Chuyên đề chỉnh hợp và tổ hợp có lời giải chi tiết

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1
BÀI 3: CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP
*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website:
www.vted.vn
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại vted.vn
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Mã đề thi
132
COMBO TOÁN 11 NỀN TẢNG VÀ NÂNG CAO – Đăng kí khoá học tại đây: />
1) Chỉnh hợp:
Cho tập A có n (n ≥1) phần tử. Khi lấy ra k phần tử từ tập A và sắp xếp k phần tử này theo một thứ tự,
ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là chỉnh hợp chập k của A).
Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử kí hiệu là Ank , xác định được rằng
Ank =

n!
= n(n−1)...(n− k +1).
(n− k)!

Chứng minh.
Ta cần sắp xếp vị trí của k phần tử
Bước 1: Vị trí thứ nhất, chọn 1 trong n phần tử xếp vào vị trí này có n cách.
Bước 2: Vị trí thứ hai, chọn 1 trong ( n – 1) phần tử còn lại xếp vào vị trí này có ( n – 1) cách.
Bước 3: …
Bước k: Vị trí thứ k, chọn 1 trong ( n – k +1) phần tử còn lại xếp vào vị trí này có ( n – k + 1) cách.
n!
= n(n−1)...(n− k +1).
Vậy tất cả có n(n−1)...(n− k +1) cách hay Ank =
(n− k)!

{

}

Bài 1. Cho tập A = 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt thành
lập từ tập A ?
Giải. *Mỗi số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau thành lập từ tập A là một chỉnh hợp chập 5 của 9 phần
tử. Vậy tất cả có A95 = 15120 số.
*Có thể hiểu việc thành lập số có 5 chữ số khác nhau phải thực hiện qua hai công đoạn :
- Chọn ra 5 chữ số từ 9 chữ số đã cho.
- Sắp xếp 5 chữ số vừa chọn ra.
Bài 2. Cần chọn ra 4 học sinh trong 10 học sinh và mỗi học sinh thực hiện một công việc khác nhau.
Hỏi có bao nhiêu cách ?
Giải. Chọn 4 học sinh từ 10 học sinh sau đó phân công cho 4 học sinh mỗi người một công việc là một
4
= 5040 cách.
chỉnh hợp chập 4 của 10 phần tử. Vậy tất cả có A10

2) Tổ hợp:
Cho tập A có n (n ≥1) phần tử. Khi lấy ra k phần tử từ tập A ta được một tập con của A, được gọi là tổ
hợp chập k của n phần tử (gọi tắt là tổ hợp chập k của A).
Số các tổ hợp chập k của A kí hiệu là Cnk , xác định được rằng

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1


2

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

Cnk =

Ank
n!
n(n−1)...(n− k +1)
=
=
.
k! k!(n− k)!
k!

Chứng minh.
Ta biết rằng chỉnh hợp k của n phần tử là số cách lấy ra k phần tử từ tập hợp n phần tử và sắp xếp k
phần tử lấy ra theo một thứ tự.
*Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là Ank .
*Số cách lấy ra k phần tử từ tập hợp n phần tử là tổ hợp chập k của n là Cnk .
*Số cách sắp xếp k phần tử là Pk = k!.
*Vậy ta có Ank = Cnk .k!⇒ Cnk =

Ank
n!
n(n−1)...(n− k +1)
=
=
.
k! k!(n− k)!
k!

Một số tổ hợp hay dùng:
n(n−1) 3 n(n−1)(n− 2)
Cn0 = 1;Cn1 = n;Cn2 =

;Cn =
.
2
6
Đẳng thức liên quan đến tổ hợp:
k+1
Cnk = Cnn−k ;Cnk + Cnk+1 = Cn+1
;Cn0 + Cn1 + Cn2 + ....+ Cnn = 2 n.
3) Số tập con của một tập hợp
Tập A gồm n phần tử khi đó:
• Số tập con gồm k phần tử của A bằng Cnk .
• Số tập con của A bằng 2 n.
• Số tập con (khác rỗng) của A bằng 2 n −1.
Bài 1. Có 10 học sinh trong đó gồm 7 nam và 3 nữ, cần chọn ra 5 học sinh để làm công tác xã hội. Hỏi
có bao nhiêu cách, biết
a) Chọn tuỳ ý.
b) Gồm 3 Nam và 2 nữ.
c) Phải có ít nhất một nữ và ba nam.
Giải.
5
= 252 cách.
a) Chọn ra 5 em tuỳ ý từ 10 em là một tổ hợp chập 5 của 10 phần tử. Vậy tất cả có C10

b) Thực hiện qua hai công đoạn :
Chọn ra 3 nam có C73 cách.
Sau đó chọn 2 nữ có C32 cách.
Vậy tất cả có C73 .C32 = 105 cách.
c) Thực hiện theo hai phương án :
Phương án 1 : Gồm 3 nam và 2 nữ ; có 105 cách.
Phương án 2 : Gồm 4 nam và 1 nữ có 105 cách.

Vậy tất cả có 105 + 105 = 210 cách.
2

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 3
Bài 2. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người trong đó, có 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1
nữ.
4
.C31 cách.
Giải. *Chọn 4 nam trong 12 nam và 1 nữ trong 3 nữ về giúp đỡ tỉnh thứ nhất có C12

Tiếp theo chọn 4 nam trong 8 nam còn lại và 1 nữ trong 2 nữ còn lại về giúp đỡ tỉnh thứ 2 có C84 .C21
cách.
Cuối cùng 4 nam và 1 nữ (còn lại) cho về giúp đỡ tỉnh thứ ba có 1 cách.
4
.C31 .C84 .C21 .1 = 207900 cách.
Vậy tất cả có C12

Bài 3. Một đội xây dựng gồm 10 công nhân và 3 kỹ sư, để lập một tổ công tác cần chọn một kỹ sư là
tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập tổ công
tác.
Giải. *Có C31 cách chọn 1 kỹ sư là tổ trưởng.
Có 10 cách chọn 1 công nhân trong 10 công nhân làm tổ phó; và có C95 cách chọn 5 công nhân làm tổ
viên.
Vậy có C31 .10.C95 = 3780 cách lập tổ công tác.
Bài 4. Một nhóm học sinh gồm 9 nam và 6 nữ trong đó có một tổ tưởng là nam và một tổ phó là nữ.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ trong đó có tổ trưởng hoặc có tổ phó

nhưng không có cả hai người?
Giải. *Có hai khả năng sau:
+) 4 nam chọn ra có 1 một trưởng và 3 nữ chọn ra (không gồm tổ phó) có 1.C83 .C53 cách.
+) 4 nam chọn ra (không gồm tổ trưởng) và 3 nữ chọn ra có 1 tổ phó có C84 .1.C53 cách.
*Vậy có tất cả 1.C83 .C53 + C84 .1.C53 cách thoả mãn.
Bài 5. Trong kì thi THPT Quốc Gia, lớp 12A có 10 học sinh chỉ đăng kí dự thi xét Tốt nghiệp THPT.
Các thí sinh xét tốt nghiệp THPT Quốc Gia cần thi 3 môn bắt buộc: Toán, Văn và Ngoại ngữ và một
môn thi tự chọn trong các các môn: Lịch sử, Địa lí, Vật lí, Hoá học, Sinh học. Hỏi có bao nhiêu cách
đăng kí môn thi của 10 thí sinh này biết rằng chỉ có 6 thí sinh trùng môn thi tự chọn.
Giải. *Công việc thực hiện qua các bước:
-

6
Chọn 6 trong 10 thí sinh cùng môn thi tự chọn có C10
cách.

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 3


4

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN
-

Chọn 1 trong 5 môn thi tự chọn cho 6 thí sinh này có C51 cách.

-

4 thí sinh còn lại được lựa chọn một trong 4 môn thi tự chọn (khác với môn thi tự chọn của 6 thí
sinh trước) còn lại có 44 cách.

6
.C51 .44 cách.
*Vậy có tất cả C10

Bài 6. Trong một môn học thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình,
15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác
nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải đủ 3 loại câu hỏi( khó,trung bình và dễ) và số câu hỏi dễ
không ít hơn 2?
Giải. *Số câu hỏi dễ không ít hơn 2 nên có các trường hợp sau
TH1: Đề kiểm tra gồm 2 câu dễ, 2 câu khó và 1 câu trung bình, trường hợp này có
2
1
C15
.C52 .C10
= 105.10.10 = 10500 đề.

TH2: Đề kiểm tra gồm 2 câu dễ, 2 câu trung bình và 1 câu khó, trường hợp này có
2
2
C15
.C10
.C51 = 105.45.5 = 23625 đề.

TH3: Đề kiểm tra gồm 3 câu dễ, 1 câu khó và 1 câu trung bình, trường hợp này có
3
1
C15
.C10
.C51 = 455.10.5 = 22750 đề.

Vậy có tất cả 10500+23625+22750=56875 đề.
Bài 7. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn ra 4 viên bi không có đủ cả 3 màu?
4
= 1365 cách.
Giải. Số cách lấy ra 4 viên bi từ hộp này là C15

*Cách lấy ra 4 viên bi có đủ cả 3 màu, có các trường hợp là
TH1: Lấy ra 2 viên bi đỏ, 1 viên bi trắng và 1 viên bi vàng có C42 .C51 .C61 = 180 cách.
TH2: Lấy ra 2 viên bi trắng, 1 viên bi đỏ và 1 viên bi vàng có C41 .C52 .C61 = 240 cách.
TH3: Lấy ra 2 bi vàng, 1 bi đỏ và 1 bi xanh có C41 .C51 .C62 = 300
Vậy có 180+240+300=720 cách lấy ra 4 viên bi có đủ 3 màu
Vậy có 1365 – 720 = 645 cách lấy ra 4 viên bi không có đủ cả 3 màu.
Bài 8. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học
sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc
không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
4

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 5
4
= 495 cách.
Giải. *Chọn tuỳ ý 4 học sinh có C12

Ta tìm số cách chọn ra 4 học sinh có mặt ở cả ba lớp:
+ Chọn ra 2 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C có C52 .4.3 = 120 cách.
+ Chọn ra 1 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C có 5.C42 .3 = 90 cách.

+ Chọn ra 1 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C có 5.4.C32 = 60 cách.

(

)

Vậy số cách chọn ra 4 học sinh không quá 2 trong ba lớp là 495 − 120 + 90 + 60 = 225 cách.
Bài 9. Có 12 học sinh gồm 4 học sinh khối A, 4 học sinh khối B và 4 học sinh khối C. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn ra 5 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất một học sinh?
5
= 792 cách.
Giải. Chọn 5 học sinh tuỳ ý có C12

Do mỗi khối có 4 học sinh và cần chọn ra 5 học sinh nên 5 học sinh chọn ra sẽ thuộc ít nhất hai khối.
Ta tìm cách chọn ra 5 học sinh sao cho chỉ ở hai khối:
+ Chọn ra 5 học sinh trong hai khối A và B có C85 = 56 cách.
+ Chọn ra 5 học sinh trong hai khối B và C có C85 = 56 cách.
+ Chọn ra 5 học sinh trong hai khối Cvà A có C85 = 56 cách.
Vậy có 792 − 3.56 = 624 cách chọn ra 5 học sinh thuộc cả 3 khối.
Bài 10. Có 5 tem thư và 6 bì thư, cần chọn ra 3 tem thư và 3 bì thư sau đó dán 3 tem thư chọn ra lên 3
bì thư ( mỗi bì thư chỉ dán một tem thư). Hỏi có bao nhiêu cách?
Giải. Chọn ra 3 bì thư có C63 cách.
Chọn ra 3 tem thư có C53 cách.
Sau đó dán 3 tem thư lên 3 bì thư có 3! cách.
Vậy tất cả có C63 .C53 .3! = 1200 cách.
Bài 11. Có 12 cặp vợ chồng tham gia lễ hội. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 4 cặp (mỗi cặp gồm 1 nam
và 1 nữ) để khiêu vũ và bất kỳ 2 trong 8 người chọn ra này không là vợ chồng của nhau?
4
Giải. Trước tiên chọn ra 4 ông chồng (trong 12 ông chồng) có C12
cách.

Khi đó ta phải loại đi 4 bà vợ của các ông chồng vừa chọn(vì bất kỳ 2 trong 8 người chọn ra này không
là vợ chồng của nhau).
Sau đó chọn 4 bà vợ từ 8 bà vợ còn lại có C84 cách.
Sau khi chọn ra được 4 ông chồng và 4 bà vợ, ta tìm số cách ghép thành 4 cặp.
Ta coi 4 ông chồng là 4 ô trống, xếp bốn bà vợ vào 4 ô trống đó có tất cả 4! cách, và đây chính là số
cách ghép thành 4 cặp(mỗi cặp gồm 1 nam và một nữ) từ 8 người này.
4
.C84 .4! = 831600 cách.
Vậy tất cả có C12

Chú ý. Ta có thể chọn ra 4 bà vợ trước tiên.
BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 5


6

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

Bài 12. Có 100 sản phẩm trong đó có 90 sản phẩm đạt yêu cầu và 10 sản phẩm không đạt yêu cầu.
Chọn ra 10 sản phẩm để kiểm tra chất lượng sản phẩm, hỏi có bao nhiêu cách?
a) Chọn ra tuỳ uý.
b) Trong đó có 8 sản phẩm đạt yêu cầu.
Giải.
10
a) Chọn ra 10 sản phẩm tuỳ ý là tổ hợp chập 10 của 100 phần tử có C100
cách.
8
b) Chọn ra 8 sản phẩm đạt yêu cầu từ 90 sản phẩm có C90
cách.

2
Chọn ra 2 sản phẩm không đạt yêu cầu từ 10 sản phẩm có C10
cách.
8
2
.C10
Vậy tất cả có C90
cách.

Bài 13. Cho 15 chiếc bánh khác nhau và 3 chiếc hộp, bỏ 15 chiếc bánh vào 3 chiếc hộp (mỗi hộp 5
chiếc bánh). Hỏi có bao nhiêu cách, biết
a) 3 hộp khác nhau.
b) 3 hộp giống nhau.
Giải.
5
a) Chọn ra 5 chiếc bánh bỏ vào hộp 1 có C15
cách.
5
Chọn 5 chiếc bánh trong 10 chiếc còn lại bỏ vào hộp 2 có C10
cách.

Cuối cùng còn 5 chiếc bỏ vào hộp 3 có 1 cách.
5
5
.C10
= 756756 cách.
Vậy tất cả có C15

b) Vì các hộp là giống nhau nên số cách bỏ bánh là

5
5
C15
.C10

3!

= 126126 cách.

Bài tập rèn luyện:
Bài 1. Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Cần chọn một nhóm gồm 3 học sinh. Hỏi có bao
nhiêu cách:
a)

Chọn 3 học sinh bất kỳ.

b)

Chọn 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữ.

c)

Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam.

3
1
2
= 9880 cách; b) C25
.C15
= 2625 ; c) 9425 cách chọn có ít nhất 1 nam.

Đ/s: a) C40

Bài 2. Một tổ sinh viên có 20 em, trong đó 8 em chỉ biết Tiếng Anh, 7 em chỉ biết Tiếng Pháp và 5 em
chỉ biết Tiếng Đức. Cần lập nhóm đi thực tế gồm 3 em biết Tiếng Anh, 4 em biết Tiếng Pháp và 2 em
biết Tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm đi thực tế từ tổ sinh viên ấy?
Đ/s: C83 .C74 .C52 cách.
Bài 3. Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người . Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2
người ở địa điểm B, còn 4 người thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công.
Đ/s: C93 .C62 cách.
Bài 4. Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau.
6

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 7
a) Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có 2 viên bi đỏ?
b) Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, sao cho số bi vàng bằng số bi đỏ?
c) Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi trong đó có ít nhất 3 bi vàng?
Đ/s: a) C52 .C44 ; b) C53 .C43 ; c) C53 .C43 + C52 .C44 .
Bài 5. Có 3 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 5 học sinh lớp C. Có bao nhiêu cách chọn ra 4 học sinh
từ các lớp trên sao cho mỗi lớp đều có ít nhất một học sinh được chọn.
Đ/s: C32 .4.5 + 3.C42 .5 + 3.4.C52 cách.
Bài 6. Có 7 Nam và 5 nữ, cần chọn ra 4 Nam và 4 nữ ghép thành 4 cặp nhảy (mỗi cặp gồm 1 nam và 1
nữ). Hỏi có bao nhiêu cách?
Đ/s: C74 .C54 .4! .
Bài 7. Có 7 bì thư và 8 tem thư. Chọn ra 4 tem thư và 4 bì thư, sau đó dán mỗi tem thư lên một bì thư.
Hỏi có bao nhiêu cách?
Đ/s: C74 .C84 .4! .
Bài 8. Nhóm học sinh gồm 11 em, trong đó có 7 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học

sinh trong đó có ít nhất một nữ?
3
− C73 = 130 cách.
Đ/s: C11

Bài 9. Trong 100 vé số có 2 vé trúng thưởng. Chọn ra 12 vé, hỏi có bao nhiêu cách, biết
a) Chọn ra tuỳ ý.
b) Không có vé nào trúng thưởng.
c) Có ít nhất một vé trúng thưởng.
12
2
2
2
− C98
Đ/s: a) C100
; b) C98
; c) C100
.

Bài 10. Có 10 nữ trong đó có chị Bình và 7 nam trong đó có anh An. Cần thành lập tổ công tác gồm 3
nữ và 4 nam trong đó An và Bình không có đồng thời An và Bình. Hỏi có bao nhiêu cách?
Đ/s: 3480 cách.
Bài 11. Có 12 chiếc bánh ngọt khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chúng vào 6 chiếc hộp giống
nhau, mỗi hộp gồm 2 chiếc bánh? Đ/s:

2
2
C12
.C10
.C82 .C62 .C42 .C22

6!

= 9085768 cách.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Số chỉnh hợp chập 2 của n phần tử bằng
n(n−1)
n(n− 2)
B. n(n−1).
A.
C.
.
.
2
2
Câu 2. Tìm nghiệm của phương trình Px .Ax2 + 72 = 6( Ax2 + 2Px ).
A. x = 7.

B. x = 3.

C. x = 4.

D. n(n− 2).
D. x ∈ {3;4}.

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 7


8

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

2
2
2
2
+ 2Cx+2
+ 2Cx+3
+ Cx+4
= 149.
Câu 3. Tìm nghiệm của phương trình Cx+1
A. x = 9.
B. x = 5.
C. x = 6.
y
y
⎪⎧2 A + 5Cx = 90
Câu 4. Giải hệ phương trình ⎪⎨ xy
.
⎪⎪5A − 2C y = 80
x
x
⎪⎩
A. (x; y) = (5;2).
B. (x; y) = (4;3).
C. (x; y) = (6;2).
1
1
1

2019
Câu 5. Tìm n thoả mãn 2 + 2 + ...+ 2 =
.
A2 A3
An 2020
A. n = 2018.
B. n = 2019.
C. n = 2020.
1
1
1
2019
Câu 6. Tìm n thoả mãn 2 + 2 + ...+ 2 =
.
C2 C3
Cn 1010

A. n = 2018.
B. n = 2019.
C. n = 2020.
Câu 7. Cho tập hợp A = {1,2,3,4}. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Bộ số (1,2,4) là một chỉnh hợp chập 4 của 3.
C. Chỉnh hợp (1,2,4) giống với chỉnh hợp (2,4,1).

D. x = 8.

D. (x; y) = (5;3).

D. n = 2021.

D. n = 2021.

B. Bộ số (1,2,3) là một chỉnh hợp chập 3 của 4.
D. Bộ số (1,3) là một chỉnh hợp chập 4 của 2.

Câu 8. Cho tập A = {a,b,c}. Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Tập A có tất cả 6 hoán vị.
B. (a,b);(b,a);(a,c);(c,a);(b,c);(c;a) là các chỉnh hợp chập 2 của A.
C. (a,b,c);(b,c,a) là hai hoán vị khác nhau của A.
D. (a;b) là một chỉnh hợp chập 3 của 2.
Câu 9. Có tất cả bao nhiêu véctơ khác véctơ – không có điểm đầu và điểm cuối là 2 trong 2019 điểm
phân biệt cho trước ?
2
2
1
1
A. C2019
B. 2C2019
C. 2C2019
D. C2019
.
.
.
.
Câu 10. Số tập con gồm đúng 2 phần tử của tập A gồm 10 phần tử bằng
B. C102 .
C. A102 .
A. 210 −1.
D. 210.
Câu 11. Số tổ hợp chập 3 của 10 phần tử bằng

10!
A. C103 .
B. A103 .
D.
.
C. 103.
3!
Câu 12. Cho tập A gồm n phần tử. Biết rằng số tập con gồm 3 phần tử của A gấp sáu lần số tập con
gồm 2 phần tử của A. Giá trị của n bằng
A. 5.
B. 18.
C. 38.
D. 20.
Câu 13. Trên một mặt phẳng có n điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Số tam
giác được tạo thành từ n điểm đã cho bằng
n(n−1)(n− 2)
n(n +1)(n + 2)
n(n−1)(n− 2)
n(n +1)(n + 2)
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
6
6
3

3
Câu 14. Một giải đấu bóng đá có tất cả n đội tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt. Hỏi có tất cả bao
nhiêu trận đấu ?
n(n +1)
n(n−1)
C. n(n +1).
D. n(n−1).
A.
B.
.
.
2
2
Câu 15. Một giải đấu bóng đá có tất cả n đội tham gia, thi đấu vòng tròn hai lượt gồm lượt đi trên sân
khách và lượt về trên sân nhà có tất cả bao nhiêu trận đấu ?
n(n +1)
n(n−1)
A. n(n +1).
D. n(n−1).
B.
C.
.
.
2
2

8

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 9
Câu 16. Một buổi dạ hội có n cặp vợ chồng tham dự, trước khi bắt đầu biểu tiệc các cặp vợ chồng bắt
tay làm quen với tất cả các ông chồng và bà vợ của các cặp vợ chồng khác, biết rằng nếu là vợ chồng
của nhau sẽ không bắt tay với nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay ?
A. n(n +1).
B. n(n−1).
C. 2n(n−1).
D. n(2n−1).
Câu 17. Cho một đa giác lồi (H ) có n (n ≥ 4) cạnh. Số đường chéo của đa giác (H ) là ?
n(n−1)
n(n−3)
n(n +1)
n(n− 2)
B.
C.
D.
.
.
.
.
2
2
2
2
Câu 18. Cho một đa giác lồi n cạnh. Số tam giác tạo thành từ các đỉnh của đa giác lồi đã cho là ?
n(n−1)(n− 2)
n(n−1)(n− 2)
n(n−1)(n− 2)
n(n−1)(n + 2)

A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
3
2
6
6
Câu 19. Cho một đa giác lồi (H ) có n(n ≥ 4) cạnh. Số tam giác tạo thành từ các đỉnh của (H ) và chỉ
có một cạnh là cạnh của (H ) là?
A. n(n−1).
B. n(n− 2).
C. n(n−3).
D. n(n− 4).
Câu 20. Cho một đa giác lồi (H ) có n(n ≥ 4) cạnh. Số tam giác tạo thành từ các đỉnh của (H ) và có
hai cạnh là cạnh của (H ) là ?
A. n.
B. n−1.
C. n− 2.
D. n−3.
*
Câu 21 . Cho một đa giác lồi (H ) có n(n ≥ 4) cạnh. Số tam giác tạo thành từ các đỉnh của (H ) và
không có cạnh nào là cạnh của (H ) là ?

A.

n(n2 −9n + 20)
n(n2 + 9n + 20)
n(n2 −9n + 20)
n(n2 + 9n + 20)
B.
C.
D.
.
.
.
.
6
6
3
3
Câu 22. Một đa giác đều (H ) có 2n cạnh. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật tạo thành từ 4 đỉnh của
(H ) ?

A.

n(n−1)
n(n +1)
n2
n2
B.
C.
.
.
D. .
.

2
2
2
4
Câu 23. Trên hai đường thẳng song song a và b. Có m điểm phân biệt trên đường thẳng a và n điểm
phân biệt trên đường thẳng b. Số tam giác tạo thành từ tất cả (m + n) điểm đã cho là?
mn(m+ n + 2)
mn(m+ n− 2)
mn(m+ n +1)
mn(m+ n−1)
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
2
2
2
2
Câu 24. Trên hai đường thẳng song song a và b. Có m điểm phân biệt trên đường thẳng a và n điểm
phân biệt trên đường thẳng b. Biết rằng m+ n = 2016. Số tam giác tạo thành từ tất cả 2016 điểm đã cho
lớn nhất là ?
A. 2017.20182.
B. 1008.1007 2.
C. 1007.10082.
D. 1006.10102.
Câu 25. Đa giác lồi nào dưới đây có số cạnh bằng số đường chéo ?

A. Thập giác.
B. Lục giác
C. Ngũ giác.
D. Bát giác.
Câu 26. Đa giác lồi n cạnh có 27 đường chéo. Tìm n.
A. n = 9.
B. n = 12.
C. n = 6.
D. n = 15.
Câu 27. Trong hệ trục toạ độ Oxy có 8 điểm nằm trên tia Ox và 5 điểm nằm trên tia Oy. Nối một điểm
trên tia Ox với một điểm trên tia Oy ta được 40 đoạn thẳng. Hỏi 40 đoạn thẳng này cắt nhau tại bao
nhiêu giao điểm nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục toạ độ xOy (biết rằng không có bất kì 3
đoạn thẳng nào đồng quy tại một điểm).
A. 260.
B. 270.
C. 280.
C. 290.
Câu 28. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau, người ta chọn ra 3 tem thư và 3 bì thư sau đó
dán 3 tem thư chọn ra lên 3 bì thư chọn ra sao cho mỗi bì thư chỉ dán 1 con tem. Hỏi có bao nhiêu
cách?
A. 1200.
B. 1000.
C. 1800.
D. 200.

A.

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 9

10 BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN
Câu 29. Trên một mặt phẳng cho một tập hợp P gồm n điểm phân biệt. Hỏi có thể lập được bao nhiêu
!
véc tơ khác véc tơ 0 mà điểm đầu và điểm cuối thuộc P ?
A. Cn2 .
B. 2Cn1 .
C. Cn1 .
D. 2Cn2 .
Câu 30. Bạn An đặt mật khẩu cho laptop của mình là một dãy kí tự gồm 6 chữ số dạng a1a2 a3a4 a5a6
với ai ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,i = 1,6 và a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6 . Hỏi bạn An có bao nhiêu cách đặt
mật khẩu cho Laptop của mình ?
A. 84.
B. 210.
C. 5.
D. 151.200.
Câu 31. Một giải đấu bóng đá có 12 đội bóng tham dự được chia thành ba bảng A, B, C mỗi bảng gồm
4 đội. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chia bảng?
A. 369.600
B. 34.650.
C. 11.550.
D. 5775.
Câu 32. Một đội sinh viên tình nguyện gồm 15 người trong đó có 12 nam và 3 nữ. Cần phân công đội
sinh viên tình nguyện này về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh gồm 4 nam và 1 nữ. Hỏi có tất
cả bao nhiêu cách phân công?
A. 207900.
B. 69300.
C. 103950.
D. 34650.
Câu 33. Một nhóm học sinh có 7 em nam và 5 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham gia
đồng diễn thể dục. Trong 5 em được chọn cả đồng thời cả nam và nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

A. 770.
B. 792.
C. 771.
D. 791.
Câu 34. Mỗi người sử dụng mạng máy tính đều có mật khẩu. Giả sử mỗi mật khẩu gồm 6 kí tự, mỗi kí
tự hoặc là một chữ số (trong 10 chữ số từ 0 đến 9) hoặc là một chữ cái (trong bảng 26 chữ cái tiếng
anh) và mật khẩu phải có ít nhất là một chữ số. Hỏi có thể lập được bao nhiêu mật khẩu ?
A. 366.
B. 266.
C. 366 + 266.
D. 366 − 266.
Câu 35. Trong một trường THPT, khối 11 có 160 học sinh tham gia câu lạc bộ Tin học, 140 học sinh
tham gia câu lạc bộ Ngoại ngữ, 50 học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ và 100 học sinh không tham gia
câu lạc bộ nào trong hai câu lạc bộ trên. Hỏi khối 11 của trường này có tất cả bao nhiêu học sinh ?
A. 450.
B. 350.
C. 400.
D. 250.
⎧⎪⎪a < b < c
Câu 36. Giả sử dãy kí tự mật khẩu của một chiếc két là abc trong đó ⎨
và a,b,c là các
⎪⎪⎩a + b+ c = 10
chữ số từ 0 đến 9. Hỏi có tất cả bao nhiêu mật khẩu như vậy ?
A. 8.
B. 10.
C. 4.
D. 12.
Câu 37. Bạn An thiết kế kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học
lớp mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và
không có hai nút nào được ghi cùng một số. Bạn An muốn thiết lập

mật khẩu để mở cửa phòng là một dãy kí tự gồm 3 chữ số tạo thành
một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Hỏi có bao nhiêu cách đặt mật
khẩu?
A. 4.
B. 8.
C. 7.
D. 12.
Câu 38. Xét tập hợp A gồm n (n ≥ 3) phần tử. Biết rằng số tập con của tập A lần lượt chứa 1, 2, 3 phần
tử theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị của n là ?
A. 7.
B. 8.
C. 12.

D. 14.

Câu 39. Trong một mặt phẳng chứa n điểm phân biệt trong đó có hai điểm A, B. Biết rằng không có
ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi từ n điểm đã cho có thể tạo thành bao nhiêu tam giác hoặc nhận A hoặc
nhận B là một đỉnh ?
n(n−1)(n− 2)
(n−1)(n− 2)(n−3)
A.
B.
.
.
6
3

10

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 11
C. (n− 2)2 .

D. (n−1)(n− 2).

Câu 40. Các đường chéo của một đa giác lồi n cạnh gặp nhau tại bao nhiêu điểm, biết rằng bất kì 3
đường chéo không đồng quy tại một điểm ?
D. CC2 2−n .
A. Cn2 .
B. Cn2 − n.
C. Cn4 .
n

Câu 41 . Có bao nhiêu cách chọn ra 4 số nguyên dương x1 , x2 , x3 , x4 từ tập hợp S = {1,2,...,500}
sao cho x1 , x2 , x3 , x4 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân tăng và công bội của chúng là một số nguyên
dương ?
A. 94.
B. 62.
C. 32.
D. 31.
Câu 42 . Cho tập X = {1,2,...,2016}. Hỏi có bao nhiêu bộ số (a,b,c) thoả mãn a < b,a < c và
a,b,c ∈ X ?
A. 1+ 2 + ...+ 2016.

B. 12 + 22 + ...+ 20152.

C. 12 + 22 + ...+ 20162.

D. 1+ 2 + ...+ 2015.

Câu 43. Cho bốn điểm A, B,C, D phân biệt cùng thuộc mặt phẳng (α), trong đó không có bất kì ba
điểm nào thẳng hàng và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng (α). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng chứa S
và hai trong bốn điểm A, B,C, D đã cho ?
A. 4.
B. 10.
C. 7.
D. 6.
Câu 44. Cho tập A = {1,2,3,5, x} (trong đó x là một chữ số từ 6 đến 9). Biết tổng tất cả các số tự nhiên
gồm 3 chữ số khác nhau được thành lập từ tập A bằng 25308, tìm x.
A. x = 6.
B. x = 7.
C. x = 8.
D. x = 9.
Câu 45. Có 5 cuốn sách khác nhau và 6 cây bút khác nhau, thầy giáo muốn lấy ra 3 sách và 3 cây bút
để tặng cho 6 học sinh sao cho mỗi học sinh chỉ nhận được hoặc 1 sách hoặc 1 cây bút. Hỏi có bao
nhiêu cách ?
A. 462.
B. 332640.
C. 200.
D. 144000.
Câu 46. Trong các số từ 1000 đến 9999 có tất cả bao nhiêu số tự nhiên mà các chữ số tăng dần hoặc
giảm dần (kể từ trái qua phải) ?
A. C94 .
B. C104 .
C. C94 + C104 .
D. 2C94 .
Câu 47. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà các chữ số tăng dần hoặc giảm dần (kể từ trái
qua phải)?

Đ/s. C105 + C95 = 378.
Câu 48. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số mà các chữ số tăng dần hoặc giảm dần (kể từ trái
qua phải)?
Đ/s. C106 + C96 = 294.
Câu 49. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số mà các chữ số tăng dần hoặc giảm dần (kể từ trái
qua phải)?
Đ/s. C107 + C97 = 156.
Câu 50. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số mà các chữ số tăng dần hoặc giảm dần (kể từ trái
qua phải)?
Đ/s. C108 + C98 = 54.
Câu 51. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên gồm 9 chữ số mà các chữ số tăng dần hoặc giảm dần (kể từ trái
qua phải)?
Đ/s: C109 + C99 = 11.
Câu 52. Một nhóm giáo viên gồm 16 người trong đó có 2 cặp vợ chồng. Hiệu trưởng muốn chọn 8 giáo
viên vào hội đồng giáo dục nhà trường. Hỏi có bao nhiêu cách nếu hội đồng này có duy nhất một cặp
vợ chồng?
BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 11


12 BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN
A. 924.
B. 1848.
C. 1846.
D. 5016.
Câu 53. Giáo viên chủ nhiệm muốn chia 10 học sinh thành 3 nhóm, một nhóm gồm 5 học sinh làm
công tác xã hội, một nhóm gồm 3 học sinh làm công tác vệ sinh và một nhóm gồm 2 học sinh làm công
tác giữ trật tử. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách?
A. 2520.
B. 2518.
C. 2524.

D. 2516.
Câu 54. Tìm số cách chọn ra 6 học sinh gồm cả nam và nữ từ một nhóm học sinh gồm 8 học sinh nam
và 6 học sinh nữ.
A. 2971.
B. 2972.
C. 2973.
D. 2974.
Câu 55. Có 15 con ngựa tham dựa một cuộc đua. Nếu không kể trường hợp có hai con ngựa về đích
cùng một lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, nhì và ba?
A. 2730.
B. 2724.
C. 2736.
D. 2727.
Câu 56. Trong một buổi tiệc các ông bắt tay với tất cả các người khác trừ vợ mình, các bà không người
nào bắt tay với nhau. Có tất cả 15 cặp vợ chồng. Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay?
A. 435.
B. 330.
C. 315.
D. 300.
Câu 57. Trong các số từ 100 đến 999 có tất cả bao nhiêu số tự nhiên mà các chữ số tăng dần hoặc giảm
dần (kể từ trái qua phải)?
Đ/s. C103 + C93 = 204.
Câu 58. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 số nguyên x1 , x2 , x3 , x4 , x5 từ tập hợp A = {1,2,...,2016} sao

cho x1 , x2 , x3 , x4 , x5 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân tăng và công bội của chúng là một số nguyên
dương ?
A. 126.
B. 11.
C. 161.
D. 31.

Câu 59. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 4 nam và 5 nữ vào một ghế dài được đánh số từ 1 đến 9 sao cho 3
nam ngồi ở các vị trí đầu tiên được đánh số 1, 2, 3.
A. 17280.
B. 4320.
C. 2880.
D. 60480.
⎧⎪a < b < c
Câu 60. Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số dạng abcdef với ⎪⎨
với
⎪⎪⎩d > e > f
a,b,c,d,e, f là các chữ số từ 0 đến 9 ?
A. 14400.
B. 10800.
C. 7056.
D. 1680.
ĐÁP ÁN
1B
2D
3B
4A
5C
6C
7B
8D
9B
10B
11A
12D
13A
14B

15D
16C
17B
18C
19D
20A
21A
22B
23B
24C
25C
26A
27C
28A
29D
30B
31B
32A
33A
34B
35D
36A
37B
38A
39C
40C
41A
42B
43D
44C

45D
46C(3)
58C(4) 59A(2) 60B(3)

12

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 13
Câu 1. Số chỉnh hợp chập 2 của n phần tử bằng An2 =

n!
= n(n−1). Chọn đáp án B.
(n− 2)!

n(n−1)(n− 2)
n(n−1)
=6
⇔ n = 20(n ≥ 3). Chọn đáp án D.
6
2
n(n−1)(n− 2)
Câu 13. Một tam giác tạo thành từ 3 điểm phân biệt, có Cn3 =
tam giác. Chọn đáp án A.
6
n(n−1)
Câu 14. Một trận đấu bằng cách ghép cặp 2 đội, có tất n đội nên số trận là Cn2 =
. Chọn đáp án
2

B.
Câu 15. *Mỗi trận bóng đá gồm 2 đội lấy từ n đội là một tổ hợp chập 2 của n phần tử, vậy có
n(n−1)
trận đấu.
Cn2 =
2
n(n−1)
*Do 2 đội đá với nhau hai trận (lượt đi và lượt về) nên số trận đấu là 2.
= n(n−1).
2
Chọn đáp án D.

Câu 12. Theo giả thiết có: Cn3 = 6Cn2 ⇔

2
Câu 16. Tổng số cái bắt tay của 2n người này có thể là C2n
= n(2n−1), trong đó có n cái bắt tay trong
mỗi cặp vợ chồng. Nên có tất cả n(2n−1)− n = 2n(n−1) cái bắt tay. Chọn đáp án C.
n(n−1)
Câu 17. Số đường thẳng nối tất cả n đỉnh của (H) là Cn2 =
.
2
n(n−1)
n(n−3)
Trong đó có n đường thẳng là cạnh của (H), nên số đường chéo của (H) là
−n=
.
2
2
Chọn đáp án B.

Câu 18. Đáp án C.
Câu 19. Với mỗi cạnh của (H) có tất cả (n -4) đỉnh cùng với cạnh đó tạo thành tam giác, vậy có tất cả n
cạnh thì có n(n-4) tam giác thoả mãn.
Chọn đáp án D.
Câu 20. *Đa giác (H) có tất cả n cặp cạnh liền kề nhau.
*Với mỗi cặp cạnh liền kề tạo thành một tam giác thoả mãn.
Vậy có tất cả n tam giác thoả mãn.
Chọn đáp án A.
Câu 21. Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của (H) là Cn3.
*Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của (H) và có một cạnh là cạnh của (H) là n(n− 4).
*Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của (H) và có hai cạnh là cạnh của (H) là n.
*Vậy số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của (H) và không có cạnh nào là cạnh của (H) là
n(n2 −9n + 20)
Cn3 − n(n− 4)− n =
.
6
Chọn đáp án A.
Câu 22. (H) và đa giác đều sẽ nội tiếp một đường tròn, đường tròn này có tất cả n đường kính. Một
n(n−1)
hình chữ nhật tạo thành từ hai đường kính, vì vậy có tất cả Cn2 =
hình chữ nhật.
2
Chọn đáp án B.
mn(m+ n− 2)
Câu 23. Số tam giác được tạo thành là n.Cm2 + m.Cn2 =
.
2
Chọn đáp án B.

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 13

14 BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN
Câu 24. *Số tam giác tạo thành từ 2016 điểm đã cho là C =

mn(m+ n− 2)
.
2

⎛ m+ n ⎞⎟2
⎟ = 1007.10082.
*Với m+ n = 2016 ta có C = 1007mn ≤1007 ⎜⎜
⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠

Chọn đáp án C.
Câu 25. Số cạnh là n; số đường chéo là Cn2 − n =

n(n−1)
− n.
2

n(n−1)
− n ⇔ n = 5(n > 0). Chọn đáp án C.
2
n(n−1)
Câu 26. Số đường chéo là Cn2 − n = 27 ⇔
− n = 27 ⇔ n = 9(n > 0). Chọn đáp án A.
2
Câu 27. *Mỗi giao điểm của các đoạn thẳng nằm trên góc phần tư thứ nhất của góc xOy tương ưng với
một tứ giác tạo thành từ các điểm các đã cho.

*Một tứ giác tạo thành từ các điểm đã cho xác định bởi 2 điểm trên tia Ox và 2 điểm trên tia Oy, vậy số

Vậy ta có phương trình n =

giao điểm là C82 .C52 = 280(C) .
Câu 28. Trải qua 3 bước:
Bước 1: Chọn ra 3 tem thư có C53 cách
Bước 2: Chọn ra 3 bì thư có C63 cách.
Bước 3: Dán 3 tem thư lên 3 bì thư có 3! cách.
Theo quy tắc nhân có tất cả C53.C63.3!= 1200( A) .
n(n−1)
đoạn thẳng nối n điểm thuộc P.
2
!
n(n−1)
Với mỗi đoạn thẳng có 2 véc tơ khác véc tơ 0 , vậy có tất cả 2.
= n(n−1) véc tơ có điểm đầu và
2
điểm cuối thuộc P.
Chọn đáp án D.
Câu 30. Chọn ra 6 chữ số từ 10 chữ số và sắp xếp lại theo thứ tự tăng dần ta có dãy kí tự thoả mãn.
Vậy có tất cả C106 = 210.
Chọn đáp án B.
Câu 31. Chọn 4 đội xếp vào bảng A có C124 cách.

Câu 29. Có tất cả Cn2 =

Chọn 4 đội trong 8 đội còn lại xếp vào bảng B có C84 cách.
Bốn đội còn lại xếp vào bảng C có duy nhất 1 cách.
Vậy tất cả có C124 .C84 = 34650 cách.

Chọn đáp án B.
Câu 32. Chọn 4 nam và 1 nữ phân công về tỉnh thứ nhất có C124 .C31 cách.
Chọn 4 nam và 1 nữ trong 10 sinh viên còn lại về tỉnh thứ hai có C84 .C21 cách.
Còn lại 5 sinh viên (4 nam và 1 nữ) phân công về tỉnh thứ ba có duy nhất một cách.
Vậy tất cả có C124 .C31.C84 .C21 .1= 207.900 cách.
Chọn đáp án A.
Câu 33. Số cách chọn 5 em trong nhóm là C125 = 792 cách.
Số cách chọn 5 em toàn nam là C75 = 21 và C55 = 1 cách chọn 5 em toàn nữ.
Vậy số cách chọn thoả mãn là 792− 21−1= 770.
14

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 15
Chọn đáp án A.
Câu 34. Số mật khẩu có thể có là 366 , trong đó có 266 mật khẩu không thoả mãn. Vậy có 366 − 266
mật khẩu thoả mãn.
Chọn đáp án D.
Câu 35. Gọi tập hợp học sinh khối 11 tham gia câu lạc bộ Tin học và câu lạc bộ Ngoại ngữ lần lượt là
A và B.
Theo giả thiết ta có
A = 160, B = 140, A ∩ B = 50.
Số học sinh tham gia câu lạc bộ (hoặc Tin học hoặc Ngoại ngữ) là
A ∪ B = A + B − A ∩ B = 160 +140−50 = 250.
Số học sinh khối 11 của trường là tổng số học sinh tham gia câu lạc bộ và số học sinh không tham gia
câu lạc bộ có 250 +100 = 350 học sinh.
Chọn đáp án B.
10
Câu 36. Ta có 3a < a + b+ c = 10 ⇒ a < ⇒ a ∈ {0,1,2,3}.

3
+) Nếu a = 0 ⇒ b+ c = 10− a = 10 ⇒ (a,b,c) = (0,1,9),(0,2,8),(0,3,7),(0,4,6).
+) Nếu a = 1⇒ b+ c = 10− a = 9 ⇒ (a,b,c) = (1,2,7),(1,3,6),(1,4,5).
trường hợp này có tất cả 3 số.
+) Nếu a = 2 ⇒ b+ c = 10− a = 8 ⇒ (a,b,c) = (2,3,5).
trường hợp này có 1 số.
+) Nếu a = 3 ⇒ b+ c = 7 trường hợp này không có số nào.
Vậy có tất cả 4 + 3 + 1 = 8 cách đặt mật khẩu có bảng điều khiển.
Chọn đáp án A.
Câu 38. Đáp án A
Số tập con của A chứa 1, 2, 3 phần tử lần lượt là Cn1 ,Cn2 ,Cn3.
⎡n = 0
n(n−1)(n− 2) ⎢⎢
⇔ ⎢n = 2.
*Theo giả thiết ta có. 2C = C + C ⇔ n(n−1) = n +
6
⎢n = 7
⎢⎣
*Đối chiếu điều kiện nhận n = 7.
Chọn đáp án A.
Câu 39. Đáp án C
2
n

1
n

3
n

2
*Số tam giác nhận điểm A làm một đỉnh là 1.Cn−1
.
2
*Số tam giác nhận điểm B là một đỉnh là 1.Cn−1
.
1
*Số tam giác nhận cả A và B là một đỉnh là 1.Cn−2
.

*Vậy

số

2
n−1

1
n−2

2C

−C

tam

giác

hoặc

nhận

A

hoặc

nhận

B

là

một

đỉnh

là

2

= (n−1)(n− 2)−(n− 2) = (n− 2) .

Chọn đáp án C.
Câu 40. Mỗi giao điểm ứng với 4 đỉnh của đa giác lồi và ngược lại với 4 đỉnh của đa giác lồi xác định
một giao điểm (đó là giao điểm các đường chéo của tứ giác xác định bởi 4 đỉnh đó).
n(n−1)(n− 2)(n−3)
Vì vậy số giao điểm của tất cả các đường chéo là Cn4 =
. Chọn đáp án C.
24
BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 15

16 BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN
Câu

41.

Gọi

a1q 3 ≤ 500 ⇒ q ≤ 3

a1;a1q;a1q 2 ;a1q 3 (a1;q ∈ N;q ≥ 2) là

4

số

cần

chọn

,

thế

thì

ta

có .

⎡ 500 ⎤
500 3
≤ 500 . Cho nên . 2 ≤ q ≤ 7;1≤ a1 ≤ ⎢ 3 ⎥ .
⎢ q ⎥
a1
⎣
⎦

*Với mỗi q và mỗi cách chọn a1 ta có duy nhất một cách chọn bộ bốn số x1 , x2 , x3 , x4 thoả mãn.
7 ⎡
500 ⎤
Theo qui tắc cộng , số cấp số nhân thỏa điều kiện là . ∑ ⎢ 3 ⎥ = 62 +18+ 7 + 4 + 2 +1= 94 . Chọn đáp
⎢
⎥
q=2 ⎣ q ⎦
án A.

Câu 42. *Theo giả thiết a ≤ 2015.
*Với mỗi a = k ∈ {1,2,...,2015} thì số cách chọn b là 2016-k và c cũng là 2016-k , Thế thì theo quy tắc
nhân số bộ số (a;b;c) cần tìm là (2016− k)2 .
*Vì k lấy giá trị 1,2,….,2015 nên theo quy tắc cộng ta có số các bộ số thoả mãn là
20152 + 20142 + ...+ 22 +12 = 2.729.148.240.
n(n +1)(2n +1)
*Chú ý. n2 + (n−1)2 + ...+12 =
.
6
2015

Hoặc nhấn máy tính

∑X

2

= 2729148240. Chọn đáp án B.

X =1

Câu 43. Mỗi mặt phẳng như thế gồm điểm S và hai trong bốn điểm A, B,C, D.
Vậy chọn ra hai trong bốn điểm ta được một mặt phẳng thoả mãn.
Vậy có C42 = 6 mặt phẳng.
*Chú ý. Có thể liệt kê 6 mặt phẳng là (SAB),(SBC),(SCD),(SDA),(SAC),(SBD). Chọn đáp án D.
A53
(1+ 2 + 3+ 5+ x) 102 +10 +1 = 25308 ⇔ x = 8. Chọn đáp án C.
5
Câu 45. Trước tiên lấy ra 3 sách và 3 cây bút có C53.C63 cách; tiếp theo tặng 6 món đồ này cho 6 học

Câu 44. Ta có S =

(

)

sinh, mỗi học sinh nhận 1 món có 6! cách. Vậy có tất cả (C53 )(C63 )(6!) = 144000 cách. Chọn đáp án D.
Câu 46. Số cần tìm có dạng abcd;
+) Mỗi một cách chọn ra 4 chữ số từ tập {1,2,...,9} ta có tương ứng một số tự nhiên có 4 chữ số mà các
chữ số tăng dần kể từ trái qua phải; vậy số các số mà các chữ số tăng dần là C94 .

+) Mỗi một cách chọn ra 4 chữ số từ tập {0,1,2,...,9} ta có tương ứng với một số tự nhiên có 4 chữ số

mà các chữ số giảm dần kể từ trái qua phải; vậy số các số mà các chữ số giảm dần là C104 .
Theo quy tắc cộng ta có tất cả C94 + C104 = 336. Chọn đáp án C.
Câu 58. *Gọi x1 ,qx1 ,q 2 x1 ,q 3 x1 ,q 4 x1 (x1 ,q ∈ !,q ≥ 2) là 5 số cần chọn.
*Theo giả thiết ta có q 4 x1 ≤ 2016 ⇒ 2 ≤ q ≤ 4
*Ta cũng có 1≤ x1 ≤

16

2016 4
≤ 2016 ⇒ q ∈ {2,3,4,5,6}.
x1

⎡ 2016 ⎤
2016
⇒ 1≤ x1 ≤ ⎢ 4 ⎥ .
4
⎢ q ⎥
q
⎣
⎦

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 17
⎡ 2016 ⎤
Vỡi mỗi q ∈ {2,3,4,5,6} , x1 có ⎢ 4 ⎥ cách chọn ; x2, x3, x4, x5 mỗi số có duy nhất một cách chọn.
⎢ q ⎥
⎣
⎦

Theo quy tắc cộng và quy tắc nhân, số cách chọn cần tìm là
6 ⎡
⎤
⎢ 2016 ⎥ = 126 + 24 + 7 + 3+1= 161. Chọn đáp án C.
∑
⎢ 4 ⎥
q=2 ⎣ q
⎦

Câu 59. Có A43.6!= 17280 cách. Chọn đáp án A.
Câu 60. abc có C93 cách, def có C103 cách. Vậy tất cả có C93.C103 = 10.080 số. Chọn đáp án B.

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROYCHOTEEN2K2–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 17