Xây dựng kế hoạch bài học chủ đề hình học giải tích trong không gian theo định hướng tăng cường trắc nghiệm khách quan
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (578.34 KB, 105 trang )
1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài khóa luận
Giáo dục phổ thông nước ta đang thực hiện đổi mới hình thức và phương pháp
dạy học nhằm phát huy tính chủ động, tích cực, sáng tạo và rèn luyện phương
pháp tự học; tăng cường kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức, kỹ năng vào giải
quyết các vấn đề thực tiễn. Để đảm bảo được điều đó, nhất định phải thực hiện
thành công việc chuyển từ phương pháp dạy học nặng về truyền thụ kiến thức
sang dạy cách học, cách vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành năng
lực và phẩm chất.
Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo
dục và đào tạo: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng
hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ
năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy
móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để
người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực”.
Bên cạnh việc đổi mới hình thức và phương pháp dạy học, chúng ta còn tập
trung mạnh mẽ vào đổi mới căn bản hình thức và phương pháp thi, kiểm tra và
đánh giá kết quả giáo dục, đào tạo, bảo đảm trung thực, khách quan. Do đó,
chiến lược phát triển giáo dục giai đoạn 2011-2020 ban hành kèm theo Quyết
định 711/QĐ-TTg ngày 13/6/2012 của Thủ tướng Chính phủ nêu: "Tiếp tục đổi
mới phương pháp dạy học và đánh giá kết quả học tập, rèn luyện theo hướng
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo và năng lực tự học của người
học"; "Đổi mới kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông, kỳ thi tuyển sinh đại
học, cao đẳng theo hướng đảm bảo thiết thực, hiệu quả, khách quan và công
bằng; kết hợp kết quả kiểm tra đánh giá trong quá trình giáo dục với kết quả
thi".
Đi đầu trong công cuộc đổi mới đó là việc đổi mới nội dung, phương pháp, cách
thức dạy và học đối với môn Toán trong nhà trường THPT. Không chỉ vậy,
chúng ta còn tiến một bước dài trong việc đánh giá, kiểm tra chất lượng học sinh
và đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia với hình thức thi trắc nghiệm môn Toán và
2
bài thi tổng hợp với các môn khối ngành khoa học và xã hội. Trong xu hướng thi
trắc nghiệm khách quan như vậy, nhà trường và các thầy cô giáo cần có những
kế hoạch học tập phù hợp để học sinh thích nghi và đạt kết quả học tập cao nhất.
Người giáo viên sẽ là người quan trọng nhất có thể giúp các em học sinh thích
nghi được với các thay đổi trong giáo dục thông qua việc xây dựng kế hoạch,
giáo án môn học theo định hướng tăng cường trắc nghiệm khách quan.
Kế hoạch môn học là toàn bộ những điều vạch ra một cách có hệ thống về
những công việc dự định làm trong một thời hạn nhất định, cùng với mục tiêu,
cách thức, trình tự, thời hạn tiến hành của một môn học. Đây sẽ là kim chỉ nam
cho người giáo viên khi chuẩn bị và tiến hành các giờ dạy học của một môn học
nào đó. Giáo viên là người giữ vai trò chủ đạo nhưng học sinh mới là nhân tố
quyết định của quá trình dạy học và giáo dục. Một điều chắc chắn là bài học
phải phù hợp với trình độ, năng lực thì học sinh mới có thể tiếp thu kiến thức và
phát triển năng lực cá nhân. Để làm được điều đó thì việc xây dụng kế hoạch
môn học là vô cùng quan trọng và là việc đầu tiên mà mỗi giáo viên phải làm
trước khi băt đầu dạy một môn học nào đó, trong đó có môn Toán. Theo sự cải
cách giáo dục của Bộ GD-ĐT về cả nội dung và phương pháp dạy học, việc xây
dụng kế hoạch bài học theo định hướng đổi mới và tăng cường trắc nghiệm
khách quan cần thiết hơn bao giờ hết.
Trong chương trình Toán THPT, hình học giải tích trong không gian là một
mảng kiến thức rất quan trọng, kết nối giữa hình học và giải tích, đặc biệt là kiến
thức liên quan đến hình học giải tích xuất hiện rất nhiều trong đề thi THPT.
Ngoài ra, hình học giải tích đối với học sinh là một phần kiến thức khá là khó.
Do vậy việc xây dựng kế hoạch bài học chủ đề hình học giải tích trong không
gian theo định hướng trắc nghiệm khách quan là một việc rất quan trọng.
Từ những lí do trên, đồng thời để nâng cao kiến thức chuyên môn và tăng
cường nghiệp vụ sư phạm cho bản thân, em mạnh dạn lựa chọn nội dung: “Xây
dựng kế hoạch bài học chủ đề hình học giải tích trong không gian theo định
hướng tăng cường trắc nghiệm khách quan” làm hướng nghiên cứu cho khóa
luận của mình.
3
2. Mục tiêu khóa luận
Mục tiêu của khóa luận là xây dựng được hệ thống kế hoạch bài học chủ
đề hình học giải tích trong không gian theo định hướng tăng cường trắc nghiệm
khách quan.
3. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
- Khóa luận hệ thống lại một cách cơ bản những kiến thức và xây dựng hệ
thống kế hoạch bài học về hình học giải tích trong không gian. Đồng thời, khóa
luận cũng đưa ra hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan về hình học giải tích
trong không gian.
- Khóa luận có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Toán,
giáo viên dạy môn Toán ở trường THPT và học sinh lớp 12.
4
CHƯƠNG 1. XÂY DỰNG KẾ HOẠCH BÀI HỌC NỘI DUNG
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1.1. Kế hoạch bài học: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A- LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Hệ tọa độ
• Trong không gian, cho ba trục
x�
Ox, y�
Oy, z�
Oz vuông góc với nhau
từng đôi một được gọi là hệ trục tọa
độ Đề-các vuông góc Oxyz trong
không gian hay là hệ tọa độ Oxyz.
r r r
i
• , j , k lần lượt là các vectơ đơn vị
Ox, y�
Oy , z�
Oz.
trên các trục x�
• Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
Chú ý:
r2 r 2 r 2
rr r r rr
i j k 1 và i. j j.k k .i 0.
2. Tọa độ của một điểm
r r r
Oxyz
i
• Trong không gian
, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vectơ , j , k không
uuuu
r
r
r
r
x
;
y
;
z
OM
xi
y
j
zk
.
đồng phẳng nên có một bộ ba số
duy nhất sao cho:
• Ta gọi bộ ba số x; y; z là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã
cho và viết: M x; y; z hoặc M x; y; z .
3. Tọa độ của vecto
r
Oxyz
,
a
• Trong không gian
cho vectơ khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số
r
r
r
r
a1;a 2 ; a3 sao cho: a a1i a2 j a3 k.
5
r
a
;a
;
a
1
2
3
a
• Ta gọi bộ ba số
là tọa độ của vectơ đối với hệ Oxyz.
Nhận xét: Trong hệ tọa độ Oxyz tọa độ của điểm M chính là tọa độ của
uuuu
r
uuuu
r
M
x
;
y
;
z
�
OM
( x; y; z ).
vectơ OM . Ta có:
4. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
r
a a1; a2 ; a3
• Định lý: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ
r
b b1; b2 ; b3 .
Ta có:
r r
a �b a1 �b1; a 2 �b2 ; a 3 �b3
r
ka k a1; a2 ; a3 ka1; ka2 ; ka3 với k là một số thực.
và
• Hệ quả:
r
r
a
a
;
a
;
a
b
1 2 3 và b1; b2 ; b3 .
i) Cho hai vectơ
�a1 b1
r r
�
a b � �a2 b2 .
�
�a3 b3
Ta có:
r
0;0;0 .
0
ii) Vectơ có tọa độ là
r
r r
r
b
b
�
0
a
iii) Với
thì hai vectơ và cùng phương khi và chỉ khi có một số
k sao cho: a1 kb1, a 2 kb2 , a 3 kb3.
iv) Trong không gian
Oxyz , cho bốn điểm A x A ; y A ; z A ,
B xB ; y B ; zB , C xC ; yC ; xC
+
và
D xD ; y D ; z D ,
uuu
r
AB xB x A ; yB y A ; z B z A .
khi đó:
Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:
�x xB y A yB z A z B �
M �A
;
;
.
�
2
2
2
�
�
Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì :
6
�x xB xC y A yB yC z A z B zC
G �A
;
;
3
3
3
�
�
.
�
�
Nếu K là trọng tâm tứ diện ABCD thì:
�x xB xC xD y A yB yC yD z A zB zC zD
K �A
;
;
4
4
4
�
uuu
r
uuu
r
k EA k EB
Nếu E chia đoạn AB theo tỉ số
thì:
�
.
�
�
�x kxB y A kyB z A kzB �
E �A
;
;
.
�
1 k
1 k �
� 1 k
B- HOẠT ĐỘNG TRÊN LỚP
1. Khởi động
Trả lời Đúng hoặc Sai đối với các mệnh đề được cho bởi bảng sau:
Trước khi
Các mệnh đề
học
Tích của một số thực với một vectơ tùy ý luôn
thu
r r được kết quả là một số thực.
u , v cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số
r
r
m sao cho u mv.
r
Trong không gian Oxyz , cho vectơ a khi đó
luôn tồn tại vô số bộ ba số a1;a 2 ; a3 sao
r
r
r
r
a
a
i
a
j
a
k
1
2
3 .
cho:
A x ;y ;z ,B x ;y ;z ,
Cho A A A B B B khi đó:
uuu
r
AB x A xB ; y A yB ; z A z B .
2. Giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài
uuuu
r r r
r
Oxyz
,
OM
i
j
2
k
.
Ví dụ 1:Trong không gian
cho vectơ
Tìm tọa độ điểm M .
Hướng dẫn:
Sau khi học
7
uuuu
r
Oxyz
OM
.
Trong hệ tọa độ
tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vectơ
uuuu
r r r
r
OM i j 2k � M 1; 1;2 .
Ta có:
r r r r
r r r
Oxyz
,
v
Ví dụ 2: Trong không gian
cho hai vectơ u i 2k và i j k . Tính:
ur
r r r
r r
r r
m
2
u
5
v
j
.
n
u
2
v
j.
a)
b)
Hướng dẫn:
r
r
r
u 1;0; 2 , v 1; 1;1 , j 0;1;0
a) Ta có:
nên ta tính được:
ur
r r r
m 2u 5v j 3; 6;1 .
r
r
r
u
1;0;
2
,
v
1;
1;1
,
j 0;1;0 nênta tính được:
b)Ta có:
r r
r r
n u 2v j 1;3; 4 .
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , cho tứ giác ABCD có A 1;1;4 , B 2;4;6 ,
C 0;0;3 và D 3; 7;1 . Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của tứ giác
ABCD.
Hướng dẫn:
Gọi I a; b; c là giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD.
a 1 k1
a 1 k1
�
�
�
�
b 1 k1 � �
b 1 k1 .
�
uuur
uur
�
c 4 k1 �
c 4 k1
�
Ta có AI và AC cùng phương nên �
a 2 2 k 2 �
a 2 2 k2
�
�
�
b 4 4k2 � �
b 4 4k2 .
�
uuur
uur
�
�
c 6 3k2
c 6 3k2
�
Tương tự ta có BI và BC cùng phương nên �
2 2k2 1 k1
�
�
4 4k2 1 k1 � k2 1, k1 1 � I 0;0;3 .
�
�
6 3k2 4 k1
Từ đó ta có hệ �
3. Học sinh tự làm các bài tập sau trên lớp
a. Bài tập tự luận
Bài tự luyện số 1: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với
8
A 1;0;0 , B 0;0;1 và C 2;1;1 . Tính:
a) Trọng tâm tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ điểm M là trung điểm của đoạn BC.
Bài tự luyện số 2: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 1;1;1 , B 2;1;0 ,
uuur
uuur uuur r
C 3; 2;2 . Tìm điểm M thỏa mãn MA 2MB 3MC 0.
r
a m 2; n 5;0
Bài tự luyện số 3: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ
và
r
r
r
b m; n 6;0 . Tìm tất cả các cặp giá trị m; n để a và b cùng phương.
b. Bài tập trắc nghiệm
r r r
r
Oxyz
,
u
k
2
i
.
u
Câu 1: Trong không gian
cho vectơ
Tọa độ của vectơ là:
A:
0;1;2
B:
2;1;0
2;0;1
0;2;1
C: uuuu
D:
r r r uuur
r r
Oxyz
,
OM
3
i
j
,
ON
2
j k.
Câu 2: Trong không gian
cho hai vectơ
uuuu
r
MN
Tọa độ của
là:
A:
3;3;1
B:
3;1;1
C:
3;3;1
D:
3;1;1
r
r
r r r
u 1;2; 1
Oxyz
,
v
2
u
j k.
Câu 3: Trong không gian
cho hai vectơ
và
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
r r r r
r r r
r
v
2
i
5
j
3
k
.
v
2
i
3
j
2
k
.
A:
B:
r r r r
r r r
r
v
3
i
3
j
k
.
v
i
5
j
2
k
.
C:
D: r
u 2 x; y 1;3
Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ
và
r
r
r
v 1 y; 1 x; z . Biết v 2u, giá trị của x, y, z lần lượt là:
A: 1;1;6.
B: 1;1;6.
C: 1;2;3.
D: 2;1; 3.
A 1;2;5 , B 3;6;1 .
Câu 5:Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
Tọa độ trung
điểm M của đoạn thẳng AB là:
M 2;4;3 .
M 2; 4;3 .
A:
B:
C- BÀI TẬP VỀ NHÀ
C:
M 2;4;3 .
D:
M 2;4; 3 .
9
1. Bài tập tự luận
r
r
r
a 2;1;3 , b 3;1;4 , c 3; 3; 1 .
Bài tập 1: Cho các vectơ
Tìm tọa độ
r
r
r r
x
2
a
3
b
c.
của vectơ
r
r
r
a 1; 2;3 , b 2; 2; 1 , c 4; 0; 4 .
Bài tập 2: Cho vectơ
Tìm toạ độ của
u
r
r r r u
r r
y
2
a
b
c
3
y
0.
vectơ sao cho
Bài tập 3: Cho ba điểm A 1;1;1 , B 5;1; 2 , C 7;9;1 là đỉnh của tam giác
ABC.
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
uuuu
r
uuu
r
uuu
r
uuuu
r
AM
3
AB
2
CB
4
OM
.
M
b) Tìm tọa độ điểm
thỏa mãn điều kiện
2. Bài tập trắc nghiệm
r
r r
r
Oxyz
,
u
2
i
3
j
2
k
. Tọa
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ
cho vectơ
r
u
độ của vectơ là:
A: 2;3;2 .
B: 2;3; 2 .
C: 2; 3;2 . r r D:r 3; 2;2 .
Câu 2:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ u 2i k . Tọa độ của
r
vectơ u là:
A: 0;1;2 .
2;1;0 .
2;0;1 .
0;2;1 .
B:
C:
D:
r
a 3; 5; 6
Câu 3:Cho vectơ
có toạ độ điểm đầu là 0; 6; 2 . Toạ độ điểm cuối
r
a
của vectơ là:
A: 3;2;8 .
4;1;6 .
5;2;3 .
B: 3;1;8 r.
r rC: r r
r
r r D:
r r
r
a
6
i
8
j
4
k
,b
4
j
2
k
,c
i
4
j
2
k
, vectơ
Câu 4:Trong các vectơ sau
r
nào cùng phương với vectơ x có điểm đầu là A 1; 1;3 và điểm cuối là
B 2;3;5 .
r
a
A:
r
c
B:
r
b
C:
D: A,B đều đúng.
10
Câu 5:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm
A 1; 2; 1 ,B 2;1; 3 và C 3; 0;1 . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Tọa độ của điểm G là:
A: 3; 0;1 .
B: 6;3; 3 .
D- ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN
C: 1; 0; 3 .
D: 3;1; 1 .
1. Bài tập trên lớp
Bài tự luyện số 1:
a) Gọi G x, y, z là trọng tâm tam giác ABC.
�x xB xC y A y B yC z A z B zC
G x; y; z � A
;
;
3
3
3
�
Ta có:
1 2�
� �
1
;
.
� � 3; 3 �
�
��
b) Do M là trung điểm của BC nên:
y yC z B zC
�x x
M �B C ; B
;
2
2
� 2
� �1 �
1; ;1�
.
� �
� �2 �
Bài tự luyện số 2:
Gọi điểm M x; y; z , ta tính được
uuur uuur uuur
MA 2 MB 3MC 14 6 x; 3 6 y;7 6 z .
uuur
uuur uuur r
�7 1 7 �
7
1
7
M � ; ; �
.
MA 2MB 3MC 0 � x ; y ; z
3
2
6
�
�
3
2
6
Vì
hay
Bài tự luyện số 3:
m 2 km
�
�
n 5 k n 6 .
�
r
r
�
0 k .0
Hai vectơ a và b cùng phương khi và chỉ khi �
Vì m, n nguyên âm nên m �0, ta xét các trường hợp sau:
r r
b
n
6
TH1:
để hai vectơ cùng phương thì 0 � m 0 (loại).
r r
a
n
5
TH2:
để hai vectơ cùng phương thì 0 � m 2 (thỏa mãn).
m2
m
TH3: n �6 và n �5, ta có n 5 n 6 biến đổi được 2n m 12.
11
Với m, n nguyên âm nên 0 2n 12 � 0 n 6.
Vì thế ta tìm được n � 5; 4; 3; 2; 1 .
Bài tập trắc nghiệm
Câu
Đáp án
2.Bài tập về nhà
1
C
2
C
3
A
4
A
r
r
r
a 2;1;3 , b 3;1;4 , c 3; 3; 1
5
C
Bài tập 1: Ta có:
nên ta tính được
r
r r r
x 2a 3b c 8; 4; 7 .
r
r
r
a 1; 2; 3 , b 2; 2; 1 , c 4; 0; 4 .
Bài tập 2: Ta có:
r r r
u
r
r r r u
r r
2
a
b
c
0
;
6
;
9
y
a;b;c .
2
a
b
c
3
y
0
Mặt khác:
với
và ta gọi
3a 0
a0
�
�
�
�
6 3b 0 � �
b 2 .
�
�
�
9 3c 0
c 3
�
Ta có hệ phương trình: �
u
r
y 0; 2; 3 .
Vậy:
Bài tập 3:
a) Ta có: A 1;1;1 , B 5;1; 2 , C 7;9;1 thì trọng tâm G có tọa độ là:
�x xB xC y A y B yC z A z B zC
G �A
;
;
3
3
3
�
13 11 �
��
.
� � ; ;0 �
� �3 2 �
b) Gọi M a;b;c là tọa độ điểm M cần tìm.
uuuu
r
uuu
r
uuu
r
AM
a
1;
b
1;
c
1
,
AB
4;0;
3
,
CB
2; 8; 3 và
Ta có:
uuuu
r
OM a; b;c .
uuuu
r
uuu
r
uuu
r
uuuu
r
AM
3
AB
2
CB
4
OM
Mà:
hay ta có hệ phương trình:
12
� 17
a
�
3
a 1 12 4 4a
�
�
�
� 17
�17 17 2 �
b 1 16 4b
��
b
�M � ;
; �
.
�
3
3
3
3
�
�
�
�
c 1 9 6 4c
�
� 2
c
�
� 3
Bài tập trắc nghiệm
Câu
Đáp án
1
B
2
C
3
B
4
A
5
D
13
1.2. Kế hoạch bài học: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG
DỤNG
A- LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
r
a a1; a2 ; a3
Oxyz
,
Định lý:Trong không gian
tích vô hướng của hai vectơ
và
r
rr
b b1; b2 ; b3
a
được xác định bởi công thức: .b a1b1 a2b2 a3b3
2. Ứng dụng
r
r
a a12 a22 a32 .
a
a
;
a
;
a
1
2
3
• Độ dài của một vectơ. Cho vectơ
Khi đó:
• Khoảng cách giữa hai điểm. Cho hai điểm
A xA ; y A; z A
và
B xB ; y B ; z B .
uuu
r
Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vectơ AB.
uuu
r
2
2
2
AB AB xB x A y B y A z B z A .
Do đó ta có:
r
a a1; a2 ; a3
• Góc giữa hai vectơ. Nếu là góc giữa hai vectơ
và
rr
a.b
cos r r .
r
r
r
r
a.b
b b1; b2 ; b3 với a và b khác 0 thì
Do đó:
r r
a1b1 a2b2 a3b3
cos cos a, b
.
2
2
2
2
2
2
a1 a2 a3 . b1 b2 b3
r r
Từ đó suy ra: a b � a1b1 a2b2 a3b3 0.
3. Hình chiếu của điểm lên trục tọa độ và mặt phẳng tọa độ
• Trong không gian Oxyz, cho điểm M x; y; z , khi đó:
+ Hình chiếu của M trên ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là: M1 x;0;0 , M 2 0; y;0
và M 3 0;0; z .
+ Hình chiếu của M lên ba mặt phẳng (Oxy ), (Oyz ), (Ozx) lần lượt là:
M 4 x; y;0 , M 5 0; y; z , M 6 x;0; z .
B- HOẠT ĐỘNG TRÊN LỚP
14
1. Khởi động
Trả lời Đúng hoặc Sai đối với các mệnh đề được cho bởi bảng sau:
Trước khi
học
Các mệnh đề
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A x A ; y A ; z A và B xB ; y B ; z B .
Khi đó:
uuu
r
2
2
2
AB AB xB x A y B y A z B z A .
Sau khi
học
Tích vô hướng của hai vectơ tùy ý luôn thu được
kết quả là một số dương.
r
r
u
kv
, k ��.
Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi
o
Góc giữa hai vectơ luôn nhỏ hơn 90 .
2. Giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài
r
r
r
a
3;0;1
,
b
1;
1;
2
,
c
2;1; 1 .
Oxyz
,
Ví dụ 1: Với hệ tọa độ
cho
Hãy tính
r r r
a. b c
và
r r
ab.
Hướng dẫn:
r
r
r
a
3;0;1
,
b
1;
1;
2
,
c
2;1; 1 .
Ta có:
r r r rr rr
� a. b c a.b a.c �
3.1 0. 1 1. 2 �
3.2 0.1 1. 1 �
�
� �
�
� 6.
r r
a
b 3 1; 0 1; 1 2 4; 1; 1 .
Lại có:
r r
a b 16 1 1 18 3 2.
Nên:
r
r
Oxyz
,
a
b
Ví dụ 2: Trong hệ tọa độ
tính góc giữa hai vectơ và trong các
trường hợp sau:
r
r
a 2; 3; 1 , b 6; 4; 2 .
a)
Hướng dẫn:
r
r
a 3; 2; 2 , b 5; 1; 0 .
b)
15
rr
r r
a.b
2
1
cos a, b r r
.
4 9 1. 36 16 4 14
a.b
a) Ta có:
r r
1
a, b arccos .
14
Vậy:
rr
r r
a.b
1
1
cos a, b r r
.
2. 2 2
a .b
b) Ta có:
Vậy:
r r
a, b 120o.
A 1;2;3
B 5;4; 3 .
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
và
Gọi M
là điểm thuộc đoạn AB và H , I , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên
ba mặt phẳng (Oxy ), (Oyz ), (Ozx). Tìm giá trị nhỏ nhất của MH MI MK .
Hướng dẫn:
Gọi
M x; y; z
thuộc đoạn AB.
�x 1 4k
�x 4k 1
�
�
�y 2 2k � �y 2k 2 .
uuuu
r
uuur
�z 3 6k �z 6k 3
�
Vì AM và AB cùng phương nên �
H là hình chiếu của M trên Oxy nên H 4k 1;2k 2;0 � MH 3 6k .
I là hình chiếu của M trên Oyz nên I 0;2k 2; 6k 3 � MI 4k 1 .
K là hình chiếu của M trên Ozx nên I 4k 1;0; 6k 3 � MK 2k 2 .
Từ đó: MH MI MK �3 6k 4k 1 2k 2 6.
3. Học sinh tự làm các bài tập sau trên lớp
a. Bài tập tự luận
A 1; 2; 1 và
Bài tự luyện số 1: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
B 1; 1; 2 .
uuu
r uuu
r
a) Tính OA.OB.
b) Tính
uuu
r uuu
r
OA, OB .
16
Bài tự luyên số 2: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với
A 1;0;0 , B 0;0;1 và C 2;1;1 . Tính:
a) cosA.
b) Độ dài trung tuyến AM .
c) Diện tích tam giác ABC.
Bài tự luyện số 3: Trong không gian Oxyz , cho hình thang ABCD có AB PCD
và AB 2CD. Biết A 1;0;1 , B 2;1;2 và D 1; 1;1 . Tìm tọa độ đỉnh C.
b. Bài tập trắc nghiệm
r
r r r r
u
Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho vectơ u i 2 j k . Khi đó,
bằng:
D: 6.
B: 6 .
C: 6.
Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 3; 2;1 . Gọi N là điểm đối xứng
uuuu
r
với M qua gốc tọa độ O. Tọa độ của vectơ MN bằng:
A: 2 6.
2;4;6 .
D:
Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với A 1;2; 1 , B 2;1; 3
A:
2;6;4 .
B:
6;4;2 .
C:
6;4;2 .
và C 3;0;1 . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Mệnh đề nào dưới đây sai?
B: OG CG.
A: BG AG 2.
2
2
2
AG
BG
CG
.
D:
, B�
Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2;3; 1 , B 1; 1;2 . Gọi A�
uuuur
A
,
B
Ox
Oz
.
B bằng:
lần lượt là hình chiếu của
lên trục
và
Tọa độ của A��
C: CG BG 3.
2;0;2 .
D:
r r r
r
Oxyz
,
u
3
i
2
j
mk
Câu 5: Trong không gian
cho hai vectơ
và
r
r r
r
rr
v mi 3 j 2k . Nếu u.v 4 thì giá trị của tham số thực m bằng:
A:
2;0;2 .
A: 3.
B:
2;0;2 .
B: 3.
C- BÀI TẬP VỀ NHÀ
C:
2;0;2 .
C: 4.
D: 2.
17
1. Bài tập tự luận
Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1; 1; 2 , B 3;2;1 . Tìm
điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC cân tại C.
Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD có
A 1;0;0 , B 0;0;1 và C 2;1;1 . Tính diện tích hình bình hành ABCD.
Bài tập 3: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;1;1 , B 2;1;1 và
C 3; 2;1 . Gọi N là điểm thuộc trục hoành. Tìm giá trị nhỏ nhất của
uuu
r
uuur uuur
P NA 2 NB 3 NC .
2. Bài tập trắc nghiệm
r
r r r
r
u
5
Câu 1: Trong không gian Oxyz , u 3i 4 j mk . Để độ dài
thì giá trị của
m bằng:
C: 0.
D: 1.
B: 4 2.
r
r
a
2;1;2
,
b
1; 2;2 . Khi đó tích
Oxyz
,
Câu 2: Trong không gian
cho hai vectơ
r r
a
vô hướng của hai vectơ , b là:
A: 6.
A: 4.
C: 1.
D: 4.
Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M 2;3; 1 , N 1;1;1 và
B: 0.
P 1; m 1;2 . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N .
A: m 6.
B: m 0.
C: m 4.
Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm
D: m 2.
A 2;1;0 , B 3;2; 2
�
C 2; 1;0 . Giá trị sin BAC
bằng:
1
.
A: 2
1
3
3
.
.
.
2
D:
B: 2
C: 2
Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2;5;1 , B 2; 6;2 và
và
18
C 1;2; 1 . Gọi M m; m; m là điểm sao cho MA2 MB 2 MC 2 đạt giá trị lớn
nhất, giá trị m bằng:
A: 4.
B: 3.
D- ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN
C: 2.
D: 1.
1. Bài tập trên lớp
Bài tự luyện số 1:
uuu
r
uuur
OA
1;
2;
1
,
OB
1;1;2 .
a) Ta có:
uuu
r uuu
r
� OA.OB 1 2 2 1.
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
OA.OB
1
1
cos OA, OB uuu
.
r uuu
r
6
1 4 1. 1 1 4
OA . OB
b) Ta có:
uuu
r uuur
�1�
OA, OB arccos � �
.
6
� �
�
rr
a.b
cos r r .
a.b
Bài tự luyện số 2: A 1;0;0 , B 0;0;1 và C 2;1;1 . Tính:
uuu
r uuur
AB. AC
0
cosA uuu
0.
r uuur
uuu
r
uuur
2.
3
AB
.
AC
AB 1;0;1 , AC 1;1;1 nên
a) Ta có:
b) Ta có điểm M là trung điểm của AB nên
r �1 �
1
5
� 1 � uuuu
M�
1; ;1�� AM �
0; ;1�� AM
1
.
4
2
�2 �
�2 �
c) Từ cosA 0 � sinA 1.
Áp dụng công thức:
S ABC
1
6
AB. AC.sin A
.
2
2
Bài tự luyện số 3:
uuu
r
uuur
C
a
;
b
;
c
,
AB
2
CD
.
ABCD
AB
2
CD
Gọi
vì
là hình thang có đáy lớn
nên
uuu
r
uuur
AB 1;1;1 , CD 1 a; 1 b;1 c .
Ta có:
19
� 3
a
�
2
�
1 2 1 a
�
1
�
�
�3 1 3 �
1 2 1 b � �
b � C � ; ; �
.
�
2
2
2
2
�
�
�
�
1 2 1 c
�
3
�
c
�
2
Ta có hệ phương trình:
Bài tập trắc nghiệm
Câu
Đáp án
1
C
2
C
3
C
4
B
5
D
2. Bài tập về nhà
Bài tập 1:
Gọi C x;0;0 là điểm thuộc trục hoành.
Mặt khác, tam giác ABC cân tại C nên CA CB, từ đó tìm ra được C 1;0;0 .
Bài tập 2:
uuu
r
uuur
uuu
r uuur
AB 1;0;1
AC 1;1;1 � AB. AC 0.
Nhận xét
và
Từ đó ta có tam giác ABC vuông tại A và tính được:
S ABCD 2 S ABC AB. AC 6.
Bài tập 3:
uuu
r
uuu
r uuur r
�7 1 �
PA 2 PB 3PC 0 � P � ; ;1�
.
6
2
�
�
P
Gọi là điểm thỏa mãn
uuu
r
uuur uuur
m NA 2 NB 3NC 6 NP
Ta có:
đạt giá trị nhỏ nhất khi N là hình chiếu
�7
�
N � ;0;0 �
,
6
�
�
Ox
P
của trên trục
hay
khi đó m 3 5.
Bài tập trắc nghiệm
Câu
Đáp án
1
C
2
D
3
B
4
B
5
A
20
1.3. Kế hoạch bài học: TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG
DỤNG
A- LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Tích có hướng của hai vectơ
r
u a1; b1; c1
Oxyz
,
• Định nghĩa:Trong không gian
cho hai vectơ
và
r
r
r
v a2 ; b2 ; c2 . Tích có hướng của u và v là một vectơ, kí hiệu là
r r
�
�
u
�, v �và có
tọa độ được xác định như sau:
r r �b c c a a b �
�
� 1 1 ; 1 1 ; 1 1 � b1c2 b2c1; c1a2 c2 a1; a1b2 a2b1 .
u
�, v � �
�b2 c2 c2 a2 a2 b2 �
• Tính chất:
r r
u
i) , v cùng phương khi và chỉ khi
r r
r
��
�
u
,
v
u
�� �
r
�r r
�
�
u , v � v
��
ii) �
r r
r r
rr
�
� u v sin u; v .
u
,
v
iii) � �
rr r
�
�
u
�, v � 0.
r r ur
r r
ur
�
u
,v�
.w 0.
iv) Ba vecto u, v và w đồng phẳng khi và chỉ khi � �
2. Ứng dụng của tích có hướng
• Tính diện tích hình phẳng
uuu
r uuur
�
S�
AB
� , AD �.
i) Công thức tính diện tích hình bình hành ABCD :
r uuur
1 uuu
S �
AB
, AC �
�
�.
ABC
2
ii) Công thức tính diện tích tam giác
:
• Tính thể tích vật thể
uuu
r uuur uuur
�
ABCD. A����
BCD : V= �
AB
. AA�
.
� , AD �
i) Công thức tính thể tích khối hộp
r uuur uuur
1 uuu
�
V �
AB
� , AC �AD .
6
ABCD
:
ii) Công thức tính thể tích tứ diện
• Chứng minh ba điểm thẳng hàng
21
uuu
r uuur
r
�
�
AB
,
AC
0.
�
Ba điểm A, B , C thẳng hàng khi và chỉ khi �
• Chứng minh bốn điểm đồng phẳng
uuu
r uuur uuur
�
AB
, AC �
. AD 0.
�
Bốn diểm A, B, C , D đồng phẳng khi và chỉ khi �
B- HOẠT ĐỘNG TRÊN LỚP
1. Khởi động
Trả lời Đúng hoặc Sai đối với các mệnh đề được cho bởi bảng sau:
Trước khi
Các mệnh đề
học
rr r
Oxyz
,
Trong không gian
với i, j , k là các
Sau khi học
Oy, z�
Ox, y�
Oz ta
vectơ đơn vị trên các trục x�
rr r
�
k
, i � j.
có: � �
Cho tam giác ABC , khi đó diện tích:
r uuur
1 uuu
S ABC �
BA
, BC �
�.
2�
Cho tứ diện ABCD, khi đó thể tích:
r uuur uuur
1 uuu
V �
AB
, AC �
�AD .
6�
r r
a
Với , b là các vectơ tùy ý ta có:
r r
r r
�
� �
�
a
,
b
b
� � �, a �.
2. Giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài
r
r
ur
u
1;0;2
,
v
3;2;
4
,
w
2; 1;0 . Tính:
Oxyz
,
Ví dụ 1: Trong
cho vectơ
rr
r r
r r ur
ur r r
�
�
�
�
�
�
�
u
,
v
.
v
,
u
.
u
,
v
.w.
w, v �
.u.
a) � �
b) � �
c) � �
d) � �
Hướng dẫn:
rr
�
u
, v � 4;2; 2 .
a) � �
rr
�
v, u � 4; 2;2 .
b) � �
22
rr
ur
�
� 4;2; 2
u
,
v
w 2; 1;0 .
c) Ta có: � �
và
r r ur
�
u
, v�
.w 4.2 2. 1 . 2 .0 10.
Nên � �
ur r
r
�
� 4;8;7
w,
v
u
1;0;2 .
d) Ta có: � �
và
ur r r
�
w, v �
.u 4. 1 8.0 7.2 10.
Nên � �
r r
rr
�
�
�
u , v v, u �
.
Mở rộng: � � � �
r
r
u
2;
1;1
,
v
m;3; 1 và
Oxyz
,
Ví dụ 2: Trong không gian
cho ba vectơ
ur
r r
ur
w 1;2;1 .
u
,
v
m
Tìm tham số thực
để
và w đồng phẳng.
Hướng dẫn:
r r
r r
ur
�
� 3; 1;5 .
u
,
v
u
,
�
�
v
Ta có:
Để
và w đồng phẳng khi
r r ur
�
u, v �
.w 0.
�
�
8
m .
3
Từ đó tìm được
B C D có các
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , cho hình lập phương ABCD. A����
đỉnh
A 0;0;0 , B 1;0;0 , D 0;1;0
và
C�
1;1;1 .
, BC , C ��
D lần
Trên cạnh AA�
M BN C �
I . Tìm tọa độ của M để diện
lượt lấy các điểm M , N , I sao cho A�
tích tam giác MNI đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
M BN C �
I x.
Gọi độ dài A�
�
Chọn hê tọa độ với điểm A là gốc tọa độ, lần lượt AB �Ox, AD �Oy , AA �Oz.
Từ đó ta tính được
Ta có:
S MNI
1
2
M 0;0;1 x , N 1; x;0 , I 1 x;1;1 .
uuuu
r uuu
r
�
� 3 x 2 x 1 �3 3 .
MN
,
MI
�
� 2
8
Dấu " " xảy ra khi
x
� 1�
1
M�
0;0; �
.
2 hay � 2 �
23
3. Học sinh tự làm các bài tập sau trên lớp
a. Bài tập tự luận
Bài tự luyện số 1: Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ
ur
w 2;1;1 .
và
Tính:
r r
r r
r r ur
�
�
�
�
�
u
,
v
.
v
,
u
.
u
, v�
.w.
a) � �
b) � �
c) � �
r
r
u 1;2;3 , v 1;1;1
ur r r
�
w, v �
.u.
�
�
d)
Bài tự luyện số 2: Trong không gian Oxyz , cho 4 điểm đồng phẳng
ur
A 1; 2;1 , B 2;0;1 , C x; 5; x
D 1; 1; x
và
( với x là tham số thực dương).
Tính diện tích tứ giác ABCD.
A 1;1;0
Bài tự luyện số 3: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
và
B 2; 1;1 .
Tìm điểm M thuộc trục Oy sao cho diện tích tam giác MAB nhỏ
nhất.
b. Bài tập trắc nghiệm
A 2;1;1 , B 2; 1;1 , C 1;1;3 .
Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm
Điểm nào sau đây đồng phẳng với các điểm A, B, C ?
Q 3; 1; 2 .
C: P 2;0;0 .
D:
r
r
r
a
3;2;
1
,
b
2;1;1
,
c
4;1;7
Oxyz
,
Câu 2: Trong không gian
cho bốn vectơ
r
u 3; 5; 1 .
và
Mệnh đề nào dưới đây sai:
r r
rr
�
�
�
a
,
b
c
,b�
.
A: � �cùng phương với � �
rr
r r
�
�
�
�
b
,
c
a
.
� �không cùng phương với �, c �
B:
A:
C:
M 1;0;2 .
B:
N 1;0; 1 .
r r
r r
�
�
�
�
a
,
b
u
.
� �không cùng phương với �, c �
r rr
D: a, b, c là ba vecto đồng phẳng.
24
Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ
rr
�
�
u
�, v � 1;3;1 . Khi đó giá trị của x là:
A: 2.
B: 2.
r
u 1;1;0
và
r
v x;1;0 ,
C: 3.
Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm
D:
A 1;1;3 , B 2;0; 1
uuu
r uuur
AB
, AC ?
Vectơ nào sau đây vuông góc với cả hai vecto
r
n
A: 1 0;1;1 .
r
n
B: 2 1;1;0 .
uu
r
n
C: 3 (1;0;1).
biết
1.
và
C 0;0;1 .
uu
r
n4 1;0;0 .
r
rD:
Oxyz , cho hai vectơ u 2;1;1 và v 1;0;2 . Vectơ nào
Câu 5: Trong không gian
rr
u
không đồng phẳng với hai vectơ , v ?
ur
ur
uuu
r
uuu
r
w
1;1;
1
.
w
2;5;11
.
w
w
(3;6;
12).
1
2
3
D: 4 1;2;4 .
C:
A:
B:
C- BÀI TẬP VỀ NHÀ
1. Bài tập tự luận
Bài tập 1: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm
A 0;0;1 , B 1;0;2 , C 1;1;0
và
D 2;1;2 .
Tính:
a) Diện tích tam giác ABC , đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác và bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác đó.
uuur
uuu
r
CD
.
AB
b) Giá trị sin của góc giữa
và
c) Thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh D.
Bài tập 2: Tìm điều kiện của tham số thực m để ba vectơ
r
r
ur
u 1;2;3 , v 2;1; m
và w 2; m;1 không đồng phẳng.
Bài tập 3: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;1;0 , B 2; 1;1 và
C 2;1;1 . Tìm điểm M thuộc trục Oz sao cho thể tích tứ diện MABC bằng 2.
2. Bài tập trắc nghiệm
25
Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ
r
r
u 1;1;2 , v 2;1; 1 .
Tọa độ
r r
�
u
, v�
của vectơ � �bằng:
A:
1;3;5 .
B:
3;5;1 .
C:
5;1;3 .
Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm
1;5;3 .
D:
A 1;0;0, , B 0;1;0 , C 0;0;1
và
D 1;1;1 . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A: Bốn điểm A, B, C , D tạo thành một tứ diện.
B: Tam giác ABD là tam giác đều.
C: Tam giác BCD là tam giác vuông.
D: Tam giác ABC là tam giác vuông.
Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD. Độ dài đường cao h kẻ từ
đỉnh D của tứ diện được xác định bởi công thức:
uuur uuur uuur
uuu
r uuur uuur
�
�
�
AB
,
AC
.
AD
AB
. AD
1 � , AC �
�
�
�
h
.
h
.
uuur uuur
uuu
r uuur
6 �
�
�
�
AB
.
AC
AB
.
AC
�
�
�
�
A:
B:
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuur
�
�
�
AB
,
AC
.
AD
AB
. AD
1 �
1 � , AC �
�
�
h
.
h
.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
2 �
3 �
�
�
AB
.
AC
AB
.
AC
�
�
�
�
C:
D:
r
r
u
2;3;
4
.
Oxyz
,
v
Câu 4: Trong không gian
cho vectơ
Vectơ thỏa mãn
r r r
�
�
u
�, v � 0 có tọa độ là:
A:
4;2;3 .
B:
4;6;8 .
C:
1;2;2 .
Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có
C 1;4;0 .
4;6;8 .
D:
A 1;0;1 , B 2;1;3
và
Tọa độ trực tâm của tam giác ABC là:
�8 7 15 �
.
� ; ; �
13
13
13
�
�
�8
7 15 �
.
� ; ; �
13
13
13
�
�
A:
B:
D- ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN
� 8
�8
7 15 �
7 15 �
; ; �
.
.
�
� ; ; �
13
13
13
13
13
13
� D: �
�
C: �
