NTT các bài toán hay và khó 2 (1)

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Chuyên đề: Hàm số

CÁC BÀI TOÁN HAY VÀ KHÓ
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG

Câu 1. Tìm m để đồ thị hàm số y  1  x 4  2 x 2 cắt đường thẳng y  4m tại 6 điểm phân biệt.
1
.
B. 0  m  1 .
C. 1  m  2 .
D. m  0 .
2
Câu 2. Tìm m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x3  mx2  2mx  1 đều là đồ thị của hàm số bậc

A. 0  m 

nhất đồng biến trên
A. m  6 .

.
B. m  0 .

C. 0  m  6 .

D. 6  m  0 .

Câu 3. Khi nói về hàm số y  2 x3  3(2m  1) x 2  6m(m  1) x  1 có đồ thị (C ) , ta có các phát biểu sau:

(1) Với m 

, hàm số luôn đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn x2  x1  1 .

(2) Gọi A là điểm cực đại thuộc (C ) , khi đó A thuộc đồ thị hàm số y  2 x3  3x2  1 .

(3) Khi m  0 thì hàm số đồng biến trên 1;   .
(4) Khi m  0 thì đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của (C ) có phương trình x  y  1  0 .
Trong các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu đúng?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
x2
Câu 4. Cho hàm số y 
có đồ thị  C  Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng
.
x 1
1
d : y   x  m cắt đồ thị  C  tại 2 điểm nằm về hai phía của trục tung.
2
A. m  2 .
B. m  2 .
C. m  2 .

D. 0  m  2 .

Câu 5. Một hợp tác xã nuôi cá trong hồ. Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung
bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P(n)  480  20n (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị

diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?
A. 10 .
B. 11 .
C. 12 .

D. 13 .

Câu 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình x3  7 x  m  2 x  1 có hai nghiệm thực
phân biệt.
A. 15 .
B. 16 .
C. 18 .
D. Vô số.

 
Câu 7. Cho a, b là các số thực thuộc khoảng  0;  và thỏa mãn điều kiện cot a  cot b  a  b . Giá trị
 2
3a  11b
của biểu thức P 
bằng
ab
A. 5 .
B. 7 .
C. 8 .
D. 9 .
Câu 8. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x  x 2  1  m có nghiệm?
A. m  0 .

B. 0  m  1 .

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

C. m  1 .

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

D. m  1  2 .

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 

Chuyên đề: Hàm số

m  sin x
nghịch biến trên
cos 2 x

 
 0;  .
 6

5
5
.
C. m  .

D. m  2 .
2
4
Câu 10. (Chuyên Ngữ). Cho n là số tự nhiên chẵn và a là số thực lớn hơn 3. Phương trình sau đây có
bao nhiêu nghiệm (n 1) x n2  3( n  2) x n1  a n2  0

A. m  1.

B. m 

A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 4 .

ĐÁP ÁN
1A

2D

3D

4C

5C

6A

7B

8C

9C

10A

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Tìm m để đồ thị hàm số y  1  x 4  2 x 2 cắt đường thẳng y  4m tại 6 điểm phân biệt.
A. 0  m 

1
.
2

B. 0  m  1 .

C. 1  m  2 .

D. m  0 .

Hướng dẫn giải
Xét hàm số f ( x)  x  2 x với x  .
4

2

x  0

Ta có f '( x)  4 x3  4 x  4 x( x 2  1)  0  
. Khi đó ta có bảng biến thiên:
 x  1
x

∞

1

f'(x)

0

+

0

1

0

0

+∞
+

+∞

+∞
y=0

0

f(x)
1

1

+∞

+∞
1

1

f(x)
0

0

0

+∞

y=0
+∞

2
y = 1+ f(x)
1

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

y=

4m

1

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

2
1

y=1

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Chuyên đề: Hàm số

Để y  1  x 4  2 x 2 cắt đường thẳng y  4m tại 6 điểm phân biệt thì :
1  4m  2  20  22 m  21  0  2m  1  0  m 

1
 Đáp án A.
2

Câu 2. Tìm m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x3  mx2  2mx  1 đều là đồ thị của hàm số
bậc nhất đồng biến trên
A. m  6 .

.
B. m  0 .

C. 0  m  6 .

Hướng dẫn giải
Hàm số bậc nhất có dạng y  ax  b đồng biến trên

D. 6  m  0 .

a0

Do đó yêu cầu bài toán tương đương: a  y '  3x2  2mx  2m  0, x 

  '  m2  6m  0  6  m  0  Đáp án D.
Câu 3. Khi nói về hàm số y  2 x3  3(2m  1) x 2  6m(m  1) x  1 có đồ thị (C ) , ta có các phát biểu
sau:
(1) Với m 

, hàm số luôn đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn x2  x1  1 .

(2) Gọi A là điểm cực đại thuộc (C ) , khi đó A thuộc đồ thị hàm số y  2 x3  3x2  1 .

(3) Khi m  0 thì hàm số đồng biến trên 1;   .
(4) Khi m  0 thì đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của (C ) có phương trình x  y  1  0 .

Trong các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu đúng?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .

D. 4 .

Hướng dẫn giải

 x1  m
 x2  x1  1  (1)
Ta có: y '  6 x 2  6(2m  1) x  6m(m  1)  0  6( x  m)( x  m  1)  0  
 x2  m  1
đúng.
Do a  2  0 và x1  x2  xCĐ  x1  m  yCĐ  y(m)  2m3  3m2  1  A(m; 2m3  3m2  1) thuộc đồ thị
hàm số y  2 x3  3x2  1  (2) đúng.

 x1  0  y1  1
Khi m  0 hàm số có dạng y  2 x  3x  1 ; y '  0  
 x2  1  y2  0
3

+

m

2

0

m+1

+

1

Suy ra hàm số đồng biến trên (1; ) và do hàm số liên tục tại x  1 nên hàm số đồng biến trên 1;   .
Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A(0;1) và B(1;0) là: x  y  1  0  (3), (4) đều đúng.
Vậy cả 4 phát biểu đều đúng  Đáp án D.
Câu 4. Cho hàm số y 

x2
có đồ thị  C  Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng
.
x 1

1
d : y   x  m cắt đồ thị  C  tại 2 điểm nằm về hai phía của trục tung.
2
A. m  2 .
B. m  2 .
C. m  2 .

D. 0  m  2 .

Hướng dẫn giải
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Yêu cầu bài toán tương đương phương trình

Chuyên đề: Hàm số

x2
1
  x  m có hai nghiệm trái dấu
x 1
2

 x2   3  2m  x  4  2m  0 (vì x  1 không là nghiệm)

 ac  4  2m  0  m  2  Đáp án C.
Câu 5. Một hợp tác xã nuôi cá trong hồ. Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì
trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P(n)  480  20n (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên
một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?
A. 10 .
B. 11 .
C. 12 .

D. 13 .

Hướng dẫn giải
Nếu mỗi đơn vị diện tích mặt hồ có n con cá thì sau một vụ, số cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ cân

nặng là:
f (n)  n.P(n)  480n  20n2 với n  * .
Cách 1: Xét hàm số f ( x)  480  20 x 2 với x   0;   .
Ta có f '( x)  480  40 x; f '( x)  0  x  12
Trên khoảng (0; ) hàm số f ( x) đạt giá trị lớn nhất tại x  12 .
Suy ra trên tập

*

x

0

12

f'(x)

0

hàm số f (n) đạt giá trị lớn nhất tại n  12 .

Hay số cá thỏa mãn là bài toán là 12  Đáp án C.

+∞
+

f(12)
f(x)

Cách 2: f (n)  480n  20n2  20(n 12)2  2880  2880

Suy ra f (n) lớn nhất với n  12  Đáp án C.

Câu 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình x3  7 x  m  2 x  1 có hai nghiệm thực
phân biệt.
A. 15 .
B. 16 .
C. 18 .
D. Vô số.
Hướng dẫn giải

1

2 x  1  0
x 
Ta có x  7 x  m  2 x  1  3
(*) .

2
2
x

7
x

m

(2
x

1)

3
2

m   x  4 x  3x  1

1
Xét hàm số f ( x)   x3  4 x 2  3x  1 với x  .
1
2
x
∞
3
x  3
2

Ta có f '( x)  3x  8x  3 ; f '( x)  0 
.
f'(x)
0
+
x   1
3

Để (*) có 2 nghiệm thực phân biệt thì :
f(x)
3

1
3

2
+
27

0
19

8

∞

27
m
 m  19 
 m  4;5;6;...;17;18  có 15 số nguyên m thỏa mãn  đáp án A.
8

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

+∞

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Chuyên đề: Hàm số

 
Câu 7. Cho a, b là các số thực thuộc khoảng  0;  và thỏa mãn điều kiện cot a  cot b  a  b . Giá
 2
3a  11b
trị của biểu thức P 
bằng
ab
A. 5 .
B. 7 .
C. 8 .
D. 9 .
Hướng dẫn giải
Cách 1: Ta có cot a  cot b  a  b  a  cot a  b  cot b (*)
1
 
 
Xét hàm số f ( x)  x  cot x với x   0;  . Ta có f '( x)  1  2  0 , x   0; 
sin x
 2
 2
14a
 
 f ( x) đồng biến trên  0;  . Suy ra (*)  f (a)  f (b)  a  b  P 
 7  đáp án B.
2a
 2

Cách 2: Dựa vào các phương án ta nhận thấy P cho một giá trị cụ thể, nghĩa là ta chỉ cần tìm ra một điều
kiện của a, b thỏa mãn cot a  cot b  a  b (*) là được. Dễ thấy a  b thì (*) luôn đúng nên thay a  b

vào P ta được P  7  đáp án B.
Câu 8. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x  x 2  1  m có nghiệm?
A. m  0 .

B. 0  m  1 .

C. m  1 .

D. m  1  2

.
Hướng dẫn giải
Đặt t  x  0 , khi đó phương trình có dạng: t  t 2  1  m (*).
Xét hàm số f (t )  t  t 2  1 với t  0 .

 0 , t  0  f (t ) đồng biến trên  0;   . Suy ra f (t )  f (0)  1 .
t 2 1
Ta có lim f (t )   . Do đó để phương trình (*) có nghiệm thì m  1  đáp án C.

t 0
+∞
f'(t)
Chú ý: Ở câu hỏi này các bạn có thể lập bảng biến thiên
+∞
để nhìn rõ hơn được điều kiện m  1 thỏa mãn bài toán.
f(t)
1
Ta có f '(t )  1 

t

Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 
A. m  1.

B. m 

5
.
2

m  sin x
nghịch biến trên
cos 2 x

C. m 

5
.
4

 
 0;  .
 6
D. m  2 .

Hướng dẫn giải




x 0; 
 1
 
 6
 t   0;  . Vì sin x đồng biến trên  0;  nên bài toán được phát biểu
Đặt t  sin x t  sin x 
 2
 6
lại là:
mt
 1
“ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số f (t )  2
nghịch biến trên khoảng  0;  ”.
t 1
 2

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Khi đó f '(t )  

Chuyên đề: Hàm số

t 2 1
t 2  2mt  1
 1
 1

m

 g (t ) với t   0;   m  min g (t )

0,

t

0;


2
2
 1
2t
(t  1)
 2
 2
t 0; 


Xét hàm g (t ) 
Ta có: g '(t ) 

2

t2 1
1
 1
với t   0;  (do hàm số liên tục tại t  ).
2t
2
 2

t 2  1 (t  1)(t  1)
 1

 0, t   0;  , suy ra hàm số nghịch biến biến trên
2
2
2t
2t
 2

 1
 0; 
 2

5
1 5
Suy ra min g (t )  g    . Vậy m   Đáp án C.
 1
4
2 4
t 0; 



2

Câu 10. (Chuyên Ngữ). Cho n là số tự nhiên chẵn và a là số thực lớn hơn 3. Phương trình sau đây có
bao nhiêu nghiệm (n  1) xn2  3(n  2) x n1  a n2  0
A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

Hướng dẫn giải
Cách 1 : Xét hàm số f ( x)  (n  1) xn2  3(n  2) x n1  a n2
Khi đó ta có f '( x)  (n  1)(n  2) xn1  3(n  1)(n  2) x n

 (n  1)(n  2) xn ( x  3) .
f '( x)  0  x  3 hoặc x  0 (nghiệm bội chẵn).
Dựa vào bảng biến thiên ta có f ( x)  0 . Do đó phương trình

D. 4 .

x

∞

3
0

f'(x)

+∞
+

+∞

+∞

f(x)
an +2 3n +2 > 0

f ( x)  0 vô nghiệm  Đáp án A.

Cách 2 : Việc ra các phương án nghiệm là 0 ; 1; 2; 4 chứng tỏ bài toán đúng với n, a miễn sao n là số

n  0
tự nhiên chẵn và a là số thực lớn hơn 3. Do đó ta chọn 
, khi đó phương trình có dạng:
a  4
x2  6 x  16  0 , phương trình vô nghiệm  Đáp án A.

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Giáo viên

: Nguyễn Thanh Tùng

Nguồn

:

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

Hocmai.vn

- Trang | 6 -