Đề Toán Quốc Học Huế 08

Toan vao quoc hoc Hue(suu tap)
De so 1
Bài 1(1,5d):
Cho 2 số tự nhiên a và b,chứng minh răng nếu [tex] a^2 + [text] b^2 chia hêst cho 3 thì a và b cùng chia hết cho 3
Bài 2(2d)
Bài 4. 1 VĐv bắn súng bắn 20 phát súng két quả dc ghi lại trong bảng dưới đây( điểm số của từng phát)
8 9 6 8 9 9 9 6 8 10
9 8 10 7 10 10 7 8 9 8
a/Gọi X là điểm số đạt đựơc sau mỗi lần bắn.Lập bảng phân phối thực hiện từ đó tính điểm số trung bình phương sai và độ lệch tiêu chuẩn.
b/Ý nghĩa của độ lệch tiêu chuẩn trong trường hợp này là gì?
Bài 5.
Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC và cát tuyến AMN của đường tròn đó.Gọi I là trung điểm của dây MN,H là giao điểm của AO và BC.
chứng minh:
a/Năm điểm A,B,I,O,C cùng nằm trên một đường tròn.
b/ và
Bài 6.
Cho tam giác đều ABC có cạnh AB=12cm và đường cao AH.Tính thể tích của hình tạo thành khi cho hình nửa vành khăn ( đường kính chứa AH) ở giữa đường tròn nội tiếp và đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC, quay một vòng quanh đường cao AH.
Môn Toán
Thời gian: 120 phút
Bài 1: (3 điểm)
a) Không sử dụng máy tính bỏ túi, hãy chứng minh đẳng thức :
.
b) Giải hệ phương trình :
Bài 2: (1,5 điểm)
Cho phương trình: .
Tìm giá trị để phương trình có bốn nghiệm sao cho:
và .
Bài 3: (3 điểm)
Cho đường tròn (O), đường kính AB. Gọi C là trung điểm của bán kính OB và (S) là đường tròn đường kính AC. Trên đường tròn (O) lấy hai điểm tùy ý phân biệt M, N khác A và B. Gọi P, Q lần lượt là
giao điểm thứ hai của AM và AN với đường tròn (S).

a) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng PQ.
b) Vẽ tiếp tuyến ME của (S) với E là tiếp điểm. Chứng minh: .
c) Vẽ tiếp tuyến NF của (S) với F là tiếp điểm. Chứng minh: .
Bài 4: (1,5 điểm)
Tìm số tự nhiên có bốn chữ số (viết trong hệ thập phân) sao cho hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:
(i) Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
(ii) Tổng p + q lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó p là tỉ số của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị còn q là tỉ số của chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm.
Bài 5: (1 điểm)
Một tấm bìa dạng tam giác vuông có độ dài ba cạnh là các số nguyên. Chứng minh rằng có thể cắt tấm bìa thành sáu phần có diện tích bằng nhau và diện tích mỗi phần là số nguyên
Bài 1:
a)
b) Điều kiện

Đặt
Ta có hệ
Giải ra : u

= 2 , v = 3 hoặc u =3 , v = 2
Trường hợp u

= 2 , v = 3 có : ( x

= 1 ;

y = 9 ) hoặc ( x

= -3 ;

y = 9)
Trường hợp u

= 3 , v = 2 có : ( x

= 2 ;

y = 4 ) hoặc ( x

= -4 ;

y = 4)
Hệ đã cho có 4 nghiệm: (1;9) , (-3;9) , (2;4) , (- 4;4) .
Bài 2:
Đặt
Ta có: (2) ( )
với mọi m.
Vậy để (1) có bốn nghiệm phân biệt thì (2) luôn có hai nghiệm dương phân biệt . Tương đương
với (3).
Với điều kiện (3), phương trình (2) có 2 nghiệm đương
và phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt:
Theo giả thiết: (4)
Theo định lí Vi-ét, ta có: và (5)
Từ (4) và (5) ta có: và
Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy để phương trình (1) có 4 nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán thì cần và đủ là:
và m = 5
Em post cái hình lên 1 phát, ai có hứng thì giải:


Do đó : (1)
+ Tương tự: và

Từ (1) và (2): ,
Do đó
+ Hai tam giác MEP và MAE có : và .
Do đó chúng đồng dạng .
+ Suy ra:
+ Tương tự ta cũng có:
+ Do đó:
+ Nhưng
+ Từ đó:
Bài 5: Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác vuông ABC, c là cạnh huyền.
Ta có ; a, b, c , diện tích tam giác ABC là
Trước hết ta chứng minh ab chia hết cho 12.

+ Chứng minh
Nếu cả a và b đồng thời không chia hết cho 3 thì chia 3 dư 2.

Suy ra số chính phương chia 3 dư 2, vô lý.

+ Chứng minh
- Nếu a, b chẵn thì .
- Nếu trong hai số a, b có số lẻ, chẳng hạn a lẻ.
Lúc đó c lẻ. Vì nếu c chẵn thì , trong lúc không thể chia hết cho 4.
Đặt a = 2k + 1, c = 2h + 1, k, h . Ta có :

Suy ra .
Nếu ta chia cạnh AB (chẳng hạn) thành 6 phần bằng nhau, nối các điểm chia với C thì tam giác ABC được chia thành 6 tam giác, mỗi tam giác này có diện tích bằng là một số nguyên.