trắc nghiem toa dô không gian 2018 new

Trên con đường thành cơng khơng có bước chân của kẻ lười biếng.

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Đònh nghóa và các phép toán
 Đònh nghóa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được
xây
dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB  BC  AC
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:
AB  AD  AC

+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta có:
AB  AD  AA '  AC '

+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng
AB, O tuỳ ý.
Ta có:
OA  OB  2OI
IA  IB  0 ;
+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O
tuỳ ý.
Ta có:
GA  GB  GC  0;
OA  OB  OC  3OG
+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD,
O tuỳ ý.
Ta có:
GA  GB  GC  GD  0;
OA  OB  OC  OD  4OG
+ Điều kiện hai vectơ cùng phương:

a và b cùng phương (a  0) !k  R : b  ka

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), O tuỳ ý.
OA  kOB
Ta có:
MA  kMB;
OM 
1 k
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
 Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song
song với một mặt phẳng.
 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b, c , trong đó
a và b không cùng phương. Khi đó: a, b , c đồng phẳng  ! m, n  R:
c  ma  nb
1
Th.S Trương Trung Dun


Trên con đường thành cơng khơng có bước chân của kẻ lười biếng.

 Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng,

x

tuỳ ý.

! m, n, p  R: x  ma  nb  pc

Khi đó:

3. Tích vô hướng của hai vectơ
 Góc giữa hai vectơ trong không gian:
AB  u , AC  v  (u , v )  BAC (00  BAC  1800 )

 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:

u.v  u . v .cos(u, v )

+ Cho u, v  0 . Khi đó:
+ u  u2
+ u  v  u.v  0
BÀI 1:

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

I. Hệ tọa độ Đềcác vng góc trong khơng gian
z

.

.M
k

.

j

i 0

.

x

.

y

Cho ba trục Ox, Oy, Oz vng góc với
nhau từng đơi một và chung một điểm gốc
là O. Gọi i, j, k lần lượt là 3 vectơ đơn vị
tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba
trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vng
góc Oxyz hoặc hệ tọa độ Oxyz.
Chú ý.
i  j  k  1,

i. j  j.k  i.k  0.

II.Tọa độ của véctơ
a. Định nghĩa u  x, y, z   u  x.i  y. j  z.k
Từ định nghĩa trên ta suy ra: i  (1;0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1), 0  (0;0;0) .
2
Th.S Trương Trung Dun


Trên con đường thành công không có bước chân của kẻ lười biếng.

b. Tính chất: Cho hai véctơ a  (a1;a 2 ;a 3 ), b  (b1;b2 ;b3 ) . Khi đó :
1. a  b  (a1  b1;a 2  b2 ;a 3  b3 )
2. k.a  (ka1;ka 2 ;ka 3 ) k  R.
3. Tích vô hướng của hai véctơ

a) a.b  a . b .cos(a; b)

hoặc b) a.b  a1b1  a2b2  a3b3

c) a  b  a.b  a1b1  a2b2  a3b3  0
Độ dài của véctơ :
a  a12  a22  a32 ; b  b12  b22  b32
4. Góc giữa 2 véctơ :
a1b1  a2b2  a3b3
a.b
cos(a; b) 
=
2
a.b
a1  a22  a32 . b12  b22  b32

(a; b  0)

a1  b1

5. a  b  a2  b2
a  b
 3 3
a1  kb1

6. a cùng phương với b  a  kb  a2  kb2
a  kb
3
 3

Hoặc a cùng phương với b 

a1 a2 a3
 
 b1 ,b2 ,b3  0 
b1 b2 b3

III. Tọa độ của điểm
a. Định nghĩa
M  x, y, z   OM  x, y, z   OM  x.i  y. j  z.k
với x: hoành đô, y: tung độ, z: cao độ.
Vậy theo định nghĩa trên, ta có :

3
Th.S Trương Trung Duyên


Trên con đường thành công không có bước chân của kẻ lười biếng.

 O(0;0;0)
 M  (Oxy)  M ( x; y;0)
 M  Ox  M ( x;0;0)
 M  (Oxz)  M ( x;0; z)
 M  Oy  M (0; y;0)
 M  (Oyz)  M (0; y; z)
 M  Oz  M (0;0; z)
 Gọi M1; M 2 ; M 3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3
trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Khi đó M1 ( x;0;0), M 2 (0; y;0), M 3 (0;0; z).
 Gọi M1; M 2 ; M 3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3 mặt
phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz). Khi đó

M1 ( x; y;0), M 2 (0; y; z), M 3 ( x;0; z).
b. Tính chất Cho A( xA ; y A ; z A ), B( xB ; yB ; zB ).
1. AB  ( xB  xA ; yB  yA ; zB  z A )
2
2
2
2. AB  AB  ( xB  xA )  ( yB  y A )  ( zB  z A )

 Gọi I là trung điểm AB
x A  xB

 xI  2

y  yB

  yI  A
2

z A  zB

 zI  2

 Gọi G là trọng tâm tam
giác ABC
xA  xB  xC

 xG 
3

y  yB  yC


  yG  A
3

z A  zB  zC

 zG 
3


4. Nếu điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ( k  1 ), nghĩa là MA  k .MB thì
x A  k . xB

 xM  1  k

y A  k . yB

 yM 
1 k

z A  k .z B

 zM  1  k

4
Th.S Trương Trung Duyên


Trên con đường thành cơng khơng có bước chân của kẻ lười biếng.

III. Tích có hướng của hai véctơ
 a; b 
 
1. Định nghĩa :
Trong khơng gian Oxyz, cho hai véctơ a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ).
Tích có hướng của hai véctơ a và b là một véctơ, kí hiệu là  a; b  ,

b

và được xác định như sau :

a

a a a a a a 
a; b    2 3 ; 3 1 ; 1 2    a2b3  b2 a3 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 
 
 b2 b3 b3 b1 b1 b2 

“Nhớ câu 23-31-12”
2. Tính chất
1. a cùng phương với b  a; b   0
a; b vng góc với cả hai véctơ a và b
 

a, b

a . b .sin a; b .

3. Ứng dụng của tích có hướng:
 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:

a, b

và c đồng phẳng  [a, b].c  0

 Diện tích hình bình hành ABCD:

 Diện tích tam giác ABC:

S

ABCD

S ABC

 Thể tích khối hộp ABCD.ABCD:

  AB, AD 
1
  AB, AC 
2

VABCD. A ' B ' C ' D '  [ AB, AD].AA '

 Thể tích tứ diện ABCD:

VABCD 

1
[ AB, AC ].AD
6

5

Th.S Trương Trung Dun


Trờn con ng thnh cụng khụng cú bc chõn ca k li bing.

3. Phõn bit gia tớch cú hng v tớch vụ hng ca hai vộct a v b
khỏc 0.
* nh ngha
a. Tớch cú hng ca hai vect l mt vect:
a; b a2b3 b2 a3 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1


b. Tớch vụ hng ca hai hai vect l mt s thc:
a.b a . b .cos(a; b) hoc a.b a1b1 a2b2 a3b3

a b a.b a1b1 a2b2 a3b3 0
* Tớnh cht
a. Tớch vụ hng ca hai vect thng s dng chng minh hai
ng thng vuụng gúc, tớnh gúc gia hai vect, gúc gia hai ng
thng.
b. Tớch cú hng ca hai vect thng s dng chng minh hai
vect cựng phng hoc tỡm vect phỏp tuyn ca mt phng, tớnh din
tớch tam giỏc, tớnh th tớch khi t din, th tớch hỡnh hp; chng minh
cỏc vect ng phng v khụng ng phng.
IV. Phửụng trỡnh maởt cau:
Phửụng trỡnh maởt cau (S) taõm I(a; b; c), baựn kớnh R:
( x a)2 ( y b)2 (z c)2 R 2
Phửụng trỡnh x 2 y 2 z2 2ax 2by 2cz d 0 vụựi

6
Th.S Trng Trung Duyờn


Trên con đường thành cơng khơng có bước chân của kẻ lười biếng.

a2  b2  c2  d  0 là phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) và
bán kính R =

a2  b2  c 2  d .

*****Một vài thao tác liên quan đến vecto trong máy tính Casio.
MODE+ 8 :vào chức năng vecto. ( vào mơi trường vecto)
MODE+ 8+ 1+ 1: nhập đữ liệu cho vecto A.
SHIFT 5 + 1+ 2+ 1: nhập dữ liệu cho vecto B.
SHIFT 5 + 1+ 3+ 1: nhập dữ liệu cho vecto C.
SHIFT 5 + 1: nhập dữ liệu lại cho vecto A, B, C.
SHIFT 5 + 2: truy cập dữ liệu cho các vecto A, B, C.
SHIFT 5 + 3: trích xuất vecto A.
SHIFT 5 + 4: trích xuất vecto B.
SHIFT 5 + 5: trích xuất vecto C.
SHIFT 5 + 6: gọi kết quả vecto vừa tính. (Vctans)
SHIFT 5 + 7: tích vơ hướng của 2 hai vecto (DOTS)
(SHIFT 5 + 3 SHIFT 5 + 7 SHIFT 5 + 4)
SHIFT 5 + 3 SHIFT 5 + 4 (VctA VctB): Tích có hướng , nhập liền 2 vecto
khơng dấu.
ABS: độ dài vecto.
****** Các bài tốn sử dụng MT Casio.
a. Tính tích có hướng và tích vơ hướng của 2 vecto.
b. Góc giữa 2 vecto

a.b
cos(a; b) 
a.b
c. Tính diện tích tam giác ABC
1
S ABC   AB, AC 
2
(Diện tích tam giác ABC bằng một nửa độ dài tích có hướng của 2 vecto.)

7
Th.S Trương Trung Dun


Trên con đường thành công không có bước chân của kẻ lười biếng.

d. Theå tích töù dieän ABCD:
1
VABCD  [ AB, AC ].AD
6
Thể tích tứ diện bằng 1/6 độ lớn vectơ  AB, AC  AD
e. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d).
d(M, d ) 

 M M, a 
 0

a

Với điểm M0 (d) và a là 1 VTCP của đường thẳng (d).
f. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1, d2 chéo nhau.

d (d1, d2 ) 

 a1, a2  .M1M2
 a1, a2 

a1 , a2 là VTCP của đường thẳng d1, d2.
Với M1, M2 thuộc (d1), (d2) và
g. Góc giữa 2 mặt phẳng, hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng.
+ Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt
vuông góc với hai mp đó.(luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90 o).

 P  : Ax  By  Cz  D  0
Q : A' x  B ' y  C ' z  D '  0
VTPT của (P), (Q)lần lượt là nP  ( A, B, C ), nQ  ( A ', B ', C ')

8
Th.S Trương Trung Duyên


Trên con đường thành cơng khơng có bước chân của kẻ lười biếng.





cos  (P),(Q)   cos n P , n Q 

n P .n Q



n P nQ

AA ' BB ' CC '
A  B2  C 2 A'2  B '2  C '2
2

+

Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP a1, a2 .
Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa a1, a2 .
cos  a1 , a2  

a1 .a2
a1 . a2

+

Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP a  (a1; a2; a3 ) và mặt phẳng () có VTPT
n  ( A; B; C ) .
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () bằng góc giữa đường thẳng
d với hình chiếu d của nó trên ().





sin d ,( ) 

n.a
n a



Aa1  Ba2  Ca3
A2  B2  C 2 . a12  a22  a32

VẤN ĐỀ 1: Các phép toán về toạ độ của vectơ
– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không
gian.
– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
– Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:

 A, B, C thẳng hàng 

AB, AC

 ABCD là hình bình hành 

cùng phương 

AB  k AC

AB  DC

 Cho ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và

AB
ngoài của góc A của ABC trên BC. Ta có:
EB  
.EC ,
AC

AB
FB 
.FC
AC

9
Th.S Trương Trung Dun


Trên con đường thành công không có bước chân của kẻ lười biếng.

 A, B, C, D khoâng ñoàng phaúng 

AB, AC, AD

khoâng ñoàng phaúng 

 AB, AC  .AD  0

VD 1. (CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI LẦN 01 NĂM 2018)
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 1; 2 và B  2; 1; 1 . Độ dài
đoạn AB bằng
A. 2
B. 6

C. 2
D. 6
Lời giải
Chọn B
2
Ta có: AB  AB   2 12  1   1   1  22  6 .
VD2 . (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018) Trong không gian
với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp ABCD. ABCD . Biết A  2;4;0 , B  4;0;0 ,
C  1;4;  7  và D  6;8;10 . Tọa độ điểm B là
A. B 8;4;10
B. B  6;12;0
C. B 10;8;6
D. B 13;0;17  .

Commented [tdm1]: Kết thúc đáp án có dấu chấm câu.

Commented [tdm2]: Kết thúc các phương án trả lời có dấu
chấm câu

Lời giải
Chọn D
Ta có ABCD là hình bình hành nên AD  BC suy ra D  3;8; 7  .
BBDD là hình bình hành nên BB  DD suy ra B 13;0;17  .
Vậy G  2;1;  2 .
VD3. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 01 NĂM 2018)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A1;2; 1 , B  2; 1;3 ,
C  4;7;5 . Tọa độ chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC
là
A.

 2 11 
  ; ;1
 3 3 

B.

 11

 ;  2;1
3


C.

 2 11 1 
 ; ; 
 3 3 3

Commented [tdm3]: Kết thúc phương án trả lời cần dấu chấm
câu, có sự khác font ở các chữ A, B, C, D.

D.  2;11;1

Lời giải
Chọn A
Ta có: BA   1;  3;4  BA  26; BC   6;8;2   BC  2 26 .
Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ B lên AC của tam giác

ABC

10
Th.S Trương Trung Duyên


Trên con đường thành công không có bước chân của kẻ lười biếng.

Suy ra :

DA BA
2 11

 DC  2DA  D   ; ;1 .
DC BC
 3 3 

TỰ LUẬN
Bài 1. Viết tọa độ của các vectơ sau đây:

a  2i  8 j , b  3k  i  8 j , c  5 j , d  6k  8 j .
Bài 2. Viết dưới dạng x.i  y. j  z.k mỗi vectơ sau đây
2
a( ,2,  3),
5

3
b( ,  , 1).
7

Bài 3. Tìm tọa độ của vectơ x biết rằng:
a)a  x  0 với a  2,9, 7 

b) a  2 x  b với a  5,4  1 , b  2, 6,3.

Bài 4. Cho a 1, 3,4 .

a) Tìm y và z để b  2, y,z  cùng phương với a .
b) Tìm tọa độ của vectơ c , biết rằng a và c ngược hướng và c  2 a .
TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho ba véc tơ

a  (5; 7;2); b  (0;3;4); c  (1;1;3) .

Tìm tọa độ véc tơ

n  3a  4b  2c.

A. n  (13; 7;28)
B. n  (13 ;1;3);
C. n  (-1; -7; 2);
D. n  (-1;28;3)
Câu 2. Cho điểm hai điểm M 1`; 1;1 , H  0;1;4 .Tìm tọa độ điểm N sao cho đoạn
thẳng MN nhận H làm trung điểm.
A. N  1`;3;3
B. N  1`;3;4
C. N  1`;3;6
D. N  1`;3;7
Câu 3. Cho điểm A(0;0;1);B(2;1;3); C(-2;-1;-1). Khẳng định nào sau đây
đúng:
A) A,B,C thẳng hàng
B) A,B,C là 3 đỉnh của 1 tam giác
C) B là trung điểm của AC

D) AB  AC
Câu 4.cho tam giác ABC có điểm A(-4;3;2); B(2;0;3) và C(-1;-3;3). Tọa độ
điểm D để ABCD là hình bình hành là:
A.(7;0;2)
B(7;0;-2)
C(-7;0;-2)
D(-7;0;2)
11
Th.S Trương Trung Duyên


Trên con đường thành công không có bước chân của kẻ lười biếng.

Câu 5: cho hai điểm A(-1;7;2) và B(5;-2;4). Tọa độ điểm M sao cho
là:
A.  3;1; 2 

B.  -3; 1; 2 

 11 11 10 
C.  ; ; 
 3 3 3 

MA  2MB  0

D. (3;1;8/3)

Câu 6. cho điểm A(-2;2;-1); B(-2;3;0) và C(x;3;-1).Tìm tất cả các gía trị của x
để ABC là tam giác đều?
A. x=1 B. x=-3

C.

 x  1
 x  3


D. = -1

Câu 7. cho tam giác ABC có điểm A(-4;3;2); B(2;0;3) và C(-1;-3;4).Trọng
tâm của tam giác ABC là
A. G(-1;2;3)
B. G(-1;0;3)
C. G(-1;0;-3)
D.G(1;2;3)
Câu 8. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tọa độ điểm G là trung
điểm của MN là:
1 1 1
B G 1 ; 1 ; 1 
C G 1 ; 1 ; 1 
D G 2 ; 2 ; 2 
G ; ; 
3
3
3
4
2
2
4
2

4




. 
. 
.  3 3 3
Câu 9. Trong không gian Oxyz cho các điểm A(3; -4; 0), B(0; 2; 4), C(4;
2; 1). Tọa độ điểm D trên trục Ox sao cho AD = BC là:
D(0;0;-3) hoặc D(0;0;3)
B D(0;0;2) hoặc D(0;0;8)
.
D(0;0;0) hoặc D(0;0;6)
D D(0;0;0) hoặc D(0;0;-6)
.
Câu 10. Cho 𝐴(4; 2; 6); 𝐵(10; −2; 4); 𝐶(4; −4; 0); 𝐷(−2; 0; 2) thì tứ
giác ABCD là hình:
B
C
D
A. Thoi
Bình hành
Chữ nhật
Vuông
.
.
.
Câu 12: Cho a = (2; –3; 3), b = (0; 2; –1), c = (1; 3; 2). Tìm tọa độ của
vectơ u  2a  3b  c

A. (0; –3; 4)
B. (3; 3; –1)
C. (3; –3; 1)
D. (0;
–3; 1)
Câu 13: Trong không gian Oxyz cho các điểm A3; 4;0 ; B  0;2;4 ; C  4;2;1 . Tọa
độ điểm D trên trục Ox sao cho AD  BC là:
12
Th.S Trương Trung Duyên


Trên con đường thành công không có bước chân của kẻ lười biếng.

A.

 D  0;0;0 

 D  6;0;0 

B.

 D  0;0; 2 

 D  8;0;0 

C.

 D  2;0;0 

 D  6;0;0 

D.

 D  0;0;0 

 D  6;0;0 

Câu 14: Trong không gian Oxyz . Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC, với
A(1;1;2); B(0;-1;-1); C(2;3;5) là:
A) G(1;1;2)
B) G(-2;-3;1) C) G(1;2;3)
D) G(-1;2;-3)
Câu 15:Trong không gian Oxyz .Cho ba vectơ a   1;1;0 ; b  1;1;0  ; c  1;1;1 .
Mệnh đề nào sau đây SAI?
A) a  2
B) c  3
C) a  b
D) c  b
Câu 16: Trong không gian Oxyz . Cho ba điểm A(4;-3;2); B(-2;m;3);C(n;4;2). Giá trị của m, n để ba điểm A,B,C thẳng hàng là:
A) m =20; n =-19
B) m   19 , n =28
4

C) m =28;

n  19

D) m =28;

n

19
4

Câu 17: Trong không gian Oxyz . Cho tam giác ABC với A(1,2,-1); B(2;-1
3);
C(-4; 7; 5) độ dài đường phân giác trong kẻ từ B là :
A/

2 74
3

B/

74
3

C/

75
3

D/

2 75
3

2. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1;1; 2 và B  2;2;1 . Vectơ AB có tọa
độ là
A. 3;3; 1 .

B.  1; 1; 3 .
C. 3;3;1 .
D. 1;1;3 .
Câu 18. (TNTHPT 2018). Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  2; 4;3 và
B  2;2;7  .

Trung điểm của đoạn

AB

có tọa độ là

A. 1;3; 2  .
B.  2;6;4 .
C.  2; 1;5 .
D.  4; 2;10 .
Câu 19. (TNTHPT 2017).Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
A(2;2;1). Tính độ dài đoạn thẳng OA.
A.OA=3.
B.OA=9.
C.OA= 5 .
D.OA=5.
Câu 20. (TNTHPT 2017).Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba
điểm M(2;3;-1), N(-1;1;1) và P(1;m-1;2). Tìm m để tam giác MNP vuông tại
N.
A.m=-6.
B.m=0.
C.m=4.
D.m=2.
13

Th.S Trương Trung Duyên


Trên con đường thành công không có bước chân của kẻ lười biếng.

Câu 21. (TNTHPT 2017).Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ
a (2;1;0) và b (-1;0;-2). Tính cos( a , b ).
A.cos( a , b )= 2 .
B. cos( a , b )= 2 .
C.

25
cos( a , b )= 2 .
25

5

D.cos( a , b )= 2
5

.

Vấn đề 2: Tích có hướng , tích vô hướng của hai vecto và ứng dụng
2𝜋
Câu 1. Cho 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗ tạo với nhau một góc . Biết|𝑎⃗| = 3, |𝑏⃗⃗| = 5 thì |𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗|
3
bằng:
B
C
D

A. 7
4
5
6
.
.
.
Câu 2. Trong Oxyz cho A(3;4;-1), B(2;0;3), C(-3;5;4). Diện tích tam giác ABC là:
B 1562
C 379
D 29
A.7
2
2
.
.
. 2

Câu 3. Góc giữa 2 vectơ 𝑎⃗(2; 5; 0) và 𝑏⃗⃗ (3 ; −7; 0) là:
B
C
1350
450
300
.
.

D
600
.

Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp tam giác đều
S.ABC, biết A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3) . Tìm toạ độ đỉnh S biết thể tích khối
chóp S.ABC bằng 36.
B
S(9; 9; 9) hoặc S(7; 7; 7)
A. S(9;9;9) hoặc S(7;7;7)
.
D
S(9;9;9) hoặc S(7; 7; 7)
C. S(9; 9; 9) hoặc S(7;7;7)
.
Câu 5. Tính góc giữa hai vecto a = (–2; –1; 2) và b = (0; 1; –1)
A. 135°
B. 90°
C. 60°
D. 45°
Câu 6. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho bốn điểm A(1;-2;-1), B(2;1;1),
C(1;0;-1) và D (2;-1;m). Giá trị của m để AB tạo với CD góc 600 là:
14
Th.S Trương Trung Duyên


Trên con đường thành công không có bước chân của kẻ lười biếng.

7  70
2
74 5
m
2

A.

m

;

B.

m

7  2 15
2

;

C.

m

75 2
2

;

D.

Câu 7: Trong không gian Oxyz . Cho ba điểm A(1;-2;-1);B(2;1;3);C(4;-11;5).
Diện tích tam giác ABC bằng:
A)

15 14
2

B) 6 91

C) 39 14

D) 3 91

Câu 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A  0; 0; 3 ,
B  0; 0; 1 , C 1; 0; 1 , D  0; 1; 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. AB  BD
B. AB  BC
C. AB  AC
D. AB  CD
Câu 9. (CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LẦN 01 NĂM 2018) Trong không
gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có A  0;0;0 ,
B  2;0;0 , C  0;2;0  và A  0;0;2 . Góc giữa BC và AC là
A. 45 .
B. 60 .
C. 30 .
D. 90 .
Câu 10:(CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LẦN 01 NĂM 2018) Trong
không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD. ABCD có
A  0;0;0 , B 1;0;0  , D  0;1;0  và A  0;0;1 . Khoảng cách giữa AC và BD là
A. 1.

B.

2.

C.

1
.
3

D.

1
.
6

Lời giải
Chọn D.
Ta có:
A  0;0;0 , C 1;1;0  nên AC  1;1;0  .
B 1;0;1 , D  0;1;0  nên BD   1;1; 1 .
A  0;0;0 , D  0;1;0  nên AD   0;1;0  .
Khoảng cách giữa

AC

và

BD

là d  AC, BD  

 AC, BD  .AD
1


.

 AC, BD 
6



Câu 11:(CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ LẦN 02 NĂM 2018) Trong không
gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A 1;1;1 , B  2;3;0 . Biết
rằng tam giác ABC có trực tâm H  0;3;2 tìm tọa độ của điểm C .
A. C  3;2;3 .
B. C  4;2;4 .
C. C 1;2;1 .
D. C  2;2;2 .
15
Th.S Trương Trung Duyên

Commented [tdm4]: Kết thúc phương án trả lời cần dấu chấm
câu, có sự khác font ở các chữ A, B, C, D.

Commented [tdm5]: Có sự khác font ở các chữ A, B, C, D.


Trên con đường thành cơng khơng có bước chân của kẻ lười biếng.

Lời giải

Chọn C.
Gọi C  a; b; c  . Ta có

H

là trực tâm tam giác

AH   1;2;1 , BH   2;0;2 

,

ABC

nên

 AH  BC


 BH  AC

 AB, AC  . AH  0




AC   a  1; b  1; c  1 , BC   a  2; b  3; c  ,

AB  1;2; 1 .
 AB, AC    2c  b  3, a  c  2, b  2a  1 .



a  2  2b  6  c  0
 a  2b  c  4
a  1



  2a  2c  0  b  2
Suy ra 2a  2  2c  2  0
2c  b  3  2a  2c  4  b  2a  1  0
 4a  4c  8
c  1




Vậy C 1;2;1 .
VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu
Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác đònh tâm I và bán kính R
của mặt cầu.
Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R:
(S): ( x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  R2
Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A. Khi đó bán kính R = IA.
Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:
–
Tâm
I
là
trung
điểm

của
đoạn
thẳng
AB:
x A  xB
y y
z z
; yI  A B ; zI  A B
2
2
2
AB
– Bán kính R = IA =
.
2

xI 

.

Dạng 4: (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):
– Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: x 2  y 2  z2  2ax  2by  2cz  d  0
– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào PTMC, ta được 4
phương trình.
– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d  Phương trình mặt
cầu (S).
16
Th.S Trương Trung Dun

Trên con đường thành cơng khơng có bước chân của kẻ lười biếng.

Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho
trước:
Giải tương tự như dạng 4.
Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S):
x 2  y 2  z2  2ax  2by  2cz  d  0
với a2  b2  c2  d  0
thì (S) có tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = a2  b2  c2  d .
Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau :
1) (S) có tâm I (1;2; 3) và R  4 .
2) (S) có tâm I (1;3;4) và đi qua M (0;2; 2) .
1. (S) có đường kính là AB biết A(2; 2;1); B(4;0; 5) .
2. (S) có tâm I (2; 1;4) và tiếp xúc với mặt phẳng ( P) : 2 x  y  2 z  17  0
.
Bài 2: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu, tìm tâm và bán kính
(nếu có).
1) x2  y 2  z 2  4x  6 y  2z  11  0 .
2) x2  y 2  2z 2  6x  8 y  2z  2018  0 .
3) x 2  y 2  z 2  8 x  2 y  1  0

4) x 2  y 2  z 2  4 x  8 y  2 z  4  0
5)3x 2  3 y 2  3z 2  6 x  3 y  15 z  2  0
6)9 x 2  9 y 2  9 z 2  6 x  18 y  1  0
Bài 3: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết

a.A(3; 2;4); B(1;2; 2); C(0;6;1); D(2;2;1)
b. A(2;1;1); B(1; 1;1); C(1;1;5); D(1;1;1)

TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Mặt cầu (S ) : x2  y2  z 2  2x  2 y  4z  3  0 có tâm và bán kính lần lượt là:
A. I (1;1; 2), R  3 B. I (1; 1; 2), R  3 C. I (1; 1;2), R  15 D. I (1; 1;2), R  3
Câu 2. Cho A(1; 2;3) và B(5; 2;1) phương trình mặt cầu tâm A bán kính AB là:
A. ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  2 10
B. ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  2 10
17
Th.S Trương Trung Dun


Trên con đường thành công không có bước chân của kẻ lười biếng.

C. ( x 1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  40
D. ( x 1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  40
Câu 3. Cho A(1; 2;3) và B(5; 2;1) phương trình mặt cầu đường kính AB là:
A. ( x  2)2  ( y  2)2  ( z  2)2  40
B. ( x  2)2  ( y  2)2  (z  2)2  40
2
2
2
C. ( x  2)  ( y  2)  ( z  2)  10
D. ( x  2)2  ( y  2)2  ( z  2)2  10
Câu 4. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C( 0; 0; 1),
D(1; 1; 1). Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính bằng bao nhiêu?
A.

3
4

B. 3

C. 2

D.

3
2

Câu 5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0),
A’(0 ; 0 ; 1) và A
trùng O. Gọi M là trung điểm của AB, N là tâm hình
vuông ADD’A’. Phương trình mặt cầu (S) đi qua C, D’, M, N là:
A) x2 + y2 + z2 - 5x - y - 5z + 2 = 0
B) 2x2 + 2y2 + 2z2 - 5x - y - 5z +
2=0
C) 2x2 + 2y2 + 2z2 + 5x - y - 5z + 2 = 0
D) x2 + y2 + z2 - 5x - y - 5z
+ 2 = 0.
Câu 6. Phương trình mặt cầu qua A(2 ; 0 ; 1), B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 1) có tâm
thuộc mặt phẳng (P): x + y + z - 2 = 0 là:
A) (x + 1)2 + y2 + (z - 1)2
= 1
B) (x - 1)2 + y2 + (z + 1)2
= 1
C) (x - 1)2 + (y -1)2 + (z - 1)2 = 1
D) (x - 1)2 + y2 + (z - 1)2
= 1.
Câu 7. Mặt cầu  S  có phương trình: x2  y2  z2  6x  2 y  4  0 . Tâm và bán kính của
 S  là:
A. Tâm I  3;1;0  , R  6
B. Tâm I  3; 1;0  , R  6

C. Tâm I  6; 2;0 , R  2
D. Tâm I  6; 2;0  , R  6
Câu 8. Với giá trị nào của m để phương trình sau là phương trình mặt cầu ?

x2  y 2  z 2  4mx  2my  2  m  1 z  5m2  m  5  0

A. m  1
B. m  1 hoặc m  4
C. m  4
D. m  1 hoặc m  4
Câu 9: Cho tứ diện ABCD với tọa độ điểm A(1;-2;-1), B(-5;10;-1), C(-8;2;2)và D(4;1;1). Khi đó tọa độ tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

18
Th.S Trương Trung Duyên


Trên con đường thành công không có bước chân của kẻ lười biếng.

 62 74 133 
; ;
A.  21 7 7 

 62 74 133 
B.  ;
;

7 
 21 7

 11 11 10 

 62 74 133 
C.  ; ;  D.  ; ;

7 
3 3 3
 21 7

Câu 10. Phương trình mặt cầu tâm B , bán kính AC có phương trình là:
A.  x  52   y  32   z  42  75
B.  x  52   y  32   z  42  75
C.  x  52   y  32   z  42  75
D.  x  52   y  32   z  42  25
Câu 11. Phương trình mặt cầu có đường kính
2

BC

là:
2

A.

49
2
 13 
2
 x    y   z  3 
2
4


C.

49
2
 13 
2
 x    ( y  3)   z  3 
2
4


B.

2

39
2
 13 
2
 x    y   z  3 
2
4

2

D.

13 
49

2

2
 x    y   z  3 
2
4


Câu 12. Phương trình mặt cầu (S) đi qua A(0 ; 1 ; 1), B(1 ; 0 ; 1), C(2 ; 0 ; 0),
D(0 ; 0 ; 3) là:
11
2

11
2

9
2

A) (x  ) 2  ( y  ) 2  (z  ) 2 

25
4

11 2
11
9
251
)  ( y  ) 2  (z  ) 2 
2

2
2
4
11 2
11 2
9 2 251
C) (x  )  ( y  )  (z  ) 
2
2
2
4

B)

(x 

11
2

11
2

9
2

D) (x  ) 2  ( y  ) 2  (z  ) 2 

25
.
4

Câu 13: Mặt cầu nào sau đây có tâm I(1;-2;3) và bán kính R=4 là
A. ( x 1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  16
B. ( x 1)2  ( y  2)2  ( z  3)2 16  0
C. x2  y2  z 2  2x  4 y  6z  2  0
D. x2  y2  z 2  2x  4 y  6z  2  0
Câu 14.Cho A(1;-2;3), B(-1;0;3) Mặt cầu có đường kính là AB có phương
trình là :
A. ( x 1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  2 B. x2  ( y 1)2  ( z  3)2  4
C. x2  ( y 1)2  ( z  3)2  2
D. ( x 1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  4
Câu 15. Trong không gian Oxyz cho A1;2; 2 , B  3;2;6 . Phương trình mặt cầu
đường kính AB là:
A. ( x  2)2   y  12   z  22  20
B. ( x  1)2   y  22   z  22  20
C. ( x  1)2   y  22   z  22  20
D. ( x  1)2   y  22   z  22  20

19
Th.S Trương Trung Duyên


Trên con đường thành công không có bước chân của kẻ lười biếng.

Câu 16. Cho mặt cầu  S  : x2  y2  z 2  8x  4 y  2z  4  0 , bán kính R của mặt cầu
 S  là:
A. R  17
B. R  88
C. R  4
D.

R5

Câu 17: Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S): x² + y² + z² – 8x +
2y + 1 = 0.
A. I(4; –1; 0), R = 4
B. I(–4; 1; 0), R = 4 C. I(4; –1; 0), R = 2 D. I(–
4; 1; 0), R = 2
Câu 18: Mặt cầu (S) có tâm I 1;2; 3 và đi qua A 1;0;4 có phương trình:
A.  x  12   y  22   z  32  5
B.  x 12   y  22   z  32  5
C.  x  12   y  22   z  32  53
D.  x 12   y  22   z  32  53
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
( P) : x  2 y  2z  2  0 và mặt cầu tâm I  (1; 4;1) bán kính R tiếp xúc với ( P) . Bán
kính R là:
A. R  7 .
B. R  3 .
C. R  1 .
D. R  9 .
3

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
(S ) : (x  2)2  (y  3)2  (z  1)2  25. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của ( S ) .
A. I  (2;3;  1); R  5 .
B. I  (2;3;  1); R  25 .
C. I  (2;  3;1); R  5 .
D. I  (2;  3;1); R  25 .
Câu 21(THTHPT 2017). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt
cầu
(S):  x  52   y 12   z  22  9 . Tính bán kính R của mặt cầu (S).

A.R=3.
B.R=18.
C.R=9.
D.R=6.
Câu 22. (THTHPT 2017). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các
giá trị của m để phương trình x 2 + y 2 + z 2 - 2x - 2y -4z + m=0 là phương trình của
một mặt cầu.
A.m> 6.
B.m  6.
C.m  6.
D.m<6.
Câu 23. (THTHPT 2017). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt
cầu (S): x 2 +  y  22 +  z  22 =8. Tính bán kính R của (S).
20
Th.S Trương Trung Duyên


Trên con đường thành công không có bước chân của kẻ lười biếng.

A.R=8.

B. R = 4.

BÀI 2 :

C.R= 2

2.

D.R=64.

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng.
n



 Véctơ n  0 được gọi là véctơ pháp tuyến của
( ) nếu giá của n vuông góc với mp ( ) , viết
tắc là n  ( ) .
 Nếu hai véctơ a và b không cùng phương và
giá của chúng song song hoặc nằm trên mp ( )
thì mp ( ) nhận n  a; b  làm véctơ pháp tuyến.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
 Mặt phẳng ( ) đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTPT n  ( A; B; C ) có phương
trình
tổng quát là :
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0

 Mỗi mặt phẳng đều có phương trình tổng quát dạng : Ax  By  Cz  D  0
(1) với A2  B2  C 2  0.
 Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (1) đều là phương trình của một mp và
z
mp đó có một VTPT là n  ( A; B; C ) .
C

3. Các trường hợp đặc biệt của phương trình mặt phẳng
3.1 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

Mặt phẳng ( ) không đi qua gốc tọa độ O và cắt Ox
x
tại A(a;0;0) , cắt Oy tại B(0; b;0) ,
cắt Oz tại C (0;0; c) có phương trình là :

O

B

y

A

21
Th.S Trương Trung Duyên


Trên con đường thành công không có bước chân của kẻ lười biếng.

( ) :

x y z
   1.
a b c

3.2 Các trường hợp riêng
Xét phương trình mặt phẳng   Ax + By + Cz + D = 0 (A2+B2+C2  0 )
Các hệ số
D=0

Phương trình mp  
Ax + By + Cz = 0

A  0,B  0, C  0, D  0 By + Cz = 0

Tính chất của mặt phẳng
Mp đi qua gốc tọa độ 0
(0,0,0).
mp   : chứa trục Ox.

A  0,B  0, C  0, D  0 By + Cz + D = 0

mp song song với trục Ox.

B  0,A  0, C  0, D  0 Ax + Cz = 0

mp   : chứa trục Oy

B  0,A  0, C  0, D  0 Ax + Cz + D = 0

mp   : song song với
trục Oy.

C  0,A  0,B  0, D  0 Ax + By = 0

mp   chứa trục Oz.

C  0,A  0,B  0, D  0 Ax + By + D = 0

mp   song song với trục

Oz.

A  C  0,B  0, D  0
A  C  0,B  0,D  0

y=0
y+D=0

B  C  0,A  0, D  0
B  C  0,A  0,D  0

x=0
x+ D = 0

A  B  0,C  0, D  0
A  B  0,C  0,D  0

z=0
z+D=0

mp   chính là mp (Oxz).
mp song song với mp
(Oxz).
mp   chính là mp (Oyz).
mp song song với mp
(Oyz).
mp   chính là mp (Oxy).
mp song song với mp
(Oxy).
22

Th.S Trương Trung Duyên


Trên con đường thành công không có bước chân của kẻ lười biếng.

4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (1 ) : A1x  B1 y  C1 z  D1  0 và
( 2 ) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 .

VTPT của 2 mp: n1   A1 ,B1 ,C1  và n2   A2 ,B2 ,C2 
 (1 ) cắt ( 2 )  n1 , n 2 không cùng phương

 A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2
n  kn2
A B C
D
 (1 ) // ( 2 )   1
 1  1  1  1
A2 B2 C2 D2
 D1  kD2
n  kn2
A B C
D
 (1 )  ( 2 )   1
 1  1  1  1
A2 B2 C2 D2
 D1  kD2
5. Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Cho điểm M ( xM ; yM ; zM ) và mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 .

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) là :
AxM  ByM  CzM  D
d  M ,    
A2  B2  C 2
6. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt
vuông góc với hai mp đó.(luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90 o).

 P  : Ax  By  Cz  D  0
Q : A' x  B ' y  C ' z  D '  0
23
Th.S Trương Trung Duyên


Trên con đường thành công không có bước chân của kẻ lười biếng.

VTPT của (P), (Q)lần lượt là nP  ( A, B, C ), nQ  ( A ', B ', C ')





cos  (P),(Q)   cos n P , n Q 

n P .n Q
n P nQ



AA ' BB ' CC '

A  B2  C 2 A'2  B '2  C '2
2

7. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.
Cho mặt cầu (S ) : ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2 và mặt phẳng
( P) : Ax  By  Cz  D  0.

Ta có (S) có tâm O(a; b; c) và bán kính R. Đặt d  d  O;( P)  .
 Nếu d  R thì (P) và (S) không có điểm chung. (hình b)
 Nếud = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại điểm H. (hình c)
Nếu d  R thì (P) và (S) cắt nhau theo một giao tuyến là đường tròn
(C)
có tâm H là hình chiếu vuông góc của O lên (P) và bán kính r  R2  d 2 .
Vấn đề 1. Viết phương trình mặt phẳng
Muốn viết phương trình mf ta cần xác định một điểm thuộc mf và một VTPT của mf đó.

Dạng 1: Mp   đi qua điểm M  x0 , y0 , z0  có VTPT n  A, B, C  .

Phương trình mp   là:

A x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0.
24

Th.S Trương Trung Duyên


Trên con đường thành cơng khơng có bước chân của kẻ lười biếng.

Dạng 2: Mp   đi qua điểm M  x0 , y0 , z0  có cặp VTCP

a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ).

Khi đó có một VTPT của mp   là n  a, b  .

a a a a a a 
a; b    2 3 ; 3 1 ; 1 2    a2b3  b2 a3 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 
 
 b2 b3 b3 b1 b1 b2 
Dạng3: Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và đường thẳng d.
– Trên đường thẳng d lấy hai điểm B, C.
– Một VTPT của (P) là: n   AB, AC  .
Dạng 4: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song d 1, d2.
– Xác đònh VTCP a của d1 (hoặc d2).
– Trên d1 lấy điểm A, trên d2 lấy điểm B. Suy ra A, B  (P).
– Một VTPT của (P) là: n  a, AB  .
Dạng 5: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau d1, d2.
– Lấy điểm A  d1 (hoặc A  d2)  A  (P).
– Xác đònh VTCP a của d1, b của d2.
– Một VTPT của (P) là: n  a, b  .
Dạng 6: Mặt phẳng (P) chứa đt d1 và song song với đt d2 (d1, d2 chéo nhau)
– Xác đònh các VTCP a, b của các đường thẳng d1, d2.
– Một VTPT của (P) là: n  a, b  .
– Lấy một điểm M thuộc d1  M  (P).
Dạng 7: Mp (P) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau
d1, d2
– Xác đònh các VTCP a, b của các đường thẳng d1, d2.
– Một VTPT của (P) là: n  a, b  .
25

Th.S Trương Trung Dun