PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP VỀ PHÉP BIẾN HÌNH

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP VỀ PHÉP BIẾN HÌNH
I. Tìm tập hợp điểm bằng phép tịnh tiến Tu
Phương pháp:
Xác định phép tịnh tiến Tu biến điểm M thành M'
Tìm quỹ tích điểm M
Từ quỹ tích của điểm M, dựa vào tính chất của phép tịnh tiến để suy ra quỹ tích của điểm M'
Bài toán 1: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O).
Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho: MM '  MA  MB
Bài giải

Ta có MM '  MB  MA  AB
Phép tịnh tiến T theo vecto AB biến M thành M’
Gọi O’ là ảnh của O qua phép tịnh tiến T, tức là OO'  AB thì quỹ tích M' là đường tròn O' có bán kính
bằng bán kính đường tròn (O).

Bài toán 2: ABC có A  900 . Từ điểm P thay đổi trên cạnh huyền BC của ABC vẽ các đường
vuông góc PR, PQ với các cạnh vuông AB, AC ( R  AB, Q  AC). Tìm quỹ tích trung điểm M của
đoạn thẳng RQ.
Bài giải


Dựng hình chữ nhật ABSQ
Ta có PR  AB, PQ  AC và RA  AQ

 ARPQ là hình chữ nhật. Suy ra RBSP là hình chữ nhật.
1
Gọi N là trung điểm cạnh BP thì MN//SQ và MN= SQ
2
1
 MN//BA và MN= BA
2

Đặt u 

1
BA  NM  u . Phép tịnh tiến Tu : N  M
2

Khi P  C thì N  D là trung điểm cạnh BC
Khi P thay đổi trên cạnh huyền BC thì N cũng thay đổi trên đoạn thẳng BD thuộc cạnh huyền BC.
Tu : B  B1 và Tu : D  N1 thì B1 và N1 là trung điểm cạnh AB, AC. Suy ra quỹ tích của điểm M là

đoạn thẳng B1N1.

II. Tìm tập hợp điểm bằng phép đối xứng Đa
Phương pháp:
Xác định phép đối xứng Đa biến điểm M thành M'
Tìm quỹ tích điểm M
Từ quỹ tích của ddierm M, dựa vào tính chất của phép đối xứng trục để suy ra quỹ tích điểm M'
Bài toán 3: Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A, B cố định. Với mỗi điểm M ta xác định điểm M' sao
cho MM '  MA  MB . Tìm quỹ tích điểm M' sao cho M chạy trên (O;R).
Bài giải

Gọi I là trung điểm của AB
thì I cố định và MA  MB  2MI , MM '  MA  MB
 MM '  2MI
 MM ' nhận I làm trung điểm


hay phép đối xứng tâm ĐI biến điểm M thành M'. Vậy khi M chạy trên đường tròn (O;R) thì quỹ tích
điểm M' là ảnh của đường tròn qua ĐI. Nếu ta gọi O' là điểm đối xứng của O qua điểm I thì quỹ tích của

M' là đường tròn (O'; R).

Bài toán 4: Cho đường tròn (O) có dây cung BC cố định và điểm A di động trên đường tròn (O).
Tìm quỹ tích trực tâm H của  ABC.
Bài giải
Ta có: HAC  CBH (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
HAC  KBC (cùng chắn cung KC )

Suy ra: CBH  CBK nên BC là phân giác góc KBH
Mặt khác AI  BC
Suy ra  BHK cân tại B  HI=IK
Phép đối xứng trục BC là ĐBC: K  H
Khi A chạy trên đường tròn (O) thì K cũng chạy trên đường tròn (O)
Quỹ tích điểm H là đường tròn (O), ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng trục BC.

III. Tìm tập hợp điểm bằng phương pháp quay Q  O; 
Phương pháp:
Xác định phép quay biến điểm M thành M'
Xác định quỹ tích của điểm M
Dựa vào tính chất phép quay để tìm quỹ tích của điểm M'
Bài toán 5: Cho đường tròn (O) và một điểm I không nằm trên đường tròn. Với mỗi điểm A thay đổi
trên đường tròn, ta xét hình vuông ABCD có tâm là I. Tìm quỹ tích các điểm B, C, D
Bài giải
Phép đối xứng qua điểm I biến A thành C. Vậy quỹ tích C là đường tròn đối xứng với (O) qua I.
Phép quay Q tâm I góc quay 900 biến A thành B( hoặc thành D), phép quay Q' tâm I góc quay - 900 biến
A thành D ( hoặc thành B). Vậy quỹ tích B và D là ảnh của (O) qua hai phép quay đó.

Bài toán 6: Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a. Với mỗi điểm A nằm trên đường
thẳng a ta dựng tam giác đều ABC có tâm là G. Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên a.
Bài giải

Phép quay tâm G góc quay 1200 biến A thành B ( hoặc C)
Phép quay tâm G góc quay 2400 biến A thành C ( hoặc B)
Vậy quỹ tích B và C là ảnh của đường thẳng a qua hai phép quay nói trên.
Bài toán 7: Cho đường thẳng d, điểm A cố định không nằm trên d. Với mỗi điểm B  d ta dựng tam
giác đều ABC. Tìm tập hợp điểm C khi B thay đổi trên đường thẳng d.

Bài giải
Từ điều kiện bài toán ta suy ra C là ảnh của B qua phép quay tâm A với góc quay 600.
Tập hợp điểm C là ảnh của d qua phép quay đó.
IV. Tìm tập hợp điểm bằng phép vị tự
Phương pháp:
Xác định phép vị tự biến điểm M thành điểm M'
Tìm quỹ tích của điểm M
Dựa vào tính chất của phép vị tự để tìm quỹ tích của điểm M'
Bài toán 8: Tam giác ABC có bán kính B, C cố định còn đỉnh A chạy trên một đường tròn (O;R) cố
định không có điểm chung với đường thẳng BC. Tìm quỹ tích trọng tâm G của ABC
Bài giải

Gọi I là trung điểm của BC thì I cố định
1
Điểm G là trọng tâm ABC khi và chỉ khi IG  IA
3

Phép vị tự tâm I tỉ số

1
biến điểm A thành điểm G.
3

Khi A chạy trên (O;R) thì quỹ tích g là ảnh của đường tròn đó
1
1
qua phép vị tự V, tức là đường tròn (O', R') mà IO '  IO và R '  R .
3
3


Bài toán 9: Cho đường tròn (O; R) và điểm I cố định khác O. Một điểm M thay đổi trên đường tròn.
Tia phân giác của góc MOI cắt IM tại N. Tìm quỹ tích điểm N.
Bài giải
Đặt IO=d ( d  0). Theo tính chất tia phân giác của MOI ta có:
IN
IO d


NM OM R
Suy ra

IN
d
IN
d



IN  NM d  R
IM d  R

Hai vecto IN và IM cùng hướng nên IN 
Gọi V là phép vị tự tâm I tỉ số k 

d
IM
dR

d
thì V biến điểm M thành
dR

điểm N. Khi M ở vị trí M0 trên đường tròn (O; R) sao cho IOM 0  00 thì tia phân giác của góc IOM 0
cắt IM. Điểm N không tồn tại. Vậy khi M chạy trên (O; R) (M không trùng M0) thì quỹ tích điểm N là
ảnh của (O;R) qua phép vị tự V bỏ đi ảnh của điểm M0.
Vậy quỹ tích S là đoạn thẳng A1B1.

V. Tìm tập hợp điểm bằng phương pháp đồng dạng
Phương pháp: Tìm tập hợp điểm bằng phương pháp đối xứng tâm
Bài toán 10: Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm C thay đổi trên đường tròn đó.
Dựng hình vuông ABCD. Tìm quỹ tích điểm B và điểm D.
Bài giải
Giải
Gọi AR là đường kính của (O) và PQ là đường kính của (O)
vuông góc với AR ((AR,AP)=450)

 Phép đồng dạng F biến AR thành AP. Vậy quỹ tích B là
đường tròn đường kính AP.
Tương tự quỹ tích D là đường tròn đường kính AQ.
(Lưu ý: F là hợp thành của phép vị tự tâm A tỉ số k =
phép quay tâm A góc quay 450)

2
và
2


Bài toán 11: Cho đường tròn (O), đường kính AB=2R. M là một điểm bất kỳ trên (O), dựng hình vuông
AMNP có các đỉnh theo chiều dương. Tìm quỹ tích các điểm N.
Bài giải

Ta có AN  2 AM và (AM, AN)=450
Phép quay Q(A;450): M  M1
Phép vị tự V(A; 2 ): M1  N



 



 V A; 2 .Q A;450 : M  N

M thuộc đường tròn (O), đường kính AB=2R nên N
thuộc đường tròn (O') là ảnh của (O) qua phép đồng dạng









là hợp thành của V A; 2 và Q A;450 có tâm O' là
trung điểm của cung AB và bán kính R'= 2R .

(Sưu tầm)