Chuyên đề căn bậc hai căn bậc ba

Tài liệu luyện thi vào 10
CHUYÊN ĐỀ I: CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA
Dạng 1: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ



A có nghĩa  A �0



A CÓ NGHĨA

1
có nghĩa  A > 0
A

Bài 1. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)

 3x

b)

4  2x

c)

3x  2

d)

3x  1

e)

9x  2

f)

6x  1

ĐS: a) x �0

b) x �2

2
3

c) x �

d) x �

1
3

2
9

1
6

e) x �

f) x �

Bài 2. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)

d)

x
 x 2
x 2

b)

1
3  2x

ĐS: a) x  2

e)

b) x �2

x
 x 2
x 2

c)

4
2x  3

c) x  2

f)

d) x 

3
2

x
2

x 4

 x 2

2
x 1

e) x  

3
2

f) x  1

Bài 3. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a)

x2  1

b)

4x2  3

c)

9x2  6x  1

d)

 x2  2x  1

e)

 x 5

f)

2x2  1

ĐS: a) x�R

b) x�R

c) x�R

d) x  1

e) x  5

f) không có

Bài 4. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)

4 x2

b)

x2  16

c)

x2  3

d)

x2  2x  3

e)

x(x  2)

f)

x2  5x  6

ĐS: a) x �2

b) x �4

c) x � 3

d) x �1 hoặc x �3 e)

x �0
f) x �2 hoặc x �3
Bài 5. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)

x 1

b)

x1  3

c)

4 x

x �2

hoặc


d)

e)

x 2 x1

1
9  12x  4x2

b) x �2 hoặc x �4

ĐS: a) x �1

x 2 x1

c) x �4

3
2

d) x �1

1

f)

e) x �

f) x �1
Dạng 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

�A
A2  A  �
A
�

Áp dụng:

neá
u A �0
neá
u A 0

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
a) 0,8 (0,125)2

d)

2

2  3

b)

(2)6

e)

�1 1 �
�  �
� 2 2�

c)



f)

 0,1

2

2

ĐS: a) 0,1

b) 8

d) 3 2 2

e)

3  2

2



0,1

2

c) 2  3

1

1
2 2


f)

0,1  0,1

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:
a)

 3  2 2 2   3  2 2  2

b)

 5  2 6 2   5  2 6  2

c)

 2  3 2   1 3 2

d)

 3

e)



f)



5  2 

ĐS: a) 6

2



5  2

b) 4 6

2

c) 1

2 

2  1 

d) 4

 1

2

2



2

2  5

e) 2 5

2

2

f) 2 2  4

Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:
a)

5 2 6  5  2 6

b)

7  2 10  7  2 10

c)

d)

24  8 5  9  4 5

e)

17 12 2  9  4 2

f)

6  4 2  22  12 2
ĐS: a) 2 2

b) 2 2

Bài 4. Thực hiện các phép tính sau:

c) 2 3 d) 3 5  4

4 2 3  4 2 3


a)

5  3 29  12 5

b)

13 30 2  9  4 2

c)



3  2 5  2 6

d)

5 13 4 3  3 13 4 3

e)

1 3 13 4 3  1 3 13 4 3

ĐS:

Dạng 3: RÚT GỌN BIỂU THỨC

�A
A2  A  �
A
�

Áp dụng:

neá
u A �0
neá
u A 0

Chú ý: Xét các trường hợp A ≥ 0, A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:
a) x  3
c)

x2  6x  9 (x �3)

b)

x2  2x  1
(x  1)
x1

ĐS: a) 6

b) 2

x2  4x  4  x2 (2 �x �0)

d) x  2 

x2  4x  4
(x  2)
x 2

d) 1 x

c) 1

Bài 2. * Rút gọn các biểu thức sau:
a)

1 4a  4a2  2a

d) 2x  1

(x  4)2 

x2  10x  25
x 5

b) x  2y  x2  4xy  4y2
e)

x4  4x2  4
2

x 2

x 4
x2  8x  16

Bài 3. Cho biểu thức A  x2  2 x2  1  x2  2 x2  1 .
a) Với giá trị nào của x thì A có nghĩa?
b) Tính A nếu x � 2 .
ĐS: a) x �1 hoặc x �1 b) A  2

c) x2 

f)

x4  8x2  16


Bài 4. Cho 3 số dương x, y, z thoả điều kiện: xy  yz  zx  1. Tính:

A x

(1 y2)(1 z2)
1 x2

y

(1 z2)(1 x2)
1 y2

z

(1 x2)(1 y2)
1 z2

ĐS: A  2 . Chú ý: 1 y2  (xy  yz  zx)  y2  (x  y)(y  z) ,

1 z2  (y  z)(z  x) , 1 x2  (z  x)(x  y)

Dạng 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Áp dụng:



A2  B2 � A  �B ;

A2  A ;

�A �0 (hay B �0)
A B��
�A  B



�A �0
�A  0
hay �
A

B
�
�A   B

�B �0
A B� �
2
�A  B
�B �0
�A  B hay A   B

 A  B� �

 A  B� �

 A  B � A  B hay A   B

 A  B  0� �



�A  0
�B  0

�A  0
A  B  0� �
�B  0

Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)

(x  3)2  3 x

b)

4x2  20x  25  2x  5 c) 1 12x  36x2  5

d)

x 2 x1  2

e)

x  2 x  1  x  1  1 f)

5
2

ĐS: a) x �3
d) x  2

b) x �

c) x  1; x  

e) x �2

f) x �

x2 

1
1 1
x
 x
2
16 4

2
3

1
4

Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)

2x  5  1 x

b)

x2  x  3 x

c)

2x2  3  4x  3

d)

2x  1  x  1

e)

x2  x  6  x  3

f)

x2  x  3x  5

ĐS: a) x  

4
3

b) x  � 3

c) x  2


e) x  3

d) vô nghiệm

f) vô nghiệm

Bài 3. Giải các phương trình sau:
a)

x2  x  x

b)

1 x2  x  1

c)

d)

x2  1  x2  1 0

e)

x2  4  x  2  0

f)

ĐS: a) x  0

b) x  1

d) x  �
1; x  � 2

x2  4x  3  x  2
1 2x2  x  1

c) vô nghiệm

e) x  2 f) vô nghiệm

Bài 4. Giải các phương trình sau:
a)

x2  2x  1  x2  1

b)

4x2  4x  1  x  1

c)

x4  2x2  1  x  1

d)

x2  x 

e)

x4  8x2  16  2  x

f)

9x2  6x  1  11 6 2

1
x
4

ĐS: a) x  1; x  2

b) vô nghiệm

c) x  1

d) vô nghiệm

e) x  2; x  3; x  1

f) x 

2 2
2 4
;x 

3
3

Bài 5. Giải các phương trình sau:
b) x2  3  x  3

a) 3x  1  x  1
c)

9x2  12x  4  x2

ĐS: a) x  0; x  
c) x  1; x 

1
2

1
2

x2  4x  4  4x2  12x  9

d)

b) x  3; x   3  1; x   3  1
d) x  1; x 

5
3

Bài 6. Giải các phương trình sau:
a) x2  1  x  1  0
c)

1 x2  x  1  0

ĐS: a) x  1

b) vô nghiệm

b)

x2  8x  16  x  2  0

d)

x2  4  x2  4x  4  0

c) x  1

d) x  2

II. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP KHAI PHƯƠNG VÀ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA

 Khai phương một tích:

A.B  A. B ( A �0, B �0)


A. B  A.B (A �0, B �0)

Nhân các căn bậc hai:

A

B

 Khai phương một thương:

A

Chia hai căn bậc hai:

B



A

( A �0, B  0)

B

A
( A �0, B  0)
B

Dạng 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:

12  2 27  3 75  9 48 b) 2 3( 27  2 48  75)

a)



2



3 5  3 5

c) 2 2  3
e)

ĐS: a) 13 3







11  7 

d) 1 3  2 1 3  2



2

f)

b) 36

c) 11 4 6

11  7





2

e) 10

d) 2  2 3

f) 2 7  4

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:
a)
c)
e)

b)

2 3  2 3



6  2  3  2



a)

2

f)

4 �2 3
2� 3 

2
b)

3 3



10  6 4  15

d) 4  15

3 2

13 160  53 4 90

ĐS: Chú ý:

21 12 3  3



3 �1
2

c) 2

2



6 2

2  12  18 128

3 �1
2
d) 2

e) 4 5

Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:
a) 2 5  125  80  605

b) 15  216  33  12 6

c)

8 3  2 25 12  4

d)

e)

3 5  3 5

ĐS: a) 4 5

b)

192

f)

6

Bài 4. Thực hiện các phép tính sau:

c) 0

2  3  6  2



2  1   2  1
3

d) 2

3

e)

10 f) 14

f)

31


a)

10  2 10
8

5  2 1 5

b)

d)

3  5.  3  5 
10  2

e)



2 8  12
5  27

c)
18  48
30  162
1
2  2 3



2 3
2 3

2 3
2 3

1

f)

2  2 3

5  2  8 5
2 54
2

6

2

b) 

ĐS: a) –2

c) 4

d) 1

Bài 5. Thực hiện các phép tính sau:
a) A  12  3 7  12  3 7

b)

B  4  10  2 5  4  10  2 5
c) C  3  5  3  5
ĐS: Chứng tỏ A  0, B  0,C  0 . Tính A2, B2,C 2  A   6 ; B  5  1, C  10

Dạng 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Bài 1. Rút gọn các biểu thức:
a)

15  6

b)

35  14
2  3  6  8  16

d)

2  3 4

ĐS: a)

3

b)

7

d) 1 2 . Tách
e)

x

c)

c)

8  12
x  xy

f)

y  xy

2 15  2 10  6  3
2 5  2 10  3  6

a a b b b a
ab  1

3 2
1 2

16  4  4
f)

y

5
2

e)

10  15

a b
ab  1

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

x x y y
x y





x y



2

b)

x 2 x  1
x 2 x  1

(x �0)


 y 2

c) x  1
y 1
ĐS: a)



y1

(x  1)4
b)

xy

2

(x �1, y �1, y  0)

x 1

c)

x 1

1
1
nếu 0  y  1 và
nếu y  1
1 x
x1

Bài 3. Rút gọn và tính:

a 1

a)

b 1

:

b 1
a 1

với a  7,25; b  3,25

b)

15a2  8a 15  16 với a 

c)

10a2  4a 10  4 với a 

3
5

5
3
2
5

5
2

d) a2  2 a2  1  a2  2 a2  1 với a  5
ĐS: a)

a1 5
;
b 1 3

c) 5

b) 4

d) 2

Dạng 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)

d)

2x  3
2
x1
9x  7
7x  5

ĐS: a) x 

b)

 7x  5

1
2

e)

b) vô nghiệm

2x  3

x1

2

4x  20  3
3
2

c) x   ; x 

7
2

c)

x 5 1

9x  45  4
9
3
d) x  6

Dạng 4: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1. So sánh các số:
a)

7  2 và 1

c)

2005  2007 và

b)

8  5 và

2006

ĐS:
Bài 2. Cho các số không âm a, b, c. Chứng minh:

4x2  9  2 2x  3

7 6

e) x  9


a)

a b
� ab
2

c) a  b 

b)

a b  a  b

d) a  b  c � ab  bc  ca e)

a b
a b
�
2
2

1
� a b
2

ĐS:
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) A 

x  2  4 x

ĐS: a) A  2 � x  3

b) B  6  x  x  2

c) C 

b) B  4 � x  2

c) C  2 � x  1

x  2 x

III. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

 Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì

+ Với A < 0 và B ≥ 0 thì

A2B  A B

A2B   A B

 Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A B 

A2B

+ Với A < 0 và B ≥ 0 thì A B   A2B

A

B

AB
B

+ Với B > 0 thì

 Với A.B ≥ 0 và B  0 thì

 Với A ≥ 0 và A �B2 thì

 Với A ≥ 0, B ≥ 0 và A  B thì

C
A �B



A
B



A B
B

C( A mB)
A  B2

C
A� B



C( A m B )
A B

Dạng 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
Bài 1.

Thực hiện các phép tính sau:

a)

b)

125  4 45  3 20  80

c) 2

27
48 2 75


4
9 5 16

� 5 5 �
�5 5 �
 1�
�
�
�
�
�
� 1 5 �
�1 5 �

Bài 2.

b) 22

Thực hiện các phép tính sau:

99  18  11 11  3 22

d) 3

e) �
1
�

ĐS: a) 5 5



f)

c)

7 3
6

d) 

9
49
25


8
2

18
1

3 2
5 2
12



1
3 2
e) 4

f) 2 3


7  5 6 2 7
6
5



2
4
7  2 4 7

a)

1

c)

3 2 5
1

e)

1



3 3 2

ĐS: a)





6 2



� 6 2

1

d) �
�

3 2  5

�1 3

1

5
1

3 12
6

32 7  20 b) 17 6
9
6

2

b)

2
6 2



5
6

5 � 1
�

�:
5� 5 2



f) 2 3 3 13 48

6 2
c)

30
6

d) 3

e)

3
2

f) 1

Dạng 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC
Bài 1.

Rút gọn và tính giá trị biểu thức:

x  11

a) A 

x 2  3

, x  23 12 3

B

b)

1

1

a2  2



,
2(1 a) 2(1 a) 1 a3

a 2
c) C 

h 3
e) E 

a

a4  4a2  3
a4  12a2  27

, a  3 2

2x  2 x2  4
x2  4  x  2

D

d)

, x  2( 3  1)

h 2 h 1



1
h 2 h 1

2 3

d) D 

x 2  3 2 3
2 h 1
2 2
h 2

b) B 

e) E 

1
1 a  a2
1
x 2





23
7

31
2

Dạng 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Giải các phương trình sau:

,

� 3
�� 3
�
F �
 1 a ��
:
 1�,
�

2
� 1 a
��
� 1 a
�

f)

3

ĐS: a) A 

Bài 1.

1

c) C 

a2  1
a2  9

 5 2 6

f) F  1 a  3  1


a)

x  1  4x  4  25x  25  2  0

b)

1
3
x1
x  1
9x  9  24
 17
2
2
64
c)

9x2  18  2 x2  2  25x2  50  3  0 d) 2x  x2  6x2  12x  7  0

e) (x  1)(x  4)  3 x2  5x  2  6

f)

ĐS: a) x  2

d) x  1�2 2 e) x  2; x  7

b) 290

c) vô nghiệm

Dạng 4: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Bài 1.

Cho biểu thức: Sn  ( 2  1)n  ( 2  1)n (với n nguyên dương).

a) Tính S2; S3 .
b) Chứng minh rằng: Với mọi m, n nguyên dương và m n , ta có: Sm n  Sm.Sn  Sm n
c) Tính S4 .
ĐS: a) S2  6; S3  10 2 b) Chứng minh Sm n  Sm n  SmSn
Bài 2.

c) S4  34

Sn  ( 3  2)n  ( 3  2)n (với n nguyên dương).

Cho biểu thức:

a) Chứng minh rằng:

S2n  Sn2  2

b) Tính S2, S4 .

HD: a) Sử dụng hằng đẳng thức a2  b2  (a  b)2  2ab b) S1  2 3; S2  10; S4  98
Bài 3.

Sn  (2  3)n  (2  3)n

Cho biểu thức:

a) Chứng minh rằng:

S3n  3Sn  Sn3

(với n nguyên dương).

b) Tính S3, S9 .

HD: a) Sử dụng hằng đẳng thức a3  b3  (a  b)3  3ab(a  b) . Chứng minh S3n  Sn3  3Sn .
b) S1  4; S3  61; S9  226798 .

IV. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp các phép biến đổi
đơn giản như: đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, khử căn ở mẫu và trục
căn thức ở mẫu để làm xuất hiện các căn thức bậc hai có cùng một biểu thức dưới dấu căn.


x 1

A

Bài 1. Cho biểu thức:

x2



b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm x để A  2 .

a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa.
ĐS: a) x �0, x �4

2 5 x
.
4 x
x2

2 x



b) A 

3 x

c) x  16

x2

� x2
x  2 �(1 x)2
A �

.
.
�
�x1
�
x  2 x  1� 2
�
a) Rút gọn A nếu x �0, x �1.
b) Tìm x để A dương

c) Tìm giá trị lớn nhất của A.

Bài 2. Cho biểu thức:

ĐS: a) A 

x x

b) 0  x  1

A

Bài 3. Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.

x 1

ĐS: a) A 

x3

a) Rút gọn A.
ĐS: a) A 

2a  2 a  2
a

Bài 5. Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.

ĐS: a) A 

2 5 x
x3

Bài 6. Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.
ĐS: a) A 

x2
1 x

2 x9

1
1
khi x  .
4
4

x  3 2 x 1
.

x 5 x  6
x  2 3 x
b) Tìm x để A  1.


b) 0  x  9; x �4.

A

Bài 4. Cho biểu thức:

c) max A 

a a 1 a a 1 �
1 �� a  1
a  1�

 �a 

�.
��
a a a a �
a �� a  1
a  1�
b) Tìm a để A  7
c) Tìm a để A  6 .

b) a  4; a 

A

1
4

15 x  11

c) a  0, a �1.

3 x2 2 x3
.

x  2 x  3 1 x
3 x
1
b) Tìm x để A  .
2
b) x 



1
.
121

�
x �� x  3
x2
x2 �
A �
1
:


��
�.
� 1 x �� x  2 3 x x  5 x  6�
b) Tìm x để A  0 .

b) 0 �x  4.


A

Bài 7. Cho biểu thức:

a2  a



2a  a

a a  1
b) Tìm a để A  2 .

a) Rút gọn A.

ĐS: a) A  a  a b) a  4

a

 1.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

c) min A  

1
1
khi a  .

4
4

2

�a
1 �� a  1
a  1�
A � 

��
�.
�2 2 a �� a  1
a  1�
�
��
�
b) Tìm a để A  0 .
c) Tìm a để A  2 .

Bài 8. Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.
ĐS: a) A 

1 a

b) a  1

a

�2a  a  1 2a a  a  a �a  a
A  1 �

.
�
.
� 1 a
�2 a  1
1

a
a
�
�

Bài 9. Cho biểu thức:

b) Tìm a để A 

a) Rút gọn A.

a) Rút gọn A.

5

c) Chứng minh rằng A 

2
.
3

� 1
1 �� a  1
a  2�
A �


�.
�: �
�
a ��
a

2
a

1
� a 1
�
�
1
b) Tìm a để A  .
6

a) Rút gọn A.

a2

b) a  16 .

3 a

�x  1 x  1�� 2
x
1 �
A �

:


��
�.
�x  1 x  1��x2  1 x  1 x  1�

Bài 12. Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.
ĐS: a)

1 6

.

b) x  4; x �9; x �25.

3 x

Bài 11. Cho biểu thức:

ĐS: a) A 

6

�x  5 x �� 25 x
x3
x  5�
A �
 1��
:


�.
�x  25
��x  2 x  15
�
x

5
x

3
�
��
�
b) Tìm x để A  1.

Bài 10. Cho biểu thức:

ĐS: a) A 

c) a  3 2 2 .

b) Tính giá trị của A khi x  3 8 . c) Tìm x để A  5 .

4x
1  x2

b) x  2

�

Bài 13. Cho biểu thức: B  � x 

�

c) x 

1
5

; x  5.

y  xy �� x
y
x  y�
:


��
�.
x  y �� xy  y

xy  x
xy �


b) Tính giá trị của B khi x  3, y  4  2 3 .

a) Rút gọn B.
ĐS: a) B 

b) B  1.

y x

Bài 14. Cho biểu thức: B 

x3
xy  2y



a) Rút gọn B.

2x

.

1 x

x  x  2 xy  2 y 1 x

.

y  625 và

b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để

B  0,2 .
ĐS: a) B 

x
y

Bài 15. Cho biểu thức:

b) x� 2;3;4 .

�
�1
1 � 2
1 1� x3  y x  x y  y3
B �
.
  �:
� 
�
�x
� x  y x y�
�
y
x3y  xy3

�
�
�
�

.
a) Rút gọn B.

b) Cho x.y  16 . Xác định x, y để B có giá trị nhỏ nhất.

Bài 16. Cho biểu thức:

� 1
� 1
3 ab ��
3 ab � a  b �
B�

.�

�
�
�
�:
� a  b a a  b b ��
� a  b a a  b b � a  ab  b�
�
��
�
�

�
a) Rút gọn B.
b) Tính B khi a  16, b  4 .
Bài 17. Cho biểu thức:
a) Rút gọn B.
Bài 18. Cho biểu thức:

� x y
x3  y3 �
�
�:
B

� x y
y x �
�
�
b) Chứng minh B �0 .



x y



2

 xy

x y

.

� a 1
ab  a �� a  1
ab  a �
B�

 1��
:

 1�.
� ab  1
�� ab  1
�
ab  1
ab  1
�
��
�

a) Rút gọn B.

b) Tính giá trị của B nếu a  2  3 và b 

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của B nếu

a  b 4 .

V. CĂN BẬC BA

 Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3  a .
 Mọi số a đều có duy nhất một căn bậc ba.

31
1 3

.


 A B�

3

3

A B



3

3

3

A.B  A. B

 Với B  0 ta có:

3

A

B

3

A

3

B

Dạng 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
Áp dụng:

 3 a 3  a

3 3

a  a;

và các hằng đẳng thức: (a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3 ,

(a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3
a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2) ,
a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2)

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:

b) 3 (4  2 3)( 3  1) c) 3 64  3 125  3 216

a) 3 ( 2  1)(3 2 2)



 





3
3
d) 3 4  1  3 4  1



e) 3 9  3 6  3 4 3 3  3 2

ĐS: a)

31

c) 3

21

b)

d) 123 2  2


e) 5.

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:
a) A  3 2  5  3 2  5

b) B  3 9  4 5  3 9  4 5

c) C  (2  3).3 26  15 3

d) D  3 3 9  125  3 3 9  125

27

3

27

3

�
�3� 5 �
1� 5 � b) B  3. Chú ý:
ĐS: a) A  1. Chú ý: 2 � 5  �
9 �4 5  �
�
�
� 2 �

� 2 �
c) C  1. Chú ý: 26  15 3  (2  3)3

5
d) D  1. Đặt a  3 3 9  125 , b  3 3 9  125  a3  b3  6, ab  .
27

27

Tính D3 .

Dạng 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Bài 1. Chứng minh rằng, nếu: ax3  by3  cz3 và

1 1 1
  1
x y z

3


thì

3

ax2  by2  cz2  3 a  3 b  3 c .

HD: Đặt ax3  by3  cz3  t  a 

t

3

x

,b 

t
3

y

,c 

t
3

z

. Chứng tỏ VT  VP  3 t .

Bài 2. Chứng minh đẳng thức:

x  y  z  33 xyz 

1
2

2
2
2

 3 x  3 y  3 z �
 3 x  3 y    3 y  3 z   3 z  3 x  �
�
�

HD: Khai triển vế phải và rút gọn ta được vế trái.
Bài 3.
a)
Dạng 3: SO SÁNH HAI SỐ
Áp dụng:

A B�

3

A 3B

Bài 1. So sánh:
a) A  23 3 và B  3 23

b) A  33 và B  33 133

ĐS: a) A  B

c) A  B

b) A  B

c) A  53 6 và B  63 5

Bài 2. So sánh:
a) A  3 20  14 2  3 20  14 2 và B  2 5
ĐS: a) A  B . Chú ý: 20 �14 2   2 � 2 .
3

Dạng 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
3

Áp dụng:

A  B � A  B3

Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) 3 2x  1  3

b) 3 2  3x  2

d) 3 x3  9x2  x  3

e) 3 5 x  x  5

ĐS: a) x  13

b) x 

x  5; x  4; x  6

10
3

c) x  0; x  1; x  2

c) 3 x  1  1 x

d) x  1

e)

Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) 3 x  2 

x1 3

b) 3 13 x  3 22  x  5

c) 3 x  1 

x 3


ĐS: Sử dụng phương pháp đặt 2 ẩn phụ, đưa về hệ phương trình.
b) x  14; x  5

a) x  3

c) x  7

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I

Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:

a)



b) ( 28  2 3  7) 7  84

20  45  3 18  72

c)

6  5  120
2

�1 1 3
�1
4

2
200 �:
5
�2 2 2
�8

d) �

ĐS: a) 15 2  5 b) 21

c) 11

d) 54 2

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

1
5 3

1



b)

5 3

ĐS: a)  3

b)

2
2

4 2 3

c)

6 2

c) 1

1
2 3

2





2

6 3 3

3
3

Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) 2 2
c)



3  2   1 2 2  2 6  9
2

4

 2  5

2



4

 2 5

2

8

b)

2  3  2 3  6

d)

11 6 2  11 6 2  6

ĐS: Biến đổi VT thành VP.
Bài 4. So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):
a)

2  3 và 10

b)

2003  2005 và 2 2004

c)

5 3 và

ĐS: a)
Bài 5.

3 5

2  3  10

Cho biểu thức: A 

a) Rút gọn biểu thức A.
ĐS: a) A 

3x
x 3

b)

2003  2005  2 2004

c)

5 3 3 5

2x x  1 3 11x


với x ��

3.
x  3 3 x x2  9
b) Tìm x để A < 2.

b) 6  x  3; x �3

c) Tìm x nguyên để A nguyên.
c) x�{6; 0; 2; 4; 6; 12}.


�x  1 x  1 x2  4x  1�x  2003
A �


.
�
.
�x  1 x  1
x2  1 �
�
� x

Bài 6. Cho biểu thức:

a) Tìm điều kiện để biểu thức A có nghĩa. b) Rút gọn A.
c) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên.

1
ĐS: a) x �0; x ��

b) A 

x  2003
x

c) x�{2003;2003}.

Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1

A
ĐS: max A 

x x  1

4
1
khi x  .
3
4

Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A  1 6x  9x2  9x2  12x  4
ĐS: Sử dụng tính chất a  b �a  b , dấu "=" xảy ra  ab �0 . min A  1 khi

1
2
�x � .

3
3

Bài 9. Tìm x nguyên để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

x 1

A

x3

ĐS: x�{49;25;1;16;4}. Chú ý: A  1

4
x3

. Để A  Z thì

x �Z và

x  3 là ước của 4.

� x2
x  2� x  1

.
�
.
�x  2 x  1 x  1 � x
�

�

Bài 10. Cho biểu thức: Q  �
a) Rút gọn Q.
ĐS: a) Q 

b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.

2
x1

b) x�{2;3}.

� 1

Bài 11. Cho biểu thức M  �

�a  a

a) Rút gọn biểu thức M.
ĐS: a) M 

a 1
a

 1



�

a 1
với a  0, a �1.
�:
a  1� a  2 a  1
1

b) So sánh giá trị của M với 1.

1

�

Bài 12. Cho biểu thức P  �

b) M  1.

a
1

� x  x1

a) Tìm điều kiên để P có nghĩa.



� 2
�
x  2�

�

�.
�
� 2 x
x  1 2 �
2x  x �
�
�
x 3

b) Rút gọn biểu thức P.


c) Tính giá trị của P với x  3 2 2 .

2 x

b) P 

ĐS: a) x �1; x �2; x �3

x

c) P  2  1.

�
�2x  1
��
x
1 x3
�


.�
 x � với x �0 và x �1.
� 3
� 1 x
�
� x  1 x  x  1��
�
�

Bài 13. Cho biểu thức: B  �
a) Rút gọn B.

b) Tìm x để B = 3.

x  1 b) x  16 .

ĐS: a) B 

�
�1
1 � 2
1 1� x3  y x  x y  y3
.
  �:
� 
�
Bài 14. Cho biểu thức: A  �
�x
�

y�
x3y  xy3
�
� x  y x y�
�
�
với x  0, y  0 .
a) Rút gọn A.
b) Biết xy  16 . Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
ĐS: a)

x y
xy

Bài 15. Cho biểu thức: P 
a) Rút gọn P.
ĐS: a) P 

x 1
1 x

b) min A  1� x  y  4 .

1
x 1



x
x x

.

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x 

b) P  3 2 2 .

1
2

.