( phần bonus) 106 câu hình học không gian image marked image marked

Câu 1

(ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Thể tích của khối chóp có

chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là
1
A. V = Bh
3

B. V =

1
Bh
6

D. V =

C. V = Bh

1
Bh
2

Đáp án A
Câu 2 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Cho hình nón có diện tích xung
quanh bằng 3a 2 và bán kính đáy bằng a. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng
A. 2 2a

B. 3a

C. 2a

D.

3a
2

Đáp án B
Diện tích xung quanh của hình nón là Sxq = rl = 3a 2  al = 3a 2  l = 3a.
Câu 3

(ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Cho hình lập phương

ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A’C’ là
A.

3a
C.

B. a
3
a
2

D.

2a

Đáp án B

Gọi O là giao điểm của AC và BD, O’ là giao điểm của A’C’ và B’D’
Ta có OO'/ /AA'  OO' ⊥ ( ABCD ) và OO' ⊥ ( A'B'C'D')

OO ' ⊥ BD

 OO ' là đoạn vuông góc chung của BD và A’C’
O O ' ⊥ A 'C '

 OO' là khoảng cách giữa A’C’ và BD
 d ( A'C', BD) = a.


Câu 4: (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Cho
hình chóp tứ giác S.ABCD có tát cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung
điểm của SD ( tham khảo hình vẽ bên ). Tang của góc giữa đường
thẳng BM và mặt phẳng ( ABCD) bằng
A.
C.

2
2

2
3

B.
D.

3
3

1
3

Đáp án D
Gọi O là giao điểm của AC và BD  SO ⊥ ( ABCD )
Qua M kẻ đường thẳng song song với SO cắt BD tại H  MH ⊥ ( ABCD)
Ta có MB  ( ABCD ) = B và MH ⊥ ( ABCD)

 ( MB, ( ABCD ) ) = ( MB, HB) = MBH
Ta có AC = AB2 + BC 2 = a 2  OA =
Ta có SO = SA 2 − OA 2 =
Ta có BH =

AC a 2
=
2
2

a 2
SO a 2
 MH =
=
2
2
4

3
3
3a 2

BD = .a 2 =
4
4
4

a 2
MH
1
1
= 4 =  tan ( MB, ( ABCD ) ) =
Ta có tan MBH =
BH 3a 2 3
3
4

Câu 5 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Cho tứ diện O.ABC có OA,
OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC. Gọi M là trung điểm của BC
(tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng
A. 90

B. 30

C. 60

D. 45

Đáp án C
Do OA, OB,OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC nên tam giác ABC là tam
giác đều
Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại N

Ta có MN / /AB  ( OM, AB) = ( OM, MN )
Giả sử OA = OB = OC = a  AB = BC = CA = a 2
Ta có OM =

BC a 2
AC a 2
AB a 2
=
, ON =
=
, MN =
=
2
2
2
2
2
2

 ABC là tam giác đều  OMN = 60
 ( OM, MN ) = 60 .
Câu 6 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Cho tứ diện đều ABCD có
cạnh bằng 4. Tính diện tích xung quanh S xq của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn
nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD.
A. Sxq =

16 2
3

B. Sxq = 8 2

C. Sxq =

16 3
3

D. Sxq = 8 3

Đáp án A

Dựng hình như hình vẽ bên ta có:
1
4 3
Bán kính đường tròn nôi tiếp đáy: r = HM = BM =
3
6
2

4 3
4 6
.
Chiều cao: h = AH = AB − BH = 4 − 
 =
3
 3 
2

Do đó Sxq ( T ) = 2rh =

2

2

16 2
.
3

Câu 7: (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Cho hai hình vuông ABCD
và ABEF có cạnh bằng 1, lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi S là điểm
đối xứng với B qua đường thẳng DE. Thể tích của khối đa diện ABCDSEF bằng


A.

7
6

B.

11
12

C.

2
3

D.

5
6

x Đáp án D

Vì S đối xứng với B qua DE  d ( B; ( DCEF) ) = d (S; ( DCEF) )
Gọi M là trung điểm của CE  BM ⊥ ( DCEF)  d ( B; ( DCEF) ) = BM
Khi đó, thể tích
1
VABCDSEF = VADF.BCE + VS.DCEF = AB x SADF + d ( S; ( DCEF ) ) x SDCEF
3
1 1 2
1 1 5
= 1. + .
. 2= + = .
2 3 2
2 3 6

Câu 8 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Cho hình lăng trụ tam giác đều

ABC.A'B'C' có AB = 2 3 và AA' = 2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh
A’B’, A’C’ và BC. Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( AB'C') và ( MNP ) bằng
A.

6 13
65

B.

13
65

Đáp án B

Dễ thấy ( AB'C") ; ( MNP ) = ( AB'C' ) ; ( MNCB)

C.

17 13
65

D.

18 63
65


= 180 − ( AB'C') ; ( A'B'C' ) − ( MNBC ) ; ( A'B'C' )

= 180 − ( A'BC) ; ( ABC) − ( MNBC ) ; ( ABC )
4
Ta có ( A ' BC ) ; ( ABC ) = ( A ' P; AP ) = A ' PA = arctan ,
3

với S là điểm đối xứng với A qua A’. thì SA = 2A A ' = 4.

2
4
13


Suy ra cos( AB'C ' ) ; ( MNP ) = cos 180 − arctan − arctan  =
.
3
3  65

Câu 9 (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Cho tứ diện ABCD . G là trọng tâm tam giác

BCD . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ACD ) và ( GAB ) .
A. AM , M là trung điểm AB .

B. AN , N là trung điểm CD .

C. AH , H là hình chiếu của B trên CD .

D. AK , K là hình chiếu của C

trên BD .
Chọn B.
Tự luận:
A là điểm chung thứ nhất của ( ACD ) và ( GAB )

G là trọng tâm tam giác BCD , N là trung điểm CD nên
N  BG nên N là điểm chung thứ hai của ( ACD ) và

(GAB ) . Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng ( ACD )
(GAB ) là

và

AN .

Câu 10 (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ
nhật tâm O . Gọi M là trung điểm của OC . Mặt phẳng ( ) qua M và ( ) song
song với SA và BD . Thiết diện của hình chóp S.ABCD và mp ( ) là hình gì?
A. hình tam giác.
ngũ giác.
Chọn A
Tự luận:

B. hình bình hành.

C. hình chữ nhật.

D. hình


- Giao tuyến của ( ) và ( ABCD ) là đường thẳng qua M , song song với BD , cắt BC , CD
lần lượt tại F , G .
- Giao tuyến của ( ) và ( SAC ) là đường thẳng qua M , song song với SA , cắt SC lần lượt
tại E .
Thiết diện cần tìm là tam giác EFG .
Câu 11 (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Cho lăng trụ tam giác ABC. ABC . Gọi G, G
lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABC , O là trung điểm của GG .
Thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( ABO ) với lăng trụ là một hình thang. Tính tỉ số k
giữa đáy lớn và đáy bé của thiết diện.
B. k = 3 .

A. k = 2 .

C. k =

3
.
2

D. k =

5
.
2

Chọn B
Tự luận:
Gọi I , I  lần lượt là trung điểm của BC , BC  . Đường thẳng AO cắt
II , AI  lần lượt tại K và H . Đường thẳng đi qua H , song song với

A

B
G

AB lần lượt cắt AC , BC  tại M và N . Thiết diện tạo bởi mặt

I
C

phẳng ( ABO ) với lăng trụ là hình thang ABNM .
Xét HAA ta có

O

HG 1 I G 1
= ,
= suy ra
HA 2 GA 2

K

KI  HI  1
KI  1
=
= 
= .
AA HA 4
KI 3

Vì NI K

BIK nên

B'

A'

G'
I'
M

N

C'

NI  NI  KI  1
=
=
= . Từ đó
CI  IB
KI 3

MN MN C N 1
=
=
= .
AB AB CB 3

Câu 12 (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ
nhật. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABCD ) là điểm A . Hình chóp
có mấy mặt là tam giác vuông?
A. 2.
Chọn C
Tự luận:

B. 3.

C. 4.

D. 1.

H

Hai mặt SAB, SAD là tam giác vuông tại A là hiển nhiên.
Lại có

BC ⊥ SA 
  BC ⊥ ( SAB )  BC ⊥ SB .
BC ⊥ AB 

Chứng minh tương tự ta có mặt SCD vuông tại D .
Câu 13 (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018) Cho hình chóp S.ABCD , tứ giác ABCD đáy là
hình thang vuông tại A và B , SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Biết

AB = 2CD = 2 AD . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. ( SAD ) ⊥ ( SBC ) .

B. ( SBC ) ⊥ ( SAC ) .

C. ( SAD ) ⊥ ( SAB ) .

D.

( SCD ) ⊥ ( SAD ) .
Chọn A
Tự luận:

BC ⊥ SA 
  BC ⊥ ( SAC )  ( SBC ) ⊥ ( SAC ) , (B) đúng.
BC ⊥ AC 
AD ⊥ SA 
  AD ⊥ ( SAB )  ( SAD ) ⊥ ( SAB ) , (C) đúng.

AD ⊥ AB 
C D ⊥ SA 
  C D ⊥ ( SAD )  ( SC D ) ⊥ ( SAD ) , (D) đúng.
C D ⊥ AD 
Câu 14: (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và ba
đường thẳng SA, SB, SC đôi một vuông góc. Gọi M là trung điểm của SB . Tìm
côsin của góc  tạo bởi hai đường thẳng AM và BC .
A. cos  =

10
.
10

cos  =

2
.
2

B. cos  =

10
.
5

C. cos  =

5
.
10

D.

Chọn A.
Tự luận:

A

Gọi N là trung điểm của SC . Góc ( AM , BC ) = ( AM , MN )
Tính được

N

S
M

B

C


MN =

BC SB 2
=
2
2

AM =

SB 5
2

Tam giác AMN cân nên AM = AN
SB 2
AM 2 + MN 2 − AN 2
MN
10
=
= 2 =
Do đó cos AMN =
.
2 AM.MN
2 AM SB 5
10

Câu 15 (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông tại A. Cạnh AC = a, BC = a 5 . Mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng
đáy và tam giác SAB đều. Gọi K điểm thuộc cạnh SC sao cho SC = 3SK. Tính
khoảng cách d giữa hai đường thẳng AC và BK theo a.
A. d =
d=

2 21a
.
17

B. d =

21a

.
17

C. d =

2 21a
.
7

2 2a
.
17

Chọn C
Tự luận:
Gọi H là trung điểm của AB  SH ⊥ AB ( do
tam giác SAB đều)
Do ( SAB) ⊥ ( ABC )  SH ⊥ ( ABC )
Do tam giác ABC vuông tại A nên AB = 2a
 SH = a 3

dt (ABC ) =

1
1
2
AB.AC = 2a.a = a
2
2

Kẻ KM song song với AC cắt SA tại M. Khi đó AC / / KM suy ra AC// (BKM)
Do đó d ( AC , BK ) = d ( AC , ( BKM ))
Ta có AC ⊥ AB, AC ⊥ SH nên AC ⊥ ( SAB)
Kẻ AI ⊥ BM , do KM//AC nên AI ⊥ KM suy ra AI ⊥ ( BKM )
Suy ra d ( AC , BK ) = d ( AC , ( BKM )) = d ( A, ( BKM )) = AI
Ta có

2
3 2 2
MA KC 2
2
= a 3
=
=  S AMB = S SAB = .(2a ) 2
3
4
3
SA SC 3
3

D.


AB2 + AM 2 − 2 AB. AM .cos600 =

Ta lại có BM =
Do đó AI =

2a 7
3

2 S ABM 2 21a
2 21a
=
. Vậy d ( AC , BK ) = AI =
.
7
BM
7

Câu 16 (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Trong các hình sau, hình nào là khối đa diện ?

A. Hình 1.

B. Hình 2.

C. Hình 3.

D. Hình 4.

Chọn C
Tự luận:
Loại hình 1,2,4 vì các hình đó có 1 cạnh là cạnh trung của nhiều hơn 2 mặt.
Câu 17: (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Khối tứ diện đều, khối bát diện đều và khối hai
mươi mặt đều có số đỉnh là Đ, số cạnh là C, số mặt là M thỏa mãn:
A. C =

2M
2C
.B. M =

.C. M = Đ .D. C = 2Đ .
3
3

Chọn B
Tự luận:
Khối tứ diện đều , khối bát diện đều và khối 20 mặt đều có tất cả các mặt là tam
giác có 3 cạnh, mà mỗi cạnh của các khối này đều là cạnh trung của đúng hai
mặt. Vậy ta có: 3M = 2C .
Câu 18 (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh
bằng nhau, đường cao của một mặt bên là a 3 . Thể tích V của khối chóp đó là bao nhiêu?
A. V =
V=

Chọn B
Tự luận:

2 2 3
a .
3
2 3
a .
9

B. V =

4 2 3
a .
3

C. V =

2 3
a .
6

D.


Gọi hình chóp đã cho là S.ABCD có tất cả các cạnh bằng
nhau và bằng x khi đó các mặt bên của hình chóp là các
tam giác đều bằng nhau.

M là trung điểm BC thì SM là đường cao của mặt bên

SBC nên SM = a 3 . Tam giác SBC đều cạnh x và đường
cao SM = a 3 nên

x 3
= a 3  x = 2a.
2

SABCD = 4a 2 .

SO = SM2 − MO2 = SM2 − (

AB 2
) = (a 3)2 − a 2 = a 2.
2

1
1
4 2 3
Vậy VS.ABCD = SO.SABCD = .a 2.4a 2 =
a .
3
3
3

Câu 19 (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Cho khối hộp A BCD .A ' B 'C ' D ' . Gọi M là
trung điểm của cạnh A B . Mặt phẳng (MB ' D ') chia khối hộp thành hai phần.
Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
A.

7
.
17

B.

5
.
12

C.

7
.
24

D.

5
.
17

Chọn A
Tự luận:
+ Lập thiết diện của khối hộp đi qua mặt phẳng (MB ' D ') Thiết diện chia khối hộp thành hai
phần trong đó có A MN .A ' B ' D '
Trong mp (A BB ' A ') có MB ' cắt A A ' tại K .
Trong (A DD ' A ') có K D ' cắt A D tại D
=> Thiết diện là MNB ' D ' . Dễ thấy N là trung điểm của A D
+ Áp dụng định lý Ta lét ta có:


KA
KM
KN
MN
1
=
=
=
=
K A ' KB ' KD '
BD
2
V K AMN
K A.KM .KN

1
=
=
V K AB D
K A '.KB '.K D ' 8
7
7 1
1
Þ V A MN .A ' B ' D ' = V K AB ' D ' = . .K A '. A ' B '.A ' D '
8
8 3
2
7
7
=
.2.AA'.A'B'.A'D' =
.V
48
24 A BC D.A ' B 'C ' D '

=> Tỷ lệ giữa 2 phần đó là

7
.
17

Câu 20 (Đoàn Chí Dũng 2018)Khi tăng độ dài các cạnh của hình lập phương gấp 2 lần thì
thể tích của hình lập phương sẽ tăng lên như thế nào?
A. Tăng gấp 2 lần

B. Tăng gấp 4 lần

C. Tăng gấp 6 lần

D. Tăng gấp 8 lần

Đáp án D
Câu 21: (Đoàn Chí Dũng 2018) Người ta múc nước từ bể nước bằng một chiếc cốc có hình
lập phương không có nắp vào một bình nước có hình lăng trụ tam giác đều. Biết rằng chiếc
cốc có chiều dài mỗi cạnh bằng 4cm và chiếc bình có cạnh đáy bằng 10cm, chiều cao 30cm.
Hỏi cần phải múc tối thiểu bao nhiêu lần để chiếc bình đầy nước?

A. 20 lần

B. 21 lần

C. 22 lần

D. 23 lần

Đáp án B
Câu 22 (Đoàn Chí Dũng 2018)Một khối rubik có hình lập phương (mỗi mặt của rubik có 9
ô vuông) có thể tích bằng 125cm3 . Hỏi tổng diện tích các mặt của khối rubik đó bằng bao
nhiêu?

A. 150cm 2

B. 25cm 2

C. 54cm 2

D. 108cm 2


Đáp án A
Câu 23 (Đoàn Chí Dũng 2018): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Biết
rằng SA ⊥ ( ABCD ) và SB = a 3 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V =

a3 2
3

B. V =

a3 3
3

C. V =

a3 2
6

D. V = a 3 2

Đáp án A
Câu 24: (Đoàn Chí Dũng 2018) Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = 3, AC = 2 . Tam
giác ABC vuông cân tại B. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng.
A. V =

2 7

3

B. V = 2 7

C. V =

2 2
3

D. V = 2 2

Đáp án C
Câu 25 (Đoàn Chí Dũng 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a.

SA ⊥ ( ABCD ) và cạnh bên SC hợp với đáy một góc 450 . Tính thể tích V của hình chóp
S.ABCD .
A. V = a 3 2

B. V =

a3
2

C. V =

a3 2
3

D. V =

a3
3

Đáp án C
Câu 26 (Đoàn Chí Dũng 2018)Cho hình chóp đều S.ABCD có AC = 2a , mặt bên (SBC)
tạo vơi đáy góc 450 . Tính thể tích V của hình chóp S.ABCD.
2 3a 3
A. V =
3

B. V = 2a

3

a3
C. V =
2

D. V =

2a 3
3

Đáp án D
Câu 27 (Đoàn Chí Dũng 2018)Hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh
bên AA' = 3a và đường chéo AC' = 5a . Thể tích V của hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’
bằng bao nhiêu?
A. V = 4a 3

B. V = 24a 3

C. V = 12a 3

D. V = 8a 3

Đáp án B
Câu 28 (Đoàn Chí Dũng 2018)Tính thể tích V của khối chóp S.ABC có độ dài các cạnh

SA = BC = 5a , SB = AC = 6a và SC = AB = 7a
A. V =
Đáp án C

35 2 3
a
2

B. V =

35 3
a
2

C. V = 2 95a 3

D. V = 2 105a 3


Sử dụng công thức tính nhanh V =

2

12

(a

2

+ b 2 − c2 )( b 2 + c2 − a 2 )( c2 + a 2 − b 2 ) đối với tứ

diện gần đều và dùng lệnh CALC để tính
Câu 29 (Đoàn Chí Dũng 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA
vuông góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc bằng 300 . Tính thể tích V của
khối chóp.
A.

6a 3
18

B.

3a 3

C.

6a 3
3

3a 3
3

D.

Đáp án D
Chú ý rằng DSA = 300
Câu 30: (Đoàn Chí Dũng 2018) Một bể nước không có nắp có hình hộp chữ nhật có thể
tích bằng 1m3 với đáy là một hình vuông. Biết rằng nguyên vật liệu dùng để làm thành bể có
đơn giá là 2 triệu đồng cho mỗi mét vuông. Hỏi giá thành nhỏ nhất cần có để làm bể gần với
số nào nhất sau đây?
A. 9.500.000 đồng

B. 10.800.000 đồng

C. 8.600.000 đồng

D. 7.900.000 đồng

Đáp án A
Gọi cạnh đáy của bể là x, khi đó chiều cao của bể là h =
là Stp = x 2 +

1
. Diện tích toàn phần của chiếc bể
x2

4
4

do đó chi phí cần là: f ( x ) = 2000000  x 2 +  . Để tìm min ta có 2 cách
x
x


chính:
Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM – GM) ta có:

x2 +

4
2 2
2 2
= x 2 + +  3 3 x 2 . . = 3 2 4  f ( x )min = 6000000 3 4  9500000
x
x x
x x

Cách 2: Các bài toán thực tế có max min thông thường đạt tại nghiệm của f ' ( x ) = 0
4 

f ' ( x ) = 2000000  2x − 2  = 0  x = 3 2  f ( x )min = 6000000 3 4  9500000
x 


Các bài toán thực tế có max min thông thường đạt tại nghiệm của
Câu 31: (Đoàn Chí Dũng 2018)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, các
cạnh AB = 1, AC = 2 . Các tam giác SAB và SAC lần lượt vuông tại B và C. Góc giữa
(SBC) và mặt phẳng đáy bằng 600 . Tính thể tích của khối chóp đã cho.
A. V =

2 15
5

B. V =

2 15
15

C.

2 15
3

D.

2 3
3


Đáp án B

SB ⊥ BA
Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy nên 
 BH ⊥ BA
SH ⊥ BA
Tương tự ta cũng có: CH ⊥ CA
Vì ABC là tam giác vuông tại A nên ABHC là hình chữ nhật.
Ta có: SEH = 600  SH = HE 3
Trong đó: HE =

Vậy SH =

HC.HB

HC + HB
2

2

=

2 5
5

2 15
2 15
 VS.ABC =
5
15

Câu 32 (Đoàn Chí Dũng 2018)Cho đoạn thẳng AB cố định trong không gian và có độ dài
AB = 2. Qua các điểm A và B lần lượt kẻ các đường thẳng Ax và By chéo nhau thay đổi
nhưng luôn vuông góc với đoạn thẳng AB. Trên các đường thẳng đó lần lượt lấy các điểm M
N, sao cho AM + 2BN = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ABMN ?
A. Vmax =

1
3

B. Vmax =

3
8

C. Vmax =

1
2

D. Vmax =

3 2
4

Đáp án B
Đặt AM = a, BN = b . Theo bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):
a + 2b = 3  2 2ab  ab 

9
8

Sử dụng công thức giải nhanh đã được học ta có:

V=

AM.BN.d ( AM, BN ) sin ( AM, BN )
6

V=

2absin ( AM, BN ) ab 1 9 3


=

6
3 38 8
Câu 33 (Đoàn Chí Dũng 2018)Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có góc giữa

hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600 và AB = a . Khi đó thể tích của khối ABCC'B'
bằng:
A. a 3 3

B.

Đáp án C
Gọi K là trung điểm của BC

3a 3
4

C.

a3 3
4

D.

3 3a 3
4


Có A'B = A'C  A'BC cân ở A’  A'K ⊥ BC

ABC đều  AK ⊥ BC

 góc giữa (A’BC) và (ABC) là góc AKA ' = 600

BB' ⊥ ( ABC)  BB' ⊥ AK  AK ⊥ ( BCC'B' )
AK =

3
a 3
3a
AB =
 AA ' = AK.tan 600 =
2
2
2

SBCC'B' = BB'.BC =

3a 2
1
3a 3
 VA.BCC'B' = AK.SBCC'B' =
2
3
4

Câu 34: (Đoàn Chí Dũng 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với
AB = 2a; AD = a . Tam giác SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc

với mặt đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 450 . Khi đó thể tích khối chóp
S.ABCD là:
A.

3 3
a
3

B.

1 3
a
3

C. 2a 2

D.

2 3
a
3

Đáp án D
Kẻ SH ⊥ AB  H là trung điểm của AB (do SAB cân tại
S)  HB = a và SH ⊥ ( ABCD )
Do (SAB) ⊥ ( ABCD) , SH ⊥ AB  SH ⊥ BC

BH ⊥ BC
 BC ⊥ ( SHB )
Mặt khác 
 SH ⊥ BC
Suy ra SBH = 450 . Khi đó SH = HB.tan 450 = a
1

1
2
VS.ABCD = SH.SABCD = .a.2a.a = a 3
3
3
3

Câu 35: (Đoàn Chí Dũng 2018) Người ta gọt một khối lập phương bằng gỗ để lấy khối tám
mặt đều nội tiếp nó (tức là khối có các đỉnh là các tâm của các mặt khối lập phương). Biết
cạnh của khối lập phương bằng a. Hãy tính thể tích của khối tám mặt đều đó:

a3
A.
8

a3
B.
12

a3
C.
4

Đáp án D
Phương pháp: Chia khối 8 mặt đều thành 2 khối chóp.

a3
D.
6

Tìm đường cao h của 1 khối chóp. Tính thể tích của khối chóp đó là V. Thì thể tích khối 8
mặt là 2V.
Cách giải: Chia khối 8 mặt đều thành 2 khối chóp như hình vẽ.
Dễ thấy đường cao h = EH =

1
a
EF =
2
2

1
a2
SABCD = AC.BD =
2
2

1 a a2 a3
Thể tích 1 khối chóp là: V1 = . . =
3 2 2 12
a3 a3
Thể tích khối 8 mặt là: V = 2. =
12 6
Câu 36 (Đoàn Chí Dũng 2018): Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có tất cả các
cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AA. Thể tích khối chóp M.BCA1 là:
A. V =

a3 3
12

B. V =

a3 3
124

C. V =

a3 3
6

D. V =

a3 3
8

Đáp án B
 ABC là tam giác đều cạnh a nên có diện tích SABC =

Ta có AM =

a2 3
4

AA1 a
= . Hai tứ diện MABC và MA1BC có chung
2
2

đỉnh C đồng thời diện tích hai đáy MAB và MA1B bằng nhau nên

hai tứ diện này có thể tích bằng nhau, suy ra
1
a3 3
VM.BCA1 = VM.ABC = AM.SABC =
3
24

Câu 37: (Đoàn Chí Dũng 2018)Với một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc một
tấm bìa hình vuông cạnh 12cm rồi gấp lại thành hình hộp chữ nhật không có nắp. Nếu thể
tích của cái hộp đó là 4800 cm3 thì cạnh của tấm bìa có độ dài là:

A. 38cm

B. 42cm

C. 44cm

D. 36cm

Đáp án C
Đặt cạnh tấm bìa hình vuông là x (cm). Cạnh hình vuông ở đáy sau khi cắt và chiều cao hình
hộp lần lượt là x − 24,12 ( cm ) . Thể tích hình hộp V = ( x − 24 ) 12 = 4800 → x = 44 ( cm )
2


Câu 38: (Đoàn Chí Dũng 2018)Cho hình chóp S.ABCD có tam giác ABC cân tại A, cạnh
bên là a. Biết rằng khoảng cách từ đỉnh S tới mặt đáy (ABC) bằng hai lần đường cao kẻ từ
đỉnh A của tam giác ABC đồng thời các SAB, SAC vuông tại B và C. Tìm giá trị nhỏ
nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC
A. R min = a

B. R min = a 3

C. R min = a 2

D. R min =

a 3
2

Đáp án A
Giả sử H là hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy. Khi đó có
các tam giác ABH và ACH vuông tại B và C. Gọi E là trung
điểm của BC. Khi đó ta áp dụng hệ thức lượng (Với AE =
h) ta có:

AE.AH = AB2  AH =

a2
h

Vì SH = 2h do đó: SA = 4h 2 +

4
a4
2 a

2
4h
= 2a

h2
h2

Mặt khác, vì các đỉnh A, B, C, H, S cùng nhìn SA dưới các góc vuông nên bán kính mặt cầu
R=

SA
 a . Do vậy R min = a
2

Câu 39: (Đoàn Chí Dũng 2018)Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng
đáy. ABCD là hình vuông có đường chéo AC = 2a. Biết rằng tam giác SAC vuông cân. Tính
thể tích khối chóp S.ABC?
A. V =

4a 3
3

B. V = 4a 3

C. V = 2a 3

D. V =

2a 3
3

Đáp án D
Câu 40 (Đoàn Chí Dũng 2018): Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng
đáy. ABC là tam giác vuông cân tại A với SA = a, AB = AC = b . Tính thể tích khối chóp

S.ABC
A. V =

ab 2
3

B. V =

ab 2
6

C. V =

a 2b
3

D. V =

a 2b
6

Đáp án B
Câu 41 (Đoàn Chí Dũng 2018): Cho hình chóp S.ABC là tam giác vuông cân có ABC là
tam giác đều cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác vuông cân và nằm trong mặt phẳng vuông
góc đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC .


A. V =

a3 3

12

B. V =

a3 3
18

C. V =

a3 3
24

D. V =

a3 3
36

Đáp án C
Câu 42 (Đoàn Chí Dũng 2018): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Tam
giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
A. V =

a3 6
6

B. V =

a3 3
6

C. V =

a3 2
6

D. V =

a 3 15
6

Đáp án A
Câu 43: (Đoàn Chí Dũng 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Tam giác
SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng SA = a, SB = a 2, SC = a 3 . Tính
thể tích khối chóp S.ABCD.
A. V =

a3 2
3

B. V =

a3
3

C. V =

a3 3
3

D. V =

a3 6
3

Đáp án B
Câu 44 (Đoàn Chí Dũng 2018)Chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều với diện
3a 2 3
tích bằng
. Biết rằng độ dài cạnh bên bằng a 7 . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
4

A. V =

9a 3 2
4

B. V =

3a 3 2
4

C. V =

a3 3
2

D. V =

3a 3 3
4

Đáp án B
Câu 45 (Đoàn Chí Dũng 2018): Chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, các mặt bên
là các tam giác đều. Tính thể tích khối chóp.
a3 2
A. V =
4

a3 2
B. V =
3

a3 2
C. V =
6

a3 2
D. V =
12

Đáp án C
Câu 46 (Đoàn Chí Dũng 2018)Chóp S.ABCD có các mặt bên (SAB) , (SAD ) cùng vuông
góc với đáy. Đáy là hình chữ nhật. Biết rằng tam giác SBD đều với diện tích bằng a 2 3 .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
A. V =

3a 3 2
3

B. V =

a3 2
3

C. V =

a3 2
4

D. V =

a3 2
6

Đáp án A
Câu 47: (Đoàn Chí Dũng 2018)Tính thể tích khối tứ diện S.ABC có SA = SC = a 3 ,
SB = AC = a 5 ,


SC = AB = 2a
A.

a3 6
3

B.

a3 3
3

C.

a3 6
6

D. 4a 3 3

Đáp án A
Với SA = BC = a, SB = AC = b, SC = AB = c ta có công thức tính nhanh thể tích tứ diện gần
đều: VSABC =

2
12

(a

2

+ b 2 − c 2 )( b 2 + c 2 − a 2 )( c 2 + a 2 − b 2 ) . Thay số

a3 6
Câu 48: (Đoàn Chí Dũng 2018)Cho tứ diện đều ABCD có thể tích bằng
. Tính chiều
4

cao của tứ diện.
A. a 2

B.

a 6
3

C. a 3

D.

a 2
2

Đáp án A
Giả sử cạnh tứ diện đều là x ta có: V =

x 6
x3 2
x3 2 a 3 6
và h =

=
3
12
12
12

Câu 49: (Đoàn Chí Dũng 2018) Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a.
Dựng hai tia Bx Dy , ở cùng một phía so với mặt phẳng (P) và vuông góc với (P) .Trên các
tia đó lần lượt lấy các điểm M, N sao cho BM = 2a, DN = a . Tính thể tích tứ diện ACMN ?
A. V =

a3

6

B. V =

a3
2

C. V =

a3 2
3

D. V =

a3 2
4

Đáp án B

AC ⊥ BD
 AC ⊥ ( BMND )
Ta có: 
AC ⊥ BM
1
1
 VACMN = VA.OMN + VC.OMN = SOMN ( OA + OC ) = AC.SOMN
3
3

Lại có: SOMN = SBMND − SMOB − SNOD

 SOMN =

1
1
a 2 1 a 2
3a 2 2
− a.
 SOMN =
( 2a + a ) a 2 − .2a.
2
2
2
2
2
4

1
a3
 VACMN = AC.SOMN =
3
2
Câu 50: (Đoàn Chí Dũng 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a 6 .
Các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên có độ dài bằng

3a 2 . Tính thể tích của khối chóp.


A. V = a 3 3

B. V = 3a 3 3

C. V = a 3 3

D. V =

4a 3 3
3

Câu 51: (Đoàn Chí Dũng 2018)Cho tứ diện O.ABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một
vuông góc với nhau. Biết rằng diện tích các mặt bên OAB, OBC, OCA lần lượt là 3, 4, 5.
Tính thể tích của khối tứ diện O.ABC
A. V =

2 30
3

B. V =

2 15
3

C. V = 2 5

D. V = 2 10

Đáp án A
Đặt

ab


SOAB = 2 = 3
ab = 6

bc
abc
6.8.10 2 30


OA = a, OB = b, OC = c  SOBC =
= 4  bc = 8  VOABC =
=
=
2
6
6
3

ca = 10

ca

SOCA = 2 = 5

Câu 52: (Đoàn Chí Dũng 2018)Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA và tất cả các cạnh còn lại
đều bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất thể tích tứ diện S.ABC?
A.

1
4

B.

1
8

C.

2
12

D.

2
6

Đáp án B
Gọi D và E là các trung điểm của các cạnh BC và SA.
3
Vì các tam giác SBC và ABC đều nên SD = AD =
2
Do vậy tam giác SAD cân tại D có đường cao DE.

3 x2
3 − x2
−
=
Theo Pythagoras: DE = SD − SE =
4 4
2
2

2

Lại có BC ⊥ (SAD)  BC ⊥ SA
1
Và VS.ABC = SA.BC.d ( SA, BC ) .sin (SA.BC )
6

Do đó: VS.ABC

1
3 − x2
1
= x.
.sin 900 = x 3 − x 2
6
2
2

Theo bất đẳng thức Cauchy: VS.ABC =

1
1
1
x 3 − x2  ( x2 + 3 − x2 ) =
12
24
8

Câu 53: (ĐỀ THI THỬ 2018) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao

SO = a, SAB = 450 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng


A.

3a
4

B.

3a
2

3a
2

C.

D.

3a
4

Đáp án C
Tam giác SAB cân tại S có SAB = 450   SAB vuông cân tại S
Suy ra SA ⊥ SB mà SAB = SBC = SAC  SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau
Khi đó

1

1
1
1
=
+ 2 + 2 mà SA = SB = SC = x  x = a 3
2
2
SO
SA SB SC

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là R =

SA 2 + SB2 + SC2 x 3 3a
=
=
2
2
2

Câu 54: (ĐỀ THI THỬ 2018) Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có
AB = 1, AD = 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung

quanh trục MN ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đó?
A. 10

B. 4

C. 2

D. 6

Đáp án B
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC
Khi quay hình chữ nhật xung quanh trục MN ta được hình trụ
+ Bán kính đường tròn đáy là r = AM

AD
=1
2

+ Chiều cao của hình trụ là h = AB = 1
Diện tích toàn phần của hình trụ là Stp = 2r ( r + h ) = 4
Câu 55: (ĐỀ THI THỬ 2018) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC
vuông tại A; AB = 2, AC = 3 . Mặt phẳng ( A'BC) hợp với ( A 'B'C') góc 600 . Thể tích lăng
trụ đã cho bằng bao nhiêu?
A.

9 39
26

B.

3 39
26

C.

18 39
13

D.

Đáp án C
Từ A kẻ AH vuông góc với BC ( H  BC)
Ta có AA' ⊥ ( ABC)  AA' ⊥ BC  BC ⊥ ( AA'H )
Khi đó ( A'BC) ; ( A'B'C') = ( A'BC ) ; ( ABC ) = ( A'H, AH ) = A'HA
Suy ra tan A ' HA =

AA '
= AA ' = tan 600.AH mà AH =
AH

AB.AC
AB2 + AC 2

=

6
13

6 39
13


 AA ' =

6 39
6 39 1
18 39
 VABC.A 'B'C' = AA '.SABC =

. .2.3 =
13
13 2
13

Câu 56 (ĐỀ THI THỬ 2018)Cho hình chóp tứ giá đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh
bên hợp với đáy một góc 600 . Gọi M là điểm đối xứng của C qua D, N là trung điểm SC. Mặt
phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần
lớn trên phần bé) bằng:
A.

7
5

B.

1
7

C.

7
3

D.

6
5

Đáp án A

Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD

V1 là thể tích khối chóp PDQ.BCN và V2 là thể tích của khối chóp còn lại, khi đó
V1 + V2 = V

MB cắt AD tại P → P là trung điểm của AD
MN cắt SD tại Q → Q là trọng tâm của SMC
Ta có

VM.PDQ
VM.BCN

=

MP MD MQ 1 1 2 1
.
.
= . . =
MB MC MN 2 2 3 6

5
Mặt khác VM.BCN = VM.PDQ + V1  V1 = VM.BCN
6

1
Mà SMBC = SABCD , d ( S; ( ABCD ) ) = d ( S; ( ABCD ) )
2

Suy ra VM.BCN = VN.MBC =

1
V
5
7
VS.ABCD =  V1 = V  V2 = V  V1 : V1 = 7 : 5
2
2
12
12

Câu 57: (ĐỀ THI THỬ 2018) Cho tứ diện S.ABC trên cạnh SA và SB lấy điểm M và N
sao cho thỏa tỉ lệ

SM 1 SN
= ;
= 2 , mặt phẳng đi qua MN và song song với SC chia tứ diện
AM 2 NB

thành hai phần, biết tỉ số thể tích của hai phần ấy là K, vậy K là giá trị nào?
A. K =

2
3

B. K =

4
9

C. K =

4
5

D. K =

5
9

Đáp án C
Qua M kẻ MF song song với SC và qua N kẻ NE song song với SC với E và F thuộc
CA và CB. Khi đó thiết diện cần tìm là hình thang MNEF.
Đặt VS.ABC = V; VMNEFCS = V1; VMNEFAB = V2
V1 = VSCEF + VSFME + VSMNE

Ta có:


VSCEF CF CE 1 2 2
=
.
= . =
V
CA CB 3 3 9
VSFME CM SE SM 1
=
.
=
=
VSFEA

SE CA SA 3
VSFEA SEFA SEFA SCEA FA CE 4
=
=
.
=
.
=
V
SABC SCEA SABC CA CB 9



VSFME 1 4 4
= . =
V
V
3 9 27

VSMNE SM SN 2
=
.
=
VSABE SA SB 9
VSMNE SBEA SAEC EB CE 1
=
.
=
.
=

V
SABC SABC CE CB 3

 VSABE =

2
2
4
4
 V1 = V + V = V
27
9
27
9

V1 4
=
V2 5

Câu 58 (ĐỀ THI THỬ 2018)Một hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng V. Khi đó,
thể tích tứ diện A’C’BD
A.

2V
3

B.

2V
3

C.

V
3

D.

V
6

Đáp án C

Hướng dẫn: Khối chóp được phân chia thành 5 tứ diện: một tứ diện A’BC’D và bốn tứ diện
còn lại bằng nhau.
VA 'BC'D = V − 4.VC'CDB = V −

4V V
=
6
3

Câu 59 (ĐỀ THI THỬ 2018)Người ta cắt một tờ giấy hình vuông có cạnh bằng

2 để gấp

thành một hình chóp tứ giác đều sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của hình
chóp. Tính cạnh đáy của khối chóp để thể tích của nó lớn nhất.

A.

2
5

B.

2
5

C. 1

D.

4
5

Đáp án B
Gọi độ dài đáy của hình chóp là x, với 0  x  1 . Đường cao hình chóp là
2

2
 x x
SO = SM − OM = 1 −  −
= 1− x
4
 2
2

2

1
1
1 4
x − x5
Thể tích khối chóp là V = S.h = x 2 1 − x =
3
3
3

Xét hàm f ( x ) = x 4 − x 5 , với x  ( 0;1)
Khi đó f ' ( x ) = 4x 3 − 5x 4 = x 3 ( 4 − 5x ) ; f ' ( x ) = 0  x = 0, x =
Như vậy để thể tích khối chóp lớn nhất thì x =

4
5

4
5

Câu 60 (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
bình hành. Gọi Sx là giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAD ) và ( SBC ) . Khẳng định nào sau
đây đúng?
A. Sx song song với BC .

B. Sx song song với DC .

C. Sx song song với AC .

D. Sx song song với BD .

Hướng dẫn giải: Chọn A
Tự luận:
S

x

A

D

B

C


 AD / / BC

Có  AD  ( SAD ) ; BC  ( SBC )  Sx / / AD/ / BC.

( SAD )  ( SBC ) = Sx
Câu 61: (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Cho hình tứ diện ABCD , lấy M là điểm tùy ý
trên cạnh AD ( M  A, D ) . Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua M song song với mặt phẳng

( ABC ) lần lượt cắt

DB, DC tại N , P . Khẳng định nào sau đây sai?

A. NP//BC.
MP// ( ABC ) .

B. MN //AC.

C. MP//AC.

D.

Hướng dẫn giải: Chọn B
Tự luận:
Lời giải

Đáp án
A
( P )  ( DBC ) = NP , ( ABC )  ( DBC ) = BC , ( P ) // ( ABC )  NP//BC
Đáp

án

C

đúng

vì

( P )  ( DAC ) = MP

,

đúng

vì

( ABC )  ( DAC ) = AC ,

( P ) // ( ABC )  MP//AC
Đáp án D đúng vì MP//AC
Đáp án B sai vì MN , AC là hai đường chéo nhau.
Câu 62: (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Cho hình hộp ABCD.ABCD . Trên ba cạnh
AB , DD , CB lần lượt lấy ba điểm M , N , P không trùng với các đỉnh sao cho
AM DN BP
=
=
. Thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng ( MNP ) là
AB DD BC 
A. Một tam giác.
Hướng dẫn giải: Chọn D
Tự luận:

B. Một tứ giác.

C. Một ngũ giác.

D. Một lục giác.