043 đề HSG toán 9 hải dương 2017 2018

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG
NĂM HỌC 2017-2018

Câu 1. a) Cho A=

x2  x
x2  x
1

. Rút gọn B  1  2 A  4 x  1 với 0  x 
4
x  x 1 x  x 

b) Cho x, y, z  0 và đôi một khác nhau thỏa mãn


1 1 1
   0 . Chứng
x y z



2016
2017
2018
 2
 2
minh  2
  x  y  z   xy  yz  zx .
 x  2 yz y  2zx z  2xy 

1

1

Câu 2. a)Giải phương trình



1





x  5  x  2 1  x 2  3x  10  7 .

 x 2  y 2  xy  2
b)Giải hệ phương trình  3
.

x  x  y

Câu 3. a)Tìm các số thực x sao cho x  2018 và

7
 2018 đều là số nguyên.
x
2

2

b) Tìm các số tự nhiên có dạng ab . Biết rằng ab  ba là số chia hết cho
3267 .
Câu 4. Cho hình bình hành ABCD có góc BDC  900 , đường phân giác góc
BAD cắt cạnh BC và đường thẳng CD lần lượt tại E và F . Gọi O, O '
lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD và CEF .
1)Chứng minh rằng O ' thuộc đường tròn (O) .
2) Khi DE vuông góc BC
a) Tiếp tuyến của (O) tại D cắt đường thẳng BC tại G . Chứng minh
rằng BG.CE  BE.CG
b)Đường tròn (O) và (O ') cắt nhau tại điểm H ( H khác C ). Kẻ tiếp
tuyến chung IK ( I thuộc (O) , K thuộc (O ') và H , I , K nằm cùng phía
bờ OO' ). Dựng hình bình hành CIMK . Chứng minh OB  O ' C  HM .
Câu 5. Cho x, y, z  0 thỏa mãn x2  y 2  z 2  3xyz . Tìm GTLN của
P

x2
y2
z2


x 4  yz y 4  zx z 4  xy


LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG
NĂM HỌC 2017-2018
Câu 1.

x2  x
x2  x

1

a) Cho A=
. Rút gọn B  1  2 A  4 x  1 với 0  x 
4
x  x 1 x  x 
b)Cho x, y, z  0 và đôi một khác nhau thỏa mãn

1 1 1
   0.
x y z


 2016
1
1
1
2017
2018
 2
 2
 xy  yz  zx
Chứng minh  2
 x y z
x

2
yz
y


2zx
z

2x
y







ời giải
a) Ta có

x2  x
x2  x
x ( x x  1)
x ( x x  1)
A=

=

x  x 1 x  x 1 x  x 1
x  x 1

 x ( x  1)  x ( x  1)  2x
1
B  1  2 A  4 x  1  1  4 x  4 x  1  1  2 x  1  2 x (0  x  )
4

b)Ta có

1 1 1
   0  yz  xz  xy  0
x y z

 x2  2 yz  x2  yz  yz  x2  yz  xz  xy  x( x  z )  y( x  z )  ( x  z )( z  y)

Tương tự  y 2  2zx  ( y  z)( y  x); z 2  2xy=(z-x)(z-y)



1
1
1
 2
 2
x  2 yz y  2 xz z  2 yx
2



1
1
1


( x  y)( x  z ) ( y  z )( y  x) ( z  y )( z  x)



y  z  z  x  x  y
0
( x  y )( y  z )( z  x)


 2016
1
1
1
2017
2018
 2
 2
 2
 (x  y  z )  0 .
 x  2 yz y  2 xz z  2 yx 
Câu 2.

a)Giải phương trình





2
2

 x  y  xy  2
b)Giải hệ phương trình  3


x  x  y

ời giải
a)Điều kiện x  2



x  5  x  2 1  x 2  3x  10  7 .








x  5  x  2 1  x 2  3x  10  7

 1  x2  3x  10  x  5  x  2

 ( x  5( x  2  1)  x  2  1
 x  2 1
x  3


 x  4
 x  5  1
So với điều kiện ta được phương trình có 1 nghiệm x  3 .
 x 2  y 2  xy  2


b)  3

x  x  y

Từ phương trình x3  x  y  2x3  2( x  y)  ( x2  y 2  xy)( x  y)  x3  y 3
 x3  y 3  x  y

Với x  y thế vào phương trình x2  y 2  xy  2 ta được

y  2
y2  2  
 y   2
Vậy hệ có nghiệm ( x; y)  {( 2; 2);( 2;  2)} .
Câu 3.

a)Tìm các số thực x sao cho x  2018 và

7
 2018 đều là số nguyên.
x
2

2

b) Tìm các số tự nhiên có dạng ab . Biết rằng ab  ba là số chia hết cho 3267 .
ời giải
a) Điều kiện x  0 .
Đặt a  x  2018  x  a  2018
Xét b 

7
7
7  a 2018  2018
 2018 
 2018 
x
a  2018
a  2018

 b(a  2018)  2025  a 2018
 ab  2015  (b  a) 2018
Với a, b  Z

 ab  2025  Z  (a  b) 2018  0
ab
 a  b   2025  45
+ a  45  x  45  2018
+ a  45  x  45  2018
2

2

b) ab  ba  (10a  b)2  (10b  a)2  99(a 2  b2 )
2

2

ab  ba chia hết cho 3267 nên a 2  b2  (a  b)(a  b) chia hết cho 33
1  a, b  9  a  b ,hay a  7, b  4 ; a  4, b  7

Vậy ta có các số 11;22;33;44;47;55;66;74;77;88;99 .


Cho hình bình hành ABCD có góc BDC  900 , đường phân giác góc BAD cắt
cạnh BC và đường thẳng CD lần lượt tại E và F . Gọi O, O ' lần lượt là tâm
đường tròn ngoại tiếp BCD và CEF .

Câu 4.

1)Chứng minh rằng O ' thuộc đường tròn (O) .
2) Khi DE vuông góc BC
a) Tiếp tuyến của (O) tại D cắt đường thẳng BC tại G . Chứng minh rằng
BG.CE  BE.CG
b)Đường tròn (O) và (O ') cắt nhau tại điểm H ( H khác C ). Kẻ tiếp tuyến chung
IK ( I thuộc (O) , K thuộc (O ') và H , I , K nằm cùng phía bờ OO' ). Dựng hình
bình hành CIMK . Chứng minh OB  O ' C  HM
ời giải

a)

 BAE  EFC
 EFC  FEC
BAE  DAE (giả thuyết); 
 DAE  FEC
suy ra EFC cân tại C  CE  CF
mà BEA  FEC  BEA  BAE nên ABE cân tại B

 BA  BE mà BA  CD nên BE  CD

CE  CF

 BE  CE  DC  CF  BC  DF (1) .

 BE  CD
Mặt khác O ' CF cân  O ' CF  O ' FC
Với CE  CF  O ' CE  O ' CF  O ' CE  O ' FC (2)


Mà O ' C  O ' F (3) .
Từ (1) , (2) và (3) ta được BO ' C  DO ' F  O ' BC  O ' DF
Nên tứ giác BDCO ' nội tiếp hay điêm O ' thuộc đường tròn (O ')
b)Tam giác BCD tại D ,nội tiếp đường tròn (O) .
Ta có
2

 DG  CG.BG
 DG 2  DE 2  CG.BG  BE.CE  GE 2  CG.BG  BE.CE
 2

 DE  BE.CE
 (CE  CG)2  CG.BG  BE.CE
 CE 2  2CE.CG  CG 2  CG.BG  BE.CE
 CE 2  CE.CG  BE.CE  CG.BG  CG2  CE.CG

 CE(CE  CG  BE )  CG( BG  CG  CE)  CE.BG  CG.BE

c)Tia CH cắt IK tại N . Áp dụng phương tích đường tròn ta có
NK 2  NH .NC  NI 2  NK  NI mà CIMK là hình bình hành, do đó
M , N , H , C thẳng hàng.
Suy ra OB2  O ' C  OI  O ' K  2 NJ . Gọi T là điểm đối xứng với H qua N , P là
giao điểm của CH với OO ' .

 PH  PC
 NJ  NP
Ta có 
OO '  CH

 2NJ  2NP  NP  NP  NP  PH  NP  NT  PC  NP  TC = HM
Vậy OB  O 'C  HM
Câu 5.

.

Cho x, y, z  0 thỏa mãn x2  y 2  z 2  3xyz . Tìm GTLN của

P

x2
y2
z2


x 4  yz y 4  zx z 4  xy
ời giải

Ta có x, y, z  0 , x 2  y 2  z 2  3xyz 

x2  y 2  z 2
 3.
xyz

Với x, y, z  0 , theo BĐT Cauchy ta được x2  y 2  z 2  xy  yz  zx
x 4  yz  2 x 4 yz  2 x 2 yz 

Tương tự ta được:

x2
1

4
x  yz 2 yz

y2
1
z2
1

;

4
4
y  zx 2 zx z  xy 2 xy


P

x2
y2
z2
1 1
1

1  11 1 1


 


    
4
4
4
x  yz y  zx z  xy 2  yz
xz
xy  2  x y z 

1  xy  yz  zx  1  x 2  y 2  z 2  3
 

 
2
xyz
xyz
 2
 2

GTLN của P 

3
khi x  y  z  1
2
 HẾT 