Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6

Chuyên đề :
TÍNH CHẤT CHIA HẾT – ƯỚC VÀ BỘI
Tiết 1:
TÍNH CHẤT CHIA HẾT – ƯỚC VÀ BỘI
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a và b (b ≠ 0 ).
a = b.q ⇔ a Mb ⇔ a là bội của b ⇔ b là ước của a.
2) Tính chất: 1/ Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó.
2/ Nếu a Mb vaøbMc ⇒ a Mc
3/ Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0.
4/ Bất cứ số nào củng chia hết cho 1.
5/ Nếu a Mm và b Mm thì a + b Mm vaøa − b Mm
6/ Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m
thì số còn lại cũng chia hết cho m.
7/ Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m
thì a +b không chia hết cho m và a - b không chia hết cho m.
8/ Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.
9/ Nếu a Mm, bMn ⇒ ab Mmn
Hệ Quả:
Nếu a Mb ⇒ a n Mb n
Nếu a Mm, a Mn , ( m, n) = 1 ⇒ a Mmn
B.Ví dụ: Ví dụ 1:Chứng minh rằng:
a) ab + ba chia hết cho 11.
b) ab − ba Chia hết cho 9 với a > b.
Giải:
a) Ta có ab + ba = (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) M11
Vậy ab + ba M11.
b) Ta có : ab − ba = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b = 9 (a – b) M9
Chú ý : Nếu ab + cd M11 ⇒ abcd M11
Ví dụ 2: Tìm n ∈ N để:
a) n + 4 Mn

b) 3n + 7 Mn
Giải:
a) n + 4 Mn , n Mn => 4 Mn => n ∈ Ư(4) = { 1; 2; 4}
b) 3n + 7 Mn; 3n Mn => 7 Mn => n ∈ Ư(7) = { 1;7}
C/ BÀI TẬP:
1) Cho abc − deg M7. Cmr abc deg M7
2) CMR Nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có hai chữ số số gồm chính hai chữ số ấy viết theo thứ
tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11.
3) Cho số abcM27 Chứng minh rằng số bca M27
Giải:
1)Tacoù: abc deg = 1000abc + deg = 1001abc − (abc − deg )
= 7.143abc − (abc − deg )
Mà : 7.143 abcM7 và abc − deg M7. Vaä
y abc deg M7
2) Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: ab .( 0 < a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9, a,b ∈ N)
Khi viết thêm số có hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại ta được số: abba

-1-


abba = 1000a + 100b + 10b + a
= 1001a + 110b = 7.11.13a + 11.10b M
11
Vaä
y : abba M
11
3)

abcM27
⇒ abc0M27

⇒ 1000a + bc0M27
⇒ 999a + a + bc0M27
⇒ 27.37a + bca M27
⇒ bca M27 ( Do 27.37a M27)

Tiết 2:

LUYỆN TẬP

1) CMR tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia
hết cho 4.
2) CMR Tổng của 5 số chẳn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5 số lẽ liên tiếp thì không chia hết cho 10.
3) Tìm n ∈ N để:
a) 27 – 5n Mn
b) n + 6 Mn + 2
c) 2n + 3 Mn – 2
d) 3n + 1 M11 – 2n
4) Cmr nếu ab + cd + eg M
11 thì abc deg M
11
5) Cho abc + deg M37. Cmr abc deg M37
6) Cho 10 k – 1 M19 với k > 1 CMR: 102k – 1 M19
7) Cho n là số tự nhiên. CMR:
a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho 2.
b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho cả 2 và 3.
8) Chứng minh rằng nếu ab = 2cd ⇒ abcd M67
Giải: 1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2 .
Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2) M3
Thật vậy ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 M3
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3.

Ta có: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 không chia hết cho 4 vì 4n chia hết cho 4 còn 7 không chia hết
cho 4.
Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết
cho 4.
2) Gọi 5 số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 với n là số tự nhiên.
Ta có: 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2) M10
Gọi 5 số lẽ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9 với n là số tự nhiên.
Ta có: 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 10n + 25 = 10(n + 2) + 5 M 10.
3) a) 27 – 5n Mn ; 5n Mn => 27 Mn => n ∈ Ư(27) = { 1;3;9; 27} nhưng 5n < 27 nên n < 6
Vậy n ∈ { 1;3}

b) n + 6 Mn + 2 => n + 2 + 4 Mn + 2, mà n +2 Mn + 2 => 4 Mn + 2 => n + 2 ∈ { 1; 2; 4} => n ∈ { 0; 2}

c) 2n + 3 Mn – 2 => 2(n – 2) + 7 Mn -2 => 7 Mn - 2 => n – 2 ∈ { 1;7} => n ∈{ 3;9}
d*) 3n + 1 M11 – 2n (n < 6) => 2(3n + 1) + 3(11 – 2n) M11 – 2n => 35 M11 – 2n
=> 11 – 2n ∈ { 1;5;7;35} nhưng vì n < 6 nên n ∈ { 5;3; 2}

4) Ta coù: abc deg = 10000ab + 100cd + eg = 9999ab + 99cd + (ab + cd + eg )
Do 9999M
11; 99M
11;( ab + cd + eg )M
11
Vậy : abc deg M
11
-2-


5) Tacoự: abc deg = 1000abc + deg = 999abc + ( abc + deg)
= 27.37 abc + (abc + deg)
Do 27.37 abc M37; ( abc + deg)M37; Vaọ

y: abc deg M37
6) Ta cú: 102k 1 = 102k 10k + 10k -1 = 10k(10k 1) + (10k 1)
Do 10k - 1 M19 nờn 10k(10k 1) + (10k 1) M19
Võy 102k 1 M19
7) a/ (n + 10 ) (n + 15 )
Khi n chn => n = 2k (k N).
Ta cú: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia ht cho 2.
Khi n l => n = 2k + 1 (k N).
Ta cú: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 1 + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16)
= 2(2k + 11 )(k + 8) chia ht cho 2.
Võy (n + 10 ) (n + 15 ) Chia ht cho 2.
b/ t. A = n (n + 1)(n + 2)
+ Trong hai s t nhiờn liờn tip cú mt s chn v mt s l, s chn chia ht cho 2 nờn A chia ht cho
2.
+ Trng hp: n = 3k (k N) thỡ n chia ht cho 3 nờn A chia ht cho 3.
(1)
Trng hp: n khụng chia ht cho 3 thỡ n = 3k + 1 hoc n = 3k + 2
Khi n = 3k + 1 => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia ht cho 3 nờn A
chia ht cho 3.
(2)
Khi n = 3k + 2 => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia ht cho 3 nờn A
chia ht cho 3.
(3)
T (1), (2) v (3) suy ra: A chia ht cho 3.
Vy A chia ht cho c 2 v 3.
8) Ta cú abcd = 100ab + cd
M:

ab = 2cd

Suy ra: abcd = 2cdcd = 200cd + cd = 201cd = 3.67cd M67
Vy:

abcd M67

Tit 3:
CC DU HIU CHIA HT
A/ Lí THUYT:
Goùi A =anan1...a2 a1a0 Tacoự:
AM2 a0 M2, AM5 a0 M5
AM4 a1a0 M4, AM25 a1a0 M25
AM
8 a2 a1a0 M
8, AM
125 a2 a1a0 M
125
AM3 an + an 1 + ... + a2 + a1 + a0 M3
AM9 an + an 1 + ... + a2 + a1 + a0 M9
B/ Vớ du:
Vớ d1:Tỡm s t nhiờn cú 4 ch s, chia ht cho 5 v cho 27. bit rng hai ch s gia ca nú l 97.
Gii: Gi n l s phi tỡm. Vỡ n chia ht cho 5 v cho 27 nờn n phi tn cựng bng 0 hoc 5 v chia ht cho 9, do
ú ta cú s n = *975 Hoaở
c soỏn = *970 .

Khi: n = *975 M9 => (* + 9 + 7 + 5) M9 => * = 6. Th li 6975 khụng chia ht cho 27.
Khi: n = *970 M9 => (* + 9 + 7 + 0) M9 => * = 2. Th li 2970 chia ht cho 27.
Võy s 2970 l s phi tỡm.
Vớ d 2: Cho s t nhiờn ab bng ba ln tớch cỏc ch s ca nú.
a) CMR: b chia ht cho a.
b) Gi s b = ka (k N) CM: k l c ca 10.

Gii: a) Theo bi ta cú: ab = 3ab
=> 10a + b = 3ab
(1)
-3-


=> 10a + b Ma
=>
b Ma
b) Do b = ka nên k < 10. Thay b = ka vào (1), ta có:
10a + ka = 3a.ka
=> a(10 + k) = 3ak. a
=> 10 + k = 3ak
=> 10 + k Mk
=> 10 Mk
Vậy k là ước của 10.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: với n ∈ N thì số 92n – 1 chia hết cho cả 2 và 5.
Giải: Có: 92n – 1 = (92)n – 1 = 81n - 1 = ….1 - 1 = …0
Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5.
C/ BÀI TẬP: 1) Thay các chữ x, y bằng chữ số thích hợp để cho:
a/ Số 275x chia hết cho 5; cho 25; cho125.
b/ Số 9 xy 4 chia hết cho 2, cho4, cho 8.
Giải: 1) a/ 275x M5 ⇔ x ∈ { 0;5} ; 275x M25 ⇔ x ∈ { 0} ; 275x M125 ⇔ x ∈ { 0}
b/ 9 xy 4M2 ⇔ x, y ∈ { 0;1; 2;...;9} ; 9 xy 4M4 ⇔ x ∈ { 0;1; 2;...;9} , y ∈ { 0, 2, 4, 6,8}
9 xy 4M
8 ⇔ x ∈ { 0; 2; 4;6;8} ; y ∈ { 2;6} hoaë
c x∈ { 1;3; 5;7;9} ; y ∈ { 0; 4;8}
Tiết 4:
LUYỆN TẬP
∈

1) Cho n N, chứng minh rằng:
a/ 5n – 1 M4
b/ n2 + n + 1 không chia hết cho 4.
c/ 10n - 1 M9
d/ 10n + 8 M9
2) Chứng minh rằng:
a/ 1028 + 8 M72
b/ 88 + 220 M17
3/ CMR với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n + 6 không chia hết cho 5.
4) CMR: a/ 94260 – 35137chia hết cho 5.
b/ 995 - 984 + 973 - 962 chia hết cho 2 và 5.
Giải:
1) a/ + Với n = 0, ta có: 50 – 1 = 1 – 1 = 0 M4
+ Với n = 1, ta có: 51 -1 = 5 – 1 = 4 M4.
+ Với n > 1, ta có: 5n = …5 nên 5n – 1 = …5 – 1 = … 4 M4
Vậy với n ∈ N, 5n – 1 M4 .
b/ Ta có n2 + n = n( n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tích chẳn, do đó n2 + n + 1 là số lẽ nên
không chia hết cho 4.
c/ Ta có 10n - 1 = 100…0 – 1 = 99…..9 M9
n chữ số 0 n chữ số 9
d/ Ta có: 10n + 8 = 100…0 + 8 = 100…08 M9
n chữ số 0 n-1 chữ số 0
2) a/ Ta có: 1028 + 8 = 100…0 + 8 = 100……08 M9
28 chữ số 0 27 chữ số 0
28
Số 10 + 8 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8
Mặt khác (8;9) = 1. Vậy 1028 + 8 chia hết cho 72.

(1)
(2)

b/ 88 + 220 = (23)8 + 220 = 2 24 + 2 20 = 220(24 + 1) = 220. 17 M17
vây 88 + 220 chia hết cho 17.
3) Với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n = n(n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tận cùng bằng 0; 2;
6. Do đó n 2 + n + 6 tận cùng bằng 6; 8; 2 nên không chia hết cho 5.
4) a/ 94260 – 35137= 9424.15 – 35137= ….615 - …1 = …6 - …1 = …5 M5
-4-


b/ 995 - 984 + 973 - 962 = …9 - …6 + ….3 - …..6 =….0
Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5.
Tiết 5:

SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ.
PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ
A/ LÝ THUYẾT:
+ Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
+ Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn hai ước.
+ Để chứng tỏ số tự nhiên a > 1 là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a.
Chú ý: 10n = 10….0 = 2n.5n
n chữ số 0
+ Cách xác định số lượng ước của một số: Khi phân tích M ra thừa số nguyên tố, ta có
M = ax.by….cz thì các ước của M là (x + 1)(y + 1)…(z + 1).
+ Nếu ab MP với P là số nguyên tố thì hoặc a MP hoặc b MP .
Đặc biệt: Nếu an MP thì a MP
B/ VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Cho A = 5 + 52 + 53 +……+5100
a) Số A là số nguyên tố hay hợp số?
b) Số A có phải là số chính phương không?
Giải: a) Có A > 5; A M5 ( Vì mỗi số hạng đều chia hết cho 5) nên A là hợp số.

b) Có 52 M25, 53 M25;…..;5100M25, nhưng 5 M25 nên A M25
Số A M5 nhưng A M25 nên A không là số chính phương.
Ví dụ 2: Số 54 có bao nhiêu ước.
Giải: Có: 54 = 2 .33. Số ước của 54 là: (1 + 1)(3 + 1) = 2.4 = 8 ước.
Tập hợp các ước của 54 là: Ư(54) = { 1; 2;3;6;9;18; 27;54}
Ví dụ 3: Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2 , p + 4 cũng là số nguyên tố.
Giải: Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với k là số tự nhiên.
Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p là số nguyên tố) => p + 2 = 5; p + 4 = 7 đều là số nguyên tố.
Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 2 là hợp số, trái với đề bài.
Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 4 là hợp số, trái với đề bài.
Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm.
C/ BÀI TẬP:
1) Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong ba số đó?
2) Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không?
3) Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sau cũng là số nguyên tố.
a) p + 2 và p + 10.
b) P + 10 và p + 20.
4) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số nguyên tố. Chứng minh p + 1chia hết cho 6.
5) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3).Chứng minh p + 8 là hợp số.
6) Cho a, n ∈ N*, biết an M5. Chứng minh: a2 + 150 M25.
Giải:
1) Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012 là số chẳn nên một trong ba số nguyên tố đó phải có một số chẳn
đó là số 2. số 2 là số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đã cho.
2) Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 là số lẽ nên một trong hai số nguyên tố đó phải là số 2 khi đó số
thứ hai là: 2003 – 2 = 2001 chia hết cho 3 nên là hợp số.
Vậy không tồn tai hai số nguyên tố có tổng bằng 2003.
3) a/ Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với k là số tự nhiên.
Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p là số nguyên tố) => p + 2 = 5; p + 10 = 13 đều là số nguyên tố.
Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 2 là hợp số, trái với đề bài.
Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 10 là hợp số, trái với đề bài.

Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm.
b/ Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với k là số tự nhiên.
Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p là số nguyên tố) => p + 10 = 13; p + 20 = 23 đều là số nguyên tố.
-5-


Nếu p = 3k + 1 thì p + 20 = 3k + 21 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 20 là hợp số, trái với đề bài.
Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 10 là hợp số, trái với đề bài.
Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm.
4) Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẽ, => p + 1 là số chẵn nên p + 1 M2
p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2. (k ∈ N)
Dạng p = 3k + 1 không xãy ra.
Dạng p = 3k + 2 cho ta p + 1 = 3k + 3 M3
Từ (1) và (2) suy ra p + 1 M6
5) p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2. (k ∈ N)
Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 nên là hợp số, trái với đề bài.
Vậy p có dạng 3k + 1 khi đó p + 8 = 3k + 9 chia hết cho 3 nên p + 8 là hợp số.
6) Có an M5 mà 5 là số nguyên tố nên a M5 => a2 M25.
Mặt khác 150 M25 nên a2 + 150 M25.

-6-

(1)
(2)


Chuyên đề :
Tiết 1:

DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT

DÃY CỘNG

1) Ví du 1: Xét các dãy số sau:
a) Dãy số tự nhiên: 0; 1; 2; 3; …
b) Dãy số lẻ: 1; 3; 5; …
c) Dãy các số chia cho 3 dư 1: 1; 4; 7; 10;….
Trong các dãy số trên, mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, đều lớn hơn số hạng đứng liền trước nó cùng một số
đơn vị, số đơn vị này là 1 ở dãy a), là 2 ở dãy b), là 3 ở dãy c). Ta gọi các dãy trên là dãy cộng.
2) Khái niệm:
Dãy cộng là dãy số có mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) đều lớn hơn số hạng đứng liền trước nó cùng
một số đơn vị
Xét dãy cộng 4; 7; 10; 13; 16; 19; ….
Hiệu giữa hai số liên tiếp của dãy là 3. số hạng thứ 6 của dãy là 19 = 4 + (6 - 1).3; số hạng thứ 10 của
dãy là: 4 + ( 10 – 1).3 = 31.
Tổng quát 1:
Nếu một dãy cộng có số hạng đầu là a1 và hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là d
thì số hạng thứ n của dãy ( kí hiệu là an) bằng: an = a1 + (n – 1).d
Ví dụ2: a) Tìm số hạng thứ 100 của dãy số: 1, 3, 5, 7, …..
b) Tìm số hạng thứ 80 của dãy số : 4, 7, 10, 13, …
Giải: a) Số hạng thứ 100 của dãy số: 1, 3, 5, 7, ….. là: a100 = 1 + (100 – 1).2 = 199
b) Số hạng thứ 80 của dãy số: 4, 7, 10, 13,… là: a80 = 4 + (80 – 1).3 = 241
Tổng quát 2:

Chú ý;

Nếu một dãy cộng có n số hạng, số hạng đầu là a1, số hạng cuối là an
(a + a )n
Thì tổng của n số hạng đó là: S = 1 n
2
Dãy các số tự nhiên liên tiếp từ a đến b có: (b – a ) + 1 số

Dãy các số tự nhiên lẽ (chẳn) từ m đến n có: (n – m): 2 + 1 số

Ví dụ 3: Tính tổng các số hạng của dãy cộng sau: 4 + 7 + 10 +…. + 25 + 28 + 31 (gồm 10 số)
( 4 + 31) .10 = 175
Giải:
S=
2
Ví dụ 4: a) Bạn Tâm phải dùng bao nhiêu chữ số để đánh số trang sách bằng các số tự nhiên từ 1 -> 100.
b) Bạn Lâm đánh số trang một cuốn sách dày 284 trang bằng dãy số chẳn 2, 4, 6, 8,….
Biết mỗi chữ số viết mất 1 giây. Hỏi bạn Lâm cần bao nhiêu phút để đánh số trang sách?
Giải: a) Bạn Tâm phải dùng: 9 + 90.2 + 1.3 = 192 chữ số.
b) Dãy 2, 4, 6, 8 có 4 số, gồm 4 chữ số.
Dãy 10, 12, 14, 16,….98 có: (98 – 10): 2 + 1 = 45 (số) có hai chữ số, gồm 45.2 = 90 chữ số.
Dãy 100, 102, 104, …284 có: (284 – 100): 2 + 1 = 93(số) có 3 chữ số, gồm 93.3 = 279 (chữ số)
Do đó bạn Lâm phải viết tất cả: 4 + 90 + 279 = 373 (chữ số), hết 373 giây hay 6 phút13 giây.
Tiết 2:
LUYỆN TẬP
Bài 1: Tính tổng sau: 6 + 12 + 18 +….. + 1992
Giải: Tổng 6 + 12 + 18 +….. + 1992 có : (1992 - 6): 6 + 1 = 332 số hạng.
(6 + 1992) .332
= 331668
Vậy tổng: 6 + 12 + 18 +….. + 1992 =
2
Bài 2: Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang của một cuốn sách có tất cả là:
a) 358 trang.
b/ 1031 trang.
-7-


Giải: a) Muốn đánh số từ 1 đến 358( kể cả 358), Ta phải dùng:

9 số có một chữ số.
(99 -10) + 1 = 90 số có hai chữ số.
Và (358 – 100) + 1 = 259 số có ba chữ số.
Vây ta phải dùng: 9 + 90.2 + 259. 3 = 966 (chữ số).
b) Tương tự, Ta phải dùng: 9 + 90 .2 + 900 .3 + 32 .4 = 3017 chữ số để đánh số trang của một cuốn sách có
1031 trang.
Bài 3: Người ta viết liền nhau dãy các số tự nhiên 12345…..Hỏi chữ số chỉ đơn vị của số :
a) 53 đứng ở hàng thứ mấy?
b) 328 đứng ở hàng thứ mấy?
c) 1587 đứng ở hàng thứ mấy?
Giải: a) Từ số 1 đến số 53 ( kể cả 53) Có: 9 + (53 -10 +1).2 = 97 chữ số . Vậy 3 ở hàng thứ 97.
b) Vậy 8 ở hàng thứ 876.
c) Vậy 7 ở hàng thứ 5241.
Bài 4: Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang của một cuốn sách có tất cả là:
a) 752 trang.
b/ 1251 trang.
Giải: HS tự giải
Đáp số: a) 2148 chữ số.
b) 3897 chữ số.
Bài 5: Tính số trang của một cuốn sách. Biết rằng để đánh số trang của cuốn sách đó người ta phải dùng 3897
chữ số?
Giải: Phải dùng 9 + 90.2 + 900.3 = 2889 chữ số để viết tất cả các trang có 1, 2, và 3 chữ số. Vì 2889 < 3897
3897 − 2889 1008
=
= 252 (số).
nên số phải tìm là số có 4 chữ số. Tất cả các số có 4 chữ số đã viết là:
4
4
Số thứ nhất có 4 chữ số là 1000, vậy số thứ 252 có 4 chữ số là:1000 + 252 – 1 = 1251.
Vậy cuốn sách có 1251 trang.

Bài 6*: Bạn Lâm đánh số trang một cuốn sách dày 284 trang bằng dãy số chẳn 2, 4, 6, 8,….
Giải:Chữ số 300 của dãy số trên là chữ số nào?
Viết dãy số chẵn từ 2 đến 98 phải dùng: 4 + 90 = 94 (chữ số), còn lại 300 - 94 = 206 (chữ số) để viết các
số chẵn có ba chữ số kể từ 100.
Ta thấy: 206:3 = 68 dư 2. Số chẵn thứ 68 kể từ 100 là: 100 + (68 – 1) . 2 = 234. hai chữ số tiếp theo là 2
và 3 thuộc số 236. Vậy chữ số thứ 300 của dãy là chữ số 3 thuộc số 236.
Tiết 3:
CÁC DÃY KHÁC
Ghi nhớ:
Tổng của n số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 bằng:
n(n + 1)
1 + 2 + 3 + …….+ n =
2
Ví dụ: Tìm số hạng thứ 100 của các dãy số được viết theo quy luật:
a) 3, 8, 15, 24, 35,…
(1)
b) 3, 24, 63, 120, 195,… (2)
c) 1, 3, 6, 10, 15,….
(3)
d) 2, 5, 10, 17, 26,…
(4)
Giải: a) Dãy (1) có thể viết dưới dạng: 1.3, 2.4, 3.5, 4.6, 5.7,…
Mỗi số hạng của dãy (1) là tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứ nhất 2 đơn vị. Các
thừa số thứ nhất làm thành một dãy: 1, 2, 3, 4, 5, …; Dãy này có số hạng thứ 100 là 100.
Số hạng thứ 100 của dãy (1) bằng: 100.102 = 10200.
b) Dãy (2) có thể viết dưới dạng: 1.3, 4.6, 7.9, 10.12, 13.15,…
Số hạng thứ 100 của dãy 1, 4, 7, 10, 13,… là: 1 + (100 – 1 ).3 = 298.
Số hạng thứ 100 của dãy (2) bằng: 298 . [ 3 + (100 - 1). 3] = 89400.
c) Dãy (3) có thể viết dưới dạng:
1.2 2.3 3.4 4.5 5.6

,
,
,
,
,...
2 2 2 2 2
-8-


100.101
= 5050
2
d) Dãy (4) có thể viết dưới dạng:
1 + 12 , 1 + 22, 1 + 32, 1 + 42, 1 + 52….
Số hạng thứ 100 của dãy (4) bằng: 1 + 1002 = 10001
Bài tập: Để đánh số trang một cuốn sách người ta phải dùng tất cả 600 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu
trang?
Giải: 99 trang đầu cần dùng 9.1 +90.2 = 189 Chữ số.
999 trang đầu cần dùng: 9.1 + 90.2 + 900.3 = 2889 chữ số
Vì: 189 < 600 < 2889 nên trang cuối cùng phải có 3 chữ số. Số chữ số để đánh số các trang có 3 chữ số la:
600 – 189 = 411 (chữ số)
Số trang có 3 chữ số là 411: 3 = 137 trang.
Vậy quyễn sách có tất cả là: 99 +137 = 236 trang.
Tiết 4:
LUYỆN TẬP CHUNG
Số hạng thứ 100 của dãy (3) bằng:

1/ a) Tính tổng các số lẽ có hai chữ số.
b) Tính tổng các số chẳn có hai chữ số.
2/ Tính tổng: A = 3 + 7 + 11 + 15 + …. + 407

B = 2 + 9 + 16 + 23 +… .. + 709
3/ Viết liên tiếp dãy số tự nhiên từ 1 đến 100 tạo thành một số A. Tính tổng các chữ số của A.
Giải:
1/ a) Tập hợp các số lẽ có hai chữ số có: (99 – 11):2 + 1 = 45 số.
( 11 + 99 ) .45 = 2475
Vậy tổng của chúng là: S =
2
b) Tập hợp các số chẳn có hai chữ số có: (98 – 10 ):2 + 1 = 45 số
( 10 + 98 ) .45 = 2430
Vậy tổng của chúng là: S =
2
2/ Tổng A có (407 – 3 ):4 +1 = 102 số hạng. Tổng B có: (709 – 2):7 + 1 = 102 số hạng.
( 3 + 407 ) .102 = 20910
( 2 + 709 ) .102 = 36221
Vậy: A =
B=
2
2
3/ Theo đề bài ta có: A = 123456789101112…..9899100. Hay A = 0123456789101112….9899100.
Từ 0 đến 99 có 100 số ghép thành 50 cặp số (0 và 99), (1 và 98),….; Mỗi cặp có tổng các chữ số bằng 18.
Tổng các chữ số của 50 cặp số đó bằng 18.50 = 9.2.50 = 900. Thêm số 100 có tổng các chữ số bằng 1. Vậy tổng
các chữ số của số A là: 900 + 1 = 901

-9-


CHUYÊN ĐỀ :

CHỮ SỐ TÂN CÙNG.
TÌM MỘT CHỮ SỐ TẬN CÙNG

Tiết 1:
A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Tìm chữ số tận cùng của tích:
+ Tích các số lẽ là một số lẽ.
+ Tích của một số tận cùng bằng 5 với bất kỳ số lẽ nào cũng tận cùng bằng 5.
+ Tích của một số chẳn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẳn.
+ Tích của một số tận cùng bằng 0 với bất kỳ số tự nhiên nào cũng tận cùng bằng 0.
2) Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa:
a) Tìm một chữ số tân cùng:
+ Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0; 1; 5; 6 Khi nâng lên lũy thừa bất kỳ( khác 0) thì vẫn có tận cùng
bằng 0; 1; 5 ; 6.
+ Các số tự nhiên có tận cùng bằng 3; 7; 9 nâng lên lũy thừa 4n đều có tận cùng là 1.
…34n = ….1;
…..74n = ….1;
…94n = …1
+ Các số tự nhiên có tận cùng bằng 2; 4; 8 nâng lên lũy thừa 4n (n ≠ 0) đều có tận cùng là 6.
…24n = ….6;
…..44n = ….6;
…84n = …6.
+ Các số tự nhiên có tận cùng là 4 hoặc 9 khi nâng lên lũy thừa lẽ thì có chữ số tận cùng bằng chính nó.
B/ Ví dụ : Tìm một chữ số tân cùng:
1) Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
7430 ; 4931 ; 8732 ; 5833 ; 2335 .
2) CMR 8102 – 2 102 Chia hết cho 10.
Giải: 1) Có : 7430 = 744.7.742 = (…6). (…6) = (…6);
4931 = (….9);
8732 = 874.8 = (…1);
5833 = 5832. 58 = 584.8. 58 = (…6). 58 = (…8);
2335 = 2332. 233 = (…1) .(…7) = (…7).

102
2) 8 = 8100.82 = 84.25.82 = (…6). 64 = ….4
2 102 = 2100.22 = 24.25.22 = (…6) . 4 = ….4.
Vậy 8102 – 2 102 có tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10.
C/ Bài Tập:
1) CMR A = 51n + 47102 (n ∈ N) Chia hết cho 10.
2) Chứng tỏ rằng 175 + 244 – 1321 chia hết cho 10.
Giải: 1) 51n = ….1
47102 = 47100.472 = 474.25.472 = (….1).( …9) = …9
Vậy A = ….1 + ….9 = ….0 nên chia hết cho 10.
2) Có 175 + 244 – 1321 = 174.17 + (…6) – (132)10. 13 = (…1).17 + (…6) – (…9)10.13
= (…7) + (…6) – (..1). 13 = (…7) + (…6) – (..3) = (…3) + (…3) = (…0).
Vậy số 175 + 244 – 1321 chia hết cho 10.
Tiết 10:
LUYÊN TẬP
1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n:
a) 74n - 1 chia hết cho 10.
b) 34n+1 + 2 chia hết cho 5.
c) 24n+1 + 3 chia hết cho 5
d) 24n+2 + 1 chia hết cho 5
e) 92n+1 + 1 chia hết cho cả 2 và 5.
2) Tìm các số tự nhiên n để n10 + 1 chia hết cho 10.
3) Biết rằng số tự nhiên n chia hết cho 2 và n2 - n chia hết cho 5. Tìm chữ số tận cùng của n?
Giải: 1)
a/ Có 74n - 1 = (…1) – 1 = (…0) nên chia hết cho 10.
4n+1
b/ 3 + 2 = 34n.3 + 2 = (…1). 3 + 2 = (…3) + 2 = …5 nên chia hết cho 5.
c/ 24n+1 + 3 = 24n. 2 + 3 = (…6). 2 + 3 = (…2) + 3 = (…5) nên chia hết cho 5.
d/ 24n+2 + 1 = 24n.22 + 1 = (…6). 4 + 1 = (…4) + 1 = (..5) nên chia hết cho 5.
e/ 92n+1 + 1 = (…9) + 1 = (…0) nên chia hết cho 10. ( vì 2n + 1 là số lẽ).

2) Có n10 + 1 chia hết cho 10 => n10= n5.2= (n5)2 có tận cùng bằng 9.
=> n5 tận cùng bằng 3 hoặc 7 => n tận cùng bằng 3 hoặc 7.
- 10 -


3) Có n2 – n = n.(n – 1) chia hết cho 5 nên n hoặc n – 1 chia hết cho 5
Do đó n tận cùng là 0 ; 5 hoặc n – 1 tận cùng là 0 ; 5.
=> n tận cùng là 0 ; 5 hoặc 1; 6 .
Vì n chiz hết cho 2 . Vậy n tận cùng là 0; 6.
Tiết 2:
TÌM HAI CHỮ SỐ TÂN CÙNG TRỞ LÊN
A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Tìm hai chữ số tân cùng:
+ Các số có tận cùng bằng 01; 25; 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 01; 25;
76.
+ Các số 320 (hoặc số 815); 74; 512; 992 có tận cùng bằng 01.
+ Các số 220; 65; 184; 242; 742 ; 684 có tận cùng bằng 76.
+ Số 26n ( n > 1) có tận cùng bằng 76.
2) Tìm ba chữ số tân cùng trở lên:
+ Các số có tận cùng bằng 001; 376; 625 nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng tận cùng bằng
001;
376; 625.
+ Số có tận cùng bằng 0625 nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng tận cùng bằng 0625.
+ Một số chính phương thì không có tận cùng là 2; 3; 7; 8
B/ Ví dụ: Tìm hai chữ số tân cùng:
a) Tìm hai chữ số tân cùng của 2100.
b) Tìm hai chữ số tân cùng 71991.
Giải: a) Ta có: 210 = 1024. Bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76.
Do đó 2100 = (210)10 = 102410 = (10242)5 = (…76)5 = …76
Vậy hai chữ số tận cùng của 2 100 là 76.

b) 74 = 2401. Số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 01. Do đó:
7 1991 = 71998.73 = (74)497. 343 = ( …01)497. 343 = (…01). 343 = …43.
1991
Vậy 7 có tận cùng bằng 43.
C/ Bài Tập:
1) Tìm hai chữ số tận cùng của:
99
a) 5151 ; b) 6666 ;
c) 14101. 16101;
d) 9999 ;
e) 5n, với n > 1
Giải:
1)

(

)

a) 5151 = (512)25 . 51 = ...01

25

(

)

.51 = ...01 .51 = ...51 ;

b) 6666 = (65)133. 6 = (..76)133 . 6 = (…76) . 6 = …56
c) 14101. 16101 = (14 . 16)101 = 224101 = (2242)50 .224 = (…76)50 .224 = (…76) .224 = …24;

99
d) 9999 = 992 k +1 = (992 ) k .99 = (...01) k .99 = (..01).99 = ...99 ;
e) 5n =….25. (n > 1).

- 11 -