Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ
Người đăng: Nguyễn Linh - Ngày: 11/07/2017

Bài học giới thiệu nội dung: Tích vô hướng của hai vectơ. Một kiến thức không quá khó song
đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm được phương pháp để giải quyết các bài toán. Dựa vào
cấu trúc SGK toán lớp 10, Tech12h sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài
tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt
hơn

A. Tổng hợp kiến thức
1. Định nghĩa
•

Cho hai vectơ a⃗ ,b⃗ đều khác 0⃗ . Tích vô hướng của a⃗ và b⃗ là một số.

•

Ký hiệu: a⃗ .b⃗

a⃗ .b⃗ =|a⃗ |.∣∣b⃗ ∣
∣cos(a⃗ ,b⃗ )
•

Nếu a⃗ =0⃗ hoặc b⃗ =0⃗ thì a⃗ .b⃗ =0

=> a⃗ ⊥b⃗
•

Nếu a⃗ =b⃗

=> a⃗ .b⃗ =a⃗ .a⃗ =a2→
2. Các tính chất của tích vô hướng
•

Với ba vectơ a⃗ ,b⃗ ,c⃗ . ta có:

a⃗ .b⃗ =b⃗ .a⃗
a⃗ .(b⃗ +c⃗ =a⃗ .b⃗ +a⃗ .c⃗
(ka⃗ ).b⃗ =k(a⃗ .b⃗ )=a⃗ .
(kb⃗ )
a2→≥0,a2→=0<=>a⃗ =
0⃗
3. Ứng dụng
Độ dài vectơ

|a⃗ |
=a21+a22
−−−−−
−√
Góc giữa hai vectơ

cos(a⃗ ,b⃗ )=a⃗ .b⃗ ∣∣a⃗ ∣∣.∣∣b⃗
∣∣=a1b1+a2b2a21+a22√.b21+
b22√

Khoảng cách giữa hai điểm
•

Cho hai điểm A(xA,yA) và B(xB,yB), ta có:

AB=(xB−xA)2+
(yB−yA)2−−−−−−−
−−−−−−−−−−−
−√

B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Trang 45 - sgk hình học 10


Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng:

AB−→−.AC−→−
AC−→−.CB−→−
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 2: Trang 45 - sgk hình học 10
Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô
hướng OA−→−.OB−→− trong hai trường hợp:
a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB.
b) Điểm O nằm trong đoạn AB.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 3: Trang 45 - sgk hình học 10
Cho nửa hình tròn tâm O có đường kính AB=2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường
tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I.
a) Chứng
minh: AI−→.AM−→−=AI−→.AB−→− và BI−→.BN−→−=BI−→.BA−→−.
b) Hãy dùng kết quả câu a) để tính AI−→.AM−→−+BI−→.BN−→− theo R.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 4: Trang 45 - sgk hình học 10
Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 3), B(1; 2).
a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB.

b) Tính chu vi tam giác OAB.
c) Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 5: Trang 45 - sgk hình học 10
Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ a⃗ và b⃗ trong các trường hợp sau:


a) a⃗ =(2;−3) và b⃗ =(6;4)
b) a⃗ =(3;2) và a⃗ =(5;−1)
c) a⃗ =(−2;−23√) và a⃗ =(3;3√)
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 6: Trang 45 - sgk hình học 10
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm: A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; –2). Chứng minh
rằng tứ giác ABCD là hình vuông.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 7: Trang 45 - sgk hình học 10
Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2; 1). Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ
O. Tìm tọa độ của điểm C có tung độ bằng 2 sao cho tam giác vuông ở C.
=> Xem hướng dẫn giải