PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 28. TÍNH NHANH GÓC GIỮA VÉCTƠ, ĐƯỜNG VÀ MẶT

PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL
BÀI 28. TÍNH NHANH GĨC GIỮA VÉCTƠ, ĐƯỜNG VÀ MẶT
I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG
1. Góc giữa hai vecto


 
 Cho hai vecto u  x; y; z  và v  x '; y '; z '  , góc giữa hai vecto u , v được tính theo cơng
thức :

 
u.v
x.x ' y. y ' z.z '
cos u; v    
2
u.v
x  y 2  z 2 x '2  y '2  z '2

 

Góc giữa hai vectơ thuộc khoảng  00 ;1800 
2. Góc giữa hai đường thẳng


 Cho hai đường thẳng d và d ' có hai vecto chỉ phương ud và ud ' . Góc  giữa hai
 
ud .ud '
 
đường thẳng d , d ' được tính theo công thức : cos   cos ud ; ud '    ( tích vơ
ud . ud '






hướng chia tích độ dài )
 Góc giữa hai đường thẳng thuộc khoảng 00 ;900 
3. Góc giữa hai mặt phẳng


 Cho hai mặt phẳng  P  và  Q  có hai vecto pháp tuyến nP và nQ . Góc  giữa hai
 
nP .nQ
 
mặt phẳng  P  ,  Q  được tính theo cơng thức : cos   cos nP ; nQ   
nP . nQ





Góc giữa hai đường thẳng thuộc khoảng 00 ;900 
4. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng


 Cho đường thẳng d có vecto chỉ phương u và mặt phẳng  P  có vecto pháp tuyến n


. Góc  giữa đường thẳng d và mặt phẳng  Q  được tính theo cơng thức
 

sin   cos u; n

 

Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng thuộc khoảng 00 ;900 
5. Lệnh Caso
 Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 8
 Nhập thơng số vecto MODE 8 1 1
 Tính tích vơ hướng của 2 vecto : vectoA SHIFT 5 7 vectoB
 Tính tích có hướng của hai vecto : vectoA x vectoB
 Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP
 Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP
 Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7
 Lệnh dị nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE


II) VÍ DỤ MINH HỌA
VD1-[Thi thử báo Tốn học tuổi trẻ lần 4 năm 2017]

Trang 1/11


Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A  2;1;0  , B  3;0; 4  , C  0;7;3 . Khi
 
đó cos AB; BC bằng :



A.



14
798
798
C.
D. 
57
57
3 118
GIẢI
 
Nhập hai vecto AB, BC vào máy tính Casio
w811p1=p1=4=w8213=7=p1=

14 118
354





B. 

 
 
AB.BC
14
Tính cos AB; BC     0.4296...  
3 118

AB; BC





Wq53q57q54P(qcq53)Oqc
q54))=

 Đáp số chính xác là B
VD2-[Câu 37 đề minh họa vào ĐHQG HNnăm 2016]
x y  1 z 1
x 1 y z  3
Góc giữa hai đường thẳng d : 
và d '
là :

 
1
1
2
2
1
1
A. 450 B. 90 0 C. 600 D. 300
GIẢI
 Đề bài u cầu tính góc theo đơn vị độ nên ta chuyển máy tính về chế độ độ
qw3

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u 1; 1; 2  , đường thẳng d ' có vecto chỉ


phương u '  2;1;1
 
u.u '
 
 Gọi  là góc giữa hai đường thẳng d ; d ' thì cos   cos u; u '   
u . u'





w8111=p1=2=w8212=1=1=W
qcq53q57q54)P(qcq53)Oqc
q54))=



Ta có cos   0.5    600
Áp dụng cơng thức tính thể tích VABCD 

1   
AB  AC ; AD   4
6
Trang 2/11


=qkM)=

 Đáp số chính xác là C

VD3-[Thi thử báo Tốn học tuổi trẻ lần 5 năm 2017]


Tìm m để góc giữa hai vecto u 1;log 3 5; log m 2  , v  3;log 5 3; 4  là góc nhọn

m  1
1 
A. 1  m  B.
1
2 0  m 

2


C. 0  m 

1
D. m  1
2

GIẢI

 
u.v
Gọi góc giữa 2 vecto u , v là  thì cos    
u.v
Để góc  nhọn thì

cos   0  u.v  0  1.3  log 3 5.log 5 3  4.log m 2  0  log m 2  1  0 (1)



Để giải bất phương trình (1) ta sử dụng chức năng MODE 7 với thiết lập Start 2 End
2 Step 0.5
w7iQ)$2$+1==p0.5=1.5=
0.25=

Ta thấy f  0.25  0.5  0  Đáp án C sai

Ta thấy f 1.25   4.1062  0  Đáp số B và D sai

 Đáp số chính xác là A
VD4-[Câu 42a trang 125 Sách bài tập nâng cao hình học 12]
1
Tìm  để hai mặt phẳng  P  : x  y  z  5  0 và
4
3
 Q  : x sin   y cos   z sin   2  0 vng góc với nhau
A. 150


B. 750 C. 90 0

D. Cả A, B, C đều đúng
GIẢI
 
1

Mặt phẳng  P  có vecto pháp tuyến nP 1;  ; 1 , mặt phẳng  Q  có vecto pháp
4




3
tuyến nQ  sin  ;cos  ;sin  


Để hai mặt phẳng trên vng góc với nhau  góc giữa nP và nQ bằng
 
900  nP .nQ  0
Trang 3/11




1
1
 sin   cos   sin 3   0 . Đặt P  sin   cos   sin 3 
4
4
Vì đề bài đã cho sẵn đáp án nên ta sử dụng phương pháp thử đáp án bằng chức năng
CALC của máy tính Casio
Với   150  P  0  Đáp án A đúng
jQ))pa1R4$kQ))pjQ))
^3r15=

Với   750  P  0  Đáp án B đúng
r75=

 Đáp số chính xác là D

VD5-[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017]
Điểm H  2; 1; 2  là hình chiếu vng góc của gốc tọa độ O lên mặt phẳng  P  .Tìm số đo
góc giữa mặt phẳng  P  và mặt phẳng  Q  : x  y  6  0
A. 300 B. 450




C. 600 D. 900

GIẢI

Mặt phẳng  P  vng góc với OH nên nhận OH  2; 1; 2  là vecto pháp tuyến

  P  : 2  x  2   1 y  1  2  z  2   0  2 x  y  2 z  9  0

Mặt phẳng  Q  có vecto pháp tuyến là nQ 1; 1;0 
 
OH .nQ
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  P  và  Q   cos    
OH . nQ
w8112=p1=p2=w8211=p1=0=
Wqcq53q57q54)P(qcq53)
Oqcq54))=

Vậy cos   0.7071... 

=qkM)=

2

   450
2

 Đáp số chính xác là B
Trang 4/11


VD6-[Câu 47 trang 126 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Mặt phẳng  Q  nào sau đây đi qua hai điểm A  3;0;0  và B  0;0;1 đồng thời tạo với mặt
phẳng  Oxy  một góc là 600

 x  26 y  3z  3  0
A. 
 x  5 y  3z  3  0

 x  5 y  3z  3  0
B. 
 x  26 y  3 z  3  0

 x  5 y  3z  3  0  x  26 y  3z  3  0
C. 
D. 
 x  5 y  3z  3  0  x  26 y  3z  3  0
GIẢI
 Cách Casio
Để thực hiện cách này ta sẽ làm các phép thử. Ta thấy tất cả các mặt phẳng xuất hiện
trong đáp án đều đi qua 2 điểm A, B . Vậy ta chỉ cần tính góc giữa mặt phẳng xuất
hiện trong đáp án và mặt phẳng  Oxy  là xong.



Với mặt phẳng  Q  : x  26 y  3z  3  0 có vecto pháp tuyến nQ  1;  26;3 , mặt

phẳng  Oxy  có vecto pháp tuyến n   0;0;1
 
nQ ; n
Gọi  là góc giữa 2 mặt phẳng trên  cos      0.5    600
nQ . n





w8111=ps26)=3=w8210=0=1=
Wqcq53q57q54)P(qcq53)
Oqcq54))=

 Đáp án chắc chắn phải chứa mặt phẳng  Q  : x  26 y  3z  3  0 .


Tiếp tục thử với mặt phẳng x  5 y  3z  3  0 nếu thỏa thì đáp án A đúng nếu khơng
thì đáp án D đúng
 Cách tự luận
 Gọi mặt phẳng  Q  có dạng Ax  By  Cz  D  0

Q



qua A  3 A  D  0 ,  Q  qua B  C  D  0 . Chọn D  1  C  1; A  

  1
1

Khi đó  Q  :  x  By  z  1  0 và có vecto pháp tuyến nQ   ; B; 1 
3
 3

 
 
nQ ; n
nQ ; n 1
1
Góc giữa hai mặt phẳng trên là 600  cos 600          0
nQ . n 2
nQ . n 2



1
 .0  B.0  1.1
3
2

 1
2
2
2
2
    B  1. 0  0  1

3





1
0
2

1
B2 

10
9



1
3

1
0
2

Trang 5/11


10
10

26
26
 2  B2   4  B2 
B
9
9
9
3
 Đáp án chính xác là C
VD7-[Câu 71 trang 134 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
x  3 y 1 z  3
Tính góc giữa đường thẳng  :
và mặt phẳng  P  : x  2 y  z  5  0


2
1
1
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
GIẢI

 Đường thẳng  có vecto chỉ phương u  2;1;1 và mặt phẳng  P  có vecto pháp tuyến

n 1; 2; 1

u.n
 

Gọi  là góc giữa giữa 2 vectơ u , n . Ta có cos      
u.n
 B2 

w8112=1=1=w8211=2=p1=
Wqcq53q57q54)P(qcq53)
Oqcq54))=



Gọi  là góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng  P   sin   cos   0.5
   300
qjM)=

 Đáp án chính xác là A
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1-[Câu 21 trang 119 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Cho bốn điểm A 1;1;0  , B  0; 2;1 , C 1;0; 2  , D 1;1;1 . Tính góc giữa 2 đường thẳng AB
và CD :
A. 300
B. 600
C. 900
Bài 2-[Câu 8 trang 142 Sách bài tập hình học nâng cao 12]


 
Cho u 1;1; 2  và v 1; 0; m  . Tìm m để góc giữa hai vecto u , v là 450

D. 1200

m  2  6
A. 
B. m  2  6 C. m  2  6 D. Khơng có m thỏa mãn
m  2  6
Bài 3-[Câu 14 trang 143 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Cho hai mặt phẳng  P  : m 2 x  y   m 2  2  z  2  0 và 2 x  m 2 y  2 z  1  0 vng góc với
nhau :
A. m  2

B. m  1
C. m  2 D. m  3
Bài 4-[Câu 94 trang 140 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Trang 6/11


Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh bằng a . Xét hai điểm là trung điểm B ' C ' .
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AP và BC '
3
2
1
2
A.
B.
C.
D.
2
2
3
5
Bài 5-[Câu 47a trang 126 Sách bài tập hình học nâng cao 12]

Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng  Q  : 2 x  y  5 z  0
một góc 600
3x  y  0
3x  y  0
x  3y  0
x  3y  0
A. 
B. 
C. 
D. 
x  3y  0
 3 x  y  0
x  3y  0
3x  y  0
Bài 6-[Câu 19 trang 145 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Cho  P  : 3x  4 y  5z  8  0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng

  : x  2 y  1  0 ,    : x  2 z  3  0
 P  . Khi đó :
A.   30 0

C.   600

B.   450

. Gọi  là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng
D.   900

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1-[Câu 21trang 119Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]

Cho bốn điểm A 1;1;0  , B  0; 2;1 , C 1;0; 2  , D 1;1;1 . Tính góc giữa 2 đường thẳng AB
và CD :
A. 300 B. 600 C. 900 D. 1200
GIẢI

 Đường thẳng AB nhận vecto AB  1;1;1 là vecto chỉ phương , đường thẳng CD nhận

CD  0;1; 1 là vecto chỉ phương
Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AB, CD và được tính theo cơng thức :
 
AB.CD
 
cos   cos AB; CD   
AB . CD
 
 Nhập các vecto AB, CD vào máy tính Casio
w811p1=1=1=w8210=1=p1=





 
AB.CD
 
 Tính cos   cos AB; CD     0    900
AB . CD





Wqcq53q57q54)P(qcq53)
Oqcq54))=

Trang 7/11


Vậy đáp số chính xác là C
Bài 2-[Câu 8 trang 142 Sách bài tập hình học nâng cao 12]


 
Cho u 1;1; 2  và v 1; 0; m  . Tìm m để góc giữa hai vecto u , v là 450

m  2  6
A. 
B. m  2  6 C. m  2  6 D. Khơng có m thỏa mãn
m  2  6
GIẢI

 
u.v
1  2m
 Ta có cos u; v    
u.v
6. m 2  1

 

1
1  2m
1


0
2
2
2
6. m  1
6. m  1
 Để kiểm tra giá trị m thỏa mãn ta sử dụng máy tính Casio với chức năng CALC
Với m  2  6
w1a1p2Q)Rs6$OsQ)d+1

 Để góc giữa 2 vecto trên là 450 thì

1  2m
2



$$pa1Rs2r2ps6)=

 m  2  6 thỏa  Đáp số đúng chỉ có thể là A hoặc B
Tiếp tục kiểm tra với m  2  6
r2+s6)=

 2  6 không thỏa  Đáp số chính xác là B
Bài 3-[Câu 14 trang 143 Sách bài tập hình học nâng cao 12]

Cho hai mặt phẳng  P  : m 2 x  y   m 2  2  z  2  0 và 2 x  m 2 y  2 z  1  0 vng góc với
nhau :
A. m  2

C. m  2 D. m  3
GIẢI
 2
 Mặt phẳng  P  có vecto pháp tuyến n  m ; 1; m 2  2  , mặt phẳng  Q  có vecto pháp tuyến

n '  2; m 2 ; 2 
 
 
 Để hai mặt phẳng trên vng góc nhau thì n  n '  n.n '  0
 m 2 .2  m 2   m 2  2  .  2   0  4  m 2  0  m  2
B. m  1

 Đáp án chính xác là A
Bài 4-[Câu 94 trang 140 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Trang 8/11


Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh bằng a . Xét hai điểm là trung điểm B ' C ' .
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AP và BC '
3
2
1
2
A.
B.
C.

D.
2
2
3
5
GIẢI
 Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc là đỉnh A , tia Ox chứa AB , tia Oy chứa AD , tia Oz
chứa AA ' . Chọn a  1 khi đó : A  0;0;0  , B  0;1;0  , D  0;1;0  , A '  0;0;1 , B ' 1;0;1 ,

C ' 1;1;1
 1    1  
 P  1; ;1 , AP 1; ;1 , BC '  0;1;1
 2 
 2 

 
AP; BC '
2
 Góc giữa 2 đường thẳng AP, BC ' là  thì cos      0.7071... 
2
AP . BC '

w8111=0.5=1=w8210=1=1=W
qcq53q57q54)P(qcq53)O
qcq54))=

 D là đáp số chính xác
Bài 5-[Câu 47a trang 126 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng  Q  : 2 x  y  5 z  0
một góc 600

x  3y  0
x  3y  0
A. 
B. 
x  3y  0
 3 x  y  0

3x  y  0
C. 
x  3y  0
GIẢI

3x  y  0
D. 
3x  y  0

 Cách Casio

 Với mặt phẳng  P  : x  3 y  0 có vecto pháp tuyến nP  1;3 , mặt phẳng  Q  có

vecto pháp tuyến nQ  2;1;  5
 
nP ; nQ
Gọi  là góc giữa 2 mặt phẳng trên  cos      0.5    600
nP . nQ





w8111=3=0=w8212=1=ps5)=W
qcq53q57q54)P(qcq53)O
qcq54))=

 Đáp án chắc chắn phải chứa mặt phẳng x  3 y  0 .

Trang 9/11




Tiếp tục thử với mặt phẳng x  3 y  0 nếu thỏa thì đáp án A đúng nếu khơng thì đáp
án C đúng
 Cách tự luận
 Gọi mặt phẳng  P  có dạng Ax  By  Cz  D  0 .  P  chứa trục Oz thì  P  chứa 2
điểm thuộc trục Oz . Gọi hai điểm đó là A  0;0;0  và B  0;0;1

 P



qua A  D  0 ,  P  qua B  C  D  0  C  D  0 Chọn A  1

Khi đó  P  : x  By  0 và có vecto pháp tuyến nQ 1; B;0 
 
 
n
;
n
n

P
Q
Q;n
1
1
Góc giữa hai mặt phẳng trên là 600  cos 600          0
nP . nQ 2
nQ . n 2




1   5 

1.2  B.1  0.  5

12  B 2  02 . 22

2

2



B2
1
1


2

10 B 2  1 2

B  3
 2 B  2  10 B  1  4  B  4 B  4   10  B  1  6 B  16 B  6  0  
B   1
3

2

2

2

2

 Đáp án chính xác là C
Bài 6-[Câu 19 trang 145 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Cho  P  : 3x  4 y  5z  8  0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng

  : x  2 y  1  0 ,    : x  2 z  3  0
 P  . Khi đó :

. Gọi  là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng

D.   900
GIẢI
 d là giao tuyến của hai mặt phẳng   ,    nên nhận d vng góc với hai vecto pháp tuyến
của hai mặt phẳng này

 

 Vecto chỉ phương ud   n ; n    4; 4; 4 
A.   30 0

B.   450

C.   600

w8111=p2=0=w8211=0=p2=W
q53Oq54=

 
 
ud .nP
3
 Gọi  là góc giữa ud ; nP ta có cos      0.8660... 
2
u d . nP

w8114=2=2=w8213=4=5=W
qcq53q57q54)P(qcq53)O
qcq54))=

Trang 10/11


Ta có sin   cos  

qjM)=

3

   600
2

.  Đáp số chính xác là C
Chính xác là B.

Trang 11/11