PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIAO TIẾP TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 12

UBND TỈNH PHÚ THỌ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
----------------------------------

TRẦN THỊ THÚY HƯỜNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIAO TIẾP
TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
HÌNH HỌC LỚP 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 8140111

Phú Thọ, 2018


UBND TỈNH PHÚ THỌ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
----------------------------------

TRẦN THỊ THÚY HƯỜNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
GIAO TIẾP TOÁN HỌC CHO HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 8140111

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Văn Hồng

Phú Thọ, 2018


i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, luận văn “Phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh
trong dạy học Hình học lớp 12” là do tơi viết dƣới sự hƣớng dẫn của TS. Lê Văn
Hồng. Tôi cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Luận văn chƣa đƣợc công bố trên bất
kỳ tạp chí, phƣơng tiện thơng tin nào.
Phú Thọ, ngày

tháng

năm 2018

Tác giả luận văn

Trần Thị Thúy Hƣờng


ii

LỜI CẢM ƠN
Tơi xin đƣợc bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Lê Văn Hồng,
ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn chỉ bảo tơi trong suốt q trình nghiên cứu và hồn chỉnh
đề tài.

Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng đào tạo, Khoa Toán
Trƣờng Đại học Hùng Vƣơng, các giáo sƣ, tiến sĩ giảng dạy chuyên ngành Lí luận
và Phƣơng pháp dạy học bộ mơn Tốn; các bạn học viên cao học lớp K1 Lí luận và
Phƣơng pháp dạy học bộ mơn Tốn. Đồng thời, tơi xin tỏ lịng biết ơn các tác giả
của những tài liệu mà tôi đã dùng tham khảo.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô giáo và các em học
sinh trƣờng THPT Phong Châu đã giúp đỡ tơi hồn thành thực nghiệm sƣ phạm của
luận văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, cùng bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều
kiện, động viên, giúp đỡ tơi rất nhiều trong q trình học tập và nghiên cứu, thực
hiện đề tài.
Phú Thọ, ngày

tháng

năm 2018

Tác giả luận văn

Trần Thị Thúy Hƣờng


iii

MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ĐẦU.......................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................ 1
2. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu .................................................................. 3
3. Mục tiêu nghiên cứu ...................................................................................... 5

4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 5
5. Giả thuyết khoa học ...................................................................................... 5
6. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ................................................................. 5
7. Cách tiếp cận và phƣơng pháp nghiên cứu ................................................... 5
8. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn....................................................................... 6
PHẦN 2: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU .......................................................... 7
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................... 7
1.1. Quan niệm về năng lực, năng lực toán học ................................................ 7
1.1.1. Năng lực .................................................................................................. 7
1.1.2. Năng lực toán học ................................................................................... 9
1.2. Năng lực giao tiếp toán học ..................................................................... 10
1.2.1. Năng lực biểu diễn toán học theo quan điểm PISA .............................. 10
1.2.2. Năng lực giao tiếp toán học theo quan điểm PISA ............................... 11
1.2.3. Năng lực giao tiếp toán học theo quan điểm của CTGDPT tổng thể của
Bộ GD & ĐT ................................................................................................... 11
1.3. Ngơn ngữ tốn học ................................................................................... 17
1.3.1. Ngơn ngữ............................................................................................... 17
1.3.2. Ngơn ngữ tốn học ................................................................................ 17
1.4. Vài nét về ngơn ngữ tốn học trong SGK Hình học 12 ........................... 18
1.5. Đặc điểm trí tuệ và nhận thức, hoat động học tập của học sinh lớp 12 ... 24
1.5.1. Về đặc điểm trí tuệ và nhận thức .......................................................... 24
1.5.2. Về hoạt động học tập............................................................................. 24


iv

1.6. Khảo sát thực trạng việc phát triển năng lực giao tiếp tốn học trong dạy
học Hình học 12 ở trƣờng THPT .................................................................... 25
TIỂU KẾT CHƢƠNG I .................................................................................. 30
Chƣơng 2. BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIAO TIẾP TOÁN

HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 12 ......... 31
2.1. Định hƣớng xây dựng các biện pháp phát triển năng lực giao tiếp toán
học cho HS trong dạy và học mơn Hình học 12. ............................................ 31
2.1.1. Các biện pháp sƣ phạm phải đảm bảo đúng mục tiêu, nội dung và chuẩn
kiến thức, kĩ năng của chƣơng trình mơn tốn ................................................ 31
2.1.2. Các biện pháp phải khả thi, góp phần đổi mới phƣơng pháp dạy học và
giúp học sinh học hình học thuận lợi hơn ....................................................... 31
2.1.3 Các biện pháp xây dựng phải phù hợp với đối tƣợng học sinh cuối cấp
và điều kiện thực tế dạy học ở trƣờng THPT .................................................. 32
2.2. Biện pháp phát triển năng lực giao tiếp tốn học cho HS trong dạy học
Hình học 12. ................................................................................................... 32
2.2.1. Biện pháp 1:Tăng cƣờng các hoạt động sử dụng chính xác và thao tác một
cách thành thạo một số dạng biểu diễn khác nhau của các đối tƣợng và tình huống
tốn học trong Hình học 12. ..............................................................................32
2.2.2.Biện pháp 2: Tăng cƣờng kĩ năng nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép thành thạo
tóm tắt các thơng tin cơ bản, trọng tâm trong nội dung, yêu cầu toán học đƣợc nói
và viết ra.......................................................................................

………………32

2.2.3. Biện pháp 3:Tăng cƣờng kĩ năng trình bày các nội dung toán
học................................................................................................

………………51

2.2.4. Biện pháp 4:Tăng cƣờng các hoạt động sử dụng ngơn ngữ tốn học kết hợp
với ngôn ngữ tự nhiên.................................................................................……...3257

TIỂU KẾT CHƢƠNG 2.................................................................................. 62
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................... 63

3.1. Mục đích, nhiệm vụ thực nghiệm ............................................................ 63


v

3.1.1. Mục đích thực nghiệm .......................................................................... 63
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm .......................................................................... 63
3.2. Nội dung thực nghiệm. ............................................................................. 63
3.2.1. Nội dung dạy học thực nghiệm. ............................................................ 63
3.2.2. Nội dung bài kiểm tra thực nghiệm. ..................................................... 64
3.3. Tổ chức thực nghiệm................................................................................ 65
3.3.1. Đối tƣợng thực nghiệm ......................................................................... 65
3.3.2. Thời gian thực nghiệm .......................................................................... 66
3.3.3. Tiến trình tổ chức thựcnghiệm. ............................................................. 66
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm. ................................................................ 67
3.4.1. Đánh giá kết quả định tính. ................................................................... 67
3. 4. 2. Đánh giá kết quả định lƣợng. .............................................................. 68
TIỂU KẾT CHƢƠNG 3.................................................................................. 71
PHẦN 3: KẾT LUẬN ................................................................................... 72
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 73
PHỤ LỤC


vi

DANH MỤC CỤM TỪ VIẾT TẮT
Viết tắt

Viết đầy đủ

BDTH

Biểu diễn tốn học

CTGDPT Chƣơng trình Giáo dục phổ thơng
DH

Dạy học

GTTH

Giao tiếp tốn học

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

NNTH

Ngơn ngữ tốn học

NNTN

Ngơn ngữ tự nhiên

PPDH

Phƣơng pháp dạy học

SBT

Sách bài tập

SGK

Sách giáo khoa

SGV

Sách giáo viên

THPT

Trung học phổ thông


1

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Định hƣớng dạy học hiện nay là hƣớng tới phát triển phẩm chất, năng lực
ngƣời học. Điều này đƣợc Đảng và nhà nƣớc rất quan tâm. Nghị Quyết 29-NQ/TW
ngày 4. 11. 2013 đã đề ra mục tiêu cụ thể “Đối với giáo dục phổ thơng, tập trung
phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực cơng dân, phát hiện và
bồi dƣỡng năng khiếu, định hƣớng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lƣợng
giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tƣởng, truyền thống, đạo đức, lối sống,

ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực
tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời. ”với quan
điểm chỉ đạo đổi mới giáo dục “Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị
kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất ngƣời học” [13]. Do vậy
việc đổi mới dạy và học theo hƣớng phát triển phẩm chất, năng lực ngƣời học đƣợc
chú trọng để nâng cao chất lƣợng cho ngƣời học.
Trong chƣơng trình giáo dục phổ thơng (CTGDPT) tổng thể có đƣa ra các
yêu cầu cần đạt về phát triển cho học sinh những năng lực chung và năng lực chuyên
môn. Năng lực giao tiếp toán học là một trong 5 năng lực toán học cốt lõi. Trong
định hƣớng về nội dung chƣơng trình giáo dục mơn Tốn có nêu cụ thể “Giáo dục
tốn hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực
chung và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi là:năng lực tƣ duy và lập luận
tốn học, năng lực mơ hình hóa tốn học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng
lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng các cơng cụ và phƣơng tiện tốn học ” [11].
Để phát triển tốt NLGT toán học cho học sinh thì phát triển ngơn ngữ tốn học cần
đƣợc chú ý. Trong dạy và học toán sử dụng đồng thời hai loại ngơn ngữ đó là ngơn
ngữ tự nhiên(NNTN) và ngơn ngữ tốn học (NNTH). Do đó giáo viên khơng chỉ
truyền thụ tri thức tốn mà cịn phải hình thành NNTH cho học sinh. NNTH có vai
trị quan trọng trong việc phát triển tƣ duy tốn học, trình bày và lập luận tốn học
từ đó giáo viên phát triển đƣợc các năng lực của học sinh, góp phần rèn luyện cho
các em năng lực tƣ duy linh hoạt, sáng tạo, ngôn ngữ chính xác.


2

Mơn Tốn là mơn học rất quan trọng trong trƣờng phổ thơng. Việc dạy học phát
triển các năng lực tốn học để nâng cao chất lƣợng ngƣời học đã thu hút sự quan
tâm của nhiều tác giả. Đỗ Tiến Đạt cũng nêu ra các năng lực cần hình thành và phát
triển cho ngƣời học qua dạy học mơnTốn trong trƣờng phổ thông:Năng lực (NL)
tƣ duy, NL giải quyết vấn đề, NL mơ hình hóa tốn học, NL giao tiếp, NL sử dụng

các cơng cụ, phƣơng tiện học tốn, NL tự học tốn trong đó nói rõ “NL giao tiếp
(qua nói hoặc viết ) liên quan tới việc sử dụng có hiệu quả ngơn ngữ tốn học (chữ,
kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic…) kết hợp với ngôn ngữ thông thƣờng.
NL này đƣợc thể hiện qua việc hiểu các văn bản toán học, đặt câu hỏi, trả lời câu
hỏi lập luận khi chứng minh sự đúng đắn của các mệnh đề, khi giải toán …”[14].
Tác giả Nguyễn Bá Kim(2007) đã xác định“Những hoạt động ngôn ngữ đƣợc học
sinh thực hiện khi họ đƣợc yêu cầu phát biểu, giải thích một định nghĩa hay một
mệnh đề nào đó bằng lời lẽ của mình, hoặc biến đổi từ dạng kí hiệu tốn học sang
dạng NNTN hoặc ngƣợc lại”[20].
Chƣơng trình Đánh giá Học sinh Quốc tế ( PISA) của Tổ chức Hợp tác và
Phát triển Kinh tế (OECD) xác định 8 năng lực thể hiện hiểu biết toán học của học
sinh, trong đó giao tiếp, biểu diễn tốn học, sử dụng ngơn ngữ ký hiệu, hình thức,
kỹ thuật và các phép toán là 3 năng lực quan trọng [9]. Nhƣ vậy có thể nói phát triển
NL sử dụng NNTH cho học sinh chính là phát triển năng lực biểu diễn tốn học
(BDTH) và năng lực giao tiếp toán học (GTTH).
Tuy nhiên, trong thực tiễn dạy học ở trƣờng phổ thông giáo viên dạy toán
chƣa quan tâm nhiều đến việc phát triển năng lực biểu diễn toán học và năng lực
giao tiếp tốn học cho học sinh và chƣa có các biện pháp cụ thể. Đối với học sinh,
các em thƣờng chỉ quan tâm đến kết quả mà chƣa chú trọng vào việc biểu diễn
chính xác các ký hiệu tốn học, mối quan hệ giữa các đại lƣợng và cách trình bày
lập luận logic, chặt chẽ, khoa học. Đặc biệt là môn Hình học lớp 12 địi hỏi các em
phải có trí tƣởng tƣợng phong phú về hình học khơng gian, óc thẩm mĩ, sáng tạo,
khả năng diễn đạt bài làm theo ngôn ngữ tự nhiên


3

và ngơn ngữ tốn. Vì vậy việc phát triển NLGT tốn học cho học sinh trong dạy học
Hình học lớp 12 rất cần thiết.
Đã có nhiều đề tài nghiên cứu về vấn đề phát triển năng lực GTTH cho học

sinh nhƣng chƣa có đề tài nào nghiên cứu vấn đề phát triển năng lực GTTH trong dạy
học Hình học lớp 12 cho học sinh. Đây là chƣơng trình Hình học lớp cuối cấp trung
học phổ thông (THPT) và cũng tƣơng đối khó, các em gặp nhiều khó khăn trong q
trình học tập. Vì vậy chúng tơi muốn đề xuất một số biện pháp để học sinh phát triển
năng lực GTTH trong học tập Hình học 12, giúp các em học tập thuận lợi hơn mơn
Hình học nói riêng và mơn Tốn nói chung. Để từ đó các em học tập hiệu quả và đạt
kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc gia, tự tin hơn trong cuộc sống.
Xuất phát từ những lí do trên đề tài nghiên cứu đƣợc chọn là: Phát triển
năng lực giao tiếp toán học cho học sinh trong dạy học Hình học lớp 12.
2. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu
2.1. Ở nước ngoài
Theo Vũ Thị Bình, NNTH đã đƣợc một số nƣớc nghiên cứu từ rất lâu. Tại
Mỹ nhà tâm lí học nhận thức Bruner tập trung vào nghiên cứu nhận thức toán học
của trẻ em cũng nhƣ tƣ duy có tính biểu diễn, ơng đã chỉ ra rằng có thể chia biểu
diễn thành ba phạm trù từ thấp đến cao nhƣ sau Thực tế (gồm các biểu diễn thực tế
ở mức độ thấp nhất và các biểu diễn thao tác đƣợc); Biểu tượng (các biểu diễn trực
quan sử dụng các hình ảnh, đồ thị, sơ đồ, biểu bảng... ); Kí hiệu (gồm các biểu diễn
ngơn ngữ và biểu diễn kí hiệu). Trong ba phạm trù biểu diễn ở trên biểu diễn biểu
tƣợng cũng đƣợc hiểu là biểu diễn trực quan đóng vai trị trung gian nối kết biểu
diễn thực tế với biểu diễn ký hiệu [6].
2.2. Ở trong nước
Nghiên cứu vấn đề phát triển năng lực BDTH và GTTH cho HS đã thu hút
đƣợc sự quan tâm của nhiều tác giả ở những mức độ và tầng bậc khác nhau. Thể
hiện trong một số kết quả nghiên cứu sau:
Tác giả Nguyễn Bá Kim nhận định: Nội dung mơn tốn ở trƣờng phổ thơng
liên hệ mật thiết với năm dạng hoạt động mà hoạt động ngôn ngữ là một trong số


4

đó. Những hoạt động ngơn ngữ đƣợc học sinh thực hiện khi họ đƣợc yêu cầu phát
biểu, giải thích một định nghĩa hay mệnh đề nào đó bằng lời lẽ của mình hoặc biến
đổi từ dạng này sang dạng khác về mặt ngơn ngữ, chẳng hạn từ dạng kí hiệu tốn
học sang dạng ngơn ngữ tự nhiên hoặc ngƣợc lại [22].
Đỗ Tiến Đạt cũng nghiên cứu cơ sở của việc xây dựng chuẩn giáo dục phổ thơng,
trong đó nêu rõ 5 mục tiêu của mơn tốn và triển ngơn ngữ là một trong những mục
tiêu chính của mơn tốn. Cụ thể “Phát triển vốn ngơn ngữ (ngơn ngữ tốn và ngôn
ngữ thông thƣờng trong mối quan hệ chặt chẽ với nhau) trong giao tiếp và giao tiếp
có hiệu quả ”[14].
Nghiên cứu của Trần Ngọc Bích về vấn đề NNTH trong DH mơn tốn ở các lớp
đầu cấp Tiểu học đã đề cập đến 3 mức độ sử dụng hiệu quả NNTH trong học tập
mơn tốn (ở dạng đơn giản, ở dạng phức và trong giao tiếp). Đồng thời, tác giả đề
xuất 3 nhóm biện pháp nhằm hình thành và tập luyện NNTH cho HS các lớp đầu
cấp tiểu học, bao gồm: Tổ chức cho HS hình thành vốn tri thức NNTH; Tập luyện
cho HS sử dụng NNTH; Phát triển kĩ năng giao tiếp bằng NNTH.
Tác giả Phan Anh với luận án Góp phần phát triển năng lực tốn học hóa tình
huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thơng qua dạy học Đại số và Giải tích
đã nhận định năng lực sử dụng NNTN và NNTH là tiền đề cho các năng lực thành
phần của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của HS THPT hay Luận án tiến sĩ
của Hoa Ánh Tƣờng quan tâm đến “Sử dụng nghiên cứu bài học để phát triển năng lực
GTTH cho HS THCS”
Vũ Thị Bình đã nghiên cứu luận án tiến sĩ “Bồi dƣỡng năng lực biểu diễn toán
học và năng lực giao tiếp toán học cho học sinh trong dạy học mơn tốn lớp 6, lớp
7” Luận án quan niệm “Năng lực BDTH là khả năng hiểu, sử dụng, lựa chọn, tạo ra
và chuyển đổi các BDTH để suy nghĩ, ghi nhớ, mơ tả, giải thích, lập luận, kết nối và
trao đổi các ý tƣởng trong giải quyết các vấn đề toán học. ” và “GTTH là giao tiếp
diễn ra giữa GV-HS, giữa HS-HS trong q trình DH tốn, quá trình này sử dụng
NNTH là phƣơng tiện quan trọng và chủ yếu để tiếp nhận và chuyển tải các ý tƣởng
toán học, kiến thức toán học, đƣa ra lập luận, chứng minh, giải quyết vấn đề nhằm
đạt đƣợc mục tiêu học tập mơn tốn”[6].

5

3. Mục tiêu nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu lý luận, nghiên cứu thực tiễn phát triển năng lực giao tiếp
tốn học cho học sinh trong dạy học Hình học lớp 12, đề xuất một số biện pháp
nhằm giúp học sinh phát triển năng lực giao tiếp trong Hình học lớp 12, góp phần
nâng cao chất lƣợng dạy và học mơn Tốn ở trƣờng THPT.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận về NNTH, BDTH và GTTH trong dạy học mơn Hình học
lớp 12. Thực trạng DH phát triển năng lực GTTH cho HS lớp 12 THPT.
Xây dựng các biện pháp sƣ phạm phát triển năng lực GTTH cho HS trong
dạy học Hình học lớp 12. Thực nghiệm sƣ phạm để bƣớc đầu đánh giá tính khả thi,
tính hiệu quả của các biện pháp sƣ phạm đã đề xuất.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng và thực hiện tốt một số biện pháp phát triển năng lực GTTH cho học
sinh trong dạy học Hình học lớp 12 thì có thể góp phần giúp học sinh học Hình học
tốt hơn.
6. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
6.1. Đối tượng nghiên cứu
Năng lực giao tiếp Tốn học trong dạy học Hình học 12.
6.2. Phạm vi nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu một số cơ sở lí luận về Ngơn ngữ tốn học (NNTH), nghiên
cứu thực tiễn việc khai thác, sử dụng biểu diễn và giao tiếp bằng NNTH để thực
hiện các biện pháp phát triển năng lực GTTH cho học sinh trong dạy học Hình học
lớp 12 (trọng tâm nghiên cứu chƣơng III: Phƣơng pháp tọa độ trong không gian).
7. Cách tiếp cận và phƣơng pháp nghiên cứu
7.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
Phân tích, tổng hợp để tổng quan các cơng trình nghiên cứu trong và ngoài nƣớc về

các vấn đề thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài.


6

Xây dựng cơ sở lí luận cho năng lực biểu diễn toán học và năng lực giao tiếp toán
học của học sinh Trung học phổ thơng.
Phân tích các thuật ngữ, kí hiệu tốn học và biểu diễn tốn học trong SGK Hình
học 12.
7.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
- Phƣơng pháp quan sát, điều tra, phỏng vấn:
Điều tra hoạt động dạy của giáo viên, hoạt động học tập của học sinh bằng
phiếu hỏi và phỏng vấn nhằm đánh giá thực trạng việc rèn luyện năng lực giao tiếp
toán học cho HS trong dạy học Hình học lớp 12.
Quan sát việc học tập mơn Hình học của học sinh lớp 12. Phỏng vấn việc sử
dụng NNTH trong tổ chức các hoạt động nhằm rèn luyện năng lực giao tiếp toán
học trong dạy học Hình học lớp 12.
Lấy ý kiến đánh giá tham khảo của các giáo viên thực hiện dạy trƣớc và sau
khi thực nghiệm để điều chỉnh các biện pháp sao cho phù hợp với thực tiễn dạy học
Hình học lớp 12 ở trƣờng THPT.
Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến các chuyên gia về các vấn đề thuộc phạm vi
nghiên cứu của đề tài.
Phương pháp nghiên cứu sản phẩm: Nghiên cứu vở ghi, bài kiểm tra, phiếu học tập
của HS để tìm hiểu việc sử dụng các thuật ngữ, kí hiệu tốn học và biểu diễn tốn
học của HS trong học tập Hình học lớp 12.
Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sƣ phạm đƣợc tiến hành để kiểm
nghiệm giả thuyết và tính khả thi, hiệu quả của một số biện pháp đã đề xuất.
Phương pháp thống kê toán học: Xử lý số liệu điều tra và số liệu thực nghiệm.
8. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Về mặt lí luận, làm sáng tỏ quan niệm, các thành tố, các biểu hiện đặc trƣng

năng lực GTTH của HS trong học tập mơn tốn; xác định những luận cứ khoa học của
các biện pháp phát triển năng lực GTTH cho học sinh trong dạy học mơn Hình học 12.
Về mặt thực tiễn, đề xuất đƣợc các biện pháp phát triển năng lực GTTH
cho học sinh trong dạy học môn Hình học 12.


7

PHẦN 2: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Quan niệm về năng lực, năng lực toán học
1.1.1. Năng lực
Năng lực đƣợc định nghĩa theo rất nhiều cách khác nhau với các phạm trù
khác nhau
Theo từ điển Tiếng Việt: Năng lực là khả năng, điều kiện chủ quan hoặc
tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó hoặc phẩm chất tâm lý và
sinh lý tạo cho con ngƣời khả năng hoàn thành một cơng việc nào đó với chất
lƣợng cao.
Theo Tâm lý học, năng lực là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của cá nhân, phù
hợp với những yêu cầu của một hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động đó
có kết quả.
Theo Lƣơng Việt Thái (2012), năng lực là sự kết hợp một cách linh hoạt và
có tổ chức các kiến thức, kĩ năng với thái độ tình cảm, giá trị, động cơ cá nhân…
nhằm đáp ứng hiệu quả một yêu cầu phức hợp của hoạt động trong bối cảnh nhất
định [30].
Theo Vũ Thị Bình, tác giả Xavier Roegiers khẳng định: Năng lực là sự tích
hợp các kĩ năng tác động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loại tình
huống cho trƣớc để giải quyết những vấn đề do những tình huống này đặt ra[6].
Đỗ Tiến Đạt và nhóm nghiên cứu cũng đã chỉ ra: nội hàm của khái niệm
năng lực là khả năng thực hiện, là phải “biết làm”(know-how), biết giải quyết vấn

đề đặt ra trong cuộc sống và trong học tập chứ không chỉ “biết gì`” (know-what).
Tuy nhiên phải biết, phải hiểu cộng thêm ý thức và thái độ mới biết hành động có
hiệu quả [14].
Vũ Thị Bình cũng đã nghiên cứu và đƣa ra nhận xét có nhiều quan niệm khác
nhau về năng lực nhƣng đều có sự thống nhất nhƣ sau:
 Về đặc điểm: Năng lực đƣợc hình thành và bộc lộ trong hoạt động; Năng lực
luôn gắn với một hoạt động cụ thể; Năng lực chịu sự chi phối của các yếu tố bẩm


8

sinh di truyền, môi trƣờng và hoạt động của bản thân.
 Về mối quan hệ với tri thức, kĩ năng: Tri thức, kĩ năng là điều kiện cần thiết để
hình thành năng lực; năng lực góp phần cho q trình lĩnh hội tri thức, kĩ năng trong
lĩnh vực hoạt động nhất định đƣợc nhanh chóng, thuận lợi, dễ dàng; có năng lực
hoạt động tức là có tri thức, kĩ năng trong lĩnh vực đó, nhƣng ngƣợc lại, có tri thức,
kĩ năng khơng có nghĩa là có năng lực về lĩnh vực đó. ” [6]
Năng lực đƣợc phân chia thành nhóm các năng lực chung và nhóm năng lực
chuyên biệt.
 NL chung -cơ bản là những năng lực cần thiết để mọi cá nhân có thể tham gia
hiệu quả trong nhiều hoạt động và các bối cảnh khác nhau của đời sống xã hội
;trong cuộc sống, trong học tập, trong hoạt động nghề nghiệp. Trong hoạt động
học tập, các NL chung cần cho học tập nhiều môn học và đƣợc phát triển qua
nhiều mơn học.
 Năng lực chun biệt (ví dụ: NL toán học, âm nhạc, thể thao, kinh doanh) là
những NL cần thiết cho các loại hình hoạt động chuyên biệt hoặc cần thiết ở một số
tình huống nhất định. Trong hoạt động học tập, các NL chuyên biệt đƣợc hình thành
phát triển thơng qua các mơn học, các hoạt động giáo dục. Các NL chuyên biệt
không thể thay thế các NL chung. Sự phát triển các năng lực chung và NL chuyên
biệt là gắn kết với nhau[14].

Trong CTGDPTTT có nêu:năng lực là thuộc tính cá nhân đƣợc hình thành, phát
triển nhờ tố chất sẵn có và q trình học tập, rèn luyện, cho phép con ngƣời huy
động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác nhƣ hứng thú,
niềm tin, ý chí,... thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả
mong muốn trong những điều kiện cụ thể [10].
Quan niệm về năng lực trong CTGDPTTT phù hợp với hƣớng nghiên cứu của luận
văn. Hiểu theo nghĩa: năng lực là thuộc tính cá nhân đƣợc hình thành, phát triển nhờ
tố chất sẵn có và q trình học tập, rèn luyện, cho phép con ngƣời huy động tổng
hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác nhƣ hứng thú, niềm tin, ý


9

chí,... thực hiện thành cơng một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn
trong những điều kiện cụ thể.
Chƣơng trình giáo dục phổ thơng hình thành và phát triển cho học sinh những năng
lực cốt lõi sau:
a)Những năng lực chung đƣợc tất cả các môn học và hoạt động giáo dục góp phần
hình thành, phát triển: năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng
lực giải quyết vấn đề và sáng tạo;
b)Những năng lực chun mơn đƣợc hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một
số môn
học và hoạt động giáo dục nhất định :năng lực ngơn ngữ, năng lực tính tốn, năng
lực tìm hiểu tự nhiên và xã hội, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm
mỹ, năng lực thể chất [10].
1.1.2. Năng lực toán học
Năng lực toán học đƣợc định nghĩa nhƣ sau: “Năng lực toán học là khả năng của
cá nhân biết lập công thức (formulate), vận dụng (employ) và giải thích (explain)
tốn học trong nhiều ngữ cảnh. Nó bao gồm suy luận tốn học và sử dụng các khái
niệm, phƣơng pháp, sự việc và công cụ để mơ tả, giải thích và dự đốn các hiện

tƣợng. Nó giúp cho con ngƣời nhận ra vai trị của toán học trên thế giới và đƣa ra
phán đoán và quyết định của cơng dân biết góp ý, tham gia và suy ngẫm”[9].
Năng lực Tốn học phổ thơng (Mathematical literacy) là khả năng nhận biết ý
nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; vận dụng và phát triển tƣ duy
toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn, đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại
và tƣơng lai một cách linh hoạt; là khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái qt
hóa, trao đổi thông tin hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn
đề tốn học trong các tình huống, hồn cảnh khác nhau, trong đó chú trọng quy
trình, kiến thức và hoạt động. Năng lực Tốn học phổ thông không đồng nhất với
khả năng tiếp nhận nội dung của chƣơng trình tốn trong nhà trƣờng phổ thơng
truyền thống, mà điều cần nhấn mạnh đó là kiến thức toán học đƣợc học, vận dụng
và phát triển nhƣ thế nào để tăng cƣờng khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái


10

qt hóa và phát hiện đƣợc những tri thức tốn học ẩn dấu bên trong các tình huống,
các sự kiện.
Năng lực Tốn học phổ thơng khơng đồng nhất với khả năng tiếp nhận nội dung
của chƣơng trình tốn trong nhà trƣờng phổ thơng truyền thống, mà điều cần nhấn
mạnh đó là kiến thức toán học đƣợc học, vận dụng và phát triển nhƣ thế nào để tăng
cƣờng khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái qt hóa và phát hiện đƣợc
những tri thức toán học ẩn dấu bên trong các tình huống, các sự kiện[9].
CTGDPTTT có nêu “Giáo dục tốn học hình thành và phát triển cho học sinh
những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố cốt
lõi là :năng lực tƣ duy và lập luận tốn học, năng lực mơ hình hóa tốn học, năng
lực giải quyết vấn đề tốn học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng các
cơng cụ và phƣơng tiện học tốn; phát triển kiến thức, kỹ năng then chốt và tạo cơ
hội để học sinh đƣợc trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn. Giáo
dục toán học tạo dựng sự kết nối giữa các ý tƣởng toán học, giữa Toán học với các

mơn học khác và giữa Tốn học với đời sống thực tiễn ”[10].
1.2. Năng lực giao tiếp toán học
1.2.1. Năng lực biểu diễn toán học theo quan điểm PISA
Theo OECD (2009), PISA nêu ra 8 năng lực trong đánh giá hiểu biết toán của học
sinh là
 Tƣ duy toán học và suy luận toán học (Mathematical thinking and resoning)
 Lập luận tốn học (Mathematical argumentation)
 Mơ hình hóa (Modelling)
 Đặt và giải quyết vấn đề (Problem posing and solving)
 Biểu diễn (Representation)
 Kí hiệu và hình thức hóa (Symbols and formalism)
 Giao tiếp (Communication)
 Công cụ và phƣơng tiện (Aids and tools)
Biểu diễn đƣợc PISA coi là năng lực rất cơ bản và rất quan trọng cho hiểu biết tốn
học, đó là khả năng sử dụng và thao tác một cách thành thạo ở một số dạng biểu


11

diễn khác nhau của các đối tƣợng và tình huống toán học. Biểu diễn gồm đồ thị,
bảng, biểu đồ, tranh ảnh, sơ đồ và văn bản cũng nhƣ biểu diễn đại số và các biểu
diễn kí hiệu tốn học khác.
Trung tâm của NL này là khả năng hiểu và sử dụng các mối quan hệ qua lại giữa
các biểu diễn khác nhau. Ta thấy quan điểm mở rộng về NNTH hay quan điểm
coi diễn ngơn tốn học thuộc loại đa tín hiệu có nhiều điểm chung với năng lực
này [20].
1.2.2. Năng lực giao tiếp toán học theo quan điểm PISA
Giao tiếp là NL đƣợc PISA coi là khả năng hiểu đƣợc các vấn đề toán học qua giao
tiếp bằng viết, nói và đồ họa của ngƣời khác và cịn là khả năng bày tỏ quan điểm
tốn học của mình theo các cách khác nhau [19].

Trong các NL trên thì NL biểu diễn và NL giao tiếp liên quan đến NNTH. Các quan
điểm này cũng đƣợc thể hiện trong CTGDPTTT.
1.2.3. Năng lực giao tiếp toán học theo quan điểm của CTGDPT tổng thể của Bộ
GD & ĐT
Chƣơng trình GDPT tổng thể sẽ hƣớng đến hình thành 10 năng lực cốt lõi của học
sinh. Cụ thể các năng lực gồm có 3 năng lực chung là tự chủ và tự học, giao tiếp và
hợp tác, giải quyết vấn đề và sáng tạo và 7 năng lực chuyên môn bám sát hệ thống
môn học xuyên suốt trong các cấp học.
Theo đó các NL cần hình thành và phát triển cho ngƣời học qua dạy học mơn Tốn
trong nhà trƣờng phổ thơng gồm :
 Năng lực tƣ duy và lập luận toán học.
 Năng lực mơ hình hóa tốn học
 Năng lực giải quyết vấn đề toán học
 Năng lực giao tiếp toán học.
 Năng lực sử dụng các công cụ và phƣơng tiện học tốn.
NL giao tiếp (qua nói hoặc viết ) liên quan tới việc sử dụng có hiệu quả ngơn ngữ
tốn học (chữ, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic…) kết hợp với ngôn ngữ
thông thƣờng. NL này đƣợc thể hiện qua việc hiểu các văn bản toán học, đặt câu


12

hỏi, trả lời câu hỏi lập luận khi chứng minh sự đúng đắn của các mệnh đề, khi giải
toán …”[13]. Đây cũng là quan niệm về năng lực GTTH mà luận văn nghiên cứu.
Năng lực GTTH bao gồm các thành tố sau:
– Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép đƣợc các thơng tin tốn học cần thiết đƣợc trình
bày dƣới dạng văn bản tốn học hay do ngƣời khác nói hoặc viết ra.
– Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) đƣợc các nội dung, ý tƣởng, giải pháp toán học
trong sự tƣơng tác với ngƣời khác (với yêu cầu thích hợp về sự đầy đủ, chính xác)
– Sử dụng hiệu quả ngơn ngữ tốn học (chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các

liên kết logic,...) kết hợp với ngơn ngữ thơng thƣờng hoặc động tác hình thể khi
trình bày, giải thích và đánh giá các ý tƣởng toán học trong sự tƣơng tác (thảo luận,
tranh luận) với ngƣời khác. [11]
Nhƣ vậy NL giao tiếp theo quan điểm của CTGDPTTT là sự tích hợp hai thành
phần đó là NL biểu diễn và NL giao tiếp giống nhƣ quan điểm của PISA. Đó là hai
thành phần khơng thể tách rời, chúng hỗ trợ và bổ sung lẫn nhau. Biểu diễn toán
học là một thành tố của NL giao tiếp.
Lê Văn Hồng đã phân tích và đối chiếu với năng lực biểu diễn, năng lực giao tiếp
của OECD thì năng lực sử dụng ngơn ngữ tốn học của học sinh trong học tập tốn
phổ thơng gồm hai bộ phận chủ yếu:
a)Khả năng sử dụng và thao tác một cách thành thạo ở một số dạng biểu diễn
khác nhau của các đối tƣợng và tình huống tốn học. Các dạng biểu diễn bao
gồm đồ thị, bảng, biểu đồ, tranh ảnh, sơ đồ và văn bản cũng nhƣ các biểu diễn đại
số và các biểu diễn toán học khác. Khả năng này bao gồm cả việc phiên dịch giữa
ngơn ngữ kí hiệu toán học và NNTN, đồng thời phối hợp sử dụng chúng cùng các
biểu diễn bằng sơ đồ, hình vẽ …để mơ tả nội dung tốn học.
b)Khả năng hiểu đƣợc các vấn đề tốn học qua giao tiếp bằng viết, nói và bằng đồ
họa của ngƣời khác và khả năng trình bày tỏ nội dung, ý tƣởng tốn học của mình
theo các cách khác nhau [20].
Nhƣ vậy phát triển năng lực sử dụng NNTH cho học sinh chính là phát triển NL
biểu diễn và NL giao tiếp.
Bộ phận a)chi tiết thêm quan niệm về NNTH mà Trần Kiều (2014) đã nêu.


13

Lê Văn Hồng cũng đƣa ra quan điểm NNTH gồm ba loại “ngơn ngữ”
 Sơ đồ, hình vẽ, đồ thị, biểu bảng …hay một hình thức biểu diễn nào đó dung
trong tốn học hay học tốn.
 Ngơn ngữ tự nhiên với các thuật ngữ tốn học

 Ngơn ngữ kí hiệu tốn học với các kí hiệu tốn học và các tổ hợp của chúng [20].
Các văn bản tốn học (nói, viết, vẽ) thƣờng dùng cả ba loại ngơn ngữ trên.
Ví dụ 1.1. Khi dạy học về mặt trụ tròn xoay SGK hình học 12 (trang 35) đã viết
nhƣ sau:
Trong mặt phẳng  P  cho hai đường thẳng  và l song song với nhau, cách nhau
một khoảng bằng r . Khi quay mặt phẳng  P  xung quanh  thì đường thẳng sinh
l ra một mặt trịn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay. Người ta thường gọi tắt mặt

trụ tròn xoay là mặt trụ. Đường thẳng  gọi là trụ, đường thẳng l là đường sinh và
r là bán kính của mặt trụ

Ta thấy các thuật ngữ tốn học: mặt phẳng, đường thẳng, mặt trịn xoay, mặt trụ
trịn xoay, trục, đường sinh, bán kính cùng các kí hiệu:  , l , r ,  P  và hình vẽ tạo
nên một văn bản tốn học hồn chỉnh.
Trong q trình học sinh học tập và tiếp thu kiến thức mơn tốn các em dùng cả ba
ngơn ngữ trên để thể hiện, ghi nhớ và suy nghĩ. Việc sử dụng tốt ba loại ngôn ngữ
trên giúp các em tiếp thu nội dung mơn tốn một cách dễ dàng, hiểu sâu, nhớ lâu.
Việc sử dụng ngôn ngữ thứ nhất : Sơ đồ, hình vẽ, đồ thị, biểu bảng …chính là
phƣơng tiện trực quan giúp học sinh có cái nhìn trực quan hơn về tốn học, gắn


14

liền đƣợc với các tình huống thực tiễn trong cuộc sống hoặc tình huống thực tiễn
giả định.
Ví dụ 1.2. Dạy học khái niệm hình trụ trịn xoay và khối trụ trịn xoay SGK hình
học 12 (trang 35).
Xét hình chữ nhật ABCD. Khi quay hình đó xung quanh đường thẳng chứa một
cạnh, chẳng hạn AB, thì đường gấp khúc ADCB tạo thành một hình được gọi là
hình trụ trịn xoay hay cịn gọi tắt là hình trụ.

Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình trịn bằng nhau gọi là
hai đáy của hình trụ …. .

Với hình vẽ trên học sinh dễ dàng tƣởng tƣợng đƣợc các hình ảnh của các vật
trong thực tế có hình dạng là hình trụ. Chẳng hạn nhƣ:Vỏ hộp sữa (khi chƣa mở
nắp), hay các chi tiết máy.

Từ đó học sinh nhận biết đƣợc: Đáy, chiều cao, đƣờng sinh, bán kính của hình trụ


15

Cũng từ hình ảnh trực quan này khi học đến phần diện tích xung quanh của hình trụ
các em sẽ xây dựng đƣợc ngay công thức trên cơ sở của việc trải hình qua hình ảnh
trực quan
Cụ thể : Nếu cắt mặt xung quanh của hình trụ theo một đường sinh, rồi trải ra trên
một mp thì sẽ được một hình chữ nhật có một cạnh bằng đường sinh l và một cạnh
bằng chu vi đường tròn đáy. Độ dài bằng đường sinh l bằng chiều cao h của hình
trụ. Khi đó diện tích hình chữ nhật bằng diện tích xung quanh của hình trụ.

Sxq  Shcn  2 rl

Việc sử dụng ngôn ngữ thứ hai: Ngôn ngữ tự nhiên với các thuật ngữ toán học giúp
các em nắm vững đƣợc các thuật ngữ tốn học thơng qua ngơn ngữ tự nhiên.
Ví dụ 1.3. Khi học nội dung khối đa diện đều. SGK hình học 12 (tr 16) có nêu
định lí
Chỉ có 5 loại khối đa diện. Đó là các loại 3;3 , 4;3 , 3;4 , 5;3 , 3;5 .
Tƣơng ứng với 5 loại trên ta có các tên gọi (thuật ngữ) sau:
Loại

Tên gọi

Số đỉnh

Số cạnh

Số mặt

3;3

Tứ diện đều

4

6

4

4;3

Lập phƣơng

8

12

6

3; 4

Bát diện đều

6

12

8

5;3

Mƣời hai mặt đều

20

30

12

3;5

Hai mƣơi mặt đều

12

30

20


16

Hình tứ diện đều Hình lập phƣơng Hình bát diện đều

Hình mƣời hai mặt đều Hình hai mƣơi mặt đều
Việc sử dụng ngơn ngữ thứ ba: Ngơn ngữ kí hiệu tốn học với các kí hiệu tốn học
và các tổ hợp của chúng giúp học sinh sử dụng tốt các kí hiệu tốn học và sử dụng
một cách linh hoạt từ đó học tập tốn tốt hơn.
Bộ phận b) nhấn mạnh chức năng giao tiếp của NNTH (theo nghĩa trên:gồm 3 ngơn
ngữ vừa phân tích). Học sinh muốn trao đổi một “văn bản tốn học” với ngƣời khác
thì phải hiểu đƣợc nội dung “văn bản tốn học” đó. Tức là các phải biết giao tiếp
tốn học(nói, viết, vẽ) với ngƣời khác.
Ví dụ 1.4. Nói đến “mặt phẳng ”học sinh có giao tiếp đối với ngƣời khác qua nhiều
khía cạnh.
 Mơ tả:Mặt bảng, mặt bàn, …cho ta hình ảnh một phần mặt phẳng. Mặt phẳng
khơng có bề dày và khơng có giới hạn.
 Biểu diễn mặt phẳng: Thƣờng dùng hình bình hành hay một miền góc và ghi tên
mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn.






17

 Kí hiệu mặt phẳng: Dùng chữ cái in hoa hay chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu ngoặc.
Ví dụ:mp ( P) , mp (Q) , mp ( ) , mp (  ) , …hoặc ( P);(Q);( );( )...
 Phƣơng trình :Phƣơng trình có dạng Ax  By  Cz  D  0 , trong đó A, B, C, D
không đồng thời bằng 0, đƣợc gọi là phƣơng trình tổng qt của mặt phẳng.
Trong CTGDPT mơn Tốn có nêu rõ các yêu cầu cần đạt về năng lực giao tiếp toán

học cho học sinh cuối cấp trung học phổ thông là:
– Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép thành thạo tóm tắt các thơng tin cơ bản, trọng
tâm trong nội dung, u cầu tốn học đƣợc nói và viết ra.
– Biết làm việc thành thạo với văn bản tốn học (phân tích, lựa chọn, trích xuất các
thơng tin cần thiết).
– Thể hiện một cách chính xác và hiệu quả suy nghĩ, lập luận, chứng minh, các
khẳng định toán học bằng ngơn ngữ thơng thƣờng hoặc ngơn ngữ tốn học.
– Thể hiện sự tự tin, tôn trọng ngƣời đối thoại khi mơ tả, giải thích các nội dung, ý
tƣởng tốn học[11].
1.3. Ngơn ngữ tốn học
1.3.1. Ngơn ngữ
NN là hệ thống những âm, những từ, những cụm từ và những kí hiệu kết hợp với
nhau làm phƣơng tiện giao tiếp và phát triển tƣ duy của các thành viên trong cộng
đồng[17].
1.3.2. Ngơn ngữ tốn học
NNTH (theo nghĩa hẹp) là ngơn ngữ xây dựng trên hệ thống các kí hiệu tốn học.
NNTH ( theo nghĩa rộng) bao gồm NNTH theo nghĩa hẹp và các thuật ngữ tốn
học, hình vẽ, mơ hình, biểu đồ, đồ thị, … có tính chất quy ƣớc nhằm diễn đạt các
nội dung tốn học đƣợc chính xác, logic và ngắn gọn [17].
Theo Vũ Thị Bình, tác giả Trần Anh Tuấn, Lê Văn Hồng, Trần Ngọc Bích, Thái
Huy Vinh đã quan niệm rằng: NNTH trong DH toán phổ thơng là ngơn ngữ của
khoa học tốn học, bao gồm các thuật ngữ tốn học (từ, cụm từ), các kí hiệu tốn
học, biểu tƣợng tốn học (nhƣ hình vẽ, sơ đồ, đồ thị... ) và các quy tắc kết hợp