HH12 c3 b5 phương trình đường thẳng VD thấp 40 câu p1 có lời giải chi tiết

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – VẬN DỤNG THẤP – P1
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  y  z  10  0 và đường thẳng
x  2 y 1 z 1
. Đường thẳng Δ cắt  P  và d lần lượt tại M và N sao cho A 1;3; 2 


2
1
1
là trung điểm MN . Tính độ dài đoạn MN .
d:

A. MN  4 33 .

B. MN  2 26,5 .

C. MN  4 16,5

D. MN  2 33 .

x 1 y  2 z 1
, A  2;1; 4  . Gọi


1
1
2
H  a; b; c  là điểm thuộc d sao cho AH có độ dài nhỏ nhất. Tính T  a3  b3  c3 .

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

A. T  8 .
B. T  62
C. T  13 .
D. T  5 .
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường
x 2 y 3 z  4
x 1 y  4 z  4
thẳng d :
và d  :
.




2
3
2
3
1
5
x 2 y 2 z 3
x y z 1
.
B.
.
 


1 1
2

3
1
4
x 2 y  2 z 3
x y 2 z 3
C.
.
D. 
.



2
2
3
2
1
2
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  z  4  0 và đường thẳng

A.

x 1 y z  2
. Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  P  , đồng thời cắt
 
2
1
3
và vuông góc với đường thẳng d .
d:

x 1

5
x 1
C.

5
A.

y 1

1
y 1

1

z 1
.
3
z 1
.
2

x 1

5
x 1
D.


5
B.

y 1 z 1
.

1
3
y  3 z 1
.

1
3

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A  a;0;0  , B  0; b;0  ,  a, b  0  . Tập hợp tất
cả các điểm cách đều ba điểm O , A , B là một đường thẳng có phương trình là
a

x  2
x  0
x  a
 x  at

b




A.  y  0 .
B.  y  .

C.  y  b .
D.  y  bt .
2

z  t
z  t
z  t



z  t


Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A  2;3;3 , phương trình đường trung tuyến kẻ từ
x 3 y 3 z 2


, phương trình đường phân giác trong của góc C
1
2
1
x2 y4 z2


. Đường thẳng AB có một véc-tơ chỉ phương là
2
1
1
A. u 3   2;1; 1 .
B. u 2  1; 1;0  .

C. u 4   0;1; 1 .
D. u1  1; 2;1 .
B

là

là

Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  0;2; 4  , B  3;5;2  . Tìm tọa độ điểm


M sao cho biểu thức MA2  2MB2 đạt giá trị nhỏ nhất.

A. M  1;3; 2  .

B. M  2; 4;0 

 3 7

D. M   ; ; 1 .
 2 2


C. M  3;7; 2  .

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  3;0;1 , B 1;  1;3 và mặt phẳng

 P  : x  2 y  2 z  5  0 . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng
với mặt phẳng  P  sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất.

d đi qua A , song song

x3
y
z 1
.


26
11
2
x  3 y z 1
D. d :
.
 
26 11 2
x  3 y 1 z  2
x 1 y z  4
Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho ba đường thẳng d1 :
,  d2  :




2
3
1
2
2
1

x3 y 2 z
và  d3  :

 . Đường thẳng song song d 3 , cắt d1 và d 2 có phương trình là
4
1
6
x  3 y 1 z  2
x  3 y 1 z  2
A.
B.




4
1
6
4
1
6
x 1 y z  4
x 1 y z  4
C.
D.




4

4
1
1
6
6

x3 y
 
26
11
x3 y
C. d :
 
26
11

A. d :

z 1
.
2
z 1
.
2

B. d :

x  1 t

Câu 10: Trong không gian Oxyz , đường vuông góc chung của hai đường thẳng d :  y  0

và
 z  5  t


x  0

d  :  y  4  2t  có phương trình là
 z  5  3t 

A.

x4 y z2
.
 
1
3
1

B.

x4 y z2
.


2
3
2

C.

x4 y z2
.
 
2
3
2

D.

x4 y z2
 
2
3
2

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :

x  3 y  2 z 1


,
1
1
2

x  2 y 1 z  1


và mặt phẳng  P  : x  3 y  2 z  5  0 . Đường thẳng vuông góc với
2

1
1
 P  , cắt cả d1 và d 2 có phương trình là:
d2 :

x3

1
x4
C.

1

A.

y2

3
y 3

3

z 1
.
2
z 1
2

x y z2
 

.
1 3
2
x7 y 6 z 7
D.
.


1
3
2

B.

x  2  t
 x  1  t


Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng cắt nhau 1 :  y  2  2t ,  2 :  y  t 
 z  1  t
 z  2t 



 t , t    . Viết phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi

1 và  2 .


A.

x 1 y z
.
 
2
3 3

B.

x 1 y z
  .
1
1 1

C.

x 1 y z

 .
2
3 3

Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn đường thẳng:  d1  :

D. Cả A, B, C đều sai.
x  3 y 1 z 1
,


1

2
1

x y z 1
x 1 y 1 z 1
x y 1 z
,  d3  :
,  d4  : 




 . Số đường thẳng trong
1 2
1
2
1
1
1
1 1
không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:
A. 0 .
B. 2 .
C. Vô số.
D. 1 .

 d2  :

Câu 14: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm M 1; 2; 2  , song song với mặt phẳng
x 1 y  2 z  3

có phương trình là


1
1
1
x  1 t
x  1 t
x  1 t
x  1 t




A.  y  2  t .
B.  y  2  t .
C.  y  2  t .
D.  y  2  t .
z  2
z  3  t
z  3
z  3




Câu 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng

 P : x  y  z  3  0

đồng thời cắt đường thẳng d :

 P  : z 1  0

và  Q  : x  y  z  3  0 . Gọi d là đường thẳng nằm trong mặt phẳng  P  , cắt

đường thẳng

x 1 y  2 z  3
và vuông góc với đường thẳng  . Phương trình của đường


1
1
1

thẳng d là
x  3  t

A.  y  t .
z  1 t


C.

x 1 y  2 z 1


.
1

2
1

x  3  t

B.  y  t .
z  1


x  3  t

C.  y  t .
z  1


D.

x  3  t

D.  y  t .
z  1 t


x 1 y  2 z 1


.
1
2
1

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M  2;1;0  và đường thẳng
x 1 y  1 z

 . Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M , cắt và vuông góc
2
1
1
với  .
:


x2

1
x2
C. d :

1

A. d :

y 1 z
 .
4
1
y 1 z
.

4

2

x2

2
x2
D. d :

1

B. d :

y 1 z
 .
4 1
y 1 z
 .
4 1

Câu 20: Trong hệ trục vuông góc Oxyz, cho hai đường thẳng cắt nhau có phương trình lần lượt là
x2 y2 z
x y 3 z 2
. Một trong hai đường phân giác của các góc tạo


 , d2 : 
2
1
1
2

2
2
bởi d1 , d 2 có phương trình là
d1 :

x y 3 z 2
A. 
.

1
3
4

x  t

B.  y  3  3t .
 z  2  4t.


x  2  t
x2 y2 z

C.

 . D.  y  2  3t
1
3
2
 z  4t.


Câu 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz viết phương trình đường thẳng  d  vuông góc với
x y 1 z

 và đi qua gốc tọa độ O sao cho khoảng cách từ M 1, 0,1 tới
1
2
1
đường thẳng  d  đạt giá trị nhỏ nhất.

đường thẳng    :

x  t

A.  y  t .
z  t


x  t

B.  y  0 .
 z  t


 x  2t

C.  y  t .
z  0


 x  3t

D.  y  t
 z  t


Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3  0 , mặt
phẳng  P  : x  y  2 z  4  0 . Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu  S  tại
A  3; 1; 3 và song song với  P 

x  3 y 1 z  3


.
4
6
1
x  3 y 1 z  3


C. d :
.
0
6
1
A. d :

x 3

4

x 3

D. d :
4
B. d :

y 1 z  3

.
6
3
y 1 z  3

.
2
1

Câu 23: Cho hai điểm A  3; 3;1 , B  0; 2;1 , mặt phẳng  P  : x  y  z  7  0 . Đường thẳng d nằm trên

 P

sao cho mọi điểm của d cách đều hai điểm A , B có phương trình là

x  t

A.  y  7  3t .
 z  2t


x  t


B.  y  7  3t .
 z  2t


 x  t

C.  y  7  3t .
 z  2t


 x  2t

D.  y  7  3t .
 z  2t


Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :

x 1 y z  2


2
1
1

x 1 y 1 z  3


. Đường vuông góc chung của d1 và d 2 lần lượt cắt d1 , d 2 tại A

1
7
1
và B . Tính diện tích S của tam giác OAB .
và d2 :

A. S 

3
.
2

B. S  6 .

C. S 

6
.
2

D. S 

6
.
4


Câu 25: Cho hai điểm A 1; 4; 2  , B  1; 2; 4  và đường thẳng  :

M  mà MA2  MB2 nhỏ nhất.

A. 1; 2;0  .
B.  0; 1; 2  .

x 1 y  2 z

 . Tìm tọa độ điểm
1
1
2

C.  2; 3; 2  .

D.  1;0; 4  .

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1;1; 0) , B(1; 0; 1) và điểm M thay đổi

x y 1 z 1

trên đường thẳng d : 
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  MA  MB là
1
1
1
A. 4 .

B. 2 2 .

C.

6.

D. 3 .

Câu 27: Cho mặt phẳng  P  : 2 x  2 y  2 z  15  0 và mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 y  2 z  1  0. Khoảng
cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng  P  đến một điểm thuộc mặt cầu  S  là
A.

3 3
.
2

B.

3.

C.

3
.
2

D.

3
.
3

Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A  0;0; 1 , B  1;1;0  , C 1;0;1 . Tìm điểm M sao cho
3MA2  2MB2  MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
 3 1 

3 1

A. M  ; ; 1 .
B. M   ; ; 2  .
 4 2 
4 2


 3 3

C. M   ; ; 1 .
 4 2


 3 1

D. M   ; ; 1 .
 4 2


x  1 t

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;0; 2  và đường thẳng d :  y  t
.
 z  1  2t

Phương trình đường thẳng  đi qua A , vuông góc và cắt đường thẳng d là
x 1

1

x 1
C.  :

2

A.  :

x 1 y z  2
.
 
1
1
1
x 1 y
z2
D.  :
.


1
3
1

y z2
.

3
2
y z2
.


4
3

B.  :

Câu 30: Viết phương trình đường thẳng d  là hình chiếu của đường thẳng d :

x 1 y  2 z


trên mặt
1
2
1

phẳng Oyz .

x  0

A. d  :  y  4  2t .
z  1 t


x  0

B. d  :  y  4  2t .
z  1 t


x  0

C. d  :  y  4  2t .
z  1 t


x  1 t

D. d  :  y  0 .
z  0


Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 1;0; 2  và đường thẳng d có phương trình:
x 1 y z  1
 
. Viết phương trình đường thẳng  đi qua A , vuông góc và cắt d .
1
1
2
x 1 y z  2
x 1 y z  2
 
 
A.  :
.
B.  :
.
1
1
1

1
1
1
x 1 y z  2
x 1 y z  2
 


C.  :
.
D.  :
.
2
1
1
1
3
1


Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  z  4  0 và
x 1 y z  2
. Phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  P  ,
 
2
1
3
đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d là
x 1 y 1 z 1
x 1 y  1 z 1

A.
.
B.
.




5
1
3
5
1
2
x  1 y  3 z 1
x 1 y 1 z 1
C.
.
D.
.




5
5
1
2
3
3

đường thẳng d :

Câu 33: Trong không gian

A  0;  1;2  , B 1;1;2 

Oxyz , cho hai điểm

và đường thẳng

x  1 y z 1
. Biết điểm M  a ; b ; c  thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có
 
1
1
1
diện tích nhỏ nhất. Khi đó, giá trị T  a  2b  3c bằng
A. 5
B. 3
C. 4
D. 10
d:

Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A  0;1;0  , B  2; 2; 2  , C  2;3;1 và đường
thẳng d :

x 1 y  2 z  3
. Tìm điểm M thuộc d để thể tích V của tứ diện MABC bằng



2
1
2

3.

 15 9 11 
 3 3 1
A. M   ; ;   ; M   ;  ;  .
 2 4 2
 2 4 2
3 3 1
 15 9 11 
C. M  ;  ;  ; M  ; ;  .
2 4 2
2 4 2
Câu

35:

Trong

không

gian

Oxyz ,

Cho

 15 9 11 
 3 3 1
B. M   ;  ;  ; M   ; ;  .
 2 4 2
 5 4 2
3 3 1
 15 9 11 
D. M  ;  ;  ; M  ; ;  .
5 4 2
2 4 2
mặt

phẳng

 R  : x  y  2z  2  0

và

đường

x y z 1
. Đường thẳng  2 nằm trong mặt phẳng  R  đồng thời cắt và vuông góc
 
2 1
1
với đường thẳng 1 có phương trình là
thẳng 1 :

x  t


B.  y  2t .
z  1 t


x  t

A.  y  3t
z  1 t


x  2  t

C.  y  1  t .
z  t


 x  2  3t

D.  y  1  t .
z  t


x 1 y z  2


và mặt phẳng
1
1
1

 P  : 2 x  y  2 z  1  0 . Đường thẳng nằm trong  P  , cắt và vuông góc với d có phương trình

Câu 36: Trong không gian

Oxyz , cho đường thẳng

d:

là:
x  2 y 1 z  3


.
3
4
1
x 1 y  1 z 1


D.
.
3
4
1
x 1 y 1 z  2


Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
và mặt phẳng
2

1
3
 P  : x  y  z 1  0 . Phương trình đường thẳng  đi qua A 1;1;  2 , song song với mặt
x2

3
x2

C.
3

A.

y 1

4
y 1

4

z 3
.
1
z 3
1

B.

phẳng  P  và vuông góc với đường thẳng d là
A.  :

x 1 y 1 z  2


.
2
5
3

B.  :

x 1 y 1 z  2


.
2
5
3


C.  :

x 1 y 1 z  2
.


2
5
3

D.  :

x 1 y 1 z  2
.


2
5
3

Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác
x y 6 z 6
. Biết rằng điểm M  0;5;3 thuộc đường thẳng AB và điểm


1
4
3
N 1;1;0  thuộc đường thẳng AC . Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng

trong góc A là:

AC .

C. u   0;  2;6  .

B. u   0;1;3 .

A. u  1; 2;3 .

Câu 39: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

M 1;1;  1 . Giả sử đường thẳng d đi qua

D. u   0;1;  3 .

 S  : x2  y 2  z 2  2x  4 y  2z 10  0 và điểm
M và cắt  S  tại hai điểm P , Q sao cho độ dài

đoạn thẳng PQ lớn nhất. Phương trình của d là
x 1 y 1 z 1
x 1
A.
B.



2
2
1
2
x 1 y 1 z 1
x 1
C.
D.



2
2

1
2

y 1 z 1
.

1
2
y 1 z 1

1
2

Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :

x 1 y z

 và điểm A 1;6;0  .
1
1 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài MA với M  d .
A. 5 3

B. 6

C. 4 2

D.

30

ĐÁP ÁN
1-C

2-B

3-A

4-A

5-B

6-C

7-B

8-A

9-B

10-D

11-C

12-A

13-A

14-A

15-C

16-C

17-B

18-D

19-C

20-D

21-A

22-A

23-A

24-C

25-D

26-B

27-A

28-D

29-B

30-A

31-B

32-A

33-D

34-A

35-A

36-C

37-B

38-B

39-D

40-D

( – Website đề thi – chuyên đề file word có lời giải chi tiết)
Quý thầy cô liên hệ đặt mua word: 03338.222.55

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: C

Vì N  Δ  d nên N  d , do đó N  2  2t;1  t;1  t  .

 xM  2 xA  xN
 xM  4  2t ,


Mà A 1;3; 2  là trung điểm MN nên  yM  2 y A  yN   yM  5  t ,
 z  2z  z
 z  3  t.
A
N
 M
 M
Vì M  Δ   P  nên M   P  , do đó 2  4  2t    5  t    3  t   10  0  t  2 .
Suy ra M 8;7;1 và N  6; 1;3 .
Vậy MN  2 66  4 16,5 .
Câu 2: B

x  1 t

Phương trình tham số của đường thẳng d :  y  2  t
 z  1  2t


t   .

H  d  H 1  t;2  t;1  2t  .
Độ dài AH 

 t  1  t  1   2t  3
2

Độ dài AH nhỏ nhất bằng

2

2

 6t 2  12t  11  6  t  1  5  5 .
2

5 khi t  1  H  2;3;3 .

Vậy a  2 , b  3 , c  3  a3  b3  c3  62 .
Câu 3: A
Ta có M  d suy ra M  2  2m;3  3m; 4  5m  . Tương tự N  d  suy ra N  1  3n;4  2n;4  n  . Từ
đó ta có MN   3  3n  2m;1  2n  3m;8  n  5m  .
 MN  d
Mà do MN là đường vuông góc chung của d và d  nên 
 MN  d 

38m  5n  43
m  1
2  3  3n  2m   3. 1  2n  3m   5 8  n  5m   0



.


5
m
n

14

n
1

19
3

3

3
n

2
m

2.
1

2
n

3
m

1

8

n

5
m

0










Suy ra M  0;0;1 , N  2; 2;3 .

Ta có MN   2; 2; 2  nên đường vuông góc chung MN là

x y z 1
.
 
1 1
1

Câu 4: A
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  là: n P  1; 2;1 .

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là ud   2;1;3 .

 x  1  2t

Phương trình tham số của đường thẳng d :  y  t
.
 z  2  3t

Xét phương trình: 1  2t  2t  2  3t  4  0  7t  7  0  t  1.
Suy ra giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng  P  là A 1;1;1 . Ta có: A  .
Vectơ chỉ phương của đường thẳng  là: u  n P , ud    5;  1;  3 .


Phương trình chính tắc của đường thẳng  :

x 1 y 1 z 1
.


5
1
3

Câu 5: B
Tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm O, A, B là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác
OAB , mà A  a;0;0  , B  0; b;0  nên tam giác OAB vuông tại O . Do đó đường thẳng cần tìm

a b 
vuông góc với mặt phẳng tọa độ  Oxy  tại trung điểm M  ; ;0  của AB . Suy ra vectơ chỉ
2 2 

phương của nó cùng phương với vectơ đơn vị trên trục Oz là k   0;0;1 .

a

x  2

b

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm  y  .
2

z  t


Câu 6: C

 x  2  2t

Phương trình tham số của đường phân giác trong góc C là CD :  y  4  t .
z  2  t

7t 5t 

Gọi C   2  2t;4  t;2  t  , suy ra tọa độ trung điểm M của AC là M   2  t;
;
.
2
2 


Vì M  BM nên:
 7t 
 5t 
3 
2


2

t

3
    2    2   t  1  1  t  1  t  t  1 .
1
2
1
1
4
2
Do đó C   4;3;1 .

Phương trình mặt phẳng  P  đi qua A và vuông góc CD là

2.  x  2   1.  y  3  1.  z  3  0 hay 2 x  y  z  2  0 .
Tọa độ giao điểm H của  P  và CD là nghiệm  x; y; z  của hệ
 x  2  2t
x  2
 x  2  2t
y  4 t
y  4

y  4t



 H  2; 4; 2  .



z  2
z  2  t
z  2  t
t  0
2 x  y  z  2  0
2  2  2t    4  t    2  t   2  0

Gọi A là điểm đối xứng với A qua đường phân giác CD , suy ra H là trung điểm AA , bởi
vậy:
 xA  2 xH  xA  2.2  2  2

 y A  2 yH  y A  2.4  3  5  A  2;5;1 .
 x  2 z  z  2.2  3  1
H
A
 A


Do A  BC nên đường thẳng BC có véc-tơ chỉ phương là CA   2; 2;0   2  1;1;0  , nên

x  4  t


phương trình đường thẳng BC là  y  3  t .
z  1

Vì B  BM  BC nên tọa độ B là nghiệm  x; y; z  của hệ
x  4  t
x  2
y  3t
y  5


 B  2;5;1  A .

z  1

z  1
 x  3  y  3  1 t  2
 1
2

Đường thẳng AB có một véc-tơ chỉ phương là AB   0; 2; 2   2  0;1; 1 ; hay u 4   0;1; 1
là một véc-tơ chỉ của phương đường thẳng AB .
Câu 7: B
Ta có AB   3;3;6   một véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB là u   1;1; 2  . Phương trình

 x  t

của đường thẳng AB là  y  2  t
 z  4  2t

Gọi I là điểm thỏa mãn IA  2IB  0  I  2; 4;0  .





2



MA2  2MB 2  MI  IA  2 MI  IB



2





 IA2  2IB 2  3MI 2  2MI IA  2IB  IA2  2IB2  3MI 2 .

Do A , B , I cố định nên IA2  2IB2  3MI 2 nhỏ nhất khi MI 2 nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I
trên đường thẳng AB .
Vì M  AB nên M  t; 2  t; 2 t  4   IM   2  t; t  2; 2t  4 
Ta có IM  AB  IM . AB  0  2  t  t  2  4t  8  0  t  2  M  2; 4;0  .
Câu 8: A

Gọi mặt phẳng  Q  là mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng  P  . Khi đó phương
trình của mặt phẳng  Q  là 1 x  3  2  y  0   2  z  1  0  x  2 y  2 z  1  0 .

Gọi H là hình chiếu của điểm B lên mặt phẳng  Q  , khi đó đường thẳng BH đi qua

B 1;  1;3 và nhận nQ   1;  2;2  làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là
x  1  t

 y  1  2t .
 z  3  2t

Vì

H  BH   Q   H  BH  H 1  t;  1  2t;3  2t 

1  t   2  1  2t   2 3  2t   1  0  t  

và

H  Q

nên

ta

có

10
 1 11 7 
 H  ; ; .
9
 9 9 9

 26 11 2  1
 AH   ; ;    26;11;  2  .
 9 9 9  9
Gọi K là hình chiếu của B lên đường thẳng d , khi đó
Ta có d  B; d   BK  BH nên khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất khi BK  BH , do đó đường
thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u   26;11;  2  có phương trình chính tắc:
d:

x  3 y z 1
.
 
26
11 2

Câu 9: B

 x  1  3v
 x  3  2u


Ta có d1 :  y  1  u , d 2 :  y  2v .
 z  4  v
 z  2  2u


Gọi d 4 là đường thẳng cần tìm.

Gọi A  d4  d1  A  3  2u;  1  u;2  2u  , B  d4  d2  B  1  3v;  2v;  4  v  .

AB   4  3v  2u;1  2v  u;  6  v  2u  .

d 4 song song d 3 nên AB  ku3 với u3   4;  1;6  .

4  3v  2u  4k
v  0


AB  ku3  1  2v  u  k  u  0 .
6  v  2u  6k
k  1


Đường thẳng d 4 đi qua A  3;  1; 2  và có vtcp là u3   4;  1;6  nên d 4 :

x  3 y 1 z  2
.


4
1
6

Câu 10: D
Giả sử AB là đường vuông góc chung của d và d  với A  d , B  d  .

 A  a  1;0; a  5
 BA   a  1; 2b  4; a  3b  10  .
Ta có ud  1;0;1 , ud    0; 2;3 , 


 B  0; 4  2b;3b  5


d  AB
a  3
ud .BA  0
 a  1   a  3b  10   0



Khi đó 
d   AB
b  1
2  2b  4   3  a  3b  10   0
ud  .BA  0




 A  4;0; 2 

 BA   4; 6; 4   u   2;3; 2  là một VTCP của AB .
B
0;6;
2




x4 y z2

 
Kết hợp với AB qua A  4;0; 2   AB :
.
2
3
2
Câu 11: C


Gọi A  3  t;2  t;1  2t  và B  2  2t ;1  t ; 1  t   lần lượt là giao điểm của đường thẳng cần
tìm với d1 và d 2 .

AB   5  2t   t; 1  t   t; 2  t   2t  .
Vì đường thẳng cần tìm vuông góc với  P  nên có vectơ chỉ phương AB cùng phương với
n P   1;3; 2  .

5  2t   t  1k
t  1


Do đó 1  t   t  3k  t   4 , suy ra A  4;3; 1 , B  6; 3; 5 . Thay vào các đáp án
2  t   2t  2k
k  2


ta thấy C thỏa mãn.
Câu 12: A
I 1;0;0   1   2 .

1 và  2 có VTCP lần lượt là u1  1; 2; 1 và u2   1; 1; 2  .





Ta có: cos u1; u2 

u1.u2





5
   0  u1 ; u2 là góc tù.
6
u1 . u2

Gọi u  là véc tơ đối của u2  u  1;1; 2  .
Khi đó đường phân giác của góc nhọn tạo bởi 1 và  2 có VTCP u  u1  u   2;3; 3 .
Vậy phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi 1 và  2 có dạng:

x 1 y z
.
 
2
3 3

Câu 13: A

Ta có  d1  song song  d 2  , phương trình mặt phẳng chứa hai
Hai đường thẳng  d1  ,  d 2  là  P  : x  y  z  1  0 .

Gọi A   d3    P   A 1; 1;1 ,  A   d1  , A   d2   .

B   d4    P   B  0;1;0  ,  B   d1  , B   d2   .

Mà AB   1; 2; 1 cùng phương với véc-tơ chỉ phương của hai đường thẳng  d1  ,  d 2  nên không
tồn tại đường thẳng nào đồng thời cắt cả bốn đường thẳng trên.

Câu 14: A
Gọi đường thẳng cần tìm là  . Gọi I    d  I  d  I 1  t;2  t;3  t  .

MI   t; t;1  t  mà MI //  P  nên MI .n P   0  t  t  1  t   0  t  1  MI   1; 1;0 


Đường thẳng  đi qua M 1; 2; 2  và I có véctơ chỉ phương là MI   1; 1;0  có phương

x  1 t

trình tham số là  y  2  t .
z  2

Câu 15: C

d'
Q
I

d

P

Đặt nP   0;0;1 và nQ  1;1;1 lần lượt là véctơ pháp tuyến của  P  và  Q  .
Do    P    Q  nên  có một véctơ chỉ phương u  nP , nQ    1;1;0  .
Đường thẳng d nằm trong  P  và d   nên d có một véctơ chỉ phương là ud   nP , u 

  1; 1;0  .
x 1 y  2 z  3
và A  d   d  A  d    P 


1
1
1
z  1
z 1  0


Xét hệ phương trình  x  1 y  2 z  3   y  0  A  3;0;1 .
 1  1  1
x  3


Gọi d  :

x  3  t

Do đó phương trình đường thẳng d :  y  t .
z  1


Câu 16: C
OA  1;7;0   OA  5 2

Ta có OB   3;0;3  OB  3 2 .

 AB   2; 7;3  AB  62
Gọi I  a; b; c  là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB .

Lại có AB.OI  OB. AI  OA.BI  0

 62  a; b; c   3 2  a  1; b  7; c   5 2  a  3; b; c  3  0

18 2
a 
62  8 2
a 62  3 2  a  1  5 2  a  3  0



21 2
 b 
 b 62  3 2  b  7   5 2b  0
62  8 2


c
62

3
c

2

5
2
c

3

0




15 2
c 
62  8 2



 18 2
 18 2
21 2
21 2
15 2 
15 2 
 I 
;
;
;
;

  OI  
 .
 62  8 2 62  8 2 62  8 2 
 62  8 2 62  8 2 62  8 2 

Đường thẳng OI nhận OI là một VTCP nên nhận u   6;7;5 là một VTCP.
Kết hợp với OI qua O  0;0;0   OI :

x y z
  .
6 7 5

Câu 17: B
Vectơ chỉ phương của d là u  1;1; 1 .


 A  1  2a; 1  a; 2  a 
Gọi  là đường thẳng cần tìm và A    d1 , B    d2 . Suy ra: 
.

 B 1  b; 2  b;3  3b 
Khi đó: AB   b  2a  2; b  a  3;3b  a  1 .
Vì đường thẳng  song song với đường thẳng d nên AB cùng phương với u .
Suy ra:


a  1
b  2a  2 b  a  3 3b  a  1
 A 1;0;1
.





1
1
1
b  1 
 B  2;1;0 

Thay A 1;0;1 vào đường thẳng d ta thấy A  d .
Vậy phương trình đường thẳng  :

x 1 y z 1
.
 
1
1
1

Câu 20: D

x2 y2
 1  2

y2  z
 2
2
Gọi A là giao điểm của d1 và d 2 . Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 
x  y3

2
1
y3 z 2


 1
2


2 x  y  2
x  2
 y  z  2


  y  2 . Vậy điểm A  2;  2;0  .

z  0
x  2 y  6

2 y  z  4
Trên d1 lấy điểm B  3;  4; 2  và trên d 2 lấy điểm C  0;  3; 2  .
Khi đó, đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d 2 là đường phân giác góc BAC .
Mà AB  3 ; AC  3  tam giác ABC cân tại A . Gọi M là trung điểm BC thì AM là phân
3 7 
 1 3 
giác trong góc A . Ta có M  ;  ; 2  , AM    ;  ; 2  . Vậy u AM  1;3;  4  .
2 2 
 2 2 
x2 y2 z
Phương trình đường thẳng AM là



1
3
4
Câu 21: A
Giả sử  P  là mặt phẳng qua gốc tọa độ O và vuông góc với  . Xét hình chiếu vuông góc của
M trên  P  là điểm K ta có MK  MH nên MH min khi và chỉ khi H  K và khi đó đường

thẳng  d  đi qua hai điểm O, K sẽ là hình chiếu vuông góc của  MO  trên mặt phẳng  P  .
Do vậy:
ud   nP ,  nP , OM    ud  u , u , OM   .





Câu 22: A
Ta có  S  có tâm I 1; 2; 1 ; bán kính R  3 và mặt phẳng  P  có VTPT n  1;1;2  .
Vì d tiếp xúc với mặt cầu  S  tại A  3; 1; 3 và song song với

 P

nên d có VTCP

u  n; IA   4;6; 1 và qua A  3; 1; 3 .

Phương trình đường thẳng d cần tìm là d :

x  3 y 1 z  3



4
6
1

Câu 23: A
3 5 
Ta có AB   3; 1;0  ; I  ; ;1 là trung điểm của AB và A , B nằm ở hai phía của mặt
2 2 

phẳng  P  .
Gọi   là mặt phẳng trung trực của AB và d      P  . Khi đó d chính là đường thẳng
thuộc mặt phẳng  P  và cách đều hai điểm A, B .
3 5 
Mặt phẳng   đi qua I  ; ;1 và có véc tơ pháp tuyến AB   3; 1;0  là
2 2 
 
5

3  x     y    0  3x  y  7  0
2 
2


Vì d là đường giao tuyến của   và  P  nên một véctơ chỉ phương của d là
ud  n P  , n     1;3; 2    1; 3; 2  .


x  t


Mà d đi qua C  0;7;0       P  . Vậy d có phương trình tham số là:  y  7  3t ( t 
 z  2t


Câu 24: C
 x  1  2t1

Phương trình tham số d1 :  y  t1 , a1   2; 1;1 là VTCP của d1 .
 z  2  t
1

 x  1  t2

Phương trình tham số d1 :  y  1  7t2 , a2  1;7; 1 là VTCP của d 2 .
z  3  t
2


A  d1  d  A 1  2a; a; 2  a  .

B  d2  d  B  1  b;1  7b;3  b  .
AB   2  b  2a;1  7b  a;5  b  a 

AB là đường vuông góc chung của d1 và d 2

 AB  d1
 AB.a1  0



 AB  d 2

 AB.a2  0


2  2  b  2a   1  7b  a    5  b  a   0


 2  b  2a   7 1  7b  a    5  b  a   0

6b  6a  0
 A 1;0; 2 
 a b0
.

B

1;1;3


52b  6a  0


Ta có
OA  1;0; 2  ; OB   1;1;3 ; OA, OB    2; 1;1 .

Vậy SOAB 

1
6

OA, OB  
.

2
2

Câu 25: D
Gọi M 1  t;  2  t;2t  
MA2  MB2   t    6  t    2  2t    2  t    4  t    4  2t   12t 2  48t  76
2

2

2

2

2

Ta có: 12t 2  48t  76  12  t  2   28  28
2

Vậy MA2  MB2 nhỏ nhất bằng 28 khi t  2 hay M  1;0; 4  .
Câu 26: B
x  t

Phương trình tham số của đường thẳng d :  y  1  t .
z  1 t


2

).


Do M  d  M  t;1  t;1  t  .
Khi đó MA  1  t; t; 1  t   MA  3t 2  2 và MB   1  t; 1  t; t   MB  3t 2  2 .
Do vậy T  MA  MB  2 3t 2  2  2 2 . Suy ta Tmin  2 2 khi t  0  M  0;1;1 .
Câu 27: A
Mặt cầu  S  có tâm I  0;1;1 và bán kính R  3 . Gọi H là hình chiếu của I trên  P  và A
là giao điểm của IH với  S  . Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng  P  đến
một điểm thuộc mặt cầu  S  là đoạn AH . AH  d  I ,  P    R 

3 3
.
2

Câu 28: D

 AM 2  x 2  y 2   z  12
 AM   x; y; z  1


2
2

Giả sử M  x; y; z    BM   x  1; y  1; z    BM 2   x  1   y  1  z 2


2

2
2
2
CM   x  1; y; z  1 CM   x  1  y   z  1
2
2
2
 3MA2  2MB2  MC 2  3  x 2  y 2   z  1   2  x  1   y  1  z 2 




2
2
  x  1  y 2   z  1 


2

3
5
5
2
2

 4 x  4 y  4 z  6 x  4 y  8 z  6   2 x     2 y  1   2 z  2     .
2
4
4


3
1
 3 1

Dấu "  " xảy ra  x   , y  , z  1 , khi đó M   ; ; 1 .
4
2
 4 2

Câu 29: B
2

2

2

Đường thẳng d có một VTCP là u  1;1; 2 
Gọi   d  M 1  t; t; 1  2t   AM   t; t; 3  2t  .
Ta có   d  AM .u  0  t  t  2  3  2t   0  t  1  AM  1;1; 1
Đường thẳng  đi qua A 1;0; 2  , một VTCP là AM  1;1; 1 có phương trình là
:

x 1 y z  2
.
 
1
1
1

Câu 30: A

x  1 t
x  0


Ta có: d :  y  2  2t  Hình chiếu d  của d lên mặt phẳng Oyz là: d  :  y  2  2t
 z  t
 z  t


x  0

Cho t  1 , ta được A  0; 4;1  d   d  :  y  4  2t .
z  1 t

Câu 31: B
B  
Do  cắt d nên tồn tại giao điểm giữa chúng. Gọi B    d  
B  d


x  t 1

Phương trình tham số của d :  y  t , t 
z  t 1


. Do B  d , suy ra

B  t  1; t; t  1  AB   t; t; 2t  3 .

Do A, B   nên AB là vectơ chỉ phương của  .
Theo đề bài,  vuông góc d nên AB  u ,  u  1;1; 2   ( u  (1;1; 2) là vector chỉ phương của
d ). Suy ra AB.u  0 . Giải được t  1  AB  1;1;  1 . Vậy  :

x 1 y z  2
 
1
1
1

Câu 32: A
Gọi A  d    A  d   P 

x  1
 x 1 y z  2
 


Tọa độ A thỏa mãn hệ  2
1
3   y  1  A 1;1;1 .

z  1
x  2 y  z  4  0

Do    P  và   d nên nhận u   nP ; ud    5;  1;  3 là một véctơ chỉ phương.
Đường thẳng  đi qua A 1;1;1 nên  có dạng

x 1 y 1 z 1

.


5
1
3

Câu 33: D
1
Ta có SMAB  .d  M ; AB  . AB nên MAB có diện tích nhỏ nhất khi d  M ; AB  nhỏ nhất.
2
Gọi  là đường vuông góc chung của d , AB . Khi đó M    d . Gọi N    AB .

x  s

Ta có: AB  1; 2;0  , phương trình đường thẳng AB :  y  1  2s
z  2

Do N  AB  N  s ;  1  2s ; 2  , M  d  M  1  t ; t ;1  t  .

 NM   t  s  1; t  2s  1; t  1 . Mà MN  d , MN   nên
 4
t  s  1  2t  4s  2  0
3t  5s  1 t 

 3.

t  s  1  t  2s  1  t  1  0
3t  3s  1


s  1

1 4 7
Do đó M  ; ;  hay T  a  2b  3c  10 .
3 3 3

Câu 34: A
Cách 1 :
Ta có AB   2;1; 2  ; AC   2; 2;1
1
9
Do  AB, AC    3; 6;6  nên SABC   AB, AC   .
2
2
Gọi n là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng  ABC  thì n  1; 2; 2   phương trình mặt

phẳng  ABC  là x  2 y  2 z  2  0 .


Gọi M 1  2t; 2  t;3  2t   d  d  M ,  ABC   

4t  11
.
3

5

t

1 9 4t  11

4
Do thể tích V của tứ diện MABC bằng 3 nên . .
.
 3  4t  11  6  
3 2
3
t   17

4
5
 3 3 1
Với t   thì M   ;  ;  .
4
 2 4 2
Với t 

17
 15 9 11 
thì M   ; ;   .
4
 2 4 2

Cách 2:
Ta có AB   2;1; 2  ; AC   2; 2;1   AB, AC    3; 6;6 
Gọi M 1  2t; 2  t;3  2t   d  AM  1  2t; 3  t;3  2t  .

5

t


1
4
Vì VMABC   AB, AC  . AM nên 12t  33  18  
6
t   17

4
5
 3 3 1
Với t   thì M   ;  ;  .
4
 2 4 2
Với t 

17
 15 9 11 
thì M   ; ;   .
4
 2 4 2

Câu 35: A

 x  2t

Phương trình tham số của đường thẳng 1 là  y  t .
z  1 t

Gọi I  x; y; z  là giao điểm của 1 và  R  . Khi đó tọa độ của I là thỏa mãn

 x  2t

x  0
y  t


  y  0  I   0;0;1 .

z  1
z  1 t

 x  y  2 z  2  0
Mặt phẳng  R  có VTPT n  1;1; 2  ; Đường thẳng 1 có VTCP u   2;1; 1 .
Ta có  n, u   1; 3; 1 .
Đường thẳng  2 nằm trong mặt phẳng  R  đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng 1 .
Do đó  2 đi qua I   0;0;1 và nhận  n, u  làm một VTCP.

x  t

Vậy phương trình của  2 là  y  3t .
z  1 t

Câu 36: C


x  1 t

Phương trình tham số của d :  y  t .
z  2  t

Xét phương trình 2 1  t    t   2  2  t   1  0  t  1 .
Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng  P  tại M  2; 1;3 .

Gọi ad  1; 1;1 và n   2; 1; 2  lần lượt là vectơ chỉ phương của d và vectơ pháp tuyến
của mặt phẳng

 P .

Khi đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là

a  ad , n    3; 4;1 .

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:

x  2 y 1 z  3
.


3
4
1

Câu 37: B
 có vectơ chỉ phương u   2;5;  3 và đi qua A 1;1;  2  nên có phương trình:

:

x 1 y 1 z  2
.


2
5

3

Câu 38: B

x  t

Phương trình tham số của đường phân giác trong góc A :  y  6  4t .  d 
 z  6  3t

Gọi D là điểm đối xứng với M qua  d  . Khi đó D  AC  đường thẳng AC có một vectơ
chỉ phương là ND .
* Ta xác định điểm D .
Gọi K là giao điểm MD với  d  . Ta có K  t;6  4t;6  3t  ; MK   t;1  4t;3  3t  .
Ta có MK  ud với ud  1;  4;  3 nên t  4 1  4t   3  3  3t   0  t 

1
.
2

 xD  2 xK  xM
 xD  1


1 9
K  ; 4;  . K là trung điểm MD nên  yD  2 yK  yM   yD  3 hay D 1;3;6  .
2 2
z  2z  z
z  6
K
M

 D
 D
Một vectơ chỉ phương của AC là DN   0;  2;  6  . Hay u   0;1;3 là vectơ chỉ phương.
Câu 39: D
Mặt cầu  S  có tâm I  1; 2;1 .
Đường thẳng d đi qua M và cắt  S  tại hai điểm P , Q sao cho độ dài đoạn thẳng PQ lớn
nhất khi d đi qua tâm I của  S  , suy ra d có véctơ chỉ phương là IM   2;  1;  2 
Phương trình d :

x 1 y 1 z  1


.
2
1
2

Câu 40: D

x  1 t

Ta có M  d :  y  t  t 
 z  2t




 M 1  t; t; 2t  , AM   t; t  6; 2t 

AM 2  t 2   t  6   4t 2  6t 2  12t  36  6  t  1  30  30  AM  30 .
2

2