bài giảng đại số tuyến tính ánh xạ tuyến tính

SLIDES BÀI GIẢNG MÔN ĐẠI SỐ B1

Slides Chương 4:

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Giảng viên: Trònh Thanh Đèo
Khoa Toán - Tin học
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM

TÀI LIỆU GIẢNG DẠY NĂM HỌC 2010-2011

Trinh Thanh DEO ()

Chapter 4. Linear Mappings

(Algebra B1)

1 / 19


NOÄI DUNG
1

Linear mappings

2

Matrices of linear mappings

3

Finding linear mappings from image of bases

4

Kernel and image of a linear mapping

5

Matrices of linear operators with respect to bases

6

Matrices of linear mappings with respect to bases

Trinh Thanh DEO ()

Chapter 4. Linear Mappings

(Algebra B1)

2 / 19


Ánh xạ tuyến tính
Một phép tương ứng f từ tập X = Ø vào tập Y = Ø (ký hiệu f : X → Y)
được gọi là ánh xạ nếu:
“∀x ∈ X, tồn tại duy nhất y ∈ Y sao cho y là tương ứng của x qua f ”.
Khi đó y được gọi là ảnh của x qua f, ký hiệu y = f(x).
Nếu hai ánh xạ f, g : X → Y thỏa mãn f(x) = g(x), ∀x ∈ X
thì ta nói f bằng g, ký hiệu f = g.

Ánh xạ tuyến tính f : Rn → Rm là ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau với
mọi u, v ∈ Rn và với mọi α ∈ R:
i) f(u + v) = f(u) + f(v);
ii) f(αu) = αf(u).
Các điều kiện trong đònh nghóa trên có thể được thay bởi điều kiện:
f(αu + v) = αf(u) + f(v).
Trinh Thanh DEO ()

Chapter 4. Linear Mappings

(Algebra B1)

3 / 19


Ánh xạ tuyến tính
Tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính đi từ Rn vào Rm được ký hiệu
bởi L(Rn , Rm ).
Nếu f ∈ L(Rn , Rn ) thì T được gọi là toán tử tuyến tính trên Rn .
Tập hợp L(Rn , Rn ) được viết ngắn gọn là L(Rn ).
Nhận xét. Nếu f ∈ L(Rn , Rm ) thì
i) f(0) = 0 (vectơ 0 bên trái thuộc Rn , và vectơ 0 bên phải thuộc Rm );
ii) ∀u ∈ Rn , f(−u) = −f(u).
iii) ∀u1 , u2 , ..., um ∈ Rn và ∀α1 , α2 , ..., αn ∈ R, ta có
f(α1 u1 + α2 u2 + · · · + αm um ) = α1 f(u1 ) + α2 f(u2 ) + · · · + αm f(um ).

Trinh Thanh DEO ()

Chapter 4. Linear Mappings

(Algebra B1)

4 / 19


Ánh xạ tuyến tính
Ví dụ. Chứng minh f(x, y, z) = (2x + y, x − 2y + z) là một ánh xạ tuyến
tính từ R3 vào R2 .
Giải. Với mọi u = (x, y, z), v = (x , y , z ) ∈ R3 và với mọi α ∈ R ta có
f(u + v) = f(x + x , y + y , z + z )
= (2(x + x ) + (y + y ), (x + x )−2(y + y ) + (z + z ))
= (2x + y, x − 2y + z) + (2x + y , x − 2y + z )
= f(u) + f(v).
f(αu) = f(αx, αy, αz)
= (2αx + αy, αx − 2αy + αz)
= α(2x + y, x − 2y + z)
= αf(u).
Do đó f ∈ L(R3 , R2 ).

Trinh Thanh DEO ()

Chapter 4. Linear Mappings

(Algebra B1)

5 / 19


Dạng ma trận của ánh xạ tuyến tính
Mọi ánh xạ tuyến tính f : Rn → Rm đều có dạng:

f(x1 , x2 , ..., xn ) = (a11 x1 +a12 x2 +... +a1n xn , a21 x1 +a22 x2 +...
+a2n xn , ..., am1 x1 +am2 x2 +... +amn xn ).


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 

Đặt A = 
 ................... .
am1 am2 . . . amn
Ta gọi A là dạng ma trận của ánh xạ tuyến tính f.
Khi đó f có thể được biểu diễn dưới dạng f(u) = Au
(trong đó các vectơ u và f(u) được viết dưới dạng cột).

Trinh Thanh DEO ()

Chapter 4. Linear Mappings

(Algebra B1)

6 / 19


Dạng ma trận của ánh xạ tuyến tính
Ví dụ 1. Xét ánh xạ tuyến tính f(x, y, z) = (2x − y + 3z, −x + 4y − 5z).
2 −1
3
f có dạng ma trận là A =
.
−1

4 −5
Biểu diễn dạng cột của f là
 
x
2x − y + 3z
=
f y =
−x + 4y − 5z
z

 
x
2 −1
3  
y .
−1
4 −5
z



2
3
1
2 
Ví dụ 2. Nếu axtt f có dạng ma trận là  4 −1
3
2 −4
thì f xác đònh bởi f(x, y, z) = (2x + 3y + z, 4x − y + 2z, 3x + 2y − 4z).

Trinh Thanh DEO ()

Chapter 4. Linear Mappings

(Algebra B1)

7 / 19


Xác đònh axtt thông qua ảnh các vectơ cơ sở
Đònh lý. Cho B = {u1 , u2 , ..., un } là cơ sở của Rn và S = {v1 , v2 , ..., vn } là
tập hợp các vectơ thuộc Rm . Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính
f ∈ L(Rn , Rm ) sao cho:
f(u1 ) = v1 , f(u2 ) = v2 , . . . , f(un ) = vn .

PP xác đònh áxtt thông qua ảnh của các vectơ cơ sở
Để tìm áxtt f thỏa mãn điều kiện trên, ta thực hiện như sau:
Lấy u = (a1 , a2 , ..., an ) là một vectơ bất kỳ thuộc Rn .
Biểu diễn u dưới dạng tổ hợp tuyến tính của u1 , u2 , ..., un :
u = α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un (Giải pt để tìm α1 , α2 , ..., αn ).
Khi đó ánh xạ f cần tìm là: f(u) = α1 v1 + α2 v2 + . . . + αn vn

Trinh Thanh DEO ()

Chapter 4. Linear Mappings

(Algebra B1)

8 / 19

Xác đònh axtt thông qua ảnh các vectơ cơ sở
Ví dụ. Tìm f ∈ L(R2 , R3 ) sao cho f(1, 1) = (1, 2, 3), f(1, 2) = (3, 2, 1).
Giải. Ta có S = {u1 = (1, 1), u2 = (1, 2)} là cơ sở của R2 .
Với mọi u = (a, b) ∈ R2 ta có
1 1 a
[u1 u2 |u ] =
→
1 2 b

1 0 2a − b
0 1 −a + b

.

α1 = 2a − b,
α2 = −a + b.
suy ra, u = (2a − b)u1 + (−a + b)u2 .
Do đó u = α1 u1 + α2 u2 ⇔

Do đó f(u) = (2a − b)f(u1 ) + (−a + b)f(u2 )
= (2a − b)(1, 2, 3) + (−a + b)(3, 2, 1)
= (2a − b, 4a − 2b, 6a − 3b) + (−3a + 3b, −2a + 2b, −a + b)
= (−a + 2b, 2a, 5a − 2b)
Vậy ánh xạ tuyến tính cần tìm là f(a, b) = (−a + 2b, 2a, 5a − 2b).
Trinh Thanh DEO ()

Chapter 4. Linear Mappings

(Algebra B1)

9 / 19


Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
Xét ánh xạ tuyến tính T : Rn → Rm .
* Đặt ker T = {u ∈ Rn |f(u) = 0}.
Khi đó ker T là không gian con của Rn , gọi là không gian nhân của T.
dim ker T được gọi là số khuyết của T, ký hiệu null(T).
* Đặt ImT = {f(u)|u ∈ Rn } = f(Rn ).
Khi đó ImT là không gian con của Rm , gọi là không gian ảnh của T.
dim ImT được gọi là hạng của T, ký hiệu rank(T).
Đònh lý 1. Nếu A là dạng ma trận của ánh xạ tuyến tính T thì
ker T là không gian nghiệm của hệ AX = 0.
ImT là không gian dòng của ma trận A .
Đònh lý 2. Cho axtt T : Rn → Rm . Khi đó dim ImT + dim ker T = n.
Trinh Thanh DEO ()

Chapter 4. Linear Mappings

(Algebra B1)

10 / 19


Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f(x, y, z) = (x + y + 2z, 2x + y − 3z).
Tìm một cơ sở của ker f và một cơ sở của Imf.
Giải. Ta có dạng ma trận của f là A =
chuẩn hóa

Ta có A −−−−−→

1
2

1
2
.
1 −3

1 0 −5
.
0 1
7

Do đó hệ AX = 0 có vô số nghiệm xác đònh bởi
(x1 , x2 , x3 ) = (5t, −7t, t), t ∈ R.
Nghiệm căn bản của hệ là u = (5, −7, 1).
Do đó tập hợp B = {u} là cơ sở của ker f.




1
2
1
2
đưa về dạng
1 −−−−−−→ 0 −1 .

Ta có A = 1
bậc thang
2 −3
0
0
Do đó tập hợp C = {(1, 2), (0, −1)} là cơ sở của Imf.
Trinh Thanh DEO ()

Chapter 4. Linear Mappings

(Algebra B1)

11 / 19


Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
Ví dụ. Cho axtt f(x, y, z) = (x + y − z, x + 2y + 3z, 2x + 3y + 2z).
Tìm cơ sở của ker f và Imf.


1 1 −1
3 .
Giải. Dạng ma trận của f là A =  1 2
2 3
2


1 0 −5
chuẩn hóa 
4 .

Ta có A −−−−−→ 0 1
0 0
0
Do đó hệ AX = 0 có vô số nghiệm xác đònh bởi
(x1 , x2 , x3 ) = (5t, −4t, t), t ∈ R.
Nghiệm căn bản của hệ là u = (5, −4, 1).
Do đó tập hợ
p B = {u} 
là cơ sở của ker
 f.

1 1 2
1 1 2
đưa về dạng
Ta có A =  1 2 3 −−−−−−→ 0 1 1 .
bậc thang
−1 3 2
0 0 0
Do đó tập hợp C = {(1, 1, 2), (0, 1, 1)} là cơ sở của Imf.
Trinh Thanh DEO ()

Chapter 4. Linear Mappings

(Algebra B1)

12 / 19


Ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính
Cho f ∈ L(Rn ) và B = {u1 , u2 , . . . , un } là cơ sở của Rn .

Đặt P = [f(u1 )]B [f(u2 )]B . . . [f(un )]B .
Khi đó P được gọi là ma trận biểu diễn của f theo cơ sở B,
ký hiệu P = [f]B .

Phương pháp tìm ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính.
Để xác đònh [f]B ta thực hiện như sau:
Tính f(u1 ), f(u2 ), . . . , f(un ).
Lấy u bất kỳ thuộc Rn , ta xác đònh [u]B .
Lần lượt thay u bởi f(u1 ), f(u2 ), ..., f(un )
ta xác đònh được [f(u1 )]B , [f(u2 )]B , . . . , [f(un )]B .
Từ đó ta được ma trận biểu diễn [f]B .

Trinh Thanh DEO ()

Chapter 4. Linear Mappings

(Algebra B1)

13 / 19


Ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính
Ví dụ 1. Cho f ∈ L(R2 ) xác đònh bởi f(x, y) = (2x + y, −x + 3y) và B
= {u1 = (1, 2), u2 = (3, 5)} là cơ sở của R2 . Hãy xác đònh [f]B .
Giải. Ta có f(u1 ) = (4, 5), f(u2 ) = (11, 12).
Với mọi u = (a, b) ∈ R2 , ta có (u1 u2 |u ) =
chuẩn hóa

−−−−−→
nên [u]B =

1 0 −5a + 3b
0 1
2a − b
−5a + 3b
2a − b

Do đó [f(u1 )]B =
Vậy [f]B =

1 3 a
2 5 b

,

.

−5
, [f(u2 )]B =
3

−19
.
10

−5 −19
.
3
10

Trinh Thanh DEO ()

Chapter 4. Linear Mappings

(Algebra B1)

14 / 19


Ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính
Phương pháp thứ hai để xác đònh [f]B .
Tính f(u1 ), f(u2 ), ..., f(un ).
Đặt A = (u1 u2 . . . un |f(u1 ) f(u2 ) . . . f(un ) ).
Dùng thuật toán Gauss-Jordan để đưa A về dạng ( In |P )
Khi đó P = [f]B .
Ví dụ 1. Cho f ∈ L(R2 ) xác đònh bởi f(x, y) = (2x + y, −x + 3y) và B
= {u1 = (1, 2), u2 = (3, 5)} là cơ sở của R2 . Hãy xác đònh [T]B .
Giải. Ta có f(u1 ) = (4, 5), f(u2 ) = (11, 12).
1 3 4 11
Do đó (u1 u2 |f(u1 ) f(u2 ) ) =
2 5 5 12
1 0 −5 −19
chuẩn hóa
−−−−−→
.
0 1
3
10
−5 −19
Suy ra [f]B =

.
3
10
Trinh Thanh DEO ()

Chapter 4. Linear Mappings

(Algebra B1)

15 / 19


Ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính
Ví dụ 2. Cho f ∈ L(R2 ) xác đònh bởi f(x, y) = (2x + y, −x + 3y). Xác đònh
ma trận biểu diễn f theo cơ sở chính tắc của R2 .
Giải. Cơ sở chính tắc của R2 là B = {ε1 = (1, 0), ε2 = (0, 1)}.
Ta có f(ε1 ) = (2, −1), f(ε2 ) = (1, 3).
2 1
.
nên [f]B = [f(ε1 )]B [f(ε2 )]B =
−1 3
Nhận xét. Ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính f ∈ L(Rn ) theo cơ sở
chính tắc của Rn chính là dạng ma trận của f.
Đònh lý 1. Cho f ∈ L(Rn ) và B là cơ sở của Rn . Với mọi u ∈ Rn ta có
[f(u)]B = [f]B [u]B .
Đònh lý 2. Cho P là ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B của Rn và
f ∈ L(Rn ). Khi đó: [f]B = P−1 [f]B P.
Trinh Thanh DEO ()

Chapter 4. Linear Mappings

(Algebra B1)

16 / 19


Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính tổng quát
Cho B = {u1 , u2 , ..., un } là cơ sở của Rn , B = {v1 , v2 , ..., vm } là cơ sở của
Rm , và T ∈ L(Rn , Rm ).
Đặt A = [f(u1 )]B [f(u2 )]B . . . [f(un )]B .
Ta nói A là ma trận biểu diễn của f theo cặp cơ sở B, B ,
ký hiệu A = [f]B,B .

Phương pháp tìm ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính
Để xác đònh [f]B,B ta thực hiện như sau:
Tính f(u1 ), f(u2 ), . . . , f(un ).
Đặt M = (v1 v2 . . . vm |f(u1 ) f(u2 ) . . . f(un ) ).
Dùng thuật toán Gauss-Jordan, đưa M về dạng ( Im |A )
Khi đó A = [f]B,B .

Trinh Thanh DEO ()

Chapter 4. Linear Mappings

(Algebra B1)

17 / 19


Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính tổng quát

Ví dụ. Cho f(x, y, z) = (2x + y − z, −y + 2z). Hãy xác đònh [f]B,B , với B =
{u1 = (1, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (0, 1, 1)} là cơ sở của R3 , và B
= {u1 = (1, 2), u2 = (3, 5)} là cơ sở của R2 .
Giải. Ta có f(u1 ) = (3, −1), f(u2 ) = (1, 2), f(u3 ) = (0, 1).
1 3
3 1 0
Suy ra (u 1 u 2 |f(u1 ) f(u2 ) f(u3 ) ) =
2 5 −1 2 1
chuẩn hóa

−−−−−→

1 0 −18 1
3
0 1
7 0 −1

Do đó [f]B,B =

Trinh Thanh DEO ()

−18 1
3
7 0 −1

.
.

Chapter 4. Linear Mappings

(Algebra B1)

18 / 19


Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính tổng quát
Nhận xét.
Nếu f ∈ L(Rn ) thì [f]B = [f]B,B .
Nếu f ∈ L(Rn , Rm ) thì ma trận biểu diễn f theo cặp cơ sở chính tắc
(của Rn và Rm ) chính là dạng ma trận của f.
Ví dụ. Ma trận biểu diễn áxtt f(x, y, z) = (2x + y − z, −y + 2z) theo cặp cơ
2
1 −1
.
sở chính tắc của R3 và R2 là
0 −1
2
Đònh lý 1. Nếu B, B lần lượt là cơ sở của Rn và Rm thì với mọi
f ∈ L(Rn , Rm ) và với mọi u ∈ Rn , ta có [f(u)]B = [f]B,B [u]B .
Đònh lý 2. Cho B1 , B2 là các cơ sở của Rn , B1 , B2 là các cơ sở của Rm , và
f : Rn → Rm là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó
[f]B2 ,B2 = (B2 → B1 )[f]B1 ,B1 (B1 → B2 ).
Trinh Thanh DEO ()

Chapter 4. Linear Mappings

(Algebra B1)

19 / 19