(GV trần minh tiến) 113 câu hình học không gian image marked image marked

Câu 1 (GV Trần Minh Tiến): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
Mặt phẳng

(SAB)

vuông góc với đáy

( ABCD) .

Gọi H là trung điểm của

AB,SH = HC,SA = AB. Gọi  là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Giá trị

chính xác của tan  là?
A.

1
2

B.

2
3

C.

1
3

D.

2

Đáp án A
Hướng dẫn giải: Ta có: AH =
Có AH 2 + SA 2 =

1
a
a 5
AB = ,SA = AB = a,SH = HC = BH 2 + BC 2 =
2
2
2

5a 2
= SH 2  SAH vuông tại A nên
4

SA ⊥ AB.
Do đó mà SA ⊥ ( ABCD) nên SC, ( ABCD ) = SCA.
(Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy ( ABCD ))
Trong tam giác vuông SAC, có tanSCA =

SA
1
=
AC
2

Dễ dàng chọn được đáp án A.

Bổ trợ kiến thức: Một số định lí và hệ quả mà học sinh cần nhớ:
"Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng
này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt
phẳng kia";
"Cho hai mặt phắng ( (  ) , ( ) vuông góc với nhau. Nếu
từ một điểm thuộc mặt phẳng (  ) ta dựng một đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng () thì đường thẳng này
nằm trong mặt phẳng (  ) '';
"Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba đó";


"Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng d và mặt
phẳng (  ) .
- Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (  ) thì ta nói
rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (  ) bằng 90.
- Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (  ) thì góc giữa d và hình
chiếu d’ của nó trên (  ) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (  ) .”
Câu 2 (GV Trần Minh Tiến)Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
A, AB = 1, AC = 3. Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phắng vuông với đáy. Tính

khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC)
A.

39
13

B. 1

C.

2 39
13

Đáp án C
Hướng dẫn giải: Dễ dàng ta tính được phương án C là phương án đúng

Bổ trợ kiến thức: Một số định lí và hệ quả mà học sinh
cần nhớ:
"Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường
thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với
giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia"
"Cho hai mặt phẳng (  ) , ( ) vuông góc với nhau. Nếu từ
một điểm thuộc mặt phẳng (  ) ta dựng một đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng () thì đường thắng này nằm
trong mặt phẳng (  ) ".

D.

3
2


"Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của
chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó”
"Cho điểm O và mặt phẳng (  ) .Gọi H là hình chiếu vuông góc
của O lên mặt phẳng (  ) Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và
H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (  ) và
được kí hiệu là d ( O; (  ) ) ”.

Câu 3 (GV Trần Minh Tiến) Tam giác ABC vuông tại B có AB = 3a, BC = a. Khi quay
hình tam giác đó xung quanh đường thẳng AB một góc 360 ta được một khối tròn xoay.
Thế tích của khối tròn xoay đó là?
A. a 3

B. 3a 3

C.

a 3
3

D.

a 3
2

Đáp án A
Hướng dẫn giải: Khi quay hình tam giác đó xung quanh đường thẳng AB một góc 360 ta
được một khối nón tròn xoay có đỉnh A, đường cao AB, bán kính đáy R = BC.
1
1
Kết luận V = BC2 .AB = .a 2 . ( 3a ) = a 3
3
3

Câu 4 (GV Trần Minh Tiến) Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng chiều cao và
bằng 2 cm. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng?
A.

8
cm 2
3

B. 4cm 2

C. 2cm 2

D. 8cm 2

Đáp án D
Hướng dẫn giải: Dễ dàng ta nhận thấy được S = 2R.h = 2.2.2 = 8
Câu 5 (GV Trần Minh Tiến): Trong số các hình chừ nhật có cùng chu vi 16 cm, hình chữ
nhật có diện tích lớn nhất bằng?
A. 64cm 2

B. 4cm 2

C. 16cm 2

D. 8cm 2

Đáp án C
Hướng dẫn giải: Gọi độ dài các cạnh của hình chữ nhật là a, b với 0  a, b  8.
Ta có được: 2 ( a + b ) = 16  a + b = 8  b = 8 − a.
Khi đó diện tích hình chữ nhật là: S ( a ) = a (8 − a ) = −a 2 + 8a,S' ( a ) = −2a + 8,

S' ( a ) = 0  a = 4. Ta có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới đây:
Bảng biến thiên:

a
0
S' (a)

+

4
0
16

8
—

S (a)

0

0

Dựa vào bàng biến thiên trên vậy ta kết luận được hình chữ nhật có diện tích lớn nhất
bằng 16 khi cạnh bằng 4.
Bổ trợ kiến thức: Để cho bài toán được giải quyết nhanh hơn các em có thể áp dụng
a+b
a + b  2 ab  ab  
  ab  16
2


Bất đẳng thức Cauchy

với a, b không âm.
2

Dấu "=" xảy ra  a = b = 4
Vậy ta kết luận được hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng 16 khi cạnh bằng 4.
Một số kiến thức cần nhớ cho học sinh khi làm bài thi trắc nghiệm:
Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên tập D
-

Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên tập D nếu f ( x )  M với mọi
x thuộc D và tồn tại x 0  D sao cho f ( x 0 ) = M. Kí hiệu M = max f ( x ) .
D

-

Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên tập D nếu f ( x )  m với mọi
x thuộc D và tồn tại x 0  D sao cho f ( x 0 ) = m. Kí hiệu m = min f ( x ) .
D

Câu 6: (GV Trần Minh Tiến): Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C có đáy là tam giác vuông
cân đỉnh A, mặt bên BCC’B' là hình vuông, khoảng cách giữa AB' và CC’ bằng a. Thế tích
của khối trụ ABC.A'B'C?
A.

2a 3
2

B.

2a 3

3

C.

2a 3

D. a 3

Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Ta có C'C / / ( ABB'A')  d ( CC', AB') = d ( C'C, ( ABB'A' ) ) = d (C', ( ABB'A' ) ) = a
Lại có C'A' ⊥ BB',C'A' ⊥ A'B'  C'A' ⊥ ( ABB'A' )  C'A' = a
Khi đó B'C' = a 2
Mà BCC’B’ là hình vuông nên chiều cao của hình lăng trụ BB' = B'C' = a 2


1
a3 2
Kết luận VABC.A 'B'C' = a 2 .a 2 =
2
2

Câu 7: (GV Trần Minh Tiến): Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a. Biết SA vuông góc với mặt đáy, SB = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, BC. Tính
thể tích V của khối chóp A.SCNM?
A. V =

a3 3
16

B. V =

a3 3
12

C. V =

a3 3
24

D. V =

a3 3
8

Đáp án D
Hướng dẫn giải:
Ta có SABC =

a2
,SA = SB2 − AB2 = 4a 2 − a 2 = a 3
2

1
1
a2 a3 3
VS.ABC = SA.SABC = a 3. =
3
3
2

6

Ta lại có

VB.NAM BN BM 1
1
=
.
=  VB.NAM = VB.CAS
VB.CAS BC BS 4
4

1
3
3 a3 3 a3 3
Kết luận VA.SCNM = VS.ABC − VB.NAM = VS.ABC − VS.ABC = VS.ABC =
=
4
4
4 6
8

Câu 8:

(GV Trần Minh Tiến) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính góc giữa hai

đường thẳng CI và AC, với I là trung điểm của AB?
A. 100

B. 300

C. 1500

Đáp án B
Ta có I là trung điểm của AB nên ( CI;CA ) = ICA
Xét tam giác AIC vuông tại I, có AI =
Suy ra sin ICA =

AB AC
AI 1
=

=
2
2
AC 2

IA 1
=  ICA = 300  ( CI;CA ) = 300
CA 2

D. 1700


Câu 9: (GV Trần Minh Tiến) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Các
tam giác SAB, SAD, SAC là tam giác vuông tại A. Tính cosin góc giữa hai đường
thẳng SC và BD biết SA = 3, AB = a, AD = 3a ?
1
2

A.

B.

3
2

4
130

C.

8
130

D.

Đáp án D
Ta có các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác vuông tại A
Nên SA ⊥ AB, SA ⊥ AD  SA ⊥ ( ABCD )
Gọi O = AC  BD và M là trung điểm của SA. Do đó OM//SC
Hay SC// (MBD) nên (SC;BD) = ( OM;BD) = MOB
Có BM = AM 2 + AB2 =

SA 2
a 7
+ AB2 =
,
4
2

SC a 13
BD a 10
=
, BO =
=
2
2
2
2

MO =

Áp dụng định lý cosin trong tam giác MOB, ta được:
BM2 = OM2 + OB2 − 2OM.OB.cos MOB  cos MOB =

OM2 + OB2 − BM2
8
=
2OM.OB
130

Câu 10: (GV Trần Minh Tiến) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm
của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C’. Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện IABC
và khối lăng trụ đã cho là?
2
3

A.

B.

2
9

Đáp án B
Ta có
Mà


VI.ABC
VABC.A 'B'C'

1
d ( I, ( ABC ) ) .SABC
=3
A 'A.SABC

A 'I A 'M 1
IC
2
=
= 
=
IC
AC
2
A 'C 3

d ( I, ( ABC ) )

A 'A

=

VI.ABC
2
2

=
3
VABC.A'B'C' 9

C.

4
9

D.

1
2


Câu 11: (GV Trần Minh Tiến) Tam giác ABC vuông tại B có AB = 3a, BC =
a. Khi quay hình tam giác đó xung quanh đường thẳng AB một góc 3600 ta được một
khối tròn xoay. Thể tích của khối tròn xoay đó là?
A. a 3

B. 3a 3

C.

a 3
3

D.

a 3
2

Đáp án A
Khi quay hình tam giác đó xung quanh đường thẳng AB một góc 3600 ta được một
khối nón tròn xoay có đỉnh A, đường cao AB, bán kính đáy R = BC.
1
3

1
3

Kết luận V = ..BC2 .AB = ..a 2 . ( 3a ) =  a 3
Câu 12: (GV Trần Minh Tiến) Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng chiều
cao và bằng 2cm. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng?
A.

8 2
cm
3

B. 4cm 2

C. 2cm 2

D. 8cm 2

Đáp án D
Dễ thấy được S = 2R.h = 2.2.2 = 8
Câu 13: (GV Trần Minh Tiến) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và
BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm đoạn MầM NON và P là 1 điểm bất kỳ
trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ
IA + ( 2k − 1) IB + kIC + ID = 0?

A. k = 2

B. k = 4

C. k = 1

D. k = 0

Đáp án C
Ta dễ dàng chứng minh được IA + IB + IC + ID = 0 nên k = 1. Thật vậy ta có
IA + IB + IC + ID = 2IM + 2IN = 4II = 0

*

Bổ trợ kiến thức: phép cộng và phép trừ hai vectơ trong không gian được định
nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ hai vectơ trong mặt phẳng. Phép cộng
hai vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng hai vectơ trong
mặt phẳng.

Câu 14: (GV Trần Minh Tiến) Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là sai?
A. Cho a, b là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Đường vuông góc
chung của a và b nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia.


B. Không thể có một hình chóp tứ giác S.ABCD nào có hai mặt bên

(SAB) và

(SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy.
C. Cho u, n là hai véctơ chỉ phương của hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt
phẳng (  ) và n là véctơ chỉ phương của đường thẳng  . Điều kiện cần và đủ để  ⊥ (  )
là u.n = 0 và n.v = 0
D. Hai đường thẳng a và b trong không gian có các véctơ chỉ phương lần lượt là u và
v . Điều kiện cần và đủ để a và b chéo nhau là a và b không có điểm chung và hai véctơ
u, v không cùng phương.

Đáp án B
Tồn tại một hình chóp tứ giác S.ABCD có hai mặt bên

(SAB) và

(SAD) cùng

vuông góc với mặt phẳng đáy.
* Bổ trợ kiến thức: học sinh ghi nhớ một số kết quả quan trọng:
Cho a, b là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Đường vuông góc
chung của a và b nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường
kia;
Cho u, n là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt

phẳng (  ) và n là vectơ chỉ phương của đường thẳng . Điều kiện cần và đủ để
 ⊥ (  ) là u.n = 0 và n.v = 0 ;

Hai đường thẳng a và b trong không gian có các vectơ chỉ phương lần lượt là u và
v . Điều kiện cần và đủ để a và b chéo nhau là a và b không có điểm chung và hai

vectơ u, v không cùng phương.
Câu 15:

(GV Trần Minh Tiến) Cho tam giác cân ABC có đường cao

AH = a 3, BC = 3a, BC chứa trong mặt phẳng

(P). Gọi A’ là hình chiếu vuông góc

của A lên mặt phẳng (P). Biết tam giác A’BC vuông tại A’. Gọi  là góc giữa (P)
và (ABC). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A.  = 300
Đáp án D

B.  = 450

C. cos =

2
3

D.  = 600

BC ⊥ AA '
 BC ⊥ ( A 'AH )  BC ⊥ A 'H.
BC ⊥ AH

Ta có: 


( ABC )  ( A ' BC ) = BC

BC ⊥ AH, BC ⊥ A ' H

Do đó: 

 ( ( ABC ) , ( A 'BC ) ) = ( AH, A 'H ) = AHA '

Mặt khác, tam giác A’BC vuông cân tại A’
1
2

nên A ' H = BC =

3a
. Ta có:
2

3a
A 'H
1
cos  =
= 2 =   = 600

AH a 3 2

* Bổ trợ kiến thức: cách xác định góc giữa hai mặt
phẳng cắt nhau:
Giả sử hai mặt phẳng ( ) , (  ) cắt nhau theo giao
tuyến c. Từ một điểm I bất kỳ trên c ta dựng trong

( ) đường thẳng a vuông góc với c và dựng trong
(  ) đường thẳng b vuông góc với c. Ta chứng minh
được góc giữa hai mặt phẳng ( ) và (  ) là góc giữa hai đường thẳng a và b.

Câu 16:

(GV Trần Minh Tiến)Cho hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu

cạnh?

A. 8
Đáp án D

B. 9

C. 12

D. 16


Câu 17 (GV Trần Minh Tiến): Cho một hình đa diện. Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh.

B. Mỗi mặt có ít nhất 3 cạnh.
C. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt
D. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt
Đáp án C
Ta thấy các đáp án A, B, D đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện.
Câu 18 (GV Trần Minh Tiến): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a, SA = SB,

SC =SD, (SAB) ⊥ (SCD) và tổng diện tích hai tam giác SAB và

7a 2
SCD bằng
. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD?
10
a3
A. V = .
5

4a 3
B. V =
.
15

4a 3
C. V =
.
25

12a 3
D. V =

.
25

Đáp án C
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD
Tam giác SAB cân tại S suy ra SM ⊥ AB
 SM ⊥ d, với d = (SAB)  (SCD)

Vì (SAB) ⊥ (SCD) suy ra SM ⊥ (SCD)
 SM ⊥ SN và (SMN ) ⊥ ( ABCD)

Kẻ SH ⊥ MN  SH ⊥ ( ABCD )
Ta có SSAB + SSCD =


7a 2
10

1
1
7a 2
7a
AB.SM + CD.SN =
 SM + SN =
2
2
10
5

Tam giác SMN vuông tại S nên SM 2 + SN 2 = MN 2 = a 2

7a

3a
4a
SM.SN 12a
SM + SN =
 SH =
=
Giải hệ 
5  SM = & SN =
5
5
MN
25
SM 2 + SN 2 = a 2



4a 3
25

1
3

Vậy thể tích khối chóp VS.ABCD = .SABCD .SH =

Câu 19 (GV Trần Minh Tiến): Gọi Đ là số các đỉnh, M là số các mặt, C là số các
cạnh của một hình đa diện bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Ñ  4, M  4, C  6

B. Ñ  5, M  5, C  7

C. Ñ  4, M  4, C  6

D. Ñ  5, M  5, C  7

Đáp án C
Xét hình đa diện là hình tứ diện thì kết quả về quan hệ số đinh và số mặt thỏa mãn
đáp án C.
Câu 20:

(GV Trần Minh Tiến) Cho tứ diện ABCD có thể

tích bằng V. Gọi B’ và D’ lần lượt là trung điểm của cạnh
AB và AD. Mặt phẳng (CB'D’) chia khối tứ diện thành hai
phần. Tính theo V thể tích khối chóp C.B’D’DB?
A.

3V
2

B.

V
4

C.

V
2

D.

3V
4

Đáp án D
Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích, ta có:
VA.B'CD' AB' AC AD ' 1
V
=
.
.
=  VA.B'CD' =
VA.BCD
AB AC AD 4
4

Mà VA.BCD = VA.B'CD' + VC.BDD'B'  VC.BDD'B' = V −

V 3V
=
4
4

Câu 21: (GV Trần Minh Tiến) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm với
BAD = 1200 và BD = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt (SBC) và
đáy bằng 600. Mặt phẳng (P) đi qua BD và vuông góc với cạnh SC. Tính tỉ số thể tích
giữa hai phần của hình chóp do mặt phẳng (P) tạo ra khi cắt hình chóp?
A. 10

B. 11

C. 12

Đáp án D
Gọi O là tâm của đáy ABCD, M là trung điểm của BC.
Từ O kẻ OH vuông góc với SC, ta có SC ⊥ ( BDH )

D. 13


Ta có

VS.AHD SH VS.AHB SH
=
,
=
VS.ACD SC VS.ACB SC

1
2

mà VS.ACD = VS.ACB = VS.ABCD =
nên

V
2

VS.AHD + VS.AHB 2SH

V
SH
=
 S.ABHD =
V
SC
V
SC
2

Có BC ⊥ (SAM ) nên

( (SBC ) ; ( ABCD ) ) = SMA = 60

Mặt khác: CAS CHO 
Suy ra

0

 SA =

3a
2

CH CO
a
=
 CH =
CA SA
13

SH SC − HC
HC 11
11
=
= 1−
=  VS.ABHD = V
SC
SC
SC 13
13

Do đó VH.BCD = V − VS.ABHD = V =

11
2
V = V.
12
13

Câu 22 (GV Trần Minh Tiến)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
bằng a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc tạo bởi SC với ( SAB ) là 300 . Gọi E , F lần
lượt là trung điểm của BC và SD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau DE và CF
là?
A.

a 21
.
21

B.

3a 17
.
11

C.

a 13
.
13

Đáp án C.
Hướng dẫn giải:
Ta có d ( DE , CF ) = d ( DE, ( FCK ) ) = d ( D, ( FCK ) ) =
Kẻ HI ⊥ CK , HJ ⊥ FI
 HJ = d ( H, ( FCK ) ) = d ( DE , CF ) =

Ta có HI =

(

1
HJ
2

2a 5
5

)

Ta có SC, SAB = BSC = 300  SB = a 3
 SA = SB 2 − AB 2 = a 2  HF =

a 2
2

1
( H, ( FCK ) )
2

D.

3a 31
.
31


Ta có

1
1
1
13
2a 13
a 13
.
=
+
= 2  HJ =

 d ( DE , CF ) =
2
2
2
HJ
HI
HF
4a
13
13

Câu 23: (GV Trần Minh Tiến) Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C .
Có CA = a , CB = b cạnh SA = h vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm của cạnh AB .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD là?
A.

ah
a 2 + h2

.

B.

bh
b 2 + 4h 2

.

C.

ah
b 2 + 4h 2

.

D.

ah
b 2 + 2h 2

.

Đáp án B.
Hướng dẫn giải:
Dựng hình bình hành ACDK  d ( AC; SD ) = d ( AC; ( SDK ) ) = d ( A; ( SDK ) ) = d
+Kẻ AP ⊥ DK 

1
1
1
= 2+
2
d
SA
AP2

+ Gọi M = BC  DK  ACMP laøhình chöõnhaä
t  AP = CM =


1
1 4
= 2 + 2 d=
2
d
b b

bh
b2 + 4h2

b
2

.

(GV Trần Minh Tiến) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật

Câu 24:

AB = 2a , AD = a 3 . Tam giác SBD vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy. Góc giữa SD và ( ABCD ) bằng 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết
A. VS . ABCD = a3 3 .
VS . ABCD =

B. VS . ABCD = a 3 .

a3 7
.
2

Đáp án D.
Hướng dẫn giải:
Kẻ SH ⊥ AB  SH ⊥ ( ABCD )
2

HB  SB  1
=
Do SBD vuông tại S nên
 =
HD  SD 
3

C. VS . ABCD =

a3 3
.
3

SB
1
?
=
SD
2

D.


Ta có BD = AB 2 + AD 2 = a 7  HD =

3a 7
4

)

(

Mặt khác SD, ( ABCD ) = SDH = 300  SH = HD.tan 300 =

3a 7
4 3

Ta có S ABCD = AB. AD = 2a 2 3
VS . ABCD

1
1 3a 7
a2 7
2
.
= SH .S ABCD = .
.2a 3 =
3
3 4 3
2

Câu 25: (GV Trần Minh Tiến) Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 2cm , góc ở đỉnh
bằng 600 . Diện tích xunh quanh của hình nó là?
A. 6 cm 2 .

B. 3 cm 2 .

C. 2 cm 2 .

D.  cm 2 .

Đáp án C.
Hướng dẫn giải: Dễ thấy được AB 2 = SA2 + SB 2 − 2SA.SB.cos ASB

 AB = 22 + 22 − 2.2.2.cos600 = 2. AB = 2R  R = 1
Kết luận S =  R.l =  .1.2 = 2 .
Câu 26:

(GV Trần Minh Tiến) Cho khối nón ( N ) có bán kính đáy bằng 3 và diện tích

xunh quanh bằng 15 . Tính thể tích V của khối nón
A. V = 12 .

B. V = 20 .

(N)?

C. V = 36 .

D. V = 60 .

Đáp án A.
Hướng dẫn giải: Ta có công thức tính diện tích xunh quanh của khối nón là:

S =  R.l = 15  l = 5

1
Khi đó h = l 2 − R2 = 52 − 32 = 4 và dễ dàng  V = . .32.4 = 12 .
3

Câu 27 (GV Trần Minh Tiến)Cho hình chóp S.ABC , lấy các điểm A , B  , C lần lượt
thuộc các tia SA , SB , SC sao cho SA = aSA , SB = bSB , SC = cSC , trong đó a, b, c là các số
thay đổi. Tìm mối liên hệ giữa a, b, c để mặt phẳng ( ABC ) đi qua trọng tâm tam giác ABC
?
A. a + b + c = 3 .

B. a + b + c = 4 .

C. a + b + c = 2 .

D. a + b + c = 1.

Đáp án A.
Hướng dẫn giải: Nếu a = b = c = 1 thì SA = SA , SB = SB , SC = SC nên ( ABC )  ( ABC)
Dễ thấy ( ABC ) đi qua trọng tâm của tam giác ABC  a + b + c = 3 là đáp án đúng.


Câu 28 (GV Trần Minh Tiến): Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a ,

SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a . Độ dài đoạn vuông góc chung SB và CD bằng?
B. a 6 .

A. a .

C. a 2

D. a 3 .

Đáp án A.
Hướng dẫn giải: Dễ thấy được độ dài đoạn vuông góc chung
bằng khoảng cách hai đường thẳng SB, CD bằng BC = a .
Bổ trợ kiến thức: Đường thẳng  cắt hai đường thẳng chéo
nhau a , b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung
của a và b .Nếu đường vuông góc chung  cắt hai đường thẳng chéo nhau a , b lần lượt tại
M , N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

.
Câu 29: (GV Trần Minh Tiến) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
A. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
B. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b đồng thời a ⊥ b . Luôn có mặt phẳng ( ) chứa a
và ( ) ⊥ b .
C. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Nếu mặt phẳng ( ) chứa a và mặt
phẳng (  ) chứa b thì ( ) ⊥ (  ) .
D. Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng khác.
Đáp án B.
Hướng dẫn giải: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b đồng thời a ⊥ b , luôn tồn tại mặt
phẳng ( ) chứa a và ( ) ⊥ b là khẳng định đúng.
Bổ trợ kiến thức: Một số định lí và hệ quả mà học sinh cần nhớ: “Nếu hai mặt phẳng vuông
góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao
tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia”; “ Cho hai mặt phẳng

( ) , (  )

vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm thuộc mặt

phẳng ( ) ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

(  ) thì đường thẳng này nằm trong măt phẳng ( ) ”;
“Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của
chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó”.


Câu 30: (GV Trần Minh Tiến) Cho tứ diện ABCD . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của
AB và CD , I là trung điểm của EF . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. IA + IB + IC + ID = IE + 2IF .

B. IA + IB + IC + ID = 0 .

C. IA + IB + IC + ID = IE + IF .

D. IA + IB + IC + ID = 2 IE + IF .

(

)

Đáp án A.

(

)

Hướng dẫn giải: Dễ dàng ta có được IA + IB + IC + ID = 2IE + 2IF = 2 IE + IF = 0 .
Câu 31: (GV Trần Minh Tiến) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh

a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của cạnh BC .
Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABC ) bằng 600 . Tính theo a thể tích V của khối
chóp S.ABC ?
A. V =

a3 3
.
8

B. V =

3a 3 3
.
8

C. V =

a3 3
.
4

D. V =

a3 3
.
3

Đáp án A.
Hướng dẫn giải: Vì SH ⊥ ( ABC ) nên hình chiếu vuông góc của SA trên mặt đáy ( ABC ) là
HA . Do đó 600 = SA, ( ABC ) = SA, HA = SAH

Tam giác ABC đều cạnh a nên AH =

a 3
.
2

Tam giác vuông SHA , có SH = AH .tan SAH =
Diện tích tam giác đều ABC là S ABC

3a
.
2

a3 3
=
.
4

1
a3 3
Vậy VS . ABCD = S ABC .SH =
.
3
8

Câu 32: (GV Trần Minh Tiến) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
B , đỉnh S cách đều các điểm A , B , C . Biết AC = 2a , BC = a ; góc giữa đường thẳng SB

và mặt đáy ( ABC ) bằng 600 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC ?

A. V =

a3 6
.
4

B. V =

a3 6
.
6

C. V =

a3
.
2

D. V =

a3 6
.
12

Đáp án C.
Hướng dẫn giải: Gọi H là trung điểm AC . Do tam giác ABC vuông tại B nên H là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Đỉnh S cách đều các điểm A , B , C nên hình chiếu của


S trên mặt đáy

( ABC ) trùng

với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , suy ra

SH ⊥ ( ABC ) . Do đó 600 = SB, ( ABC ) = SB, BH = SBH .
Tam giác vuông SBH , có SH = BH .tan SBH =

AC
.tan SBH = a 3 .
C

Tam giác vuông ABC ,có AB = AC 2 − BC 2 = a 3 .
Diện tích tam giác vuông
SABC

1
a2 3
= BA.BC =
2
2

Vậy VS . ABC

1
a3
= SABC .SH =
3
2

Câu 33: (GV Trần Minh Tiến) Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là?
A. 4 mặt phẳng.

B. 6 mặt phẳng.

C. 8 mặt phẳng.

D. 10 mặt phẳng.

Đáp án B.
Hướng dẫn giải: Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một
cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện.

Vậy hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng.
Câu 34 (GV Trần Minh Tiến): Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối
xứng?
A. 4 mặt phẳng.

B. 1 mặt phẳng.

C. 2. mặt phẳng

D. 3 mặt phẳng.

Đáp án A.
Hướng dẫn giải: Hình lăng trụ tam giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng (Hình vẽ bên dưới).

Câu 35 (GV Trần Minh Tiến)Hình lập phương có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 8 mặt phẳng.

B. 9 mặt phẳng.

C. 10 mặt phẳng.

Đáp án B.
Hướng dẫn giải: Có 9 mặt đối xứng (như hình vẽ sau):

D. 12 mặt phẳng.


Câu 36 (GV Trần Minh Tiến): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân
với cạnh đáy AD và BC . AD = 2a , AB = BC = CD = a , BAD = 600 . Cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng ( ABCD ) và SD tao với mặt phẳng ( ABCD ) góc 450 . Tính theo a thể
tích V của khối chóp S.ABCD ?
A. V =

a3 3
.
6

B. V =

a3 3
.
2

C. V =

3a 3 3
.

2

D. V = a3 3 .

Đáp án B.
Hướng dẫn giải: Ta có 450 = SD, ( ABCD ) = SD, AD = SDA .
Suy ra tam giác SAD vuông cân tại A nên SA = AD = 2a .
Trong hình thang ABCD , kẻ BH ⊥ AD ( H  AD ) .
Do ABCD là hình thang cân nên AH =

AD − BC a
= .
2
2

Tam giác AHB ,có BH = AB 2 − AH 2 =
Diện tích S ABCD =

a 3
.
2

1
3a 2 3
.
( AD + BC ) BH =
2
4

1

a3 3
Vậy VS . ABCD = S ABCD .SA =
.
3
2

Câu 37:

(GV Trần Minh Tiến) Cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD là hình vuông cạnh a . Hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAD ) cùng vuông góc với đáy. Góc

giữa đường thẳng SB và mặt phẳng
đường thẳng SB , AD ?

( ABCD ) bằng 60

. Tính theo a khoảng cách giữa 2


A. a 3

B.

a 3
2

C.

a 3

3

D.

a 3
5

Đáp án B.
* Hướng dẫn giải:
( SAB )  ( SAD ) = SA

+) ( SAB ) ⊥ ( ABCD )  SA ⊥ ( ABCD )  ( SB; ( ABCD ) ) = SBA = 60

( SAD ) ⊥ ( ABCD )

( SBC )  d ( AD; SB ) = d ( AD; ( SBC )) = d ( A; ( SBC ))

+) AD BC  AD

+) Ta có AB ⊥ BC , kẻ AP ⊥ SB ( P  SB )  d ( A; ( SBC ) ) = AP  d ( AD; SB ) = AP
AP
3
3
a 3
a 3
= sin 60 =
 AP =
AB =
 d ( AD; SB ) =
AB

2
2
2
2

+) sin ABP =

Câu 38 (GV Trần Minh Tiến): Cho lăng trụ ABC.ABC có tất cả các cạnh đáy bằng a .
Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60 và H là hình chiếu của đỉnh A lên mặt phẳng

( ABC ) , H trùng với trung điểm của cạnh BC . Góc giữa BC và AC là  . Giá trị của
tan  là?

A. 3

B. -3

C.

1
3

D.

−1
3

Đáp án A.
* Hướng dẫn giải: Ta có AH là hình chiếu của AA lên mặt phẳng đáy

)

(

Do đó AA; ( ABC ) = ( AA; AH ) = AAH = 60
Lại có AH =
Và AA =

⚫

B⚫

C
⚫

a
a 6
a a 3
 AH = tan 60. =
= BH nên AB =
2
2
2
2

AH
= a  AC  = a
cos 60

Mặt khác ( BC; AC) = ( AC; BC ) = ACB = 

AC 2 + BC 2 − AB2 1
Do đó cos  =
=
2. AC .BC 
4

Suy ra tan  =

1
−1 = 3
cos2 

⚫
B

⚫
⚫

A’

A
H

⚫

C’


Câu 39:

(GV Trần Minh Tiến) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật

1
cạnh AB = 4a, AD = a 3 . Điểm H nằm trên cạnh AB thỏa mãn AH = HB . Hai mặt phẳng
3

( SHC ) và ( SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết

SA = a 5 . Cosin của góc giữa

SD và ( SBC ) là?

A.

5
12

B.

5
13

4
13

C.

D.

1

3

Đáp án B.
* Hướng dẫn giải:
s

F
K
A

D

H
E

B

C

Kẻ HK ⊥ SB  HK ⊥ ( SCB ) . Gọi E = DH  BC , kẻ DF HK ( F  EK )

 DF ⊥ ( SBC )  ( SD, ( SBC ) ) = ( SD, SF ) = DSF
Ta có SH = SA2 − AH 2 = 2a . Xét SHB có
Ta có

1
1
1
13
6a

=
+
=
 HK =
2
2
2
2
HK
SH
HB
36a
13

EH HB 3
HK EH 3
8a
.
=
= 
=
=  DF =
ED CD 4
DF ED 4
13

Ta có SD = SH 2 + DH 2 = 2a 2
 SF = SD 2 − DF 2 =

2a 10

SF
5
 cos DSF =
=
SD
13
13

Câu 40: (GV Trần Minh Tiến) Người ta bỏ 3 quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một
chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng 3 lần đường
kính xung quanh của quả bóng bàn. Gọi S1 là tổng diện tích của 3 quả bóng bàn, S 2 là diện
tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số

S1
bằng?
S2


A. 1

B.

3
2

C. 2

D.

6

5

Đáp án A.
* Hướng dẫn giải: Đơn giản ta có được S1 = 3 ( 4 r 2 ) = 12 r 2 , S 2 = 12 r 2 

S1
=1
S2

Câu 41: (GV Trần Minh Tiến) Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng a .
Một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình
vuông ABCD . Diện tích xung quanh của hình nón đó là:
A.

 a2 3
3

B.

 a2 2
2

C.

 a2 3
2

D.

 a2 6

2

Đáp án C.
* Hướng dẫn giải: Dễ dàng tìm ra được đường cao a, đường sinh là

a 6
và bán kính đáy
2

a 2
 a2 3
, kết luận được S xq =  rl =
2
2

Câu 42: (GV Trần Minh Tiến) Cho hình chóp S.ABC thỏa mãn SA = SB = SC . Gọi H là
hình chiếu vuông góc của S lên mp ( ABC ) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định
sau?
A. H là trực tâm tam giác ABC
B. H là trọng tâm tam giác ABC
C. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
D. H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Đáp án C.
* Hướng dẫn giải:
Hình chop S.ABC thoả mãn SA = SB = SC do đó S thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC và chân đường cao hạ từ S là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy, dễ thấy H là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 43: (GV Trần Minh Tiến) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm

O , SA vuông góc với đáy ( ABCD) . Gọi K , H , M theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của

B, O, D lên SC .
Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SC và BD là đoạn thẳng nào dưới đây?
A. BS
Đáp án D.

B. BK

C. DM

D. OH


* Hướng dẫn giải: Dễ dàng ta có thể chứng minh được OH ⊥ BD, OH ⊥ SC từ đó suy ra
đoạn vuông góc chung của cả hai đường thẳng SC và BD là OH
* Bổ trợ kiến thức: Đường thẳng  cắt hai
đường chéo nhau a, b và cùng vuông góc với
mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông

M
a

góc chung của a và b. Nếu đường vuông góc
chung  cắt hai đường chéo nhau a,b lần lượt
tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

b

a và b.

N

Câu 44 (GV Trần Minh Tiến): Cho hình
chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc ABC = 60 . Các cạnh SA, SB, SC
đều bằng a

3
. Gọi  là góc của hai mặt phẳng ( SAC ) và ( ABCD ) . Giá trị tan  bằng bao
2

nhiêu?
A. 2 5

B. 3 5

C. 5 3

D.

3

Đáp án A.
* Hướng dẫn giải:
Dễ thấy AB = BC và ABC = 60 nên tam giác ABC đều. Gọi H là hình chiếu của A lên

( ABCD ) . Do SA = SB =SC nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

( SAC )  ( ABCD ) = AC
 ( ( SAC ) , ( ABCD ) ) = ( SO, HO ) = SOH


SO
⊥
AC
,
HO
⊥
AC



Mặt

khác,

1
1 a 3 a 3
3a 2 a 2 a 5
2
2
HO = BO = .
=
,SH = SB − BH =
−
=
3
3 2
6
4
3
2 3

C

a 5
SH 2 3
 tan  =
=
=2 5
HO a 3
6

a

I

* Bổ trợ kiến thức:
b


Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau: Giả sử hai mặt phẳng ( ) , (  ) cắt nhau theo
giao tuyến c.
Từ một điểm I bất kỳ trên c ta dựng trong ( ) đường thẳng a vuông góc với c và dựng trong

( )

đường thẳng b vuông góc với c. Ta chứng minh được góc giữa hai mặt phẳng ( ) và

(  ) là góc giữa hai đường thẳng a và b.
Một số kiến thức các em học sinh cần ghi nhớ: “Điều kiện để ba vectơ

đồng phẳng: “Góc

giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( ) .
+ Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) thì ta nói rằng góc giữa đường
thẳng d và mặt phẳng ( ) bằng 90 .
d

+ Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với

A

mặt phẳng ( ) thì góc giữa d và hình chiếu d  của
nó trên ( ) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt

O

phẳng ( ) .”

H

- Trích SGK Hình học lớp 11 chương III bài 3:
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, phần V, mục
3 định nghĩa;
“ Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không
a

gian là góc giữa hai đường thẳng

b

a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song

a’

song với a và b”
- Trích SGK Hình học lớp 11 chương III bài 2: Hai

b’

O

đường thẳng vuông góc, phần III, mục 1 định
nghĩa.
Câu 45:

(GV Trần Minh Tiến) Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật

AD = 2a; AC = 3a . Gọi H là trọng tâm tam giác ABD . Biết SH vuông góc với mặt phẳng
đáy. Góc giữa SA và ( ABCD ) bằng 45 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD ?
A. VS . ABCD = a 3
Đáp án C.
* Hướng dẫn giải:

B. VS . ABCD = 2a 3

C. VS . ABCD =

2a 3 5
3

D. VS . ABCD =

a 3 13
3


Ta có ( SA, ( ABCD ) ) = SAH = 45
Ta có AH =

1
AC = a  SH = AH .tan 45 = a
3

Ta có AB = AC 2 − BC 2 = a 5  S ABCD = AB.AD = 2a2 5
1
1
2a 3 5
 VS . ABCD = SH .S ABCD = .a.2a 2 5 =
3
3
3

Câu 46 (GV Trần Minh Tiến)Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là
hình thoi cạnh a, tâm O, BAD = 120 . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm
H của đoạn AO. Góc giữa SC và ( ABCD ) bằng 60 . TÍnh thể tích khối chóp S.ABCD ?
A. VS . ABCD = a3 3

B. VS . ABCD =

2a 3 3

3

C. VS . ABCD =

2a 3
8

D. VS . ABCD =

3a3
8

Đáp án D.
Hướng dẫn giải:
Do BAD = 120  ABC = 60  AC = a  HC =

3a
4

Ta có ( SC , ( ABCD ) ) = SCH = 60
 SH = HC tan 60 =

Ta có S ABCD =

3a 3
4

1
1
a2 3

AC.BD = a.a 3 =
2
2
2

1
1 3a 3 a 2 3 3a 3
 VS . ABCD = SH .S ABCD = .
.
=
3
3 4
2
8

Câu 47 (GV Trần Minh Tiến)Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh 2a, tâm
O, BAC = 60 . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABCD ) là điểm H của đoạn AB sao cho
AH = 2 BH . Góc giữa SC và ( ABCD ) bằng 45 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD ?

A. VS . ABCD = a3 3
VS . ABCD =

2a 3 21
3

B. VS . ABCD =

4a 3 39
9

D. VS . ABCD =

a3 3
8

S
⚫

C.

Đáp án B.
* Hướng dẫn giải:
Ta có

⚫
A

⚫D

⚫
H
⚫
B

⚫
C


CH = BH 2 + BC 2 − 2 BH .BC.cos120 =

2a 13
3

Mặt khác ( SC , ( ABCD ) ) = SCH = 45
 SH = CH .tan 45 =

Ta có: S ABCD =
 VS . ABCD

2a 13
3

1
1
AC.BD = .2 a .2 a 3 = 2a 2 3
2
2

1
1 2a 13
4a 3 39
2
= SH .S ABCD = .
.2a 3 =
3
3
3
9

Câu 48 (GV Trần Minh Tiến)Một khối hộp chữ nhật ( H ) có các kích thước là a, b, c . Khối

hộp chữ nhật ( H  ) có các kích thước tương ứng lần lượt là
V( H )
V( H )

a 2b 3c
, , . Khi đó tỉ số thể tích
2 3 4

là?

A.

1
24

B.

1
12

C.

1
2

D.

1
4

Đáp án D.
V( H ) 1
a 2b 3c abc
* Hướng dẫn giải: Ta có V( H ) = abc và V( H ) = . . =

=
2 3 4
4
V( H ) 4

(GV Trần Minh Tiến) Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình

Câu 49:
vuông cạnh

2a . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABCD) bằng 60 . Tính bán kính

R của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD ?
A. R = 2a

B. R = a

C. R =

2 3
a
3

Đáp án C.
* Hướng dẫn giải:

Gọi H = AC  BC , hình chóp tứ giác đều S. ABCD  SH ⊥ ( ABCD )
Dựng hình như bên với OP là đường trung trực của đoạn SD
 SO = OA = OB = OC = OD = R

SPO

SHD ( g − g ) 

SO SP
=
SD SH

D. R =

3
a
2