, tích phân hàm một biến số và ứng dụng
Chương 5. Phép tính vi phân hàm nhiều biến và ứng dụng

2


Cuố n sách lầ n đầ u tiên ra mắ t ba ̣n đo ̣c nên không thể tránh các sai sót. Mo ̣i góp ý xin
gửi về TS Phùng Duy Quang, Trưởng Khoa Cơ bản, Trường Đa ̣i ho ̣c Ngoa ̣i thương, điạ
chỉ email: quang hoă ̣c
Trân tro ̣ng giới thiê ̣u cùng ba ̣n đo ̣c.
Hà nội, ngày 04 tháng 12 năm 2015
Chủ biên

TS Phùng Duy Quang
Trưởng bô ̣ môn Toán, Trưởng Khoa Cơ bản
Trường Đa ̣i ho ̣c Ngoa ̣i thương

3


MỤC LỤC
Chương 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC .......................................................................................5
§1. Ma trận và các phép toán trên ma trận ................................................................................... 5
§2. Định thức của ma trận vuông .............................................................................................. 12
§3. Ma trận nghịch đảo ............................................................................................................. 23

§4. Hạng của ma trận ................................................................................................................ 29
CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN VÉCTƠ .........................................................................................34
§1. Khái niệm về không gian véc tơ ......................................................................................... 34
§2. Mối quan hệ tuyến tính giữa các vectơ ............................................................................... 37
§3. Hạng của hệ vectơ, cơ sở và số chiều của không gian vectơ .............................................. 42
§4. Không gian vectơ con ......................................................................................................... 50
§5. Không gian Euclide thực .................................................................................................... 54
Chương 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG ...........................................57
§1. Khái niệm hệ phương trình tuyến tính ................................................................................ 57
§2. Phương pháp giải hệ phương trình ...................................................................................... 61
§3. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế ............................................................. 70
Chương 4. PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG .......84
§1. Hàm một biến số ................................................................................................................. 84
§ 2. Giới hạn của dãy số ............................................................................................................ 89
§ 3. Giới hạn của hàm số .......................................................................................................... 96
§4. Hàm số một biến số liên tục.............................................................................................. 100
§5. Đạo hàm và vi phân hàm 1 biến số ................................................................................... 102
§6. Ứng dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế....................................................................... 108
§7. Tích phân hàm một biến số ............................................................................................... 115
§8. Ứng dụng tích phân trong phân tích kinh tế ..................................................................... 142
Chương 5. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG .........................145
§ 1. Giới hạn và liên tục .......................................................................................................... 145
§2. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến ................................................................. 153
§3. Ứng dụng của đạo hàm riêng trong phân tích kinh tế ....................................................... 159
§4. Cực trị hàm nhiều biến ...................................................................................................... 169
§ 5. Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến trong phân tích kinh tế ............................................... 177
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................................... 188

4

Chương 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
§1. Ma trận và các phép toán trên ma trận
1. Các khái niệm
Cho m, n là các số nguyên dương
Định nghĩa 1. Ma trận là một bảng số xếp theo dòng và theo cột. Một ma trận có m
dòng và n cột được gọi là ma trận cấp m  n. Khi cho một ma trận ta viết bảng số bên
trong dấu ngoặc tròn hoặc ngoặc vuông. Ma trận cấp m  n có dạng tổng quát như sau:
 a 11

 a 21
 ...

a
 m1

a 12
a 22
...
a m2

... a 1n 
 a 11

a
... a 2 n 
hoặc  21

 ...
... ...




... a mn 
a m1

a 12
a 22
...
a m2

... a 1n 
... a 2 n 
... ... 

... a mn 

Viết tắt là A = (aij)n xn hoặc A = [aij]n xn
2 5  7 
 . A là một ma trận cấp 2 x 3 với
6 7 1 

Ví dụ 1. Cho ma trận A  

a11 = 2 ; a12 = 5 ; a13 = - 7 ; a21 = 6 ; a22 = 7 ; a23 = 1
Định nghĩa 2.
• Hai ma trận được coi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng cấp và các phần tử ở
vị trí tương ứng của chúng đôi một bằng nhau.
• Ma trận chuyển vị của A là AT : AT = [aji]n xn
• Ma trận đối của ma trận A là ma trận – A = [- aij]n x n

1  3
Ví dụ 2. Cho ma trận A  4  1 . Xác định AT, - A
2 0 

Giải :
  1 3
4 2
1


Ta có A  
 ;  A   4 1

3

1
0


 2 0
T

• Ma trận không cấp m x n là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0 :   [0]m x n
Ví dụ 3. Các ma trận không cấp 2x2 và 2x3 là

0 0
0 0 0
2 x 2  
;



 2 x 3 0 0 0
0 0



5


• Khi n = 1 người ta gọi ma trận A là ma trận cột, còn khi m = 1 người ta gọi ma trận
A là ma trận dòng.

 a 11 
Ví dụ 4. Ma trận cột A   ...  , ma trận dòng là A  a 11 ... a m1  .
 
a n1 
• Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau và bằng n. Một ma
trận có số dòng và số cột cùng bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n. Khi đó các phần
từ a11, a22, … , ann gọi là các phần tử thuộc đường chéo chính, còn các phần tử a n1, a n 12 ,
… , a1n gọi là các phần tử thuộc đường chéo phụ.
Ví dụ 5. Cho các ma trận vuông cấp 1, cấp 2, cấp 3 là

1 2 3 
 1 3
A  1; B  
; B   2  1 4



 4 1

1 1 3
• Ma trận tam giác là ma trận vuông khi có các phần tử nằm về một phía của đường
chéo chính bằng 0.
+) Ma trận A = [aij]n x n được gọi là ma trận tam giác trên nếu aij = 0 với i > j:
a 11 a 12
0 a
22

A   ... ...

0
0
 0
0

...

a 1n 1

...
...

a 2 n 1
...

... a n 1 n 1
...
0

a 1n 

a 2 n 
... 

a n 1 n 
a nn 

+) Ma trận A = [aij]n x n được gọi là ma trận tam giác dưới nếu aij = 0 với i < j:
 a 11
a
 21
A   ...

a n 11
 a n1


0

...

0

a 22
...

...
...

0
...

a n 1 2
a n2

... a n 1 n 1
... a n n 1

0 
0 
... 

0 
a nn 

Ví dụ 6. Cho một ví dụ về ma trận vuông cấp 3, ma trận tam giác trên, tam giác dưới cấp
3.
Giải:
1 2  5
1 2  5
1 0 0




A  2  1 4  ; B  0 1 4  ; C  2  1 0
1 1
0 0 6 
1 1 6
6 
6

• Ma trận chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà có tất cả các phần tử nằm ngoài
đường chéo chính đều bằng 0
• Ma trận chéo cấp n có tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính bằng 1 được gọi
là ma trận đơn vị cấp n:

1
0

E n  ...

0
 0

0
1
...
0
0

...
...
...
...
...

0
0
...

1
0

0
0 
...

0
1 

• Tập các ma trận cấp m x n trên trường số thực R, ký hiệu: Matm x n(R)
• Tập các ma trận vuông cấp n trên trường số thực R, ký hiệu: Mat n(R)
6 
2
2 5  7 

Ví dụ 7. Cho ma trận A  
và B   5
7 

6 7 1 
 7 m 2 

a) Tìm AT và – A
b) Tìm m để AT = B
Giải:
 2 6
 2  5 7 
a) Ta có A   5 7 và A  
 6  7  1


 7 1
T

6 
 2 6  2



b) A  B   5 7   5
7   m 2  1  m  1
 7 1  7 m 2 
T

2. Phép toán trên ma trận
a) Phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với 1 số

Định nghĩa 3. Cho hai ma trận cùng cấp m  n: A  a ij mn ; B  b ij mn
Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m  n, kí hiệu A + B và được xác định

như sau: A  B  a ij  b ii mn

Tích của ma trận A với một số  là một ma trận cấp m  n, kí hiệu  A và được xác

định như sau: A  .a ij mn

Hiệu của A trừ B: A – B = A + (-B)
Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất cơ bản của phép toán tuyến tính
7

Tính chất 1. Cho A, B, C là các ma trận bất kì cấp m  n,  ;  là các số bất kì ta luôn
có:
1) A + B = B + A
2) (A + B) +C = A + (B + C)
3) A + 0 = A
4) A + (-A) = 0
5) 1.A = A
6)  (A + B) =  A +  B
7) (  +  )A =  A +  A
8) (   )A =  (  B)
1  2 4 
 2 1  2
;B  

 . Khi đó
0 1  1
2 1 3 

Ví dụ 8. Cho các ma trận A  

1  2 4 
2 1  2  4  7 14 
2A  3B  2.
 (3).



0 1  1
2 1 3   6  1  11

1 3

Ví dụ 9. Cho ma trận B  
 . Tìm ma trận C sao cho 3B – 2(B + C) = 2E
5 3
Giải:
1
2

1 1 3 1 0  1 / 2 3 / 2


2 5 3 0 1  5 / 2 1 / 2 

Phương trình đã cho  C  B  E  .
b) Phép nhân ma trận với ma trận
Cho hai ma trận :
 a 11
a
A =  21
 ...

a m1

a 12
a 22
...
a m2

... a 1n 
... a 2 n 
;
... ... 

... a mn 

 b11
b
21
B= 
 ...

b n1

b12
b 22
...
bn2

... b1p 
... b 2 p 
... ... 

... b np 

Trong đó, ma trận A có số cột bằng số dòng của ma trận B.
Định nghĩa 4.
Tích của ma trận A với ma trận B là một ma trận cấp m  p, kí hiệu là AB và được xác
định như sau:

8


 c11
c
AB =  21
 ...

c m1

c12
c 22
...
c m2

... c1n 
... c 2 n 
... ... 

... c mn 

n

trong đó c ij  a i1 b1 j  a i 2 b 2 j  ...  a in b nj   a ik b kj ; i  1,2,..., m; j  1,2,..., p 
k 1

Chú ý 1.
• Tích AB tồn tại khi và chỉ khi số cột của ma trận đứng trước bằng số dòng của ma
trận đứng sau.

• Cỡ của ma trận AB: Ma trận AB có số dòng bằng số dòng của ma trận đứng trước
và số cột bằng số cột của ma trận đứng sau.
• Các phần tử của AB được tính theo quy tắc: Phần tử cij là tích vô hướng của dòng
thứ i của ma trận đứng trước và cột thứ j của ma trận đứng sau.
0 1 4 
1 2
và B  

 . Tính A.B và B.A
1 3 2
3 1

Ví dụ 10. Cho hai ma trận A  
Giải :

1 2 0 1 4 1.0  2.1 1.1  2.3 1.4  2.2 2 7 8 
.



3 1 1 3 2 3.0  1.1 3.1  1.3 3.4  1.2 1 6 14

Ta có A.B  

Nhưng số cột của B khác số dòng của A nên không tồn tại tích BA.
1 2 3  1
 2  1 0
Ví dụ 11. Cho ma trận A  
; B  2  1 1 0  . Tính A.B, BA


  3 2 0
3 0 2 1 

Giải:
1 2 3  1
7  1
 2  1 0 
3 5
Ta có A.B  
.2  1 1 0   


 3 2 0 3 0 2 1  1  8  7 3 



Còn B.A không tồn tại
Các tính chất cơ bản của phép nhân ma trận
Tính chất 2. Giả sử phép nhân các ma trận dưới đây đều thực hiện được.
1) (AB)C = A(BC)
2) A(B+C) = AB+AC; (B+C)D =BD +CD
3)  (AB) = (  A)B = A(  B)

9


4) AE = A;

EB =B

Đặc biệt , với ma trận vuông A: AE = EA = A
5)  AB   BT A T
T

Chú ý 2. Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán. Nếu A.B   thì chưa chắc
A   hoặc B   .
0 1 
0 0 
;B  

.
0 0 
1 0

Ví dụ 12. Cho các ma trận A  

1 0
0 0 
; B.A  

 và AB  BA
0 0 
0 1 

Khi đó A.B  

1 0
1 0 0 0 0 0
0 0 
;B

, ta có A.B  
.




0 0 
0 0  0 1  0 0 
0 1 

Ví dụ 13. Cho A  

c) Luỹ thừa của ma trận vuông: Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta xác định
A0 = E; An = An -1. A ( n là số nguyên dương)
a b 
 . Chứng minh rằng, ma trận A thoả mãn phương trình
c d 

Ví dụ 14. Cho A  

X 2  (a  d)X  (ad  bc)  

Giải:
a b a b
a b
1 0
.
 (a  d).
 (ad  bc).





c d  c d 
c d 
0 1

Ta có A 2  (a  d)A  (ad  bc)E  

0  0 0
 a 2  bc (a  d)b a (a  d) b(a  d) ad  bc



  . (đpcm)

2 
ad  bc 0 0
(a  d)c bc  d  c(a  d) d(a  d)  0

= 

1 1
2
3
n
 . Tính A , A , ..., A (n là số tự nhiên)
0
1




Ví dụ 15. Cho ma trận A  
Giải:

1 1 1 1 1 2
1 2 1 1 1 3

; A3  






 ; .... ; tương tự ta có thể dự
0 1 0 1 0 1
0 1 0 1 0 1

Ta có A 2  

1 n 

đoán A n  
.
0 1 
Dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp công thức An.
Định nghĩa 5. Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A = [aij]m x n là các phép biến đổi có
dạng
i) đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau: d i  d j (c i  c j )

10


ii) nhân một dòng (cột) với một số khác 0: kd i (kc i )
iii) nhân một dòng (cột) với một số rồi cộng vào dòng (cột) khác: hd i  d j (hc i  c j )
1  2 4 6
Ví dụ 16. Cho ma trận A  2 1  2 5 . Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau:
1  1 2 4

(1) nhân dòng 2 với 2
(2) hoán vị dòng 1 cho dòng 2
(3) nhân dòng 2 với – 2 cộng vào dòng 3
Giải:
6
1  2 4 6
1  2 4



Phép biến đổi (1): A  2 1  2 5  4 2  4 20
1  1 2 4
1  1 2
4 
1  2 4 6 
2 1  2 5


Phép biến đổi (2): A  2 1  2 5  1  2 4 6
1  1 2 4
1  1 2 4

6
1  2 4 6
 1 2 4



Phép biến đổi (3): A  2 1  2 5   2
1  2 5 
1  1 2 4
 3  3 6  6

Định nghĩa 6. Ma trận dạng bậc thang là ma trận có tính chất
i) Các dòng khác không (tức là có một phần tử khác 0) nếu có thì luôn ở trên các dòng
bằng không (tức là hàng có tất cả các phần tử bằng 0).
ii) Ở hai dòng khác 0 kề nhau thì phần tử khác 0 đầu tiên ở dòng dưới bao giờ cũng ở bên
phải cột chứa phần tử khác 0 đầu tiên ở dòng trên.
Ví dụ 17. Các ma trận sau là ma trận dạng bậc thang
1
0
A
0

0

1 5
1 1
0 0
0 0

6 8

1  1
0 1

3 5
; B
0 0
2  5


0 0
0 0

3
2
2
0

4 7
1  1 2
8  1
; C  0 2 1 .
1  1
0 0 0

0 1

11


§2. Định thức của ma trận vuông

1. Khái niệm định thức
 a 11 a 12
a
a
Cho ma trận A =  21 22
 ... ...

a n 1 a n 2

... a 1n 
... a 2 n 
. Xét phần tử aij của A, bỏ đi dòng i và cột j của A
... ... 

... a nn 

ta được ma trận vuông cấp n -1, ký hiệu Mij: gọi là ma trận con con ứng với phần tử aij (i,j
= 1, 2, 3, ..., n).
 a 11 a 12
Ví dụ 1. A  a 21 a 22
a 31 a 32

a 13 
a 23  . Tìm các ma trận con ứng với các phần tử của A
a 33 

Giải: Các ma trận con ứng với các phần tử của A là
a
M11   22
a 32

a 23 
a 23 
a 22 
a
a
; M12   21
; M13   21



a 33 
a 31 a 33 
a 31 a 32 

a
M 21   12
a 32

a 13 
a 13 
a 12 
a
a
; M 22   11
; M 23   11



a 33 

a 31 a 33 
a 31 a 32 

a
M 31   12
a 22

a 13 
a 13 
a 12 
a
a
; M 32   11
; M 33   11



a 23 
a 21 a 22 
a 21 a 23 

 a 11 a 12
a
a
Định nghĩa 1. Cho một ma trận A vuông cấp n: A =  21 22
 ... ...

a n 1 a n 2

... a 1n 

... a 2 n 
.
... ... 

... a nn 

Định thức của A, ký hiệu det(A) hoặc A được định nghĩa như sau:
* Định thức cấp 1: A = [a11] thì det(A) = a11
a
a
 a 11 a 12 
thì det( A)  11 12  a 11a 22  a 12 a 21

a 21 a 22
a 21 a 22 

* Định thức cấp 2: A  

Ví dụ 2. Tính định thức D 
Giải: Ta có D 

1

6

2 14

1 6
 1.14  6.2  2 .
2 14

Ví dụ 3. Giải phương trình:

x2
9

25
0
4

12


x2
Giải: Ta có
9

25
 4x 2  25.9 .
4

Do đó PT  4x 2  25.9  0  x 2 

25.9
 15
x
.
4
2

* Định thức cấp 3:
a 11 a 12
det A  a 21 a 22
a 31 a 32

a 13
a 23  a 11.a 22 .a 33  a 12 .a 23 .a 31  a 13 .a 21.a 32  a 13 .a 22 .a 31  a 12 .a 21.a 33  a 11.a 23 .a 32
a 33

Quy tắc Sariut: Định thức cấp 3 có 6 số hạng, mà mỗi số hạng là tích của 3 phần tử mà
mỗi dòng, mỗi cột chỉ có một đại biểu duy nhất.
* Các số hạng mang dấu cộng: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo chính
hoặc các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song với
đường chéo chính.
* Các số hạng mang dấu trừ: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo phụ hoặc
các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song với đường
chéo phụ.Để nhớ quy tắc tính định thức cấp 3, người ta thường dùng “quy tắc Sarrus”
sau:
•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Dấu +
•

•

•

Dấu •

•

Từ quy tắc Sarrus trên, chúng ta còn một quy tắc khác để tính nhanh định thức cấp
3: ghép thêm cột thứ nhất và cột thứ hai vào bên phải định thức hoặc ghép thêm dòng thứ
nhất và dòng thứ hai xuống bên dưới định thức rồi nhân các phần tử trên các đường chéo
như quy tắc thể hiện trên hình:
a1

a2
a3

b1
b2
b3

Dấu -

c1
c2
c3

a1
a2
a3

b1
b2
b3

Dấu +

13

a1
a2
a3

b1

b2
b3

c1
c2
c3

a1
a2

b1
b2

c1 Dấu +
c2

Dấu -


1 2 3
Ví dụ 4.Tính định thức  3  2 0 1
2 2 1

Giải: Ta có  3  1.0.1 + 2.(-2).1 + 3.2.(-2) – 3.0.2 – 1.(-2).2) – 1.1.(-2) = -10.
x2
Ví dụ 5. Giải phương trình 1
4

x 1
1 10

2 1

Giải:
x2
Ta có 1
4

x 1
x  1
1 1  x 2  3x  2 . Do đó PT  x 2  3x  2  0  
.
x2

2 1

• Định thức cấp n (n  3 ):
+) Khai triển định thức theo dòng i:
det(A) =

n

n

j1

j 1

 a ij (1)i j det(Mij )   a ij (1) i  j D ij với Dij  det(M ij ) .

+) Khai triển định thức theo cột j

n

det(A) =

a
i 1

n

i j
det(M ij )   a ij (1) i  j D ij
ij ( 1)
i 1

1 2 3
Ví dụ 6. Khai triển định thức sau :    1 2 4
1 1 5
Giải: Khai triển định thức theo dòng 1 ta có

  1.(1)11 .

2 4
1 4
1 2
 2.(1)1 2 .
 3.(1)1 3 .
1 5
1 5
1 1

= 1. 6 – 2. (-9) + 3. (-3) = 15.
2011 0
2010 x 2
Ví dụ 7. Giải phương trình :
2009 1
2008 4
2011 0
2010 x 2
Giải: Đặt  4 
2009 1
2008 4

0
x
1
2

0
x
1
2

0
1
0
1
1

0
1

. Khai triển định thức theo dòng 1:
1
1

14


x2
 4  2011.(1)11 . 1
4

x 1
x2
1 1  2011. 1
2 1
4

x 1
1 1.
2 1

Dùng định nghĩa định thức cấp ba, thu được
x  1
.
 4  2011( x 2  3x  2) . Khi đó PT  x 2  3x  2  0  
x  2

2. Tính chất của định thức
A =[aij]n x n với  n  det( A)
Dòng i của định thức được gọi là tổng của 2 dòng nếu:

a

i1

a i2 ....a ij ....a in    bi1 bi2 ....bij ....bin    ci1 ci2 ....cij ....cin  ;a ij  bij  cij (j  1, n)

Dòng i là tổ hợp hợp tuyến tính của các dòng khác nếu
n

n

k 1
k

k 1
k i

a ij    k a kj (j  1, n ) . Ký hiệu d i    k d k ; dk = (ak1 ak2 ... akn)

Tính chất 1. (Tính chất chuyển vị)
Định thức của ma trận vuông bằng định thức của ma trận chuyển vị của nó:
det(AT) = det(A)
a b 
T
 . CMR det(A ) =det(A)
c
d



Ví dụ 1. Cho A  

Giải: Ta có det(A) =

a c
a b
 ad  bc . Suy ra đpcm.
= ad- bc và det(AT) =
b d
c d

Chú ý 1. Từ tính chất chuyển vị, mọi tính chất của định thức đúng cho dòng thì cũng
đúng cho cột và ngược lại. Do đó, trong các tính chất của định thức, chỉ phát biểu cho các
dòng, các tính chất đó vẫn giữ nguyên giá trị khi thay chữ "dòng" bằng chữ "cột".
Tính chất 2. (Tính phản xứng).
Đổi chỗ hai dòng cho nhau và giữ nguyên vị trí các dòng còn lại thì định thức đổi dấu.
Ví dụ 2. So sánh hai định thức: D 

c
a b
và D' 
c d
a

d
b

Giải: Ta có D = ad – bc và D’= bc- ad = -D
Hệ quả 1. Một định thức có hai dòng giống nhau thì bằng không.

Chứng minh
Gọi định thức có hai dòng như nhau. Đổi chỗ hai dòng đó ta được, theo tính chất 2 ta có

15


 n = -  n  2 n  0   n  0

Ví dụ 3.

a b
 0.
a b

Tính chất 3. (Tính thuần nhất). Nếu nhân các phần tử một dòng nào đó với cùng một số
k thì được định thức mới bằng k lần định thức cũ
a 11
...
ka i1
...
a n1

a 12
...
ka i 2
...
a n2

... a 1n
a 11 a 12

... ...
... ...
... ka in  k. a i1 a i 2
... ...
... ...
a n1 a n 2
... a nn

...
...
...
...
...

a 1n
...
a in
...
a nn

Định lý này có thể phát biểu: Nếu một định thức có một dòng có nhân tử chung thì đưa
nhân tử chung ra ngoài dấu định thức
Hệ quả 2. Một định thức có hai dòng tỉ lệ với nhau thì bằng không.
Chứng minh: Thật vậy, nếu đưa hệ số tỷ lệ ra ngoài dấu định thức thì được một định thức
có hai dòng giống nhau nên nó bằng không.

12  2 6
7
17  68 34  170
Ví dụ 4. Chứng minh định thức sau chia hết cho 17:  4 

2
1
1
4
6
7
11
9
Giải:

12
2
6
7
12  2 6
7
17.1 17.(4) 17.2 17.(10)
1  4 2  10
Ta có  4 
 17.
 17.D .
2
1
1
4
2 1 1 4
6
7
11
9

6 7 11 9
Vì D là định thức tạo bởi các số nguyên nên D cũng là số nguyên. Do đó  4 17
Tính chất 3. (Tính cộng tính). Nếu định thức có một dòng là tổng hai dòng thì định thức
bằng tổng của hai định thức.
a11

a12

bi1  ci1 bi2  ci2
a n1

an2

a1n

a11

a12

a1n

a11

a12

a1n

bin  cin  bi1

bi2

bin  ci1

ci2

cin

a n1 a n 2

a nn

a nn

a n1 a n 2

16

a nn


Hệ quả 3. Nếu định thức có một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì định
thức ấy bằng không.
Đó là hệ quả của tính chất cộng tính và tính thuần nhất.
Hệ quả 4. Nếu cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì định thức
không đổi.
Từ các tính chất của định thức, ta thường sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
trong quá trình tính định thức cấp n:
* Đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau: d i  d j (c i  c j ) , phép biến đổi này định thức đổi dấu
* Nhân một dòng (cột) với một số khác 0: kd i (kc i ) , phép biến đổi này định thức tăng lên
k lần.

* Nhân một dòng (cột) với một số cộng vào dòng (cột) khác: hd i  d j (hc i  c j ) , phép biến
đổi này không làm thay đổi giá trị của định thức.

a
b
c
Ví dụ 5. Tính định thức  3 
a'
b'
c'
ax  a ' y bx  b' y cx  c' y

Giải:
Nhân dòng 1 với (-x), dòng 2 với (-y) cộng vào dòng 3 ta được:  3
a2
(a  1) 2
Ví dụ 6. Tính định thức  4 
(a  2) 2
(a  3) 2

b2
(b  1) 2
(b  2) 2
(b  3) 2

c2
(c  1) 2
(c  2) 2
(c  3) 2

 xd 1  yd2  d 3



d2
(d  1) 2
(d  2) 2
(d  3) 2

Giải:
Nhân dòng 1 với (-1), rồi cộng lần lượt vào dòng 2, dòng 3, dòng 4 được:
a2
b2
c2
d2
 d1  d i
2a  1 2b  1 2c  1 2d  1
4 
i  2 , 3, 4 4a  4
4b  4 4c  4 4d  4
6a  9 6b  9 6c  9 6d  9

17

a b c
a ' b ' c'  0
0 0 0


Sau đó nhân dòng 2 với (- 2) cộng vào dòng 3, nhân dòng 2 với (-3) cộng vào dòng 4

được:
a2
b2
c2
d2
2d 2 d3
2a  1 2b  1 2c  1 2d  1
= 0 (vì có 2 dòng tỷ lệ nhau)
4 
 3d 2  d 4
2
2
2
2
6
6
6
6
a
b
Ví dụ 7. Tính định thức  4  c
ab
2

b
c
a
bc
2

c
a
b
ca
2

1
1
1
1

Giải:
a  b  c 1
a  b  c 1
Cộng các cột vào cột 1 ta được:  4  a  b  c  1

b
c
a
bc
a  b  c 1
2

c
a
b
ca
2

1

1
1
1

Đặt nhân tử chung của cột 1 ra ngoài:
1
1
 4  (a  b  c  1). 1

b
c
a
bc
1
2

c
a
b
ca
2

1
1
10
1

3.Các phương pháp tính định thức
Cho định thức cấp n:
a 11 ... a 1 j

... ... ...
 n  a i1
...

... a ij
... ...

... a 1n
... ...
...
...

a in
...

a n1 ... a nj ... a nm

a) Phương pháp khai triển (Sử dụng định nghĩa)
• Phần bù đại số của a ij
Xóa đi dòng thứ i và cột thứ j (dòng và cột chứa phần tử a ij ) của A ta được một ma
trận con (n - 1), kí hiệu là M ij . Định thức của M ij được gọi là định thức con cấp n -1
tương ứng với phần tử aij của A và A ij  (1) i  j det( M ij )  (1) i  j .D ij được gọi là phần

18


bù đại số của phần tử aij của định thức d. Cho định thức cấp n là  n . Khi đó  n có thể
tính theo hai cách sau:
i) Công thức khai triển theo dòng thứ i :
n

n

j1

j1

 n   a ij (1) i  j . det( M ij )   a ijA ij (1)

ii) Công thức khai triển theo cột thứ j:
n

n

i 1

i 1

 n   a ij (1) i  j . det( M ij )   a ij A ij (2)

Hệ quả. Đối với định thức cấp n là  n , ta có
n

i)

a
j1

ij

 khi i  k
(3)
A kj   n
0 khi i  k

n

ii)

a
i 1

ij

 khi j  k
(4)
A ik   n
0 khi j  k

Nhận xét: Mục đích của công thức (1) hoặc (2) là chuyển việc tính định thức cấp n về
tính định thức cấp n -1, rồi từ cấp n -1 chuyến về cấp n -2, …, cho đến định thức cấp 3, 2.
Khi áp dụng công thức (1) hoặc (2), ta nên chọn dòng hoặc cột có chứa nhiều phần tử 0
nhất để khai triển. Nếu không có dòng hoặc cột như vậy ta biến đổi định thức đưa về định
thức mới bằng định thức ban đầu nhưng có dòng hoặc cột như vậy.
1 2 1
b)  3  3 1 2
1 2 4

2 1 1
Ví dụ 8. Tính định thức a)  3  3  1 2

4 5 0

Giải:
a) Khai triển định thức theo dòng 3 ta có:
 3  4.(1) 31 .

1 1
2 1
 5.(1) 3 2 .
 0  12  5  7 .
1 2
3 2

b) Khai triển định thức theo cột 1 ta có:
 3  1.(1)11 .

1 2
2 1
2 1
 3.(1) 21 .
 (1)( 1) 31 .
 0  30  5  35 .
2 4
2 4
1 2

1
1
0
5

1 0
1 3
1
3
0 1
Ví dụ 9. Tính định thức a)  4 
b)  4 
2  4 1  3
0 0
3 5 2
1
2 3

19

0 2
0 3
1 4
4 11


Giải:
a) Nhân cột 1 với (-1) cộng vào cột 2, nhân cột 1 với (-5) cộng vào cột 4; rồi khai triển
định thức theo cột 1, ta được
1
0
0
0
4
1

8
4
1
8
 c1  c 2  1
4
1
8
11
4 
 1.(1) .  6  1  13   6  1  13
5 c1  c 4 2
 6  1  13
 8 2  14  8 2  14
3  8 2  14

Cộng dòng 1 vào dòng 2, nhân dòng 1 với (-2) cộng vào dòng 2, rồi khai triển định thức
theo cột 2 ta được:
4 1
8
2 5
 4   2 0  5  1.(1)1 2 .
 20
 2 d1  d 3
 16  30
 16 0  30
d1  d 2

b) Nhân cột (-2) với cột 1 rồi cộng với cột 4
1

0
4 
0
2

0
1
0
3

0 0
0 5
1 4
4 9

Khai triển định thức theo dòng 1 ta được
1
0
4 
0
2

0
1
0
3

0 0
1 0 5 1 0 5
0 5

11
 1.(1) . 0 1 4  0 1 4 .
1 4
3 4 9
3 4 9
4 9

Nhân cột 1 với 5 cộng vào cột 3, khai triển định thức theo dòng 1 ta được
1 0 0
1 4
 4  0 1 4  1.(1)11 .
 24  16  8
4 24
3 4 24

Ví dụ 10. Tính định thức của ma trận tam giác trên và tam giác dưới
a 11
0
a)  n  ...
0
0

a 12

...

a 1n 1

a 1n

a 22 ...
... ...

a 2 n 1
...

a 2n
...

0
0

... a n 1 n 1
...
0

a n 1 n
a nn

a 11
a 21
b)  n  ...
a n 11
a n1

...

0

0

a 22
...

...
...

0
...

0
...

a n 1 2
a n2

Giải:
Ta chỉ cần xét ý a) Lần lượt khai triển định thức theo cột 1 :

20

0

... a n 1 n 1
... a n n 1

0
a nn

a 11
0
 n  ...
0
0

a 12

...

a 1n 1

a 22 ...
... ...

a 2 n 1
...

0
0

a 1n

a 22
a 2n
...
...  a 11.(1)11 .
0
a n 1 n
0

a nn

... a n 1 n 1
...
0
a 11

a 21
Tương tự, ta có  n  ...
a n 11
a n1

0

...

0

a 22
...

...
...

0
...

a n 1 2
a n2

...
...

a 2 n 1
...

a 2n
...

... a n 1n 1
...
0

a n 1 n
a nn

 ...  a 11.a 22 ...a nn

0

... a n 1 n 1
... a n n 1

0
...  a 11a 22 ...a nn
0
a nn

b) Phương pháp biến đổi về dạng tam giác:
Dùng các tính chất của định thức để biến đổi định thức đưa định thức về định thức của

ma trận tam giác trên hoặc dưới, sau đó áp dụng công thức:
a 11 a 12
0 a 22
... ...
0
0

a 11 0
... a 1n
a
a 22
... a 2 n
 a 11.a 22 .a 33 ...a nn hoặc 21
... ...
... ...
a n1 a n 2
... a nn

... 0
... 0
 a 11a 22 ...a nn
... ...
... a nn

Ví dụ 11. Tính các định thức
1
a1
5
1 a 1  b1
5

a1
5 b)  4  1
5
1
a1
0
1
a1

1
2
3
4
1 0
3
4
a)  5   1  2 0
4
1  2  3 0
1  2  3  4

a2
a2

a3
a3

a4
a4

a 2  b2
a2

a3
a 3  b3

a4
a4

a2

a3

a 4  b4

Ví dụ 12. Tính định thức
0
1
1
a)  6 
1
1
1

1
0
x
x
x
x

1
x
0
x
x
x

1
x
x
0
x
x

1
x
x
x
0
x

1
x
x
x
x
0

a

x
x
b)  6 
x
x
x

x
a
x
x
x
x

x
x
a
x
x
x

x
x
x
a
x
x

x
x

x
x
a
x

x
x
x
x
x
a

Giải: a)
• Nếu x = 0, khai triển định thức theo dòng 1, suy ra  6  0
• Nếu x  0, nhân cột 1, dòng 1 với x, rồi cộng các dòng vào dòng 1và đặt nhân tử
chung (n -1) ra ngoài ta được:

21


0
x
1 x
6  2 .
x x
x
x

x
0

x
x
x
x

x
x
0
x
x
x

x
x
x
0
x
x

x
x
x
x
0
x

x
x
x
x

x
5 x
 2.
x x x
x
x
0
x

x
0
x
x
x
x

x
x
0
x
x
x

x
x
x
0
x
x

x
x
x
x
0
x

x
x
x
x
x
0

Nhân dòng 1 với (-1) rồi cộng vào các dòng khác ta được:
x x
x
x
x
x
0 x 0
0
0
0
0
0
5 0 0 x 0
5
6  2 .
 2 .x ( x ) 5  5x 3

0 x 0
0
x 0 0
x
0 0
0
0 x 0
0 0
0
0
0 x

b) Cộng các cột vào cột 1, rồi đặt nhân tử chung ra ngoài dấu định thức ta được
a  5x x x ...
a  5x a x ...
a  5x x a ...
6 
...
... ... ...
a  5x x x ...
a  5x x x ...

x
x
x
...
a
x

x

1
x
1
x
1
 a  5x .
...
...
x
1
a
1

x
a
x
...
x
x

x
x
a
...
x
x

...
...
...

...
...
...

x
x
x
...
a
x

x
x
x
...
x
a

Nhân dòng 1 với (-1) và cộng vào các dòng 2, dòng 3, … , dòng n ta được
1
x
x
0 ax
0
0
0
ax
 n  a  5x .
... ...
...

0
0
0
0
0
0

...
x
x
...
0
0
...
0
0
 a  5x .(a  x ) 6
... ...
...
... a  x
0
...
0
ax

22


§3. Ma trận nghịch đảo
Trong phần này chúng ta xem xét khái niệm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông

cấp n, điều kiện tồn tại và cách tìm ma trận nghịch đảo
1. Định thức của tích hai ma trận vuông
Cho hai ma trận vuông cấp n : A = [aij]n x n; B = [bij]n x n
Định lý 1. Định thức của tích hai ma trận vuông bằng tích các định thức của ma trận
thành phần: det(AB)= det(A)det(B)
Hệ quả: det(An) = [det(A)]n
Ví dụ 1. Cho A, B là ma trận vuông cấp 3 có det(A) = 2, det(B) = -2. Tính det(AB),
det(A2B); det(2AB); det(A3); det(2A).
Giải: det(AB)= det(A).det(B)= 2. (-2) = -4
det(A2B)= det(A2).det(B) = 22. (-2) = -8
det(2AB) = 23.det(AB) = 8. (-4) = -32
det(A3) = [det(A)]3 = 23 = 8
det(2A) = 23.det(A) = 16
2. Định nghĩa ma trận nghịch đảo
Định nghĩa 1. Cho A là ma trận vuông cấp n và E là ma trận đơn vị cấp n. Nếu có ma
trận vuông B cấp n sao cho A.B = B.A = En thì ta nói ma trận A là khả nghịch và B được
gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A (hay A có ma trận nghịch đảo là B), và ký hiệu
A-1 = B.
1 0 

1 0

1
Ví dụ 2. a) Ma trận A = 
 là khả nghịch và có ma trận nghịch đảo là A  0 1  .
0
4




4 

1 0 1 0  1 0  1 0 1 0
.0 1   0 1 .0 4  0 1 .
0
4

 
 

4  
4  

Vì ta có 

0 0 
 không khả nghịch vì mọi ma trận vuông B cấp 2 đều có
0 0 

b) Ma trận   
.B  B.    E .

Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo
Định lý 2. Ma trận nghịch đảo A-1 của ma trận vuông A nếu tồn tại thì duy nhất
3. Sự tồn tại của ma trận nghịch đảo
Định lý 3. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) ≠ 0.

23

 A11
A
1
1
-1
và A =
.A =
.  12
det(A)
det(A) 

 A1n

A n1 
A n 2 


A nn 

A 21
A 22
A 2n

 2  1 3
Ví dụ 3. Tìm A của A  0 3 1
5  2 4
-1

2 1 3
Giải: Ta có A  0 3 1  22  0 nên A là ma trận khả nghịch.

5 2 4

Tiếp theo xác định ma trận phụ hợp A của A:
A11  (1)11 .

3 1
1 3
1 3
 14; A 21  (1) 21 .
 2; A 31  (1) 31 .
 10
2 4
2 4
3 1

A12  (1) 21 .

0 1
2 3
2 3
 5; A 22  (1) 2 2 .
 7; A 32  (1) 3 2 .
 2
5 4
5 4
0 1

A13  (1)13 .

0 3

2 1
2 1
 15; A 23  (1) 23 .
 1; A 33  (1) 33 .
6
5 2
5 2
0 3

 14  2  10
Khi đó ma trận phụ hợp của A là A   5  7  2 
 15  1 6 

Ma trận nghịch đảo của A là
A

1

 14  2  10   7 / 11 1 / 11 5 / 11
1
1 

A
. 5  7  2    5 / 22 7 / 22 1 / 11
det( A)
 22 
 15  1 6   15 / 22 1 / 22 3 / 11

Từ khái niệm và điều kiện khả nghịch của ma trận, ta có một số tính chất sau:
Định lý 4. Giả sử A, B là các ma trận vuông cấp n.

i) Nếu A khả nghịch thì A-1, AT, kA (k  0), Am (m nguyên dương) cũng khả nghịch và
(A-1)-1 = A ; (AT)-1 = (A-1)T ; (kA) 1 

1 1
A ; (Am)- 1 = (A-1)m
k

ii) Nếu A, B khả nghịch thì AB cũng khả nghịch và (AB)-1 = B-1A-1
iii) Nếu A khả nghịch thì các phương trình A.X = C, X.A = C có nghiệm duy nhất
A.X  C  X  A 1C
XA  C  X  C.A 1

24


1 3 

2 7 

Ví dụ 4. Tìm (A2)-1 với A  

 7  3
Giải: Tìm ma trận nghịch đảo của A, ta được A 1  

 2 1 
 7  3
 7  3  7  3  54  24
 (A )  



.

7 
 2 1 
 2 1   2 1   16
2

2 1

Khi đó (A )

1 2

4. Một số phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
a) Phương pháp định thức
Dựa vào định lý 2.12, ta có các bước tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = [aij]nn như
sau:
Bước 1: Tính det(A)
Nếu det(A) = 0 thì A không khả nghịch.
Nếu det(A) ≠ 0 thì A có ma trận nghịch đảo.
Bước 2: Tìm ma trận phụ hợp của A:
 A11
A
A =  12


 A1n

A 21
A 22

A 2n

A n1 
A n 2 


A nn 

trong đó Aij là phần bù đại số của a ij .
Bước 3: Tính B =

1
A . Khi đó, ma trận B chính là ma trận nghịch đảo của ma trận
det(A)

A, tức là A-1 = B
Ví dụ 5. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
1 2 3
b) A  2 5 3
1 0 8

1 2 
a) A  

3 4 
Giải:
a)
Bước 1: Ta có det(A) = 1.4 – 2.3 = -2  0 .
Nên ma trận A khả nghịch và A 1 

1
.A
det( A)

Bước 2: Ta lập ma trận phụ hợp A của ma trận A. Ta có

25