CHUYÊN đề 03 hệ PHƯƠNG TRÌNH phần 1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (668.72 KB, 103 trang )
CHUYÊN ĐỀ III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp:
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
ax + by = c
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: a ' x + b ' y = c ' trong đó a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R
Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có
(d) // (d’) thì hệ vơ nghiệm
{ A} thì hệ có nghiệm duy nhất
(d) ∩ (d’) =
(d) ≡ (d’) thì hệ có vơ số nghiệm
Hệ phương trình tương đương
Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới
trong đó có một phương trình một ẩn
Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ
3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số
của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau
áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương
trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (phương trình một ẩn)
Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
3 x − 10 + 4 x = 4
7 x = 14
x = 2
x = 2
3 x − 2 y = 4
3 x − 2 ( 5 − 2 x ) = 4
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
y = 5 − 2x
y = 5 − 2x
y = 5 − 2.2
y =1
2 x + y = 5
y = 5 − 2 x
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
( x; y ) = ( 2;1)
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
3 x − 2 y = 4
3 x − 2 y = 4
7 x = 14
x = 2
x = 2
⇔
⇔
⇔
⇔
2 x + y = 5
4 x + 2 y = 10
2 x + y = 5
2.2 + y = 5
y =1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
( x; y ) = ( 2;1)
1
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
1.
− x + 3 y = −10
x − 5 y = 16
19
3 x + 2 y = 8
2 x − 3 y = −12
3
7
2 x + y = 4
2 x + 0 y − 6 = 0
2.
2 x + y = 7
− x + 4 y = 10
20
2 x + y = 5
x + 7 y = 9
3
8
x − 2 y = 2
2 x − 4 y = 1
3.
3 x − 5 y = −18
x + 2 y = 5
21
5 x + 3 y = −7
3x − y = −8
3
9
3 x + 2 y − 2 = 0
9 x + 6 y − 4 = 0
4.
4 x + 3 y = −6
2 x − 5 y = 16
22
−2 x + y = −3
3 x + 4 y = 10
4
0
2 x − y = 2
4 x − 2 y − 4 = 0
5.
2 x − y = x + 3 y + 3
3x − 3 y = 9
23
x + y = 2
x + 3y = 6
4
1
x + 2 y = 4
2 x + 9 y = 18
6.
2 x − 4 y = 3
− x + 2 y = 1
24
x − 2 y = −5
3x + 4 y = −5
4
2
−2 x + y = −3
x + y = 3
7.
x + y = −2( x − 1)
7 x + 3 y = x + y + 5
25
3x − 2 y = 12
4 x + y = 5
4
3
x − y = 0
2 x + y = −5
8.
2 x + 5 y = −( x + y )
6 x + 3 y = y − 10
26
2 x − y = 10
5 x + 2 y = 6
4
4
2 x + y = 0
x − 4y = 0
9.
3 x + y = −2
−9 x − 3 y = 6
27
5 x − 2 y = 10
5 x − 2 y = 6
4
5
− x + y = 3
x + 2 y = 3
1
0
2 x + 5 y = 7
2 x − 3 y = −1
28
3 x + 2 y = 8
4 x − 3 y = −12
4
6
x − y = 2
3 x − 2 y = 9
1
1
− x + 3 y = −10
2 x + y = −1
29
2 x + y = −3x − 20
4 x + y = x − 2 y − 12
4
7
3 x + y = 2
6 x + 2 y = 3
1
2
2 x + 3 y = −2
3 x − 2 y = −3
30
5 x − y = 1
10 x − 2 y = 0
4
8
2 x − 3 y = 6
4 x − 6 y = 12
1
3
2 x − y = 3
3x + y = 7
31
3x + 2 y = − x
5( x + y ) = −3 x + y − 5
4
9
3 x + 2 y = 6
2 x − 3 y = 4
1
4
2 x + y = 7
− x + 2 y = −5
32
2 x − 5 y = 1
4 x − 10 y = 2
5
0
x + 2 y = −2
2 x − y = 1
1
5
x − 2 y = −5
3x + 2 y = 1
33
2 x + y = 5
x − y = 1
5
1
2 x + y = 5
3 x − y = 15
1
6
3 x − 2 y = 12
4 x + 3 y = −1
34
− x + 2 y = −4( x − 1)
5 x + 3 y = −( x + y ) + 8
5
2
3x + 2 y = 8
5 x + 2 y = 12
1
7
−5 x + 3 y = 22
3x + 2 y = 22
35
x + y = −1
3x − 2 y = −8
5
3
2 x + 3 y = 5
2 x + 3 y = 1
1
8
3x + y = 0
x + 2 y = 5
36
0 x + y = 3
x − 2 y = −4
5
4
2 x − 3 y = 5
4 x − 6 y = 10
HƯỚNG DẪN GIẢI
2
Bài 1.Giải các hệ phương trình sau:
1.
− x + 3 y = −10
−2 y = 6
x = 1
⇔
⇔
x − 5 y = 16
x = 16 + 5 y
y = −3
2.
2 x + y = 7
2 x + y = 7
x = 2
⇔
⇔
− x + 4 y = 10
9 y = 27
y = 3
3.
3 x − 5 y = −18
x = −1
⇔
x + 2 y = 5
y = 3
4.
9
x = 13
⇔
4 x + 3 y = −6
y = −38
13
2 x − 5 y = 16
5.
2 x − y = x + 3 y + 3
x − 4 y = 3
x = 3
⇔
⇔
3 x − 3 y = 9
3x − 3 y = 9
y = 0
6.
2 x − 4 y = 3
− x + 2 y = 1
PT Vônghiệm
7.
x + y = −2( x − 1)
3 x + y = 2
⇔
7 x + 3 y = x + y + 5
6 x + 2 y = 5
PT Vônghiệm
8.
2 x + 5 y = −( x + y )
x = −2
⇔
y =1
6 x + 3 y = y − 10
9.
3x + y = −2
−9 x − 3 y = 6
PT Vô Số nghiệm
10.
2 x + 5 y = 7
x = 1
⇔
2 x − 3 y = −1
y =1
11.
− x + 3 y = −10
x = 1
⇔
2 x + y = −1
y = −3
12.
2 x + 3 y = −2
x = −1
⇔
y = 0
3x − 2 y = −3
13.
2 x − y = 3
x = 2
⇔
3 x + y = 7
y =1
14.
19
x
=
5
⇔
2 x + y = 7
y = −3
−
x
+
2
y
=
−
5
5
15.
x − 2 y = −5
x = −1
⇔
3x + 2 y = 1
y = 2
16.
3 x − 2 y = 12
x = 2
⇔
4 x + 3 y = −1
y = −3
17.
22
x=
19
⇔
−5 x + 3 y = 22
y = 176
19
3 x + 2 y = 22
18.
3 x + y = 0
x = −1
⇔
x + 2 y = 5
y = 3
19.
3 x + 2 y = 8
x = 0
⇔
2 x − 3 y = −12
y = 4
20.
2 x + y = 5
x = 2
⇔
x + 7 y = 9
y =1
21.
3
−31
x
=
14
⇔
5 x + 3 y = −7
19
y =
14
3x − y = −8
22.
−2 x + y = −3
x = 2
⇔
3x + 4 y = 10
y =1
23.
x + y = 2
x = 0
⇔
x + 3y = 6
y = 2
24.
x − 2 y = −5
x = −3
⇔
3x + 4 y = −5
y =1
25.
3x − 2 y = 12
x = 2
⇔
4 x + y = 5
y = −3
26.
26
x
=
9
⇔
2 x − y = 10
−
y = 38
9
5 x + 2 y = 6
27.
5 x − 2 y = 10
x = 2
⇔
5 x − 2 y = 6
y = 3
PT Vônghiệm
31.
3 x + 2 y = − x
4 x + 2 y = 0
⇔
5( x + y ) = −3 x + y − 5
8 x + 4 y = −5
PT Vônghiệm
32.
2 x − 5 y = 1
4 x − 10 y = 2 ⇒ PTcó VSN
33.
2 x + y = 5
x = 2
⇔
y =1
x − y = 1
34.
− x + 2 y = −4( x − 1)
3 x + 2 y = 4
⇔
5 x + 3 y = −( x + y ) + 8
6 x + 4 y = 8
⇒ PTcó VSN
35.
x + y = −1
x = −2
⇔
3x − 2 y = −8
y =1
36.
x = 2
0 x + y = 3
⇔
y = 3
x − 2 y = −4
37.
PT Vônghiệm
2 x + y = 4
x = 3
⇔
2 x + 0 y − 6 = 0
y = −2
28.
38.
3 x + 2 y = 8
x = 0
⇔
4 x − 3 y = −12
y = 4
x − 2 y = 2
2 x − 4 y = 1
PT Vô nghiệm
39.
29.
2 x + y = −3 x − 20
5 x + y = −20
⇔
4 x + y = x − 2 y − 12
3 x + 3 y = −12
x = −4
⇔
y = 0
30.
5 x − y = 1
10 x − 2 y = 0
3 x + 2 y − 2 = 0
9 x + 6 y − 4 = 0
PT Vô nghiệm
40.
2 x − y = 2
4 x − 2 y − 4 = 0
PT Vô số nghiệm
41.
4
x = 0
x + 2 y = 4
⇔
y = 2
2 x + 9 y = 18
2 x − 3 y = 6
4 x − 6 y = 12
42.
PT Vô số nghiệm
x = 2
−2 x + y = −3
⇔
x + y = 3
y =1
49.
x = 2
3 x + 2 y = 6
⇔
y = 0
2 x − 3 y = 4
43.
50.
−5
x = 3
⇔
x − y = 0
y = −5
3
2 x + y = −5
x = 0
x + 2 y = −2
⇔
y = −1
2 x − y = 1
51.
44.
x = 4
2 x + y = 5
⇔
y = −3
3 x − y = 15
x = 0
2 x + y = 0
⇔
y = 0
x − 4 y = 0
52.
45.
x = 2
3x + 2 y = 8
⇔
y =1
5 x + 2 y = 12
x = −1
− x + y = 3
⇔
y = 2
x + 2 y = 3
53.
46.
2 x + 3 y = 5
2 x + 3 y = 1
x = 5
x − y = 2
⇔
y = 3
3x − 2 y = 9
PT Vô nghiệm
47.
54.
3x + y = 2
6 x + 2 y = 3
2 x − 3 y = 5
4 x − 6 y = 10
PT Vô nghiệm
PT Vơ số nghiệm
48.
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
1.
4x + y = 2
8x + 3y = 5
3x − 2y = 11
4x − 5y = 3
2.
4x − 3
x+ y = 5
x + 3y = 15− 9y
14 5.
4.
5x − 4y = 3
3. 2x + y = 4
x+ y x− y
5 = 3
x = y+1
4 2
6.
5x 2y
3 − 5 = 19
4x + 3y = 21
2
HƯỚNG DẪN GIẢI:
1.
1
x =
4
4x + y = 2 ⇔
8x + 3y = 5
y =1
3x − 2y = 11 ⇔ x = 7
y = 5
2. 4x − 5y = 3
5
19
x = 13
⇔
5x − 4y = 3
y = 14
2x + y = 4
13
3.
x+ y x− y
5 = 3
x = 8
⇔
x = y+1
y = 2
5. 4 2
4x − 3
x+ y = 5
x = 12
x + 3y = 15− 9y ⇔
14
y = −3
4.
5x 2y
3 − 5 = 19
x = 9
4x + 3y = 21 ⇔
2
y = −10
6.
6
Bài 3. Giải hệ phương trình bằng phương phép thế:
1.
x 2
=
y 3
x + y − 10 = 0
2 x + 4 y = −8
2. x − y = −1 3.
2x − 3y = 5
5. x + 2 y = −7 6.
3 x − 4 y + 2 = 0
5 x + 2 y = 14 4.
2 x + 5 y = 3
3 x − 2 y = 14
x + 2 y = 6
x + 2 y = 6
2x + 3y = 5
5 x + 4 y = −10 7. 2 x − y = 2 8. 2 x − y = 2
HƯỚNG DẪN GIẢI:
2y
x = 3
x = 4
a )hpt ⇔
⇔
⇒ S = { ( 4;6 ) }
5
y
y
=
6
= 10
3
6 y = −6
x = −2
b)hpt ⇔
⇔
⇒ S { ( −2; −1) }
x = y − 1 y = −1
4y − 2
x = 2
x =
3)hpt ⇔
⇒ S = { ( 2; 2 ) }
3 ⇒
y
=
2
26 y = 52
19 y = −19
x = 4
4) hpt ⇔
⇒ S = { ( 4; −1) }
2 y + 14 ⇔
y = −1
x =
3
−11
x=
−
7
y
=
−
19
−11 −19
7
5) hpt ⇔
⇔
⇒ S =
;
÷
x
=
−
7
−
2
y
−
19
7
7
y =
7
50
5 − 3y
x=
50 45
x =
7
6)hpt ⇔
⇒ S = ; ÷
2 ⇔
7 7
−7 y = −45 y = 45
7
x = 6 − 2 y
x = 2
7)hpt ⇔
⇔
⇒ S = { ( 2; 2 ) }
−5 y = −10
y = 2
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
( x + 5)( y − 4 ) = xy
(3 x + 2)(2 y − 3) = 6 xy
;
(
)(
)
x
−
5
y
+
12
=
xy
(
4
x
+
5
)(
y
−
5
)
=
4
xy
1.
2.
3.
2( x + y ) + 3( x − y ) = 4
( x + y ) + 2( x − y ) = 5
y + 27
2 y − 5x
+5=
− 2x
3
4
(2 x − 3)( 2 y + 4) = 4 x( y − 3) + 54
x + 1 + y = 6 y − 5x
7
4. ( x + 1)(3 y − 3) = 3 y ( x + 1) − 12 5. 3
1
1
(
x
+
2
)(
y
+
3
)
−
xy = 50
2
2
1 xy − 1 ( x − 2)( y − 2) = 32
2
6. 2
7.
( x + 2 )( y − 2 ) = xy
( x + 20)( y − 1) = xy
( x − 10)( y + 1) = xy 8. ( x + 4 )( y − 3) = xy + 6
( x − 1)( y − 2 ) = ( x + 1)( y − 3)
( x − 1)( y − 2 ) − ( x + 1)( y − 3) = 4
( x − 5)( y + 4) = ( x − 4)( y + 1)
9. ( x − 3)( y + 1) − ( x − 3)( y − 5) = 18 10.
9x 2 y
7 − 3 = −28
2
2
2
2
( x − 1) + ( y − 2 ) = ( x + 1) + ( y + 1)
3x 12 y
+
= 15
2
2
(
x − y − 3) = ( x − y − 1)
2
5
11.
12.
4x − 3
x
+
y
=
5
15 − 9 y
x + 3 y =
14
13.
14.
x + 3 2x − y
+
=4
9
12
2 x − 5 y 3x − 7 y
−
= −55
11
3
15.
HƯỚNG DẪN GIẢI
−9 x + 4 y = 6
x = −2
1)hpt ⇔
⇔
−20 x + 5 y = 25
y = −3
Vậy hpt có nghiệm duy nhất
( x, y ) = ( −2; −3)
−4 x + 5 y = 20
x = 10
2)hpt ⇔
⇔
12 x − 5 y = 60
y = 12
Vậy hpt có nghiệm duy nhất
( x, y ) = ( 10,12 )
−1
x = 2
5 x − y = 4
3)hpt ⇔
⇔
3 x − y = 5
y = −13
2
Vậy hpt có nghiệm duy nhất
−1 −13
,
÷
2 2
( x, y ) =
20 x − 6 y = 66
x = 3
4)hpt ⇔
⇔
−3 x = − 9
y = −1
Vậy hpt có nghiệm duy nhất
( x, y ) = ( 3; −1)
4 x + 5 y = 21
x = −1
5)hpt ⇔
⇔
22 x + 3 y = −7
y = 5
Vậy hpt có nghiệm duy nhất
( x, y ) = ( −1;5 )
2x − 5 y − 1 x − 2 y
+
= 16
11
3
7 x + y 2( x − 1)
+
= 31
5
3
3
x = 26
x + y = 47
6) hpt ⇔ 2
⇔
y = 8
x + y = 34
Vậy hpt có nghiệm duy nhất
( x, y ) = ( 26,8 )
− x + 20 y = 20
x = 40
7) hpt ⇔
⇔
x − 10 y = 10
y = 3
Vậy hpt có nghiệm duy nhất
( x, y ) = ( 40,3)
−2 x + 2 y = 4
x = 10
8)hpt ⇔
⇔
−3 x + 4 y = 18 y = 12
Vậy hpt có nghiệm duy nhất
( x, y ) = ( 10;12 )
x = 6
x − 2 y = −1
9)hpt ⇔
⇔
7
6 x = 36
y = 2
Vậy hpt có nghiệm duy nhất
( x, y ) = 6;
7
÷
2
37
x=
x − 2 y = −5
5
10)hpt ⇔
⇔
3 x − y = 16
y = 31
5
Vậy hpt có nghiệm duy nhất
( x, y ) =
37 31
, ÷
5 5
3
x=
−
4
x
−
6
y
=
−
3
2
11) hpt ⇔
⇔
−4 x + 4 y = − 8
y = −1
2
Vậy hpt có nghiệm duy nhất
3 −1
, ÷
2 2
( x, y ) =
27 x − 14 y = −588 x = −14
12) ⇔
⇔
15 x + 24 y = 150
y = 15
Vậy hpt có nghiệm duy nhất
( x, y ) = ( −14;15 )
x + 5 y = −3
x = 12
13)hpt ⇔
⇔
14 x + 51 y = 15 y = −3
Vậy hpt có nghiệm duy nhất
( x, y ) = ( 12; −3)
10 x − 3 y = 132
x = 33
hpt ⇔
⇔
13 x − 34 y = −1815
y = 66
14)
Vậy hpt có nghiệm duy nhất
( x, y ) = ( 33;66 )
17 x − 37 y = 531 x = 16
hpt ⇔
⇔
31x + 3 y = 475
y = −7
15)
Vậy hpt có nghiệm duy nhất
( x, y ) = ( 16; −7 )
4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
1 1 1
x + y = 12
8 + 15 = 1
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau: x y
1
1
= a; = b
y
Điều kiện: x; y ≠ 0 . Đặt x
. Ta có hệ phương trình sau:
1 1
1
1
1
b
=
b
=
1
8
7
b
=
x = 28
x = 28
a + b =
8a + 8b =
21
21
3
⇔
⇔
⇒
⇔
12 ⇔
12 ⇔
y = 21
a + 1 = 1
a = 1
1 = 1
8a + 15b = 1 8a + 15b = 1
a + b = 1
21 12
28 y 21
12
mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
( x; y ) = ( 28; 21)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giải các hệ phương trình sau:
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
1 1
x − y = 1
2 + 4 = 5
x y
1)
2)
2
x − 2 +
2 −
x−2
4)
2
x + 1 +
2 +
x + 1
2
=2
y −1
3
=1
y −1
5)
3
=1
y
5
=1
y
3)
1
x − 2 +
2 −
x − 2
1
=2
y −1
3
=1
y −1
1
6
1
2
x + y + x − y = 3 x − y + x + y = 1,1
2 − 3 =1
4 − 9 = 0,1
x + y x − y
x− y x+ y
6)
(thỏa
y
2x
x + 1 + y + 1 = 3
x + 3 y = −1
x +1 y +1
7)
2
3
1 1 3
1
x
+
=
−
=
2
+
x y 4
x y − 2
x + y x + y = 5
1 + 1 = 2 3 + 1 =1
2x − 1 = 3
6 x 5 y 15 x y − 2
x + y x + y
8)
9
10)
2
−3
+
x − y 2 x + y = −2
4 − 10 = 2
x − y 2x + y
11)
12)
2 1
x + y = 2
6 − 2 =1
14) x y
15)
x
x
−
y y + 12 = 1
x − x =2
x − 12 y
13)
3
x−2 +
2 ( x + y ) = 5 ( x − y )
20
20
2 +
+
=
7
x+ y x− y
16) x − 2
3
2
+
x y-2 = 4
4 - 1 =1
x y - 2
2
11
=
y +1 3
3
=3
y +1
HƯỚNG DẪN GIẢI:
1) ĐK x, y ≠ 0 . Đặt
3
2
a=
a
−
b
=
1
1
1
x =
2
a = ; b = .hpt ⇔
⇔
⇔
3 (tm)
x
y
2a + 4b = 5 b = 1
y = 2
2
1
2a + 3b = 1 a =
1
1
a=
; b = .hpt ⇔
⇔
⇒S =∅
2
2a + 5b = 1
x +1
y
b = 0(ktm)
2) ĐK x ≠ −1; y ≠ 0 . Đặt
7
19
a = 5
x = 7
a + b = 2
1
1
a=
;b =
.hpt ⇔
⇔
⇔
(tm)
8
x−2
y −1
2a − 3b = 1 b = 3
y =
x
≠
2,
y
≠
1.
5
3
3) Đk
Đặt
4
13
a=
2
a
+
2
b
=
2
1
1
x =
5
a=
;b =
hpt ⇔
⇔
⇔
4 (tm)
x−2
y −1
2a − 3b = 1
b = 1
y = 6
5
4) ĐK x ≠ 2, y ≠ 1 Đặt
3
x
=
a + b = 3
a = 2
1
1
4 (tm)
a=
;b =
hpt ⇔
⇔
⇔
2
a
−
3
b
=
1
b
=
1
x+ y
x− y
y = −1
4
5) ĐK x ≠ ± y ≠ 0 Đặt
1
a = 4
2a + 6b = 1,1
x = 7
1
1
a=
;b =
hpt ⇔
⇔
⇔
(tm)
x− y
x+ y
4a − 9b = 0,1 b = 1
y = 3
10
6) ĐK x ≠ ± y ≠ 0 . Đặt
x = −2
2a + b = 3
a = 2
x
y
a=
;b =
hpt ⇔
⇔
⇔
−1 (tm)
a + 3b = −1 b = −1 y =
x +1
y +1
2
7) ĐK x ≠ −1; y ≠ −1 Đặt
3
1
a+b =
a=
1
1
4
2 ⇔ x = 2 (tm)
a = ; b = hpt ⇔
⇔
x
y
y = 4
1 a + 1 b = 2
b = 1
5
15
4
6
8) ĐK x, y ≠ 0 Đặt
4
7
a=
x
=
a − 2b = 2
1
1
7
4
a = ;b =
hpt ⇔
⇔
⇔
(tm)
3
3
a
+
b
=
1
−
5
x
y−2
b =
y =
x
≠
0;
y
≠
2
5
7
9)ĐK
. Đặt
10) ĐK x ≠ ± y Đặt
a=
a + 3b = 5
a = 2
x = 2
x
1
;b =
.hpt ⇔
⇔
⇔
(tm)
x+ y
x+ y
2a − b = 3 b = 1
y = −1
33
8
a=
x=
−3a + 2b = −2
1
1
8
11 ⇔
a=
;b =
hpt ⇔
⇔
(tm)
4
a
−
10
b
=
2
1
11
x
−
y
2
x
+
y
−y
b =
y =
x ≠ y; x =
11
4
2
11) ĐK
Đặt
1
2a + 3b = 4
x = 2
1
1
a =
a = ;b =
hpt ⇔
⇔
(tm)
2⇔
4a − b = 1
y
=
3
x
y−2
b = 1
13) ĐK x ≠ 0, y ≠ 2 Đặt
1
2a + b = 2
x = 2
1
1
a =
a = ; b = hpt ⇔
⇔
(tm)
2⇔
6a − 2b = 1
y =1
x
y
b = 1
14) ĐK x, y ≠ 0 Đặt
5
2
x− y − x+ y = 0
x ≠ ± y ≠ 0.hpt ⇔
20 + 20 = 7
x − y x + y
15) ĐK
1
a=
2a − 5b = 0
x = 7
1
1
4
a=
;b =
hpt ⇔
⇔
⇔
(tm)
1
y
=
3
x− y
x+ y
20a + 20b = 7
b =
10
Đặt
a = 1
11
1
1
3a + 2b =
a=
;b =
hpt ⇔
3 ⇔
x = 3 (tm)
1
b
=
⇔
x−2
y +1
2a + 3b = 3
3
y = 2
16) ĐK x ≠ 2; y ≠ −1 Đặt
Bài 2. Giải các hệ phương trình
( x + 2)( y − 2) = xy
a. ( x + 4)( y − 3) = xy + 6
( x − 1)( y − 2) − ( x + 1)( y − 3) = 4
b. ( x − 3)( y + 1) − ( x − 3)( y − 5) = 18
( x + 5)( y − 2) = xy
c. ( x − 5)( y + 12) = xy
2x − 5 y −1 x − 2 y
+
= 16
11
3
7 x + y + 2( x − 1) = 31
3
d. 5
9x 2 y
7 − 3 = −28
3 x + 12 y = 15
5
e. 2
4x − 3
x + y = 5
x + 3 y = 15 − 9 y
14
f.
5
x −1 +
1 +
g. x − 1
1
4
x + 2y − x − 2y =1
20 + 3 = 1
h. x + 2 y x − 2 y
i.
7
x−7 −
5 +
x−7
l.
m.
1
= 10
y −1
3
= 18
y −1
5
2
3x − y − x − 3 y = 3
1 + 2 =3
k. 3 x − y x − 3 y 5
4
5
=
y+6 3
3
13
=
y+6 6
4
3
13
+
=
x
y 36
6
10
+
=1
x
y
3
2
x + y − 3 − x − y −1 = 8
3
1
+
= 1,5
x + y − 3 x − y +1
HƯỚNG DẪN GIẢI
( x + 2)( y − 2) = xy
a.
( x + 4)( y − 3) = xy + 6
xy − 2x + 2 y − 4 = xy
⇔
xy − 3x + 4 y − 12 = xy + 6
−2x + 2 y = 4
⇔
−3x + 4 y = 18
x = 10
⇔
y = 12
( x − 1)( y − 2) − ( x + 1)( y − 3) = 4
b.
( x − 3)( y + 1) − ( x − 3)( y − 5) = 18
( xy − 2x − y + 2) − (xy − 3x + y − 3) = 4
⇔
( xy + x − 3 y − 3) − (xy − 5x − 3 y + 15) = 18
xy − 2x − y + 2 − xy + 3x − y + 3 = 4
⇔
xy + x − 3 y − 3 − xy + 5x + 3 y − 15 = 18
x − 2 y = −1
⇔
6x = 36
x =6
⇔
7
y=
2
( x + 5)( y − 2) = xy
c.
( x − 5)( y + 12) = xy
xy − 2x + 5 y − 10 = xy
⇔
xy + 12x − 5 y − 60 = xy
−2x + 5 y = 10
⇔
12x − 5 y = 60
x=7
⇔ 24
y = 5
9x 2 y
−
= −28
7
3
e.
3 x + 12 y = 15
5
2
27 x − 14 y = −588
⇔
15x + 24 y = 150
2x − 5 y −1 x − 2 y
+
= 16
11
3
d.
7 x + y + 2( x − 1) = 31
5
3
6x − 15 y − 3 + 11x − 22 y = 528
⇔
21x + 3 y + 10x − 10 = 465
17x − 37 y = 531
⇔
31x + 3 y = 475
x = 16
⇔
y = −7
4x − 3
x+ y =
5
f.
x + 3 y = 15 − 9 y
14
5x + 5 y = 4x − 3
⇔
14x + 42 y = 15 − 9 y
x = −14
⇔
y = 15
x + 5 y = −3
⇔
14x + 51 y = 15
5
x − 1+
g.
1 +
x−1
1
4
x + 2y − x − 2y = 1
h.
§ K: x ≠ −2y;x ≠ 2y
20 + 3 = 1
x + 2y x − 2y
1
= 10
y− 1
§ K: x ≠ 1;y ≠ 1
3
= 18
y− 1
x = 12
⇔
y = 3
1
=a
x1
Đặ
t
hệph ơng trì
nh trở thành
1 =b
y 1
1
x + 2y = a
Đặ
t
hệph ơng trì
nh trở thành
1 =b
x 2y
6
a=
5
a
+
b
=
10
7
a + 3b = 18 b = 40
7
6
1
13
=
x = (TM)
x−1 7
6
Suy ra
⇔
1
40
y = 47 (TM)
=
40
y− 1 7
1
a=
4a − b = 1
8
⇔
20
a
+
3
b
=
1
−
b = 1
2
1
1
x = 3(TM)
x + 2y = 8
Suy ra
⇔
5
1 = −1 y = 2 (TM)
x − 2y 2
i.
4
x
6
Đặ
t
x
+
+
1
x
1
y
3
y
10
y
Đ K: x>0;y>0
5
2
3x y x − 3y = 3
k.
§ K: x ≠ 3y;y ≠ 3x
1 + 2 =3
3x − y x − 3y 5
hệph ơng trì
nh trở thành
1
3x y = a
Đặ
t
hệph ơng trì
nh trở thành
1 =b
x 3y
=
13
36
=1
=a
=b
1
13
a=
4a + 3b =
36
36 ⇔
b = 1
6a + 10b = 1
12
1
1
x = 36
x = 1296(TM)
Suy ra
⇔
y = 144(TM)
1 = 1
y 12
4
5
7
x − 7 − y+ 6 = 3
l.
§ K: x>7;y>-6
5 + 3 = 13
y+ 6 6
x 7
1
x 7 = a
Đặ
t
hệph ơng trì
nh trở thµnh
1 =b
y+ 6
5
1
7a − 4b =
a=
3
3
⇔
5a + 3b = 13 b = 1
6
6
1
1
x− 7 = 3
x = 16(TM)
Suy ra
⇔
y = 30(TM)
1 =1
y+ 6 6
2a − 5b = 3 a = 1
3⇔
−1
a + 2b =
b=
5
5
1
3x − y = 1
x = 1(TM)
Suy ra
⇔
1 = −1 y = 2(TM)
x − 3y 5
2
3
x + y − 3 − x − y− 1 = 8
m.
§ K: x ≠ 3− y; y ≠ x − 1
3
1
+
= 1,5
x + y− 3 x − y− 1
1
x + y 3 = a
Đặ
t
hệph ơng trì
nh trở thµnh
1 =b
x − y − 1
11
a=
3a − 2b = 8
9
⇔
3a + b = 1,5 b = −13
6
1
11
623
x=
(TM)
x + y− 3 = 9
286
Suy ra
⇔
1 = −13 y = 469 (TM)
x − y − 1 6
286
Bài 3. Giải các hệ phương trình
x − 1 + y − 2 = 1
x −1 + 3y = 3
a.
x 2 + 10 x + 25 = x + 5
2
x − 10 x + 25 = 5 − x
b.
x − 2 + 2 y − 1 = 9
x + y − 1 = −1
c.
x 2 + y 2 = 2( xy + 2)
x+ y =6
d.
x + y + xy + 1 = 0
2
x + y 2 − x − y = 22
e.
x + y + xy = 7
2
x + y 2 + xy = 13
f.
x 2 + y 2 = 10
x+ y = 4
g.
x 2 + y 2 = 65
( x − 1)( y − 1) = 18
h.
x 2 y + xy 2 = 6
xy + x + y = 5
i.
x 3 + y 3 = 1
5
x + y5 = x2 + y 2
k.
x + y = 1
3
x + y3 = x2 + y 2
l.
( x + 1)( y + 1) = 10
m. ( x + y )( xy + 1) = 25
x + y = 5
x y 13
y + x = 6
x 3 + y 3 = 2
2
x y + xy 2 = 2
p.
x 4 + y 4 = 97
xy ( x 2 + y 2 ) = 78
q.
2 5
x − y = 1
−1 + 3 = − 2
5
r. x y
1 1
1
3x + 3y = 4
5 +1=2
6x y 3
s.
2x
x +1 +
x +
x +1
t.
n.
y
=3
y +1
3y
= −1
y +1
HƯỚNG DẪN GIẢI
x − 1 + y − 2 = 1
a.
x − 1 + 3y = 3
x − 1 + y − 2 − x − 1 − 3y = 1− 3
⇔
x − 1 + 3y = 3
y − 2 − 3y = −2
⇔
x − 1 + 3y = 3
y − 2 = 3y − 2
⇔
x − 1 + 3y = 3
x = 1
⇔
y = 1
x − 2 + 2 y − 1 = 9
c.
x + y − 1 = −1
x − 2 + 2 y − 1 = 9
⇔
2 x + 2 y − 1 = −2
x − 2 − 2 x = 11
⇔
x + y − 1 = −1
x = −3
⇔ y = 3
y = −1
x = −3
y =3
⇔
x = −3
y = −1
x 2 + 10 x + 25 = x + 5
b.
x 2 − 10 x + 25 = 5 − x
( x + 5) 2 = x + 5
⇔
( x − 5) 2 = 5 − x
x + 5 = x + 5
⇔
x − 5 = 5 − x
x ≥ −5
⇔
x≤5
Vậy tập nghiệm x ∈ { − 5;...;5}
x 2 + y 2 = 2( xy + 2)
d.
x + y = 6
( 6 − y ) 2 + y 2 = 2 y ( 6 − y ) + 2
⇔
x = 6 − y
y2 − 6 y + 8 = 0
⇔
x =6− y
x = 2
y = 4
⇔
x = 4
y = 2
x + y + xy + 1= 0
e. 2 2
x + y − x − y = 22
x + y + xy + 1= 0
⇔ 2 2
x + y + 2xy − 2xy − x − y = 22
x + y + xy + 1= 0
⇔
2
(x + y) − 2xy (x + y) = 22
a =x + y
Đặ
t
hệph ơng trì
nh trở thành:
b = xy
x + y + xy = 7
f. 2 2
x + y + xy = 13
x + y + xy = 7
⇔ 2 2
x + y + 2xy − xy = 13
x + y + xy = 7
⇔
2
(x + y) − xy = 13
a =x + y
Đặ
t
hệph ơng trì
nh trở thành:
b = xy
a + b + 1= 0
2
a − 2b − a = 22
a+ b = 7
2
a − b = 13
b = −1− a
⇔ 2
a − 2(−1− a) − a = 22
b = 7− a
⇔ 2
a − (7− a) = 13
b = −1− a
⇔ 2
a + a − 20 = 0
b = −1− a
⇔ a = −5
a= 4
b = 7− a
⇔ 2
a + a− 20 = 0
b = 7− a
⇔ a = −5
a= 4
a = −5
b= 4
⇔
a = 4
b = −5
a = −5
b = 12
⇔
a = 4
b = 3
a = −5 x + y = −5
TH1
⇔
b= 4
xy = 4
a = −5 x + y = −5
TH1
⇔
(v« nghiƯm)
b = 12 xy = 12
a= 4
x + y = 4
TH2
⇔
b = −5 xy = 3
x = −1
y = −4
⇔
x = −4
y = −1
a= 4
x + y = 4
TH2
⇔
b = −5 xy = −5
x = −1
y= 5
⇔
x = 5
y = −1
x = 1
y = 3
⇔
x = 3
y = 1
x 2 + y 2 = 10
g.
x + y = 4
x = 4− y
⇔
2
2
( 4 − y ) + y = 10
x = 4− y
⇔ 2
y − 4y + 3 = 0
x = 3
y =1
⇔
x = 1
y = 3
x2 + y2 = 65
h.
(x − 1)(y − 1) = 18
x2 + y2 + 2xy − 2xy = 65
⇔
xy − x − y + 1= 18
(x + y)2 − 2xy = 65
⇔
xy − (x + y) = 17
a =x + y
Đặ
t
hệph ơng trì
nh trở thµnh:
b = xy
b − a = 17
2
a − 2b = 65
b = 17+ a
⇔ 2
a − 2(17+ a) = 65
b = 17+ a
⇔ 2
a − 2a− 99 = 0
b = 17+ a
⇔ a = 11
a = −9
a = 11
b = 28
⇔
a = −9
b = 8
a = 11 x + y = 11
TH1
⇔
b = 28 xy = 28
x = 7
y = 4
⇔
x = 4
y = 7
a = −9 x + y = −9
TH2
⇔
b= 8
xy = 8
x = −1
y = −8
⇔
x = −8
y = −1
x2y + xy2 = 6
i.
xy + x + y = 5
xy(x + y) = 6
⇔
xy + x + y = 5
a =x + y
Đặ
t
hệph ơng trì
nh trở thành:
b = xy
ab = 6
a+ b = 5
a = 2
b = 3
⇔
a = 3
b = 2
a = 2 x + y = 2
TH1
⇔
(v« nghiƯm)
b = 3 xy = 3
a = 3 x + y = 3
TH2
⇔
b = 2 xy = 2
x = 1
y = 2
⇔
x = 2
y = 1
3
3
x + y = 1
k. 5 5
2
2
x + y = x + y
3
3
x + y = 1
⇔ 5 5
2
2
3
3
x + y = (x + y )(x + y )
x3 + y3 = 1
⇔ 5 5
5
2 3
3 2
5
x + y = x + x y + x y + y
x3 + y3 = 1
⇔ 2 2
x y (x + y) = 0
x = 0
x3 + y3 = 1
y = 1
x = 1
x= 0
⇔
⇔
y = 0
y= 0
x + y = 0 x3 + y3 = 1
x + y = 0 (v« nghiƯm)
x + y = 1
l. 3 3
2
2
x + y = x + y
x + y = 1
⇔ 3 3
2
2
x + y = (x + y )(x+ y)
x + y = 1
⇔ 3 3
3
2
2
3
x + y = x + xy + x y + y
x + y = 1
⇔
xy(x + y) = 0
x = 0
x+ y = 1
y = 1
x = 1
x = 0
⇔
⇔
y = 0
y = 0
x + y = 0
x + y = 1(v« nghiƯm)
x + y = 0
(x + 1)(y + 1) = 10
m.
(x + y)(xy + 1) = 25
xy + x + y + 1= 10
⇔
(x + y)(xy + 1) = 25
a =x + y
Đặ
t
hệph ơng trì
nh trở thành:
b = xy
a+ b = 9
a(b + 1) = 25
b = 9− a
⇔
a(9− a+ 1) = 25
b = 9− a
⇔
a(10− a) = 25
⇔
b = 9− a
2
a − 10a+ 25 = 0
⇔
b = 4
a = 5
a = 5 x + y = 5
Suy ra
⇔
b = 4 xy = 4
x = 1
y = 4
⇔
x = 4
y = 1
x + y = 5
n. x y 13
y + x = 6
x = 5 − y
⇔ 5 − y
y
13
y + 5− y = 6
x = 5− y
⇔ 2
y − 5y + 6 = 0
x = 5 − y
⇔ y =3
y = 2
x = 2
y = 3
⇔
x = 3
y = 2
3
3
x + y = 2
p. 2
2
x y + xy = 2
x3 + y3 = 2
⇔ 2
2
3
3
x y + xy = x + y
3
3
x + y = 2
⇔ 3 2
3
2
x − x y + y − xy = 0
x3 + y3 = 2
⇔ 2
2
x (x − y) − y (x− y) = 0
x3 + y3 = 2
⇔
2
(x − y) (x+ y) = 0
x3 + y3 = 2
⇔ x = y
x = − y
x= y
3 3
x + x = 2
⇔
x = −y
3
(v« nghiƯm)
3
x + (−x) = 2
x = 1
⇔
y = 1
4
4
x + y = 97
q.
2
2
xy(x + y ) = 78
x4 + y4 + 2x2y2 − 2x2y2 = 97
⇔
2
2
xy(x + y ) = 78
2 5
x− y =1
r.
§ K: x ≠ 0;y ≠ 0
−1 + 3 = − 2
5
x y
1
=a
x
Đặ
t
hệph ơng trì
nh trở thành
1 = b
y
a =x2 + y2
Đặ
t
(Đ K a 0) hệph ơng trì
nh trở thành: 2a − 5b = 1
a=1
b = xy
2⇔
1
2
2
−a + 3b = −
b=
a − 2b = 97
5
5
ab = 78
1
=1
6084
2
x = 1(TM)
x
−
2b
=
97
Suy ra
⇔
b2
⇔
1 = 1 y = 5(TM)
78
y 5
a=
b
(x2 + y2 )2 − 2x2y2 = 97
⇔
2
2
xy(x + y ) = 78
⇔
2b4 + 97b2 − 6084 = 0
78
a=
b
⇔
b2 = 36
b2 = −169 (KTM)
2
78
a=
b
a = 13
b= 6
⇔
a = −13
(ktm)
b = −6
x2 + y2 = 13
Suy ra
xy = 6
x = 2
y = 3
x = 3
y = 2
⇔
x = −2
y = −3
x = −3
y = −2
1 1 1
3x + 3y = 4
s.
§ K: x ≠ 0;y ≠ 0
5 + 1= 2
6x y 3
2x
x + 1+
t.
x +
x+ 1
1
=a
x
Đặ
t
hệph ơng trì
nh trở thành
1 = b
y
x
=a
x+1
Đặ
t
hệph ơng trì
nh trở thành
y =b
y+ 1
1
1
1
1
a+ b =
a=
3
3
4
2
5a+ b = 2
b = 1
6
3
4
1 1
=
x = 2(TM)
x 2
Suy ra
⇔
y = 4(TM)
1 = 1
y 4
2a + b = 3
a= 2
⇔
a + 3b = −1 b = −1
x
=2
x = −2(TM)
x+ 1
Suy ra
⇔
−1
y
y=
(TM)
= −1
2
y
+
1
y
=3
y+ 1
§ K: x ≠ −1;y ≠ −1
3y
= −1
y+ 1
Bài 4. Giải các hệ phương trình
1
2
x + 2 y + y + 2x = 3
4 − 3 =1
1. x + 2 y y + 2 x
1
4
−
=1
x + 2y x − 2y
;
20
3
+
=1
x
+
2
y
x
−
2
y
10.
4
5
+
=5
2x + y 2x − 3y
;
15
2
+
=5
2
x
+
y
2
x
−
3
y
21.
2
3x
x +1 − y + 4 = 4
2x − 5 = 9
2. x + 1 y + 4
5
12
−
= 63
x−3 y +2
;
8
15
+
= −13
x
−
3
y
+
2
11.
5
12
−
= 63
x−3 y +2
8
15
+
= −13
x−3 y +2
3.
5
10
12 x − 3 + 4 y + 1 = 1
;
7
8
+
=1
12
x
−
3
4
y
+
1
22.
7 x 2 + 13 y = −39
;
2
5
x
−
11
y
=
33
12.
16
+
x2
8
2+
x
23.
4.
5
2
−
=8
x + y − 3 x − y +1
3
1
+
= 1,5
x + y − 3 x − y +1
x −1 − 3 y + 2 = 2
2 x − 1 + 5 y + 2 = 15
5.
x + 3 − 2 y +1 = 2
2 x + 3 + y + 1 = 4
6.
2 x 2 + y 2 = 10
;
2
2
x
−
2
y
=
5
13.
( x + 3) − 2 y = 6
;
2
3( x + 3) + 5 y 3 = 7
14.
2
3
2( x − 1) 2 − 3 y 3 = 7
;
2
3
5
(
x
−
1
)
+
6
y
=
4
15.
16.
( x − 1) 2 − ( y + 1) 2 = 0
;
x + 3y − 5 = 0
3
=1
y2
;
9
=1
y2
100 27
− 2 =1
x2
y
;
2
y = 9
2
25
24. x
3 x + 2 y = 16
2 x − 3 y = −11
25.
x + 4 y = 18
3 x + y = 10
26.
4 x + 3 − 9 y + 1 = 2
5 x + 3 + 3 y + 1 = 31
7.
xy − 2 x − y + 2 = 0
;
3
x
+
y
=
8
17.
4
5
7
−
=
y+6 3
x−7
5
3
13
+
=
y+6 6
x−7
8.
18.
5
+
x −1
1
−
x
−
1
9.
1
= 10
y −1
;
3
= 18
y −1
( x + y ) − 4( x + y ) = 12
;
2
(
x
−
y
)
−
2
(
x
−
y
)
=
3
2
x 2 + y 2 = 13
2
3 x − 2 y 2 = −6
19.
( x + 3) 2 − 2 y 3 = 6
2
3( x + 3) + 5 y 3 = 7
20.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
1
2
x + 2 y + y + 2x = 3
4 − 3 =1
1. x + 2 y y + 2 x
ĐK: x + 2 y ≠ 0; y + 2 x ≠ 0 .
1
1
= u;
=t
x
+
2
y
y
+
2
x
Đặt
.
Ta có hệ phương trình:
2u + t = 3
u = 1
⇔
4u − 3t = 1 t = 1
1
x + 2 y = 1 x + 2 y = 1
⇔
⇔
1
2x + y = 1
=1
y + 2 x
1
x = 3 ( TM )
y = 1 ( TM )
3
Vậy hệ phương trình có nghiệm
2
3x
x +1 − y + 4 = 4
2x − 5 = 9
2. x + 1 y + 4
Điều kiện: x ≠ −1; y ≠ −4 .
2( x 2 − 2 x) + y + 1 = 0
2
3( x − 2 x) − 2 y + 1 = −7
27.
( x; y ) = 1 ; 1
3 3 .
28.
5 x − 1 − 3 y + 2 = 7
2 4 x 2 − 8 x + 4 + 5 y 2 + 4 y + 4 = 13
x −1 + y + 2 = 2
x −1 + y = 3
29.
x +1 + y −1 = 5
x +1 − 4y + 4 = 0
30.
x
1
= u;
=t
y+4
Đặt x + 1
.
Ta có hệ phương trình:
2
u
=
3u − 2t = 4
11
⇔
2
u
−
5
t
=
9
−
t = 19
11
2
x
x + 1 = 11
11 x = 2 x + 2
⇔
⇔
11 = −19 y − 76
1 = − 19
y + 4
11
2
x = 9 ( TM )
y = − 87 ( TM )
19
Vậy hệ phương trình có nghiệm
( x; y ) = 2 ; − 87
9 19 .
5
12
−
= 63
x−3 y + 2
8
15
+
= −13
x−3 y +2
3.
Điều kiện: x ≠ 3; y ≠ −2 .
1
1
= u;
=t
y+2
Đặt x − 3
.
Ta có hệ phương trình mới:
12u − 5t = 63
u = 4
⇔
8u + 15t = −13
t = −3
1
x − 3 = 4
4 x − 12 = 1
⇔
⇔
− 3 y − 6 = 1
1 = −3
y + 2
13
x = 4 ( TM )
⇔
y = − 7 ( TM )
3
Vậy hệ pt có nghiệm
( x; y ) = 13 ; − 7
4
3 .
