BÀI tập THỐNG kê có lời GIẢI (PHẦN 1)

BÀI TẬP THỐNG KÊ CÓ LỜI GIẢI
(phần 1)
Bài 1: Trọng lượng của một quả trứng gà được cho bởi bảng số liệu sau:
X-Trọng lượng (g)
25-30
30-35
35-40
40-45
45-50
Số quả
15
17
40
18
10
Bằng khoảng tin cậy đối xứng hãy ước lượng trọng lượng trung bình của loại trứng gà
này với độ tin cậy 95%. Cho biết lượng trứng gà là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn.
Bài giải
+) Đây là bài toán ước lượng kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trong
TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu lớn (n=100)
=> AD KTC : (𝑋 −

𝑆′
√𝑛

. 𝑈1−𝛼 ; 𝑋 +
2

𝑆′
√𝑛

. 𝑈1−𝛼 )
2

𝛼

với 1-α = 0.95 => α = 0.05 => 1- = 0.975
2

=> 𝑈1 − 𝛼 = 𝑈0.975 = 1.96
2

+) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′ , n
Chọn 𝑥𝑖 là giá trị chính giữa của mỗi lớp.
Các 𝑥𝑖 cách nhau một khoảng h = 5.
Chọn 𝑥0 = 37.5, đặt 𝑡𝑖 =

𝑥𝑖 −𝑥0
ℎ

=

𝑥𝑖 −37.5
5

, 𝑖 = 1,5

Lập bảng
𝑥𝑖
27.5

32.5
37.5
42.5
47.5

Ta có:

𝑛𝑖
15
17
40
18
10
∑ = 100

𝑡𝑖
-2
-1
0
1
2

𝑛𝑖 𝑡𝑖
-30
-17
0
18
20
∑ = -9

𝑛𝑖 𝑡𝑖2
60
17
0
18
40
∑ = 135


𝑥 = 𝑥0 + ℎ.
2

2

𝑛

∑𝑛 𝑡 2

𝑠 = ℎ .(
𝑠′2 =

∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖

𝑖

= 37.5 + 5.

−9

100

𝑖

𝑛

−

= 37.05

2

∑𝑛 𝑡
( 𝑛𝑖 𝑖

−9 2

135

) ) = 52 . [100 − (100) ] = 33.5475

𝑛
100
. 𝑠2 =
. 33,5475 = 33,8864
𝑛−1
99

=> 𝑠 ′ = √𝑠′2 = √33,8864 = 5,8212
=> KTC : (37,05 −

5,8212
√100

. 1,96 ; 37,05 +

5,8212
√100

. 1.96) hay (35,9090 ; 38, 191)

Vậy trọng lượng trung bình của loại trứng gà này với độ tin cậy 95% nằm trong khoảng
(35,9090 ; 38, 191).
Bài 2: Hàm lượng đường trung bình của một loại trái cây lúc đầu là 5%. Người ta chăm
bón bằng một loại phân N và sau một thời gian kiểm tra một số trái cây được kết quả sau:
Hàm lượng
X(%)

1-5 5-9 9-13 13-17 17-21 21-25 25-29 29-33 37-41

Số trái

51

47

39

36

32

8

7

3

2

Hãy cho kết luận về loại phân N trên với mức ý nghĩa 5%. Giả thiết hàm lượng đường
của loại trái cây trên là ĐLNN tuân theo quy luật chuẩn.
Bài giải
+) Đây là bài toán kiểm định giả thuyết kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn trong TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu lớn (n=225)
+) Giả thuyết 𝐻0 : a=5
Đối thuyết 𝐻1 : a>5
+) Tiêu chuẩn kiểm định:
𝑇 =

𝑋−𝑎0
𝑆′

. √𝑛 =

𝑋−5
𝑆′

. √225

+) Miền bác bỏ: S = (𝑈1−𝛼 ; +∞) với 𝛼 = 0.05

=> 1- 𝛼 = 0.95 => 𝑈1−𝛼 =𝑈0.95 =1.645 => S = (1,645; +∞)
+) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′


Chọn 𝑥𝑖 là giá trị chính giữa của mỗi lớp.
Các 𝑥𝑖 cách nhau một khoảng h = 4.
𝑥𝑖 −𝑥0

Chọn 𝑥0 = 3, đặt 𝑡𝑖 =

ℎ

=

𝑥𝑖 −3
4

, 𝑖 = 1,9

Lập bảng
𝑥𝑖
3
7
11
15
19
23
27
31
39

𝑛𝑖
51
47
39
36
32
8
7
3
2

𝑛𝑖 𝑡𝑖
0
47
78
108
128
40
54
21
18

𝑛𝑖 𝑡𝑖2
0
47
156
324
512
200

324
147
162

∑ = 494

∑ = 1893

𝑡𝑖
0
1
2
3
4
5
6
7
9

∑ = 225

Ta có:
𝑥 = 𝑥0 + ℎ.

∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖
𝑛

∑𝑛 𝑡 2
𝑖 𝑖
𝑛

𝑠 2 = ℎ2 . (
𝑠′2 =

494

= 3 + 4.

225

−(

∑𝑛 𝑡
𝑖 𝑖
𝑛

2

= 11,7822
1893

494 2

) ) = 42 . [ 225 − (225) ] = 57,49

𝑛
225
. 𝑠2 =
. 57,49 = 57,7425
𝑛−1

224

=> 𝑠 ′ = √𝑠′2 = √57,7425 = 7,5989
=> 𝑡𝑞𝑠 =

11,7822−5
7,5989

. √225 = 13,3879

NX: 𝑡𝑞𝑠 ∈ 𝑆 => Bác bỏ 𝐻0 chấp nhận 𝐻1
Vậy với mức ý nghĩa 5%, loại phân N làm tăng hàm lượng đường của loại trái cây đó.
Bài 3: Đo chỉ số mỡ sữa của 130 con bò lai Hà - Ấn F1 ta được bảng số liệu sau:


Chỉ số mỡ sữa 3,0-3,6 3,6-4,2 4,2-4,8 4,8-5,4 5,4-6,0 6,0-6,6 6,6(X)
7,2
Số bò lai
2
8
35
43
22
15
5
Biết rằng chỉ số mỡ sữa trung bình của giống bò lai thuần chủng là 4,95. Với mức ý
nghĩa 1% hãy cho kết luận về hiệu quả của việc lai giống.
Bài giải
+) Đây là bài toán kiểm định giả thuyết kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn trong TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu lớn (n=130)

+) Giả thuyết 𝐻0 : a = 4.95
Đối thuyết 𝐻1 : a > 4.95
+) Tiêu chuẩn kiểm định:
𝑇 =

𝑋−𝑎0
𝑆′

. √𝑛 =

𝑋−4.95
𝑆′

. √130

+) Miền bác bỏ: S = (𝑈1−𝛼 ; +∞) với 𝛼 = 0.01
=> 1- 𝛼 = 0.99 => 𝑈1−𝛼 =𝑈0.99 = 2,326 => S = (2,326 ; +∞)
+) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′
Chọn 𝑥𝑖 là giá trị chính giữa của mỗi lớp.
Các 𝑥𝑖 cách nhau một khoảng h = 0.6.
Chọn 𝑥0 = 5,1, đặt 𝑡𝑖 =

𝑥𝑖 −𝑥0
ℎ

=

𝑥𝑖 −5,1
0,6

, 𝑖 = 1,7

Lập bảng
𝑥𝑖
3,3
3,9
4,5
5,1
5,7
6,3
6,9

𝑛𝑖
2
8
35
43
22
15
5
∑ = 130

𝑡𝑖
-3
-2
-1
0
1
2
3

𝑛𝑖 𝑡𝑖
-6
-16
-35
0
22
30
15

𝑛𝑖 𝑡𝑖2
18
32
35
0
22
60
45

∑ = 10

∑ = 197


Ta có:
𝑥 = 𝑥0 + ℎ.

∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖
𝑛

∑𝑛 𝑡 2
𝑖 𝑖
𝑛

𝑠 2 = ℎ2 . (
𝑠′2 =

= 5,1 + 0.6.

10

130

−(

∑𝑛 𝑡
𝑖 𝑖
𝑛

= 5,1462

2

10 2

197

) ) = 0,62 . [130 − (130) ] = 0,5434

𝑛

130
. 𝑠2 =
. 0,5434 = 0,5476
𝑛−1
129

=> 𝑠 ′ = √𝑠′2 = √0,5476 = 0,74
=> 𝑡𝑞𝑠 =

5,1462−4,95
0,74

. √130 = 3,023

NX: 𝑡𝑞𝑠 ∈ 𝑆 => Bác bỏ 𝐻0 chấp nhận 𝐻1
Vậy với mức ý nghĩa 1%, việc lai giống làm tăng chỉ số mỡ sữa TB của giống bò lai
thuần chủng.
Bài 4: Kích thước của một loại sản phẩm do một máy tự động sản xuất ra là một đại
lượng ngẫu nhiên tuân theo qui luật phân phối chuẩn. Sau khi kiểm tra 25 sản phẩm cụ
thể ta thu được bảng số liệu sau:
Kích thước
20-22
22-24
24-26
26-28
30-32
(cm)
Số sản phẩm
3
7

10
3
2
Hãy ước lượng kích thước trung bình của loại sản phẩm đó bằng khoảng tin cậy đối
xứng với độ tin cậy 95%.
Bài giải
+) Đây là bài toán ước lượng kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trong
TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu nhỏ (n=25)
=> AD KTC : (𝑋 −

𝑆′
√𝑛

(𝑛−1)

. 𝑡1−𝛼

;𝑋 +

2

𝑆′
√𝑛

(𝑛−1)

. 𝑡1−𝛼 )
2

𝛼

với 1-α = 0.95 => α = 0.05 => 1- = 0.975
2

(𝑛−1)

=> 𝑡1−𝛼
2

(24)

= 𝑡0.975 = 2.064

+) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′ , n
Chọn 𝑥𝑖 là giá trị chính giữa của mỗi lớp.


Các 𝑥𝑖 cách nhau một khoảng h = 2.
Chọn 𝑥0 = 25, đặt 𝑡𝑖 =

𝑥𝑖 −𝑥0

=

ℎ

𝑥𝑖 −25

, 𝑖 = 1,5

5

Lập bảng
𝑥𝑖
21
23
25
27
31

𝑛𝑖
3
7
10
3
2
∑ = 25

𝑡𝑖
-2
-1
0
1
3

𝑛𝑖 𝑡𝑖2
12
7
0
3

18
∑ = 40

𝑛𝑖 𝑡𝑖
-6
-7
0
3
6
∑ = -4

Ta có:
𝑥 = 𝑥0 + ℎ.

∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖
𝑛

∑𝑛 𝑡 2
𝑖 𝑖
𝑛

𝑠 2 = ℎ2 . (
𝑠′2 =

= 25 + 2.
−(

∑𝑛 𝑡
𝑖 𝑖
𝑛

−4
25

= 24,68

2

−4 2

40

) ) = 22 . [25 − ( 25 ) ] = 6,2976

𝑛
25
. 𝑠2 =
. (6,2976)2 = 41,3123
𝑛−1
24

=> 𝑠 ′ = √𝑠′2 = √41,3123 = 6,4275
=> KTC : (24,68 −

6,4275
√100

. 2,064 ; 24,68 +

6,4275

√100

. 2,064) hay (22,0267 ; 27,3333)

Vậy kích thước trung bình của loại sản phẩm đó với độ tin cậy 95% nằm trong khoảng
(22,0267;27,3333)
Bài 5: Để ước lượng năng suất trung bình của một giống lúa mới tại một vùng, người ta
gặt ngẫu nhiên trên 50 thửa ruộng của vùng đó và thu được kết quả (tạ/ha):
Năng
suất
Số thửa

57 58 59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

70

2

6

4

4

8

6

4

3

4

3

1

3

2

Biết năng suất lúa là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Hãy ước lượng năng
suất trung bình của giống lúa mới ở vùng đó với độ tin cậy 95%.
Bài giải


+) Đây là bài toán ước lượng kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trong
TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu lớn (n=50)
=> AD KTC : (𝑋 −

𝑆′
√𝑛

𝑆′

. 𝑈1−𝛼 ; 𝑋 +

√𝑛

2

. 𝑈1−𝛼 )
2

𝛼

với 1-α = 0.95 => α = 0.05 => 1- = 0.975
2

=> 𝑈1 − 𝛼 = 𝑈0.975 = 1.96
2

+) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′ , n
Các 𝑥𝑖 cách nhau một khoảng h = 1.
Chọn 𝑥0 = 63, đặt 𝑡𝑖 =

𝑥𝑖 −𝑥0

=

ℎ

𝑥𝑖 −63
1

, 𝑖 = 1,13

Lập bảng
𝑥𝑖
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68

70

𝑛𝑖
2
3
2
6
4
4
8
6
4
3
4
3
1
∑ = 50

𝑡𝑖
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4

5
7

Ta có:
𝑥 = 𝑥0 + ℎ.
2

2

∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖
𝑛

∑𝑛 𝑡 2

𝑠 = ℎ .(

𝑖

𝑛

𝑖

−4

= 63 + 1.
−

∑𝑛 𝑡
( 𝑛𝑖 𝑖

50
2

= 62,92
490

−4 2

) ) = 12 . [ 50 − ( 50 ) ] = 9,7936

𝑛𝑖 𝑡𝑖
-12
-15
-8
-18
-8
-4
0
6
8
9
16
15
7
∑ = -4

𝑛𝑖 𝑡𝑖2
72
75
32

54
16
4
0
6
16
27
64
75
49
∑ = 490


𝑠′2 =

𝑛
50
. 𝑠2 =
. 9,7936 = 9,9935
𝑛−1
49

=> 𝑠 ′ = √𝑠′2 = √9,9935 = 3,1612
=> KTC : (62,92 −

3,1612
√50

. 1,96 ; 62,92 +

3,1612
√50

. 1.96) hay (62,0438 ; 63,7962)

Vậy năng suất lúa trung bình của một giống lúa mới tại một vùng với độ tin cậy 95% nằm
trong khoảng (62,0438; 63,7962).
Bài 6: Định mức thời gian hoàn thành một sản phẩm là 14 phút. Có cần thay đổi định
mức không, nếu theo dõi thời gian hoàn thành một sản phẩm ở 25 công nhân ta thu được
bảng số liệu sau:
Thời gian để SX 1 sản phẩm (phút) 10-12 12-14 14-16 16-18 20-22
Số công nhân tương ứng
3
6
10
4
2
Yêu cầu kết luận với mức ý nghĩa  = 0,05 biết rằng thời gian hoàn thành một sản
phẩm là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
Bài giải
+) Đây là bài toán kiểm định giả thuyết kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn trong TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu lớn (n=225)
+) Giả thuyết 𝐻0 : a = 14
Đối thuyết 𝐻1 : a ≠ 14
+) Tiêu chuẩn kiểm định:
𝑇 =

𝑋−𝑎0
𝑆′

. √𝑛 =

𝑋−14
𝑆′

. √25

(𝑛−1)

(𝑛−1)

2

2

+) Miền bác bỏ: S = (−∞; 𝑡1−𝛼 ) ∪ ( 𝑡1−𝛼 ; +∞) với 𝛼 = 0.05
=> 1-

𝛼
2

(𝑛−1)

= 0.975 => 𝑡1−𝛼
2

(24)

= 𝑡0.975 = 2,064 => S = (-∞; 2,064) ∪ (2,064; +∞)

+) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′
Chọn 𝑥𝑖 là giá trị chính giữa của mỗi lớp.
Các 𝑥𝑖 cách nhau một khoảng h = 2.


Chọn 𝑥0 = 15, đặt 𝑡𝑖 =

𝑥𝑖 −𝑥0

=

ℎ

𝑥𝑖 −15
2

, 𝑖 = 1,5

Lập bảng
𝑥𝑖
11
13
15
17
21

𝑛𝑖
3
6
10

4
2

𝑛𝑖 𝑡𝑖
-6
-6
0
4
6

𝑛𝑖 𝑡𝑖2
12
6
0
4
18

∑ = −2

∑ = 40

𝑡𝑖
-2
-1
0
1
3

∑ = 25

Ta có:
𝑥 = 𝑥0 + ℎ.
2

2

𝑛

∑𝑛 𝑡 2

𝑠 = ℎ .(
𝑠′2 =

∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖

𝑖

𝑖

𝑛

−2

= 15 + 2.
−

∑𝑛 𝑡
( 𝑛𝑖 𝑖

25

= 14,84

2

40

−2 2

) ) = 22 . [25 − ( 25 ) ] = 6,3744

𝑛
25
. 𝑠2 =
. 6,3744 = 6,64
𝑛−1
24

=> 𝑠 ′ = √𝑠′2 = √6,64 = 2,5768
=> 𝑡𝑞𝑠 =

14,84−14
2,5768

. √25 = 1,6299

NX: 𝑡𝑞𝑠 ∈ 𝑆 => Bác bỏ 𝐻0 chấp nhận 𝐻1
Vậy cần phải thay đổi định mức thời gian hoàn thành một sản phẩm của công nhân với
mức ý nghĩa 𝛼 = 0.05
Bài 7: Để xác định giá trung bình đối với một loại hàng hoá trên thi trường, người ta điều

tra ngẫu nhiên tại 100 cửa hàng thu được số liệu sau:
Giá (đồng)
Số cửa hàng

83
5

85
8

87
13

89
14

91
30

93
11

95
8

97
6

99
4

101
1

Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng giá trung bình của loại hàng đó tại thời điểm đang
xét. Biết rằng giá hàng hoá là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo qui luật phân phối chuẩn.
Bài giải


+) Đây là bài toán ước lượng kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trong
TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu lớn (n=100)
=> AD KTC : (𝑋 −

𝑆′
√𝑛

𝑆′

. 𝑈1−𝛼 ; 𝑋 +

√𝑛

2

. 𝑈1−𝛼 )
2

𝛼

với 1-α = 0.95 => α = 0.05 => 1- = 0.975

2

=> 𝑈1 − 𝛼 = 𝑈0.975 = 1.96
2

+) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′ , n
Các 𝑥𝑖 cách nhau một khoảng h = 2.
Chọn 𝑥0 = 91, đặt 𝑡𝑖 =

𝑥𝑖 −𝑥0
ℎ

=

𝑥𝑖 −91
2

, 𝑖 = 1,10

Lập bảng
𝑥𝑖
83
85
87
89
91
93
95
97
99

101

𝑛𝑖
5
8
13
14
30
11
8
6
4
1
∑ = 100

𝑡𝑖
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5

𝑛𝑖 𝑡𝑖
-20
-24

-26
-14
0
11
16
18
16
5
∑ = -18

Ta có:
𝑥 = 𝑥0 + ℎ.
2

𝑠 =ℎ
𝑠′2 =

2

∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖
𝑛

∑𝑛 𝑡 2
.( 𝑖 𝑖
𝑛

= 91 + 2.
−

∑𝑛 𝑡

( 𝑛𝑖 𝑖

−18
100
2

= 90,64
2

404

−18 2

) ) = 2 . [100 − ( 100 ) ] = 16,0304

𝑛
100
. 𝑠2 =
. 16,0304 = 16,1923
𝑛−1
99

𝑛𝑖 𝑡𝑖2
80
72
52
14
0
11
32

54
64
25
∑ = 404


=> 𝑠 ′ = √𝑠′2 = 4,024
=> KTC : (90,64 −

4,024
√100

. 1,96 ; 90,64 +

4,024
√100

. 1.96) hay (89,8513 ; 91,4287)

Vậy giá trị trung bình của một loại hàng hóa trên thị trường với độ tin cậy 95% nằm trong
khoảng (89,8513; 91,4287).
Bài 8: Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng lượng xăng hao phí trung bình cho một loại xe
ôtô chạy từ A đến B nếu chạy thử 30 lần trên đoạn đường này người ta ghi nhận được
lượng xăng hao phí như sau:
Lượng xăng hao
phí(lít)
Số lần tương ứng

9,6-9,8 9,8-10,0 10,0-10,2 10,2-10,4
3

5

10

8

10,4-10,6
4

Biết lượng xăng hao phí là ĐLNN tuân theo qui luật chuẩn.
Bài giải
+) Đây là bài toán ước lượng kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trong
TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu nhỏ (n=30)
=> AD KTC : (𝑋 −

𝑆′
√𝑛

(𝑛−1)

. 𝑡1−𝛼

;𝑋 +

2

𝑆′
√𝑛

(𝑛−1)

. 𝑡1−𝛼 )
2

𝛼

với 1-α = 0.95 => α = 0.05 => 1- = 0.975
2

(𝑛−1)

=> 𝑡1−𝛼
2

(29)

= 𝑡0.975 = 2.042

+) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′ , n
Chọn 𝑥𝑖 là giá trị chính giữa của mỗi lớp.
Các 𝑥𝑖 cách nhau một khoảng h = 0.2.
Chọn 𝑥0 = 10,1, đặt 𝑡𝑖 =

𝑥𝑖 −𝑥0
ℎ

=

𝑥𝑖 −10,1

0,2

, 𝑖 = 1,5

Lập bảng
𝑥𝑖
9,7
9,9
10,1
10,3

𝑛𝑖
3
5
10
8

𝑡𝑖
-2
-1
0
1

𝑛𝑖 𝑡𝑖
-6
-7
0
3

𝑛𝑖 𝑡𝑖2

12
5
0
8


10,5

4
∑ = 30

2

6
∑=5

16
∑ = 41

Ta có:
𝑥 = 𝑥0 + ℎ.
2

𝑛

∑𝑛 𝑡 2

2

𝑠 = ℎ .(

𝑠′2 =

∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖

𝑖

𝑛

𝑖

= 10,1 + 0,2.
−

∑𝑛 𝑡
( 𝑛𝑖 𝑖

5
30

= 10,1333

2

5 2

41

) ) = 0,22 . [30 − (30) ] = 0,0536

𝑛

30
. 𝑠2 =
. (0,0536)2 = 0,00297
𝑛−1
29

=> 𝑠 ′ = √𝑠′2 = √0,00297 = 0,0545
=> KTC : (10,1333 −

0,0545
√30

. 2,042 ; 10,1333 +

0,0545
√30

. 2,042)

hay (10,1296; 10,1371)
Vậy lượng xăng hao phí trung bình cho 1 loại xe ô tô chạy từ A->B với độ tin cậy 95%
nằm trong khoảng (10,1296; 10,1371)
Bài 9: Cân thử 100 quả trứng ta có kết quả sau:
X (g) 150 160 165 170 180 185
Số quả 4
20 25 30 15
6
Tìm khoảng ước lượng cho khối lượng trung bình của trứng với độ tin cậy 95%. Biết
rằng khối lượng trúng là ĐLNN tuân theo quy luật phân phối chuẩn.
Bài giải

+) Đây là bài toán ước lượng kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trong
TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu lớn (n=100)
=> AD KTC : (𝑋 −

𝑆′
√𝑛

. 𝑈1−𝛼 ; 𝑋 +
2

𝛼

𝑆′
√𝑛

. 𝑈1−𝛼 )

với 1-α = 0.95 => α = 0.05 => 1- = 0.975
2

=> 𝑈1 − 𝛼 = 𝑈0.975 = 1.96
2

+) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′ , n

2


Các 𝑥𝑖 cách nhau một khoảng h = 5.
𝑥𝑖 −𝑥0

Chọn 𝑥0 = 170, đặt 𝑡𝑖 =

ℎ

=

𝑥𝑖 −170
5

, 𝑖 = 1,6

Lập bảng
𝑥𝑖
150
160
165
170
180
185

𝑛𝑖
4
20
25
30
15
6
∑ = 100

𝑡𝑖
-4
-2
-1
0
2
3

𝑛𝑖 𝑡𝑖
-16
-40
-25
0
30
18
∑ = -33

𝑛𝑖 𝑡𝑖2
64
80
25
0
60
54
∑ = 283

Ta có:
𝑥 = 𝑥0 + ℎ.

∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖

𝑛

∑𝑛 𝑡 2
𝑖 𝑖
𝑛

𝑠 2 = ℎ2 . (
𝑠′2 =

−33

= 170 + 5.
−(

∑𝑛 𝑡
𝑖 𝑖
𝑛

100

2

= 168,35
283

−33 2

) ) = 52 . [100 − ( 100 ) ] = 68,0275

𝑛

100
. 𝑠2 =
. 68,0275 = 68,7146
𝑛−1
99

=> 𝑠 ′ = √𝑠′2 = 8,2894
=> KTC : (168,35 −

8,2894
√100

. 1,96 ; 168,35 +

8,2894
√100

. 1.96) hay (166,7253 ; 169,9747)

Vậy khối lượng trung bìn của trứng với độ tin cậy 95% nằm trong khoảng (166,7253 ;
169,9747).
Bài 10: Đo chỉ số mỡ sữa của 100 con bò lai Hà - Ấn F1 ta được bảng số liệu sau:
Chỉ số mỡ sữa (X) 3,0-3,6 3,6-4,2 4,2-4,8 4,8-5,4 5,4-6,0 6,0-6,6 6,6-7,2
Số bò lai
2
8
30
35
15
7

3
Hãy ước lượng chỉ số mỡ sữa trung bình của giống bò lai trên với độ tin cậy 95%.
Giả thiết chỉ số mỡ sữa là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
Bài giải


+) Đây là bài toán ước lượng kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trong
TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu lớn (n=100)
=> AD KTC : (𝑋 −

𝑆′
√𝑛

. 𝑈1−𝛼 ; 𝑋 +
2

𝑆′
√𝑛

. 𝑈1−𝛼 )
2

𝛼

với 1-α = 0.95 => α = 0.05 => 1- = 0.975
2

=> 𝑈1 − 𝛼 = 𝑈0.975 = 1.96
2

+) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′ , n
Chọn 𝑥𝑖 là giá trị chính giữa của mỗi lớp
Các 𝑥𝑖 cách nhau một khoảng h = 0,6.
Chọn 𝑥0 = 5,1, đặt 𝑡𝑖 =

𝑥𝑖 −𝑥0
ℎ

=

𝑥𝑖 −5,1
0,6

, 𝑖 = 1,7

Lập bảng
𝑥𝑖
3,3
3,9
4,5
5,1
5,7
6,3
6,9

𝑛𝑖
2
8
30
35

15
7
3
∑ = 100

𝑡𝑖
-3
-2
-1
0
1
2
3

𝑛𝑖 𝑡𝑖
-6
-16
-30
0
15
14
9
∑ = -14

Ta có:
𝑥 = 𝑥0 + ℎ.
2

2

𝑛

∑𝑛 𝑡 2

𝑠 = ℎ .(
𝑠′2 =

∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖

𝑖

𝑛

𝑖

−14

= 5,1 + 0,6.
−(

∑𝑛 𝑡
𝑖 𝑖
𝑛

2

100

= 5,016
150

𝑛
100
. 𝑠2 =
. 0,533 = 0,5383
𝑛−1
99

=> 𝑠 ′ = √𝑠′2 = 0,7337

−14 2

) ) = 0,62 . [100 − ( 100 ) ] = 0,533

𝑛𝑖 𝑡𝑖2
18
32
30
0
15
28
27
∑ = 150


=> KTC : (5,016 −

0,7337
√100

. 1,96 ; 5,016 +

0,7337
√100

. 1.96) hay (4,8722 ; 5,1598)

Vậy chỉ số mỡ sữa trung bình của giống bò lai trên với độ tin cậy 95% nằm trong khoảng
(4,8722;5,1598)
Bài 11: Đo áp lực X (tính bằng kg/cm2) của 18 thùng chứa ta được bảng kết quả sau:
X
19,6 19,5 19,9 20,0 19,8 20,5 21,0 18,5 19,7
Số thùng 1
2
2
4
2
3
2
1
1
Với độ tin cậy 99% hãy tìm khoảng ước lượng đối xứng của áp lực trung bình của
thùng trên. Biết rằng áp lực là ĐLNN có phân phối chuẩn.
Bài giải
+) Đây là bài toán ước lượng kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trong
TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu nhỏ (n=18)
=> AD KTC : (𝑋 −

𝑆′
√𝑛

(𝑛−1)

. 𝑡1−𝛼

;𝑋 +

2

𝑆′
√𝑛

(𝑛−1)

. 𝑡1−𝛼 )
2

𝛼

với 1-α = 0.99 => α = 0.01 => 1- = 0.995
2

(𝑛−1)

=> 𝑡1−𝛼
2

(17)

= 𝑡0.995 = 2.989

+) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′ , n
Các 𝑥𝑖 cách nhau một khoảng h = 0,1.
Chọn 𝑥0 = 20, đặt 𝑡𝑖 =

𝑥𝑖 −𝑥0
ℎ

=

𝑥𝑖 −20
0,1

, 𝑖 = 1,9

Lập bảng
𝑥𝑖
19,6
19,5
19,9
20
19,8
20,5
21
18,5

𝑛𝑖
1
2
2

4
2
3
2
1

𝑡𝑖
-4
-5
-1
0
-2
5
10
-15

𝑛𝑖 𝑡𝑖
-4
-10
-2
0
-4
15
20
-15

𝑛𝑖 𝑡𝑖2
16
50
2

0
8
75
200
225


19,7

1
∑ = 18

-3

-3
∑ = -3

9
∑ = 585

Ta có:
𝑥 = 𝑥0 + ℎ.
2

𝑛

∑𝑛 𝑡 2

2

𝑠 = ℎ .(
𝑠′2 =

∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖

𝑖

𝑛

𝑖

−3

= 20 + 0,1.
−

∑𝑛 𝑡
( 𝑛𝑖 𝑖

18

= 19,9833

2

585

−3 2

) ) = 0,12 . [ 18 − ( 18 ) ] = 0,32472

𝑛
18
. 𝑠2 =
. (0,32472)2 = 0,11165
𝑛−1
17

=> 𝑠 ′ = √𝑠′2 = √0,11165 = 0,3341
=> KTC : (19,9833 −

0,3341
√18

. 2,989 ; 19,9833 +

0,3341
√18

. 2,989) hay (19,7479; 20,2187)

Vậy áp lực trung bình của thùng trên với độ tin cậy 99% nằm trong khoảng (19,7479;
20,2187)
Bài 12: Để xác định giá trung bình đối với một loại hàng hoá trên thị trường, người ta
điều tra ngẫu nhiên tại 100 cửa hàng và thu được số liệu sau:
Giá (đồng) X
81 85 87 89 91 93 95 97 99 101
Số cửa hàng (mi) 3 10 13 15 30 12 7 6 3
1
Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng giá trung bình của loại hàng đó tại thời điểm đang

xét bằng khoảng tin cậy đối xứng. Biết rằng giá của hàng hoá là đại lượng ngẫu nhiên tuân
theo qui luật phân phối chuẩn.
Bài giải
+) Đây là bài toán ước lượng kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trong
TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu lớn (n=100)
=> AD KTC : (𝑋 −

𝑆′
√𝑛

. 𝑈1−𝛼 ; 𝑋 +
2

𝛼

𝑆′
√𝑛

. 𝑈1−𝛼 )

với 1-α = 0.95 => α = 0.05 => 1- = 0.975
2

=> 𝑈1 − 𝛼 = 𝑈0.975 = 1.96
2

2


+) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′ , n

Các 𝑥𝑖 cách nhau một khoảng h = 2.
Chọn 𝑥0 = 91, đặt 𝑡𝑖 =

𝑥𝑖 −𝑥0

=

ℎ

𝑥𝑖 −91
2

, 𝑖 = 1,10

Lập bảng
𝑥𝑖
81
85
87
89
91
93
95
97
99
101

𝑛𝑖
3
10

13
15
30
12
7
6
3
1
∑ = 100

𝑡𝑖
-5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5

𝑛𝑖 𝑡𝑖
-15
-30
-26
-15
0
12
14

18
12
5
∑ = -25

𝑛𝑖 𝑡𝑖2
75
90
52
15
0
12
28
54
48
25
∑ = 399

Ta có:
𝑥 = 𝑥0 + ℎ.

∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖
𝑛

∑𝑛 𝑡 2
𝑖 𝑖
𝑛

𝑠 2 = ℎ2 . (
𝑠′2 =

= 91 + 2.
−(

∑𝑛 𝑡
𝑖 𝑖
𝑛

−25
100
2

= 90,5
−25 2

399

) ) = 22 . [100 − ( 100 ) ] = 15,71

𝑛
100
. 𝑠2 =
. 15,71 = 15,8687
𝑛−1
99

=> 𝑠 ′ = √𝑠′2 = 3,9836
=> KTC : (90,5 −

3,9836

√100

. 1,96 ; 90,5 +

3,9836
√100

. 1.96) hay (89,7192 ; 91,2808)

Vậy giá TB của một loại hàng hóa trên thị trường với độ tin cậy 95% nằm trong khoảng
(89,7192 ; 91,2808)
Bài 13: Để xác định chiều cao trung bình của các cây bạch đàn, người ta tiến hành đo
ngẫu nhiên 35 cây và có bảng số liệu:


Chiều cao (X-mét) 6,5-7,0 7,0-7,5 7,5-8,0 8,0-8,5 8,5-9,0 9,0-9,5
Số cây
2
4
10
11
5
3
Với độ tin cậy 95% có thể nói chiều cao trung bình của các cây đàn nằm trong khoảng
nào. Giả thiết chiều cao của cây bạch đàn là ĐLNN tuân theo qui luật phân phối chuẩn.
Bài giải
+) Đây là bài toán ước lượng kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trong
TH chưa biết phương sai với cỡ mẫu lớn (n=35)
=> AD KTC : (𝑋 −

𝑆′
√𝑛

. 𝑈1−𝛼 ; 𝑋 +
2

𝑆′
√𝑛

. 𝑈1−𝛼 )
2

𝛼

với 1-α = 0.95 => α = 0.05 => 1- = 0.975
2

=> 𝑈1 − 𝛼 = 𝑈0.975 = 1.96
2

+) Dựa vào mẫu cụ thể ta tìm 𝑥 , 𝑠 ′ , n
Chọn 𝑥𝑖 là giá trị chính giữa của mỗi lớp
Các 𝑥𝑖 cách nhau một khoảng h = 0,5.
Chọn 𝑥0 = 8,25, đặt 𝑡𝑖 =

𝑥𝑖 −𝑥0
ℎ

=

𝑥𝑖 −8,25
0,5

, 𝑖 = 1,6

Lập bảng
𝑥𝑖
6,75
7,25
7,75
8,25
8,75
9,25

𝑛𝑖
2
4
10
11
5
3
∑ = 35

𝑡𝑖
-3
-2
-1
0
1
2

𝑛𝑖 𝑡𝑖
-6
-8
-10
0
5
6
∑ = -13

Ta có:
𝑥 = 𝑥0 + ℎ.
2

𝑠 =ℎ

2

∑ 𝑛𝑖 𝑡 𝑖
𝑛

∑𝑛 𝑡 2
.( 𝑖 𝑖
𝑛

= 8,25 + 0,5.
−

∑𝑛 𝑡
( 𝑛𝑖 𝑖

2

−13
35

= 8,0643
2

61

−13 2

) ) = 0,5 . [35 − ( 35 ) ] = 0,4012

𝑛𝑖 𝑡𝑖2
18
16
10
0
5
12
∑ = 61


𝑠′2 =

𝑛
35
. 𝑠2 =

. 0,4012 = 0,413
𝑛−1
34

=> 𝑠 ′ = √𝑠′2 = 3,9836
=> KTC : (8,0643 −

0,413
√35

. 1,96 ; 8,0643 +

0,413
√35

. 1.96) hay (7,9275 ; 8,2011)

Vậy với độ tin cậy là 95%, chiều cao TB của các cây đàn nằm trong khoảng (7,9275 ;
8,2011)