044 đề HSG toán 9 bình định 2017 2018

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH
NĂM HỌC 2017-2018
Câu 1:
1) Chứng minh n6  2n4  n2 chia hết cho 36 với mọi n nguyên dương.
2) Cho ba số phân biệt a, b, c . Đặt:
x   a  b  c   9ab, y   a  b  c   9bc, z   a  b  c   9ac .
2

2

2

Chứng minh rằng trong ba số x, y, z có ít nhất một số dương.
Câu 2:
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:  x  y  2 x  y  1  9  y  1  13
2) Giải phương trình: x2  x  2018  2018
Câu 3:
1) Cho ba số a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện: a2  b2  c2  2  ab  bc  ca  và
p, q, r là ba số thỏa mãn: p  q  r  0 . Chứng minh rằng: apq  bqr  crp  0 .
2) Cho các số dương a, b thỏa mãn a.b  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:





M   a  b  1 a 2  b2 

4
ab

Câu 4:

1) Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF và trực tâm là H.
a) Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BH
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AH và BC. Đường tròn đường kính
AH cắt đoạn thẳng IJ tại K. Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại
M và cắt đoạn thẳng BC tại P. Tia MD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
tại Q. Chứng minh tứ giác AQDP là tứ giác nội tiếp.
2) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên
các cạnh AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí của điểm D, E sao cho:
a) DE có độ dài nhỏ nhất.
b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.


STT 07. LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH ĐỊNH
NĂM HỌC 2017-2018
Câu 1:
1) Chứng minh n6  2n4  n2 chia hết cho 36 với mọi n nguyên dương.
2) Cho ba số phân biệt a, b, c . Đặt:
x   a  b  c   9ab, y   a  b  c   9bc, z   a  b  c   9ac .
2

2

2

Chứng minh rằng trong ba số x, y, z có ít nhất một số dương.
Lời giải
1) Ta có: n6  2n4  n2  n6  n4  n4  n2  n4  n2  1  n2  n2  1  n  n  1 n  1

2

2
A 2
và  2,3  1  A 6  n  n  1 n  1 36
A 3

Đặt A  n  n  1 n  1 , ta có 
(đpcm)
2) Ta có:

x  y  z   a  b  c   9ab   a  b  c   9bc   a  b  c   9ac  3  a  b  c   9  ab  bc  ca 
2

 3 a 2  b2  c 2   ab  bc  ca  

2

2

2

3
2
2
2
a  b   b  c    c  a  


2

Vì a, b, c là ba số phân biệt nên

3
2
2
2
a  b   b  c    c  a    0  x  y  z  0 .


2

Do đó trong ba số x, y, z phải có ít nhất một số dương.
Câu 2:
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:  x  y  2 x  y  1  9  y  1  13
2) Giải phương trình: x2  x  2018  2018
Lời giải
1) Ta có:  x  y  2x  y  1  9  y 1  13  2x 2  xy  x  2xy  y 2  y  9 y  9  13  0

 2x

2

 2 xy  6 x    xy  y 2  3 y    5x  5 y  15  7  2 x  x  y  3  y  x  y  3  5  x  y  3  7

  x  y  3 2 x  y  5  7


10

x


x

y

3

1
x

y


2



3
+ TH1: 


2 x  y  5  7
2 x  y  12
 y  16

3
10

x

x


y

3

7
x

y

4



3
+ TH2: 


2 x  y  5  1 2 x  y  6
 y  2

3

(loại)

(loại)

 x  y  3  1
 x  y  4
 x  2



2 x  y  5  7
2 x  y  2
y  2

+ TH3: 

(thỏa mãn)

 x  y  3  7
 x  y  10
 x  2
(thỏa mãn)


2 x  y  5  1 2 x  y  4
y  8

+ TH4: 

Vậy pt đã cho có nghiệm nguyên  x; y  là:  2; 2  ,  2;8 .
2) ĐKXĐ: x  2018 , đặt x  2018  t , , t  0  t 2  x  2018
x  t  0
x 1  t

Ta có x 2  x  2018  2018  x 2  t  t 2  x   x  t  x  t  1  0  
 x 2  x  2018  0
x  t  0
1  3 897


x
2
2018  x  0 2018  x  0

+ TH1: 

 x 2  x  2017  0
x 1  t
1  8069

x
2
 x  1
 x  1

+ TH2: 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x 

1  3 897
1  8069
; x
.
2
2

Câu 3:
1) Cho ba số a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện: a2  b2  c2  2  ab  bc  ca  và
p, q, r là ba số thỏa mãn: p  q  r  0. Chứng minh rằng: apq  bqr  crp  0 .

2) Cho các số dương a, b thỏa mãn a.b  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:





M   a  b  1 a 2  b2 

4
ab

Lời giải
1) Từ gt: a2  b2  c2  2  ab  bc  ca    a  b  c   4bc | a  b  c | 2 bc
2


Lại có: p  q  r  0  r   p  q

 apq  bqr  crp  apq  bq   p  q   cp   p  q   apq  bpq  bq2  cpq  cp2  pq  a  b  c    bq2  c

Ta có: bq2  cp2 | pq | 2 bc | pq || a  b  c | pq  a  b  c 
 pq  a  b  c    bq 2  cp 2   0  apq  bqr  crp  0 (đpcm).

2) Sử dụng BĐT AM – GM, ta có: a2  b2  2ab  2





 M   a  b  1 a 2  b2 

2

 a  b.

4
4
4 

  a  b  1 .2 
 a b
ab 2
ab
ab 
ab 

4
 2 ab  2  2.2  2  2  8 . Dấu “=” xảy ra khi a  b  1 .
ab

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 8 khi a  b  1 .
Câu 4:
1) Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF và trực tâm là H.
a) Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BH
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AH và BC. Đường tròn đường kính
AH cắt đoạn thẳng IJ tại K. Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại
M và cắt đoạn thẳng BC tại P. Tia MD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
tại Q. Chứng minh tứ giác AQDP là tứ giác nội tiếp.
2) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên
các cạnh AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí của điểm D, E sao cho:

a) DE có độ dài nhỏ nhất.
b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
Lời giải


A

E

I
F

Q

K

H
B

P

D

J

C

M

1. a) Ta có: BDH ∽ BEC (g-g) 

BD BH

 BH.BE = BC.BD (1)
BE BC

BEC ∽ ADC (g.g) 

BC CE
=
 BC.CD = CE.AC (2)
AC CD

Từ (1) và (2) suy ra: BH.BE.BC.CD = BC.BD.CE.AC  AC.BD.CE =
BE.CD.BH (đpcm).
b) Ta có: AEH = AFH  900  Tứ giác AEHF nội tiếp
1
2

1
2
KIE KIF
 JIE  JIF  KIE  KIF 

 KAE  KAF  MAC  MAB  MC  MB
2
2

Ta có: IE  IF  AH ; JE  JF  BC  IEJ  IFJ (c-c-c)

 BDQ  MBC  BMQ  MAB  BAQ  QAP  Tứ giác

AQDP nội tiếp.
2. a) Kẻ AH  BC  H  BC  , qua D kẻ

B

DK  AB  K  BC 

 DKB  900  ABC  450 

BDK vuông cân tại D.

K
D

H

 BD  DK  AE  Tứ giác ADKE là hình chữ nhật.

 DE  AK .

Ta có: AK  AH  DE  AH . Vậy DE nhỏ nhất khi
K  H khi đó D là trung điểm của AB và E là trung
điểm AC.
b)

A

E

C


Đặt AB  AC  a ,  a  0  ; BD  AE  x  AD  a  x
Ta chứng minh BĐT: Với mọi a, b ta luôn có:  a + b   4ab (*)
2

Thật vậy: (*)   a  b   0 (BĐT luôn đúng).
2

1
2

1
2

1
8

Áp dụng (*) ta có: SADE = AD.AE =  a  x  x   a  x   x  
SABC

2

a2
8

1
a2

a 2 a 2 3a 2
không đổi.
= AB.AC = . Do đó: SBDEC  SABC  SADE 


2
2
2
8
8

a
2

Dấu “=” xảy ra khi a  x  x  x  . Vậy tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất là
3a 2 3AB2

khi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC.
8
8