chuyên đề hệ phương trình ôn thi vào 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (170.73 KB, 29 trang )
Tài liệu luyện thi vào 10
CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ PT
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1.
Giải các hệ phương trình sau:
1
− x + 3 y = −10
x − 5 y = 16
19
3 x + 2 y = 8
2 x − 3 y = −12
37
2 x + y = 4
2 x + 0 y − 6 = 0
2
2 x + y = 7
− x + 4 y = 10
20
2 x + y = 5
x + 7 y = 9
38
x − 2 y = 2
2 x − 4 y = 1
3
3 x − 5 y = −18
x + 2 y = 5
21
5 x + 3 y = −7
3 x − y = −8
39
3 x + 2 y − 2 = 0
9 x + 6 y − 4 = 0
4
4 x + 3 y = −6
2 x − 5 y = 16
22
− 2 x + y = −3
3 x + 4 y = 10
40
2 x − y = 2
4 x − 2 y − 4 = 0
5
2 x − y = x + 3 y + 3
3 x − 3 y = 9
23
x + y = 2
x + 3 y = 6
41
x + 2 y = 4
2 x + 9 y = 18
6
2 x − 4 y = 3
− x + 2 y = 1
24
x − 2 y = −5
3x + 4 y = −5
42
− 2 x + y = −3
x + y = 3
7
x + y = −2( x − 1)
7 x + 3 y = x + y + 5
25
3x − 2 y = 12
4 x + y = 5
43
x − y = 0
2 x + y = −5
8
2 x + 5 y = − ( x + y )
6 x + 3 y = y − 10
26
2 x − y = 10
5 x + 2 y = 6
44
2 x + y = 0
x − 4 y = 0
9
3 x + y = −2
− 9 x − 3 y = 6
27
5 x − 2 y = 10
5 x − 2 y = 6
45
− x + y = 3
x + 2 y = 3
10
2 x + 5 y = 7
2 x − 3 y = −1
28
3 x + 2 y = 8
4 x − 3 y = −12
46
x − y = 2
3x − 2 y = 9
11
− x + 3 y = −10
2 x + y = −1
29
2 x + y = −3 x − 20
4 x + y = x − 2 y − 12
47
3 x + y = 2
6 x + 2 y = 3
12
2 x + 3 y = −2
3 x − 2 y = −3
30
5 x − y = 1
10 x − 2 y = 0
48
2 x − 3 y = 6
4 x − 6 y = 12
13
2 x − y = 3
3 x + y = 7
31
3 x + 2 y = − x
5( x + y ) = −3 x + y − 5
49
3 x + 2 y = 6
2 x − 3 y = 4
14
2 x + y = 7
− x + 2 y = −5
32
2 x − 5 y = 1
4 x − 10 y = 2
50
x + 2 y = −2
2 x − y = 1
15
x − 2 y = −5
3 x + 2 y = 1
33
2 x + y = 5
x − y = 1
51
2 x + y = 5
3 x − y = 15
16
3 x − 2 y = 12
4 x + 3 y = −1
34
− x + 2 y = −4( x − 1)
5 x + 3 y = −( x + y ) + 8
52
3 x + 2 y = 8
5 x + 2 y = 12
17
− 5 x + 3 y = 22
3 x + 2 y = 22
35
x + y = −1
3 x − 2 y = −8
53
2 x + 3 y = 5
2 x + 3 y = 1
18
3 x + y = 0
x + 2 y = 5
36
0 x + y = 3
x − 2 y = −4
54
2 x − 3 y = 5
4 x − 6 y = 10
Bài 2.
Giải các hệ phương trình sau:
1
1 1
x − y =1
2 + 4 = 5
x y
5
1
1
x + y + x − y = 3
2 − 3 =1
x + y x − y
9
2
1
x − y − 2 = 2
3 + 1 =1
x y − 2
2
2
x +1 +
2 +
x + 1
6
6
2
x − y + x + y = 1,1
4 − 9 = 0,1
x − y x + y
10
3
x
x + y + x + y = 5
2x − 1 = 3
x + y x + y
3
1
1
x − 2 + y −1 = 2
2 − 3 =1
x − 2 y − 1
7
y
2x
x +1 + y +1 = 3
x + 3 y = −1
x + 1 y + 1
11
2
−3
x − y + 2 x + y = −2
4 − 10 = 2
x − y 2 x + y
4
2
2
x − 2 + y −1 = 2
2 − 3 =1
x − 2 y − 1
8
1 1 3
x + y = 4
1 + 1 = 2
6 x 5 y 15
12
x
x
y − y + 12 = 1
x − x =2
x − 12 y
Bài 3.
3
=1
y
5
=1
y
mx + y = 1
x + my = 2
Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình khi m = 2
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m
c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
( m − 1) x + y = m
x + ( m − 1) y = 2
Cho hệ phương trình:
Bài 4.
có nghiệm duy nhất (x ; y)
a) Giải hệ phương trình khi m = 3
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
c) Giải và biện luận hệ theo m, trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất tìm
giá trị của m thoả mãn: 2x2 - 7y = 1
2x − 3y
d) Tìm các giá trị của m để biểu thức x + y nhận giá trị nguyên.
mx + y = 2
2x − y = 1 . Giải và biện luận hệ theo m.
Cho hệ pt:
Bài 5.
Bài làm:
(2 + m)x = 3 (1)
2x − y = 1
(2)
mx + y = 2 ⇔ 2x − y = 1
+ Xét phương trình (1)
(2 + m)x = 3
-
Nếu 2 + m = 0 ⇔ m = - 2 thì phương trình (1) có dạng 0x = 3
Do phương trình (3) vô nghiệm ⇒ hệ vô nghiệm.
-
Nếu 2 + m
≠0 ⇔m ≠
- 2.
Thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x =
+ Thay x =
Vậy với m
≠
(3)
3
2+ m
3
6
4−m
2 + m vào phương trình (2) ta có:y = 2x – 1 = 2 + m - 1 = 2 + m
- 2 thì hệ có nghiệm duy nhất
3
x
=
2+ m
y = 4 − m
2+ m
Tóm lại:
+) Với m = - 2 thì hệ phương trình vô nghiệm
.
3
x = 2 + m
y = 4 − m
2+ m .
+) Với m ≠ - 2 thì hệ có nghiệm duy nhất
Bài 6.
Tìm giá trị của m và p để hệ phương trình
x = 7− y
mx = 2y + p
a) Có một nghiệm duy nhất
b) Có vô số nghiệm
c) Vô nghiệm
Giải:
Thay x = 7 – y vào phương trình thứ hai, ta có:
m(7 - y) = 2y + p <=> (m + 2)y = 7m - p (1)
a) Nếu m + 2 ≠ 0 <=> m ≠ −2 => Phương trình (1) có nghiệm duy nhất nên hệ
đã cho có nghiệm duy nhất.
7m − p
7m − p
14 + p
Từ (1) => y = m + 2 , thay vào x = 7 – y => x = 7 - m + 2 = m + 2
14 + p 7m − p
Vậy khi m ≠ −2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( m + 2 ; m + 2 )
b) Nếu m = - 2 => Phương trình (1) trở thành 0.y = - 14 – p
Hệ vô số nghiệm khi: -14 – p = 0 <=> p = - 14
Vậy khi m = - 2 và p = - 14 thì hệ vô số nghiệm
c) Nếu m = - 2 và p ≠ −14 thì phương trình(1) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm
*) Cách khác:
Hệ phương trình đã cho <=>
mx − 2y = p
x+ y = 7
a) Hệ có nghiệm duy nhất <=>
b) Hệ vô số nghiệm <=>
c) Hệ vô nghiệm <=>
m ≠ −2 <=> m ≠ −2
1
1
m = −2 = p
1
1
7
m = −2 ≠ p
1
1
7
=> m = - 2, p = - 14
=> m = - 2, p
≠ −14
Bài 7.
ax + by = c
a′x + b′y = c′
Cho hệ phương trình :
(1)
(2)
x = x0
y = y0
Tìm giá trị tham số để hệ phương trình có nghiệm
Cách 1:
Thay x = x0; y = y0 lần lượt vào (1) và giải.
Thay x = x0; y = y0 lần lượt vào (2) và giải.
Cách 2: Thay x = x0; y = y0 vào cả hai phương trình và giải hệ phương trình chứa
ẩn là tham số
Bài 8.
Cho hệ phương trình
3x − 2y = 7
2
(5n + 1)x − (n − 2)y = n − 4n − 3
(1)
(2)
Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2)
Giải: Thay (x; y) = (2; 1) vào (1) ta có:
3 – 2.(- 2) = 7 ⇔ 3 + 4 = 7 (luôn đúng với mọi n)
Vậy (2; 1) là nghiệm của (1).
Thay (x; y) = (1; -2) vào (2) ta có:
(5n + 1) + 2.(n - 2) = n2 – 4n – 3
n = 0
⇔ 7n – 3 = n2 – 4n – 3 ⇔ n(n –11) = 0 ⇔ n = 11
Vậy với n = 0 hoặc n = 11 thì hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (1; - 2)
Bài 9.
1
2
(1)
5m(m − 1)x + my = (1− 2m)
3
4mx + 2y = m2 + 3m + 6
(2)
Cho hệ phương trình
Tìm m để hệ có 1 nghiệm duy nhất (x = 1; y = 3).
Giải:
Thay x = 1; y = 3 vào (1) ta có:
m = 1
5m2 – 5m + m = 1 – 4m + 4m2 ⇔ m2 = 1 ⇔ m = −1 (I)
Thay x = 1; y = 3 vào (2) ta có:
m = 0
4m + 6 = m2 + 3m + 6 ⇔ m(m – 1) = 0 ⇔ m = 1 (II)
Từ (I) và (II)
Bài 10.
⇒
Với m = 1 thì hệ pt có nghiệm (x = 1 ; y = 3)
2mx + (n − 2)y = 9
Cho hệ phương trình : (m + 3)x + 2ny = 5
Tìm m; n để hệ có nghiệm (x = 3; y = - 1)
Giải: Thay x = 3; y = - 1 vào hệ pt ta có:
(m + 3).3 + 2n.(−1) = 5
6m + (n − 2).(−1) = 9 ⇔
3m − 2n = −4
12m − 2n = 14 ⇔
m = 2
n = 5
Vậy với m = 2 và n = 5 thì hệ có nghiệm (x = 3; y = - 1).
Bài 11.
(1)
3x + 2y = −8
−3mx + (m + 5)y = (m − 1)(m + 1) (2)
Cho hệ phương trình
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn :
4x – 2y = - 6
(3)
Giải:
Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất:
3(m + 5) + 6m
≠0
−5
⇔ m≠ 3
Do (x; y) là nghiệm của hệ phương trình (I) và thoả mãn (3)
⇒ (x; y) là nghiệm của (1), (2), (3)
x = −2
3x + 2y = −8
Kết hợp (1) và (3) ta có: 4x − 2y = −6 ⇔ y = −1
Thay x = - 2, y = -1 vào phương trình (2) ta đợc:
6m – (m +5) = m2 - 1
⇔ m2 – 5m + 4 = 0
m = 1
−5
m = 4
⇔
(thỏa mãn m ≠ 3 )
Vậy m = 1 hoặc m = 4 thì hệ (I) có nghiệm thoả mãn 4x – 2y = - 6
Bài 12.
(1)
mx + y = 5
Cho hệ phương trình 2mx + 3y = 6 (2)
(I)
(I)
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn:
(2m – 1)x + (m + 1)y = m
(3)
Giải:
Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: m.3 ≠ 2.m
Từ (1)
⇒
y = 5 – mx. Thay vào (2) ta có:
2mx + 3(5 - mx) = 6
Thay x =
⇔
x=
9
m
(m ≠ 0)
9
9m
m vào y = 5 – mx ta có: y = 5 - m = - 4
Vậy với m ≠ 0 hệ (I) có nghiệm x =
Thay x =
⇒ m ≠ 0.
9
m; y = - 4
9
m; y = - 4 vào phương trình
(3) ta đợc:
9
(2m – 1). m+ (m + 1)(- 4) = m
⇔ 18 -
9
m - 4m – 4 = m ⇔
⇔ (m – 1).(5m – 9) = 0
m = 1
m = 9
5
⇔
Vậy với m = 1 hoặc m =
(m + 1)y = m
Bài 13.
5m2 – 14m + 9 = 0
9
5
(thoả mãn m ≠ 0)
thì hệ (I) có nghiệm duy nhất thoả mãn (2m – 1)x +
(m + 2)x + 2y = 5
Cho hệ pt: mx − y = 1
Tìm m∈ Z để hệ có nghiệm duy nhất là các số nguyên
Giải:
Từ (2) ta có: y = mx – 1. Thay vào (1) ta đợc:
(m + 2)x + 2(mx - 1) = 5
⇔
3mx + 2x = 7
⇔
x.(3m + 2) = 7 (m
−2
7
≠ 3 ) ⇔ x = 3m + 2 .
7
4m − 2
Thay vào y = mx – 1 ⇒ y = 3m + 2 .m – 1 ⇒ y = 3m + 2
7
7; −7;1; −1}
Để x∈ Z ⇔ 3m + 2 ∈ Z ⇔ 3m + 2 ∈ Ư(7) =
{
+) 3m + 2 = - 7 ⇔ m = - 3
+) 3m + 2 = 7 ⇔ m =
5
3 ∉Z
(loại)
+) 3m + 2 = 1 ⇔ m =
−1
3 ∉Z
(loại)
+) 3m + 2 = -1 ⇔ m = - 1
4m − 2
Thay m = - 3 vào y = 3m + 2 ⇒ y = 2 (t/m)
4m − 2
Thay m = - 1 vào y = 3m + 2 ⇒ y = 6 (t/m)
Kết luận: m∈ Z để hệ có nghiệm nguyên là m = -3 hoặc m = -1
(m − 3)x + y = 2
Cho hệ phương trình : mx + 2y = 8
Bài 14.
Tìm m để hệ có nghiệm nguyên.
Giải:
Từ (1) ta có y = 2 – (m – 3).x
⇔
y = 2 – mx + 3x
Thay vào (2) ta có: mx + 2.(2 – mx + 3x) = 8 ⇔ - mx + 6x = 4
⇔ x.(6- m) = 4
(m
≠ 6)
4
24 − 6m
⇔ x = 6 − m. Thay vào y = 2 – (m – 3).x ta có: y = 6 − m
Để x∈ Z
⇔
4
6 − m∈ Z
+) 6 – m = 1
⇔
⇔
m=5
+) 6 – m = -1 ⇔ m = 7
6-m
∈
Ư(4) =
{ 1;−1;2;−2;4;−4}
+) 6 – m = 2
⇔
m=4
+) 6 – m = - 2 ⇔ m = 8
+) 6 – m = 4 ⇔ m = 2
+) 6 – m = - 4 ⇔ m = 10
24 − 6m
Thay m = 5 vào y = 6 − m ⇒ y = - 6 (t/m)
24 − 6m
Thay m = 7 vào y = 6 − m ⇒ y = 18 (t/m)
24 − 6m
Thay m = 4 vào y = 6 − m ⇒ y = 0 (t/m)
24 − 6m
Thay m = 8 vào y = 6 − m ⇒ y = 17 (t/m)
24 − 6m
Thay m = 2 vào y = 6 − m ⇒ y = 3 (t/m)
24 − 6m
6 − m ⇒ y = 9 (t/m)
Thay m = 10 vào y =
Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì m
Bài 15.
∈ { 5;7;4;8;2;10}
= m2
mx − y (1)
2
(2)
2x + my = m + 2m+ 2
Cho hệ phương trình :
a) Chứng minh rằng hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
b) Tìm m để biểu thức: x2 + 3y + 4 nhận GTNN. Tìm giá trị đó.
Giải:
a) Xét hai trờng hợp
Trờng hợp 1: m = 0 => Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là
(x ; y) = (1 ; 0)
Trờng hợp 2: m ≠ 0, hệ phương trình có nghiệm duy nhất
a ≠ b
b' hay ab' ≠ a'b <=> m.m ≠ ( −1).2 <=> m2 + 2 ≠ 0
<=> a'
Do m2
≥ 0 với mọi m ⇒
Hay m2 + 2
≠
m2 + 2 > 0 với mọi m.
0 với mọi m
Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
b) Rút y từ (1) ta có: y = mx – m2
(3)
Thế vào (2) ta đợc
2x + m(mx – m2) = m2 + 2m +2
⇔ 2x + m2x – m3 = m2 + 2m +2
⇔ 2x + m2x = m3 + m2 + 2m +2 ⇔ x(2 + m2)=(m3 + 2m) + (m2 + 2)
⇔
x(2 + m2) =(m + 1)(m2 + 2) do m2 + 2
⇔
x=m+1
Thay vào (3)
≠0
⇒ y = m.(m + 1) – m2 = m
Thay x = m + 1; y = m vào x2 + 3y + 4 ta đợc:
x2 + 3y + 4 = (m + 1)2 + 3m + 4 = m2 + 5m + 5
5
25 5
m+ ) −
4
4
= (m2 + 2. 2
5
5
5 −5
(m + )2 ≥ 0
(m + )2 − ≥
2
4 4 Do
2
=
−5
−5
Vậy Min(x2 + 3y + 4) = 4 khi m = 2
Bài 16.
2
3mx − y = 6m − m − 2 (1)
2
(2)
5x + my = m + 12m
Cho hệ phương trình :
Tìm m để biểu thức: A = 2y2 – x2 nhận GTLN. Tìm giá trị đó
Giải:
Từ (1) ta có: y = 3mx - 6m2 + m + 2. Thay vào (2) ta có:
5x + m.( 3mx - 6m2 + m + 2) = m2 +12m
⇔ x.(5 + 3m2) = 6m3 + 10m
⇔
x=
(5 + 3m2
≠ 0 với mọi m)
6m3 + 10m
= 2m
3m2 + 5
Thay x = 2m vào y = 3mx - 6m2 + m + 2 ta đợc y = m + 2
Thay x = 2m ; y = m + 2 vào A ta đợc:
A = 2(m + 2)2 – (2m)2 = -2(m2 – 4m – 4)
A = - 2(m2 – 4m + 4 – 8)
= - 2(m2 – 4m + 4) +16
2
2
( ∀m)
= −2(m − 2) + 16 ≤ 16 Do −2(m − 2) ≤ 0
Vậy MaxA = 16 khi m = 2
Biết cặp số (x ; y) là nghiệm của hệ phương trình
Bài 17.
x + y = m
2
2
2
x + y = − m + 6
Hãy tìm giá trị của tham số m để biểu thức P = xy + 2(x + y) đạt giá trị nhỏ nhất.
x + y = m
2
xy = m − 3
Hướng dẫn: Biến đổi hệ phương trình trên trở thành:
Hệ phương trình có nghiệm
2
2
2
<=> m ≥ 4(m − 3) <=> 3m ≤ 12 <=> −2 ≤ m ≤ 2
2
Khi đó P = (m + 1) − 4 ≥ −4
Vậy MinP = - 4 <=> m = - 1 (thỏa mãn −2 ≤ m ≤ 2 )
Giả sử (x ; y) là nghiệm của hệ phương trình
Bài 18.
x + y = 2a − 1
2
2
2
x + y = a + 2a − 3
Xác định giá trị của tham số a để hệ thỏa mãn tích xy đạt giá trị nhỏ nhất; lớn
nhất ?
Hướng dẫn: Biến đổi hệ phương trình trên trở thành:
x + y = 2a − 1
2
3a − 6a + 4
xy =
2
Hệ phương trình có nghiệm <=>
( 2a − 1)
2
2
2
≥ 4. 3a − 6a + 4 <=> 2a − 8a + 7 ≤ 0 <=> 2 −
2
2 ≤ a ≤ 2+
2
2
2
3 (a − 1)2 + 1
2
Ta có xy = 2
a ≥ 2−
Với
≥ 3
2
=> xy
2 => a − 1 ≥ 1 −
2
2 => a − 1 2 ≥ 1 −
(
)
2
( 32 − 2 ) + 12 = 114 − 3 22
2
2
2
= 3 −
÷
÷
2
2
2 => a − 1 ≤ 1 +
2
a ≤ 2+
Với
≤ 3
2
=> xy
2 => a − 1 2 ≤ 1 +
(
)
2
2
2
2
= 3 +
÷
÷
2
2
( 32 + 2 ) + 12 = 114 + 3 22
11 − 3 2 ≤ xy ≤ 11 + 3 2
2
4
2
Do đó 4
11 − 3 2
2
Vậy Min(xy) = 4
11 + 3 2
2
và Max(xy) = 4
<=> a =
<=> a =
2
2
2−
2+
2
2
Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình
Bài 19.
(m + 1)x − y = m + 1
x + (m − 1)y = 2
có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y đạt giá trị
nhỏ nhất
Hướng dẫn: Tìm đợc với m ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất là
2
m + 1 ;y = m + 1
x
=
2
2 ÷
m
m
2
m + 1 + m + 1 = ( 2 + 1 )2 + 7 ≥ 7
2
2
m
8
8
m
m
2 2
Ta có x + y =
Min (x + y) =
7 <=>
8
2 + 1
=0
m
2 2
<=> m = - 4 (thỏa mãn m ≠ 0 )
Cách khác:
2
2
x + y = m + m + 2 = S <=> (1 − S)m + m + 2 = 0 (*)
2
m
Ta cần tìm S để phương trình (*) có nghiệm m
- Xét hai trờng hợp
*) Trờng hợp 1: S = 1 => m = - 2 (thỏa mãn m ≠ 0 )
*) Trờng hợp 2: S ≠ 1 , để phương trình có nghiệm thì ∆ ≥ 0
S≥ 7
8
<=>
−
7
− b
8
2a =
Vậy Min S =
khi đó m =
1
−1
=
= −4
2(1 − S)
7
2(1 −
)
8
7
Min (x + y) = 8 <=> m = - 4
Bài 20.
mx + y = 1
x + my = 2
Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình khi m = 2
b) Giải hệ phương trình theo tham số m
c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Giải:
mx + y = 1
x + my = 2
a) Thay m = 2 vào hệ phương trình
2 x + y = 1
x + 2 y = 2
y = 1− 2x
⇔ −3 x = 0
ta có hệ phương trình trở thành
y = 1 − 2 x
y = 1− 2x
⇔ x + 2. ( 1 − 2 x ) = 2 ⇔ x + 2 − 4 x = 2
y = 1 − 2.0
⇔ x = 0
⇔
y =1
x = 0
Vậy với m = 2 thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là
( x ; y) = ( 0 ; 1)
b) Giải hệ phương trình theo tham số m
mx + y = 1
x + my = 2 ⇔
Ta có hệ phương trình
⇔
y = 1 − mx
2
x + m − m x = 2 ⇔
y = 1 − mx
x + m. ( 1 − mx ) = 2
y = 1 − mx
2
( 1 − m ) x = 2 − m (*)
- Trờng hợp 1: m2 = 1 <=> m = ±1
+) Nếu m = 1, thay vào hệ phương trình ta có:
x + y = 1
x + y = 2
hệ phương trình
1 = 1 ≠ 1
1
2
này vô nghiệm vì 1
− x + y = 1
x−y = 2
+) Nếu m = -1, thay vào hệ phương trình ta có:
x − y = −1
1 = −1 ≠ −1
x
−
y
=
2
−1
2
<=>
hệ này cũng vô nghiệm vì 1
- Trờng hợp 2: m2 ≠ 1 <=> m ≠ ±1
y = 1 − mx
1 − m 2 ) x = 2 − m (*) ⇔
(
Hệ phương trình
2m − m 2
y = 1 − 1 − m 2
x = 2 − m
1 − m2
⇔
⇔
y = 1 − mx
2−m
x = 1 − m 2
⇔
1 − m 2 − 2m + m 2
y =
1 − m2
x = 2 − m
⇔
1 − m 2
2−m
y = 1 − m. 1 − m 2 ÷
x = 2 − m
1 − m 2
1 − 2m
y = 1 − m 2
x = 2 − m
1 − m2
Vậy với m ≠ ±1 thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
2 − m 1 − 2m
;
÷
2
1
−
m
1 − m2
(x; y ) =
Tóm lại:
Nếu m = ±1 thì hệ phương trình vô nghiệm
Nếu m ≠ ±1 thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
2 − m 1 − 2m
;
2
2 ÷
(x; y ) = 1 − m 1 − m
c) Để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1
2 − m 1 − 2m
2
−
=1
⇔ 1 − m 2 1 − m2
⇔ 2 − m − ( 1 − 2m ) = 1 − m ⇔ m 2 + m = 0 ⇔ m. ( m + 1) = 0
m = 0
⇔ m + 1 = 0
⇔
m = 0
m = −1
Với m = - 1 (loại) và m = 0 (nhận)
Vậy với m = 0 thì hệ phương trình trên có nghiệm thoả mãn điều kiện:
x- y=1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
mx + y = 1
x + my = 2
Xét hệ phương trình
Từ phương trình
m=
Thay
( 1)
( 1)
( 2)
⇒ mx = 1 − y ⇒
m=
1− y
x
1− y
x vào phương trình ( 2 ) ta có phương trình
1− y
x+
÷. y = 2
x
⇔
y − y2
x+
=2
⇔
x
x2 + y − y2 = 2 x
x 2 + y − y 2 − 2 x = 0 , đây là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào
⇔
m.
Bài 21.
( m − 1) x + y = m
x + ( m − 1) y = 2
Cho hệ phương trình:
có nghiệm duy nhất (x ; y)
a) Giải hệ phương trình khi m = 3
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
c) Giải và biện luận hệ theo m, trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất tìm
giá trị của m thoả mãn: 2x2 - 7y = 1
2x − 3y
d) Tìm các giá trị của m để biểu thức x + y nhận giá trị nguyên.
(Đề thi tuyển sinh THPT – Năm học : 2004 – 2005)
Giải:
( m − 1) x + y = m
x + ( m − 1) y = 2
a) Thay m = 3 vào hệ phương trình
ta có hệ phương trình trở
thành
( 3 − 1) x + y = 3
x + ( 3 − 1) y = 2
2 x + y = 3
4 x + 2 y = 6
3 x = 4
−
⇔ x + 2 y = 2 ⇔ x + 2 y = 2 ⇔ x + 2 y = 2
4
x = 3
4 + 2y = 2
⇔ 3
⇔
4
x = 3
2 y = 2 − 4
3 ⇔
4
x = 3
2 y = 2
3 ⇔
4
x = 3
y = 1
3
Vậy với m = 3 thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
4 1
; ÷
( x ; y) = 3 3
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
( m − 1) x + y = m
x + ( m − 1) y = 2
Xét hệ phương trình
Từ phương trình
⇒
m=
⇒ x + my − y = 2 ⇒ my = 2 − x + y
2− x+ y
y
.
m=
Thay
( 2)
( 1)
( 2)
2− x+ y
( 1) ta có phương trình:
y
vào phương trình
2− x+ y
2− x+ y− y
2− x+ y
2− x+ y
− 1÷x + y =
÷.x + y =
y
y
y
y
⇔
2− x
2− x+ y
÷.x + y =
y
⇔ y
⇔
2
2
⇔ 2x − x + y = 2 − x + y
⇔
2
2
Vậy x − y − 3x + y + 2 = 0
vào m.
2 x − x2 + y 2 2 − x + y
=
y
y
x 2 − y 2 − 3x + y + 2 = 0
là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc
c) Giải hệ phương trình
( m − 1) x + y = m
x + ( m − 1) y = 2
theo tham số m, ta có hpt
( m − 1) 2 x + ( m − 1) y = m. ( m − 1)
( m − 1) x + y = m
−
x + ( m − 1) y = 2 ⇔ x + ( m − 1) y = 2
⇔
⇔
( m 2 − 2m + 1 − 1) x = m 2 − m − 2
x + ( m − 1) y = 2
( m − 1) 2 x − x = m. ( m − 1) − 2
x + ( m − 1) y = 2
m. ( m − 2 ) x = ( m + 1) ( m − 2 )
⇔ x + ( m − 1) y = 2
- Xét hai trờng hợp:
*) Trờng hợp 1: m ≠ 0 vµ m ≠ 2 , hệ phương trình trên
⇔
m +1
x = m
m + 1 + ( m − 1) y = 2
m
m +1
x = m
( m − 1) y = 2 − m + 1
m
⇔
(*)
` ⇔
m +1
x = m
( m − 1) y = 2m − m − 1
m
⇔
m +1
x = m
( m − 1) y = m − 1
m
m +1
x = m
y = 1
m
⇔
m +1 1
; ÷
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y ) = m m ( m ≠ 0,m ≠ 2 )
*) Trờng hợp 2: m = 0 hoặc m = 2
- Với m = 0 thì phương trình (*) trở thành 0x = -2 , phương trình này vô nghiệm
nên hệ đã cho vô nghiệm
- Với m = 2 thì phương trình (*) trở thành 0x = 0 , phương trình này vô số nghiệm
nên hệ đã cho vô số nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ là:
(x ∈ R;y = 2 − x)
+) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn 2x 2 - 7y = 1
2
m +1
1
2
÷ − 7. ÷ = 1
m
⇔ m
2m 2 + 4m + 2 7
− =1
⇔
⇔ 2 m 2 + 4m + 2 − 7 m = m 2
m2
m
⇔ m 2 − 3m + 2 = 0
⇔
m − 2 = 0
⇔ m − 1 = 0
⇔
( m − 2 ) . ( m − 1) = 0
m= 2 (lo¹i)
m= 1
<=> m = 1
Vậy với m = 1 thì hệ phương trình trên có nghiệm thoả mãn điều kiện:
2x2 - 7y = 1
d) Thay
A =
x=
2x − 3y
m +1
1
y=
m ;
m vào biểu thức A = x + y ta đợc biểu thức
1
m +1
2.
÷− 3.
m
m
m +1 1
+
m
m
=
2m + 2 − 3
m
m +1+1
m
2 ( m + 2) − 5
2m − 1 m + 2
2m − 1
:
m = m+2 =
m+2
= m
2 ( m + 2)
5
5
−
2−
m+2
m+2 =
m+2
=
2x − 3y
5
2−
m + 2 nhận giá trị nguyên
Để biểu thức A = x + y nhận giá trị nguyên ⇔
5
⇔ m + 2 nhận giá trị nguyên
⇔ 5M( m + 2 )
⇔ (m+2) là ớc của 5.
Mà Ư(5) =
{ ±1; ±5}
⇔
m + 2 = 1
m + 2 = −1
m + 2 = 5
m + 2 = −5
⇔
m = 1 − 2
m = −1 − 2
m = 5 − 2
m = −5 − 2
⇔
m = −1
m = −3
m = 3
m = −7
Kết hợp với điều kiện m ≠ 0 ; m ≠ 2 ta thấy các giá trị m trên đều thỏa mãn
2x − 3y
∈ { −7; −3; −1;3}
Vậy với m
thì giá trị của biểu thức x + y nhận giá trị nguyên.
Bài 22.
2mx + 3y = 5
Cho hệ phương trình : − x + 3my = 4
a) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm duy nhất
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m
Giải:
a) Xét hai trờng hợp
Trờng hợp 1: m = 0 => Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là
5
(x ; y) = (- 4 ; 3 )
Trờng hợp 2: m ≠ 0, hệ phương trình có nghiệm duy nhất
a ≠ b
b' hay ab' ≠ a'b
<=> a'
- Để hệ có nghiệm duy nhất ta xét hiệu:
2m.3m – 3.(-1) = 6m2 + 3 > 0 với mọi m
- Vậy 6m2 + 3
≠ 0 với mọi m. Hay hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
5 − 3y
b) Rút m từ (1) ta đợc m = 2x thay vào (2) ta có:
5 − 3y
-x + 3. 2x = 4 ⇔ 2x2 + 8x -15y + 9y2 = 0.
Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m.
Bài 23.
2
3mx − y = 3m − 2m + 1
2
x + my = 2m
Cho hệ phương trình :
Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn :
3mx − y = 3m2 − 2m + 1
x + my = 2m2
⇔
6mx − 2y = 6m2 − 4m + 2
3x + 3my = 6m2
6mx − 3x − 2y − 3my = −4m + 2
6mx − 3my + 4m = 3x + 2y + 2
2
x + my = 2m2
⇔ x + my = 2m
<=>
m=
Rút m từ (1) ta đợc:
x+
3x + 2y + 2
6x − 3y + 4 . Thay vào (2) ta có:
3x + 2y + 2
3x + 2y + 2 2
.y = 2.(
)
6x − 3y + 4
6x − 3y + 4 . Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x, y
không phụ thuộc vào m.
Bài 24.
mx + y = 2m
x + my = m + 1
Cho hệ phương tŕnh ẩn x, y sau:
a. Xác định giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất
b. Giả sử (x ; y) là nghiệm duy nhất của hệ. TT m hệ thức liên hệ giữa x, y độc
lập với m.
c. TTm m ∈ Z để x, y ∈ Z
d. Chứng tỏ (x ; y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định (với (x ; y) là
nghiệm của hệ phương trỡnh)
Hướng dẫn:
mx +y =2 m
x+
my =m +
1
(1)
(2)
→
(m 2 −
1) x =2 m 2 −
m−
1
(3)
Với m ≠ ± 1 thT hệ phương trỡnh có nghiệm duy nhất
b/ Rút m từ phương trỡnh thứ nhất và thế vào phương trỡnh thứ hai ta được hệ
thức
y(y – 1) = (x – 1)(x – 2), đó là hệ thức độc lập với m
x=
c/
→
2m + 1
1
= 2−
m +1
m +1
(4)
y=
m
1
= 1−
m +1
m +1
(5)
. Vỡ x, y ∈ Z
1
∈z
m +1
m = 0 ⇒ (x = 1; y = 0)
m = - 2 ⇒ (x = 3; y = 2)
d/ Từ (4) và (5) suy ra x – y = 1 ⇒ y = x – 1
Vậy (x ; y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định y = x – 1
Bài 25.
x + y = a
(I )
vµ
x+ y = 4
Cho hai hệ phương trình
ax − 2y = 6
(I I )
x−y =1
a) Với a = 2, chứng tỏ hai hệ phương trình tơng đơng
b) Với a = 5, chứng tỏ hai hệ phương trình không tơng đơng
Hướng dẫn:
a) Thay a = 2 vào hai hệ ta nhận đợc tập nghiệm của chúng : S = S’ = ∅
=> Hai hệ phương trình tơng đơng
b) Thay a = 5 vào hệ (I) => S = ∅
4 ;1
(
)}
{
Thay a = 5 vào hệ (II), hệ có nghiệm duy nhất => S’ = 3 3
Vậy S ≠ S’ , nên hai hệ phương trình trên không tơng đơng
Bài 26.
Tìm giá trị của m, n để hai hệ phương trình sau tơng đơng
x − 2y = 1
(I )
vµ
4x + 5y = 17
mx + ny = 6
(I I )
3mx + 2ny = 10
Hướng dẫn:
Trớc hết giải hệ (I) đợc kết quả nghiệm duy nhất (x = 3 ; y = 1)
Hai hệ phương trình trên tương đươngkhi hệ (II) cũng có nghiệm duy nhất
(x = 3 ; y = 1). Để tìm m, n ta thay x = 3 ; y = 1 vào hệ (II)
−2 ,n = 8
Kết quả m = 3
Bài 27.
mx − y = 1
Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm : x y
− = 334
2
Đáp án: Hệ phương trình vô nghiệm ⇔ m =
Bài 28.
(a − 1) x + 2 y = 1
+ ay = 1
3x
Cho phương trình
a. Giải hệ (I) với a =
3 +1
b. Tìm các giá trị của a để hệ (I) vô nghiệm.
3
2
(I)
3
Đáp
án:
a.
Với
a= 3 +
1
thì
hệ
(I)
3x + 2 y = 1
⇔
⇔
3
x
+
(
3
+
1
)
y
=
1
1
(1 − 3 )[ 3 x + y ] = 0
x = −
⇔
3
3x + 2 y = 1
y = 1
b. Để hệ (I) vô nghiệm a = -2; a = 4
Bài 29.
( m − 1) x − my = 3m − 1
. Xác định tat cả các giá
2x − y = m + 5
Cho hệ phương trình:
trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhat (x ; y) sao cho: S = x 2 + y 2
đạt giá trị nhỏ nhat.
− x = −1
x =1
⇔
. Khi đó
2 x − y = 5
y = −3
Đáp án: * Nếu m = 0 thì hệ có dạng
S = x 2 + y 2 = 10
( m − 1) x − my = 3m − 1( 1)
2
2mx − my = m + 5m ( 2 )
* Nếu m ≠ 0 thì hệ đã cho ⇔
Lay (2) trừ đi (1) ta được: ( m + 1) x = ( m + 1) 2
+ Khi m = -1 thì hệ có vô số nghiệm , không thoả mãn ĐK bài toán.
x = m +1
y = m − 3
+ Khi m ≠ -1 thì hệ có nghiệm duy nhat
⇒ S = x 2 + y 2 = ( m + 1) + ( m − 3) = 2m 2 − 4m + 10 = 2( m − 1) + 8 ≥ 8 . Vậy
2
2
2
S min = 8 ⇔ m = 1
Bài 30.
Xác định a, b để hệ phương trình :
2 x − ay = b
ax + by = 1
a, Có nghiệm là x =1, y = 2
b, Có vô số nghiệm.
Đáp án:
a. Hệ có nghiệm x = 1, y = 2 khi
2 + 2 a = b
a − 2b = 1
⇒a =
−
5
4
;b= −
3
3
b.
Bài 31.
a = − 3 4
3
b = − 2
x + y − 2 = 2
2 x − y = m
Cho hệ phương trình
( m là tham số )
= −1 .
a. Giải hệ phương trình với m
b. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Đáp án: a. Khi m = - 1 hệ có 2 nghiệm ( 1 ; 3 ) và ( - 1 ; - 1 ) .
b. + Với y ≥ 2
hệ trở thành
m+ 4
x
=
x + y = 4
3
⇔
2 x − y = m y = 8 − m
3
Hệ này vô nghiệm khi y < 2 ⇔
+ Với y < 2 hệ trở thành
8−m
<2
3
⇔ m > 2 (*)
x − y = 0
x = m
⇔
2 x − y = m y = m
hệ này vô nghiệm khi y = m ≥ 2
(**)
Từ (*) và (**) , hệ đã cho vô nghiệm thì phải có m > 2 .
Bài 32.
mx − y = 1( 1)
x + my = m ( 2 )
Cho hệ phương trình
a. Giải và biện luận hệ phương trình
b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm nguyên.
Đáp án: a. Từ (1) ta có y = mx - 1 thế vào (2) ta được:
x + m(mx - 1) = m ⇔ (m2 + 1)x = 2m ⇔ x =
2m
m2 − 1
suy
ra
y=
m2 + 1
m2 + 1
2m
x = m 2 + 1
b. Với mọi m hệ luôn có nghiệm
2
y = m −1 = 1− 2
m2 + 1
m2 + 1
Vậy giá trị m cần tìm là m = 0, 1, -1.
Bài 33.
mx + y = m − 1
x + my = m + 1
Cho hệ phương trình:
a. Với giỏ trị nào của m thì hệ cú nghiệm duy nhat thoả món điều kiện y ≥
x+2
b. Với cỏc gớa trị m tìm được hóy tìm giỏ trị lớn nhat của biểu thức z = x +
y
Đáp án:
a. Để hệ cú nghiệm duy nhat thoả món y ≥ x + 2 phải cú:
m2 +1 m2 − m −1
3m 2 − 2m − 3
2m 2 − 2m − 4
⇔
≥
+
2
=
≤
m2 −1
m2 −1
m2 −1
m2 −1
0 ⇔1≤ m≤
2
b. Tìm Max của z = x + y =
Với 1 ≤ m ≤ 2 => z =
Bài 34.
2m
2m 2 − 2m
=
2
m +1
m −1
2(m + 1) − 2
2
4
=2. Suy ra ZMax = z(2) =
m +1
m +1
3
x + ay = 1
ax − 3ay = 2a + 3
Tìm a để hệ sau vô nghiệm:
Đáp án: Từ phương trình x + ay = 1 ta thế x = 1 – ay vào phương trình ax – 3 ay
= 2a + 3
Ta được a ( 1 – ay ) – 3ay = 2a + 3 ⇔ a − a 2 y − 3ay = 2a + 3 ⇔ −(a 2 + 3a ) y = a + 3
(1)
− (a 2 + 3a ) = 0
a = 0
⇔
Hệ vô nghiệm ⇔ phương trình (1) vô nghiệm ⇔
a ≠ −3
a+3≠ 0
⇔
a=0
Bài 35.
ax − 2 y = a
−2 x + y = a + 1
Cho hệ phương trình:
a, Giải hệ phương trình khi a = 2 .
x - y = 1.
b, Tìm a để hệ có nghiệm thoả mãn
Đáp án: a. Thay a =
2 vào hệ phương trình được:
2 x − 2 y = 2
3 2 +2
2+3 2
⇔ x=
; y=
− 2 x + y = 2 + 1
2 −4
2 −4
c. Từ x – y = 1 ⇒ y = x – 1 thay vào hệ PT được
ax − 2( x − 1) = a
⇔ a = -3; 2
− 2 x + ( x − 1) = a + 1
Bài 36.
mx − y = 2
3x + my = 5
Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình khi m =
2.
b) Tìm giỏ trị của m để hệ phương trình đó cho cú nghiệm (x; y) thỏa
món hệ thức x + y = 1 −
m2
.
m2 + 3
Đáp án:
a) Khi m =
2 ta cú hệ phương trình
2 2 +5
x =
2 x − 2 y = 2 2
2 x − y = 2
5
⇔
⇔
3x + 2 y = 5
3 x + 2 y = 5
y = 5 2 − 6
5
b) Giải theo m được: x =
Thay vào hệ thức x + y = 1 −
được m =
Bài 37.
2m + 5
5m − 6
;y= 2
2
m +3
m +3
m2
2m + 5 5m − 6
m2
;
ta
được
. Giải tìm
+
=
1
−
m2 + 3
m2 + 3 m2 + 3
m2 + 3
4
7
x 2 + y 2 − x = 0
Cho hệ phương trình:
x + my − m = 0
a. Giải hệ phương trình khi m = 1.
b. Tìm m để hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
c. Gọi (x1; y1) và ( x2; y2 ) là nghiệm của hệ đã cho. CMR: (x 2- x1 )2 + ( y2 y1 )2 ≤ 1.
x 2 + y 2 − x = 0 (1)
Đáp án: a. Hệ phương trình
x + my − m = 0 (2)
Từ (2) ⇒ x = m - my thay vào (1) Ta được (m2 + 1 ) y2 -( 2m2 - 1)y + m2 m=0
(3)
Khi m = 1 thì phương trình (3) trở thành y( 2y - 1 ) = 0 ⇔
y1 = 0 ⇒ x1 = 1
y 2 = 1 ⇒ x2 = 1
2
2
Hệ phương trình có 2 nghiệm (1;0) và (
1 1
; ).
2 2
b. Từ x = m - my ⇒ mỗi giá trị y tương ứng với 1 giá trị x
⇒ Để hệ có 2 nghiệm phân biệt thì (3) phải có 2 nghiệm phân biệt
m 2 + 1 ≠ 0
4
⇔
⇔ m( 4-3m) > 0 ⇔ 0 < m < .
3
∆ > 0
Vậy với m ∈ (0;
c. Với m ∈ (0;
4
) thì hệ có 2 nghiệm phân biệt.
3
4
) thì phương trình (3)có 2 nghiệm phân biệt y 1, y2 thoã mãn:
3
2m 2 − m
y
+
y
=
2
1
x1 = m − my1
m2 + 1
⇒ x1 - x2 = m - m y2 - m + m y1 = m ( y1 - y2 )
và
2
x
=
m
−
my
m
−
m
2
2
y y =
1 2
m2 + 1
Suy ra : ( x2 - x1 )2 + ( y2 - y1)2 = 1-
Bài 38.
(2m − 1) 2
≤1
m2 +1
x2 + y 2 = 4
x+ y =m
Cho hệ phương trình:
∀m
