PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ

Câu 1: [0H1-3-4] Cho tam giác ABC và đường thẳng d . Gọi O là điểm thỏa mãn hệ thức

OA  OB  2OC  0 . Tìm điểm M

trên đường thẳng d

sao cho vectơ

v  MA  MB  2MC có độ dài nhỏ nhất.
A. Điểm M là hình chiếu vuông góc của O trên d .
B. Điểm M là hình chiếu vuông góc của A trên d .
C. Điểm M là hình chiếu vuông góc của B trên d .
D. Điểm M là giao điểm của AB và d .
Lời giải
Chọn A

Gọi I là trung điểm của AB .
Khi đó: OA  OB  2OC  0  2OI  2OC  0  OI  OC  0  O là trung điểm
của IC
Ta có:
v  MA  MB  2MC  OA  OM  OB  OM  2(OC  OM )  OA  OB  2OC  4OM  4OM

Do đó v  4OM . Độ dài vectơ v nhỏ nhất khi và chỉ khi 4OM nhỏ nhất hay M
là hình chiếu vuong góc của O trên d .
Câu 2: [0H1-3-4] Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi H là trực tâm
của tam giác. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
A. OH  4OG

B. OH  3OG

3OH  OG

Lời giải
Chọn B

C. OH  2OG

D.


Gọi D là điểm đối xứng với A qua O . Ta có: HA  HD  2HO (1)
Vì HBDC là hình bình hành nên HD  HB  HC (2)
Từ (1), (2) suy ra:

HA  HB  HC  2HO  ( HO  OA)  ( HO  OB)  ( HO  OC)  2HO
 3HO  (OA  OB  OC )  2HO  OA  OB  OC  HO  3OG  OH .
Câu 3: [0H1-3-4] Cho tam giác đều ABC có tâm O . Gọi I là một điểm tùy ý bên trong tam
giác ABC . Hạ ID, IE , IF tương ứng vuông góc với BC , CA, AB . Giả sử
ID  IE  IF 

A. 5

a
a
IO (với
là phân số tối giản). Khi đó a  b bằng:
b
b

B. 4

C. 6

D. 7

Lời giải
Chọn A

Qua điểm I dựng các đoạn MQ / / AB, PS / / BC , NR / / CA . Vì ABC là tam giác
đều nên các tam giác IMN , IPQ, IRS cũng là tam giác đều. Suy ra D , E , F lần lượt
là trung điểm của MN , PQ, RS .
Khi đó:
1
1
1
( IM  IN )  ( IP  IQ )  ( IR  IS )
2
2
2
1
1
 ( IQ  IR )  ( IM  IS )  ( IN  IP)   ( IA  IB  IC )
2
2
ID  IE  IF 


1
3
 .3IO  IO  a  3, b  2 . Do đó: a  b  5 .
2
2

Câu 4: [0H1-3-4] Cho tam giác ABC . Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B
qua G . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
A. AH 

2
1
AC  AB
3
3

B. AH 

1
1
AC  AB
3
3

C. AH 

2
1
AC  AB
3
3

D. AH 

2

1
AB  AC
3
3

Lời giải
Chọn A

Gọi M , I lần lượt là trung điểm của BC và AC .
Ta thấy AHCG là hình bình hành nên
2
2 1
AH  AG  AC  AH  AM  AC  AH  . AB  AC  AC
3
3 2



 AH  AC 





1
2
1
AB  AC  AH  AC  AB
3
3

3

