Phương pháp tính nhanh khoảng cách từ điểm tới mặt

GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM , Nhận dạy Luyện Thi Toán THPT
Tel : 0909520755 , Face : Hoàng Trọng Tấn
Page : tracnghiemtoan.vn – T(100) pp phân rã

Phương pháp: Tính nhanh khoảng cách
từ điểm tới mặt
A.Khoảng cách từ chân đường cao tới mặt bên của tứ diện
Xét bài toán : cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) , tìm
khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC)
Giải
Kẻ AK vuông góc BC tại K
Kẻ AH vuông góc SK tại H
Thì d(A,(SBC ))

AH

Tính AH

TH1 :
Nếu tam giác ABC vuông tại A thì ta có:
1
AH 2

1
SA2

1
AK 2

1
AS 2

1
AB 2

1
AC 2

TH2 :
Nếu tam giác ABC vuông tại B ( hoặc C ) thì lúc này AK trùng với AB ( hoặc AC ):
1
AH 2

1
SA2

1
1
, hoặc (
2
AB
AH 2

1
SA2

1
)
AC 2

Nhận luyện thi theo nhóm , lớp khu vực TPHCM ..

242 Độc Lập , Tân Thành, Tân Phú , TPHCM


GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM , Nhận dạy Luyện Thi Toán THPT
Tel : 0909520755 , Face : Hoàng Trọng Tấn
Page : tracnghiemtoan.vn – T(100) pp phân rã

TH3 :
Nếu tam giác ABC không vuông thi ta có:
1
AH 2

1
SA2

1
d(A, BC )2

mà d(A, BC ) bằng với độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC nên ta có thể dùng
diện tích hoặc các công thức lượng giác  để tính độ dài đường cao
Ví dụ: Cho tam giác ABC như hình vẽ, hãy tính độ dài đường cao tam giác ABC biết
độ dài các cạnh tam giác: AB

a, AC

a 3, BC

Áp dụng công thức diện tích ta có: SABC

1

AH .BC
2

Tính diện tích:

B1: bấm

KQ: là

B2: bấm

11
vậy diện tích là
4
2

Suy ra AH

a 2 11
4
a 5

a

a 5.

11 2
a .
4

55
10

Nhận luyện thi theo nhóm , lớp khu vực TPHCM ..
242 Độc Lập , Tân Thành, Tân Phú , TPHCM

AH

2SABC
BC

.


GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM , Nhận dạy Luyện Thi Toán THPT
Tel : 0909520755 , Face : Hoàng Trọng Tấn
Page : tracnghiemtoan.vn – T(100) pp phân rã

B.Khoảng cách từ điểm không phải là chân đường cao tới mặt bên

Bước 1 :
Ta chỉ cần tính trước khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (SBC)

Bước 2 :
Sau đó vì AM
d(M ,(SBC ))
d(A,(SBC ))

(SBC )

H nên

HM
HA

Còn nếu DA / /BC thì : d(D,(SBC ))

d(A,(SBC ))

Lưu ý khi tính toán thì để thuận tiện ta nên nhớ các kết quả sau :
Cạnh , khoảng cách thì đơn vị là : a
Diện tích thì đơn vị là : a 2
Thể tích thì đơn vị là : a 3
Vì vậy ta chỉ cần tính số sau đó ráp các đơn vị tương ứng vào là được
Nhận luyện thi theo nhóm , lớp khu vực TPHCM ..
242 Độc Lập , Tân Thành, Tân Phú , TPHCM


GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM , Nhận dạy Luyện Thi Toán THPT
Tel : 0909520755 , Face : Hoàng Trọng Tấn
Page : tracnghiemtoan.vn – T(100) pp phân rã

Bài Tập
Bài 1 : Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , có AB

a, AC

a 3

và cạnh SA 2a , cạnh bên SA vuông góc với đáy . Tính khoảng cách từ điểm A đến
mặt phẳng (SBC ) .
Giải : dễ thấy bài toán này thỏa mãn công thức 1 vì vậy ta có ngay
1
d (A,(SBC ))

1
SA2

d(A,(SBC ))

2 57a
19

2

1
AB 2

1
thay (SA, AB, AC ) bởi (2,1, 3) thì ta có ngay
AC 2

Bài 2 : Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , có AB a và cạnh
SA 2a , cạnh bên SA vuông góc với đáy . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng (SBC ) .
Giải : dễ thấy bài toán này thỏa mãn công thức 2 vì vậy ta có ngay
1
d (A,(SBC ))
2

1
SA2

1
thay (SA, AB) bởi (2,1) thì ta có ngay d(A,(SBC ))
AB 2

2 5a
5

Bài 3 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc
đáy và SA=2a . Hãy tính các khoảng cách sau :
a)d(A,(SBC )) b)d(A,(SBD)) c)d(O,(SBC ))

Giải :
a) Dễ thấy khoảng cách này ứng với công thức 2 vì vậy ta có ngay
1
d (A,(SBC ))
2

1
SA2

1
thay (SA, AB) bởi (2,1) thì ta có ngay d(A,(SBC ))
AB 2

Nhận luyện thi theo nhóm , lớp khu vực TPHCM ..
242 Độc Lập , Tân Thành, Tân Phú , TPHCM

2 5a
5


GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM , Nhận dạy Luyện Thi Toán THPT
Tel : 0909520755 , Face : Hoàng Trọng Tấn
Page : tracnghiemtoan.vn – T(100) pp phân rã

b) Dễ thấy khoảng cách này ứng với công thức 1 vì vậy ra có ngay
1
d (A,(SBD))
2

d(A,(SBD))

1
SA2

1
AB 2

1
thay (SA, AB, AC ) bởi (2,1,1) thì ta có ngay
AD 2

2a
3

c) Ta có : AO BC

CO
CO
d(A,(SBC )) mà
CA
CA

C nên suy ra d(O,(SBC ))

1
nên ta
2

có
d(O,(SBC ))

1
d(A,(SBC )) suy ra d(O,(SBC ))
2

1 2 5a
.
2 5

5a
5

Bài 4 : Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc ABC
cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=2a , hãy tính các khoảng cách sau

60 ,

a)d(A,(SBC )) b)d(D,(SBC ))
c)d(M ,(SBC )) với M là trung điểm của cạnh SA
d )d(N ,(SBC )) với M là trung điểm của cạnh SD

Giải :
Tam giác ABC cân tại B và có góc B bằng 60 độ suy ra tam giác ABC đều cạnh a

a) áp dụng công thức ở trường hợp 3 ta có ngay
1
d (A,(SBC ))
2

Mà : d(A, BC )

1
SA2

1
d (A, BC )
2

a 3
( đường cao tam giác đều )
2

Vậy thay (SA, d(A, BC )) bởi 2a,

a 3

ta có ngay d(A,(SBC ))
2

b) vì DA song song BC nên : d(A,(SBC ))

c) vì MA (SBC )

d(D,(SBC ))

S nên ta có ngay d(M ,(SBC ))

Nhận luyện thi theo nhóm , lớp khu vực TPHCM ..
242 Độc Lập , Tân Thành, Tân Phú , TPHCM

2 57a
19

2 57a
19

SM
d(A,(SBC ))
SA


GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM , Nhận dạy Luyện Thi Toán THPT
Tel : 0909520755 , Face : Hoàng Trọng Tấn
Page : tracnghiemtoan.vn – T(100) pp phân rã

suy ra : d(M ,(SBC ))

d) vì DN

(SBC )

suy ra : d(N ,(SBC ))

1
d(A,(SBC ))
2

2 57a
38

S nên ta có ngay d(N ,(SBC ))

1
d(D,(SBC ))
2

2 57a
38

Nhận luyện thi theo nhóm , lớp khu vực TPHCM ..
242 Độc Lập , Tân Thành, Tân Phú , TPHCM

SN
d(D,(SBC ))
SD