Bài tập nguyên hàm

Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt

/>
BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
BÀI TẬP 1: Chứng minh rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) bằng đònh nghóa:
1.CMR hàm số : F(x) = ln

x2 - x 2 + 1

là một nguyên hàm của hàm số f(x) =

2 2 (x 2 - 1)
trên R
x4 + 1

x2 + x 2 + 1
⎧ x 2 (x ln x - 1)
⎧ xlnx khi x > 0
khi x > 0
⎪
2. CMR hàm số : F(x) = ⎨
là một nguyên hàm của hàm số f(x) = ⎨
4
khi x = 0
⎩0
⎪0
khi x = 0
⎩
1
⎧ 2
⎪ x sin khi x ≠ 0

3. . CMR hàm số : F(x) = ⎨
là một nguyên hàm của hàm số
x
⎪⎩ 0
khi x = 0

1
1
⎧
⎪ 2xsin - cos khi x ≠ 0
f(x) = ⎨
trên R
x
x
⎪⎩ 0
khi x = 0
⎧⎪ ex
khi x ≥ 0
4. . CMR hàm số : F(x) = ⎨ 2
là một nguyên hàm của hàm số f(x) =
⎪⎩ x + x + 1 khi x < 0

⎧ ex
khi x ≥ 0
⎨
⎩ 2x + 1 khi x < 0

trên R
BÀI TẬP 2: Xác đònh các giá trò của tham số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b)
1.Xác đònh a; b; c để hàm số F(x) = (a + 1)sinx +

f(x) = cosx trên R

b
c
sin 2x + sin 3x là một nguyên hàm của hàm số
2
3

ĐS: a = b = c = 0
2. .Xác đònh a; b; c để hàm số F(x) = (ax 2 + bx + c)e- x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = (x 2 - 3x + 2)e- x
2
3. .Xác đònh a; b; c để hàm số F(x) = (ax + bx + c) 2x - 3 với x >

f(x) =

3
là một nguyên hàm của hàm số
2

20x 2 - 30x + 7
2x - 3

⎧ x2
khi x ≤ 1
4. Xác đònh a; b để hàm số F(x) = ⎨
là một nguyên hàm của hàm số f(x) =
⎩ ax + b khi x > 1
trên R

⎧ ex - 1
khi x ≠ 0
⎪
5. Xác đònh a; b để hàm số F(x) = ⎨ x
là một nguyên hàm của hàm số
⎪a
khi x = 0
⎩
⎧ (x - 1)ex + 1
khi x ≠ 0
⎪
f(x) = ⎨
x2
⎪b
khi x = 0
⎩

1

⎧ 2x khi x ≤ 1
⎨
⎩ 2 khi x > 1


Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt
/>4sinx + 3cosx
6. Cho hàm số y = f(x) =
. Xác đònh các hằng số a để
sin x + 2cosx
4sinx + 3cosx = a(sinx + cosx) + b(cosx - 2sinx) . Từ đó tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)

BÀI TẬP 3: Tính nguyên hàm của hàm số:

Q1 =

1

∫

2x + 1 + 3 - 2x
2
Q2 = ∫ 2
dx
x - 4x + 3
4x 3 - 9x - 1
Q3 = ∫
dx
4x 2 - 9
1
Q4 = ∫
dx
2
2
x+ x +1

(

Q6 =

)

∫ x ( 1 - 3x )

Q5 =

dx

x2

∫ (1 - x )

2006

2008

dx

dx

I1 =

dx

∫ 1 + sinx

I 2 = ∫ 8cos 3 x. sin xdx
I3 =
I4 =
I5 =
I6 =
I7 =

tgx
∫ cos3 x dx
1
∫ sinx.cos2 xdx
1
∫ cos4 xdx
1
∫ sin 4 xdx
sinx + cosx
∫ 5 sinx - cosx dx

I 8 = ∫ 8cos 2 x. sin 3 xdx
I9 =

∫ ( sin

6

x + cos6 x ) dx

dx

M1 =

∫ x.lnx.ln(lnx); x > 1

M2 =

∫1+e

1

x

dx

ex
∫ e x + e- x dx
2 x + 1 - 5x - 1
M4 = ∫
dx
10 x
M3 =

M 5 = ∫ e3x - 2 dx

x+1
dx
x
+ 1)
1
M7 = ∫
dx
sinx.cos 3 x
sinx + cosx
M8 = ∫
dx
3 + sin2x

M6 =

∫ x(xe

BÀI TẬP 4: Tính tích phân
π
4

⎛π
⎞
K1 = ∫ sin 2 ⎜ - x ⎟ dx
⎝4
⎠
0
K2 =

π
2

∫

sin 7x. sin 2xdx

π
2
π
2

π
4

1
Q1 = ∫
dx
π⎞
0 cosx.sin ⎛ x +
⎜
4 ⎟⎠
⎝
Q2 =

π⎞
⎛
K 3 = ∫ sin x. cos ⎜ x - ⎟ dx
4⎠
⎝
0
2

π
3

∫
π
6

1
dx
π⎞
⎛

sinx.sin ⎜ x + ⎟
6⎠
⎝

2

L1 =

2

∫x

2

- 1 dx

-2

L2 =

5

∫
2

L3 =

4

1

x+2 + x-2

∫x

-1

2

- 3x + 2 dx

dx


Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt

/>
π

K4 = ∫ cos 3 x. cos 5xdx
0

K5 =

Q3 =

π
3

sin 2 x
∫π cos6 x dx

cos2x
∫0 cosx + 1dx
2

x+1
Q4 = ∫ 2
dx
x + xlnx
1

6

K6 =

π
2

π
4

1
∫0 cos4 x dx

Q5 =

e

2 + lnx
dx

2x

∫
1
1

Q6 = ∫ e x dx

L4 =

π

∫ sin x - cosx dx
0

L5 =

π

∫

1 - sin2xdx

0

L6 =

2π

∫

1 + sinxdx

0

L7 =

π
2

sin 3 x
∫0 1 + cos2 x dx

0

BÀI TẬP 5:Tích phân đổi biến cơ bản

I1 =

10

∫
0

I2 =

2x
x + x2 + 1

7

∫
0

1

I3 = ∫ x

x3
3

3

dx

dx

x +1
2

T1 =

π
6

∫ 2 sin
0

T2 =

3

∫
0

x + 1dx

tg 4 x
dx
cos 2x

A1 =

4sinx

∫ ( sinx + cosx )
0

A2 =

1

1

∫4-x
0

π
2

2

0

sin 2x
dx
x + cos 2 x

2

π
2

T3 = ∫ cos 3 x. sin 2 xdx

A3 =

2 2

∫

2

ln

3

dx

2+x

dx
2-x

x x 2 + 1dx

0

0

BÀI TẬP 6 : Tích phân đổi biến

I1 =
I2 =

π
3

sin x
3

∫ cosx + 2 dx

G1 =

0
2

∫ m - x xdx
0

π
3

1

∫ cosx.sin x dx
4

π
6

G =

ln 3

∫

1
ex + 1

0

dx

I1 =

∫x
1

I2 =

8

∫x
3

I3 =

4

∫x
7

1
x2 + 1

dx

1
x2 + 1
1
x2 + 9

I1 =

∫ sin
π
6

dx

dx

π
3

I2 =

π
3

2

cos x
dx
x − 5 sin x + 6
cos x
dx
- cos 2 x

∫ 11 - 7sinx
π
6

3

sinx + 7cosx + 6

∫ 4sinx + 3cosx + 5 dx
0

T =

π
2

3sinx + 4cosx

∫ 3sin x + 4cos x
0

BÀI TẬP 7:Tích phân đổi biến chứa hàm hữu tỉ
2

T1 =

π
2

2

2

dx


Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt

/>
BÀI TẬP 8:
1. Tính tích phân T =

2

∫ max ( f(x); g(x) ) dx trong đó f(x) = x

2

và g(x) = 3x - 2

0

πx
⎧
khi x ≤ 1
⎪ cos
2
Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số . từ đó tính tích
2. Cho hàm số f(x) = ⎨
⎪x-1
khi x > 1
⎩
phân

3

∫ f(x)dx

−2

π

⎧
⎪⎪ sinx khi x ≤ 2
3. . Cho hàm số f(x) = ⎨
Xét đònh a; b để hàm số trên toàn trục số . từ đó tính tích phân
π
⎪ ax + b
khi x >
⎪⎩
2
2π
3

∫ f(x)dx
0

4. Tìm các hằng số a; b để f(x) = a.sinπx + b thỏa mãn f(1) = 2 và

1

∫ f(x)dx = 4
0

1

a
b
5. Tìm các hằng số a; b để f(x) = 2 +
+ 2 thỏa mãn f'(x) = - 4 và ∫ f(x)dx = 2 - 3ln2
x
x

1
2

6. Cho f(x) liên tục trên R và thỏa mãn :

f(x) + f(- x) = 2 - 2cos2x , ∀x ∈ R. Tính tích phân I =

3π
2

∫

3π
2

HD: Đặt x = - t
7. Cho hai hàm số f(x) = 3x - x - 4x +1 và g(x) = 2x 3 + x 2 - 3x - 1
3

2

a. Giải bất phương trình f(x) ≥ g(x)

2

b. Tính tích phân T =

8. Cho hai hàm số f (x) = 4cosx + 3sinx và g(x) = cosx + 2sinx

a. Tìm A, B để g(x) = Af(x) + Bf'(x)

∫ f(x) - g(x)dx

-1

b. Tính tích phân T =

π
4

g(x)

∫ f(x) dx
0

9. Tìm a, b để cosx = a ( cosx + sinx
10. . Cho hàm số f(x) =

)

+ b ( cosx - sinx ) Từ đó tính tích phân I =

π
4

1

∫ 1 + tgx dx
0

sinx
sinx + cosx

π
3

⎛ cosx - sinx ⎞
a. Tìm A, B để f(x) = A + B ⎜
⎟
⎝ cosx + sinx ⎠

b. Tính tích phân T = ∫ f(x)dx
0

4

f(x)dx .


Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt
sin2x
11. Cho hàm số f(x) =
2
( 2 + sinx )
a. Tìm A, B để f(x) =

A.cosx

( 2 + sinx )

2

/>
B.cosx
+
2 + sinx

b. Tính tích phân T =

0

∫ f(x)dx
π
2

-

12. Cho hàm số f(x) = sin 2 2x. cos 4x

a. Tìm họ nguyên hàm của f(x)

b. Tính tích phân T =

π
2

-

⎛π⎞
⎟ = - 2 và

⎝2⎠

13. Tìm a, b để f(x) = a.sin2x - bcos2x thỏa mãn f' ⎜

14. Tìm a, b để f(x) = a.sin2x + b thỏa mãn f'(0) = 4 và

f(x)
dx
x
+1

∫e
π
2

2b

∫ adx = 1
a

2π

∫ f(x)dx = 3
0

BÀI TẬP 9 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt :

x = a sin t ; 2
2

∫

K=

π
π
≤ t ≤
hoặc x = a cos t ; 0 ≤ t ≤ π
2
2

I=

1 - x 2 dx

1
2

2

∫

L=

4 - x dx
2

1

(1 - x )

2

J=

1
3

1

(4 - x )
2

3

3

∫

dx

F = ∫ x 1 - xdx
0

G=

1

(1 - x )
2

0

3
2

∫

1

∫
0

-1

M=

1

3
2

3

∫
0

dx

H=

dx

π
2

π
4

∫
0

cos x
7 + cos2x
cos x + sinx
3 + sin2x

BÀI TẬP 10 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt :

a
a
π
π
π
≤ t ≤
;và t ≠ 0 hoặc x =
; 0 ≤ t ≤ π và t ≠
sin t
2
2
cos t

2

x=

I=

4
3

∫
2

x2 - 4
dx
x3

K=

2

∫

2
3

1
x x2 - 1

dx

2

∫
1

BÀI TẬP 11 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt :

x = atgt ; -

J=

π
π
hoặc x = acotgt 0 < t < π Kết hợp dạng hữu tỷ
2
2

5

x2 - 1
dx
x3

dx

dx


Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt

3

∫

I=

1

3

∫

J=

9 + 3x
dx
x2

T=

3 + x 2 dx

K=

2

∫x
0

2

1

∫x

x -1
2

1

∫

M1 =

6 +
2

dx

1

∫

M2 =

0

3

3

∫x

1

1
Z=∫ 4
dx
x + x2 + 1
0

1 + x 2 dx

1

1

∫ (x

L=

x
dx
+ x2 + 1

4

2

0

K=

1

0

1

2

+ 1 )( x + 2 )
2

1

∫

M3 =

0

dx

x2 - 1
dx
x4 + 1
x4 + 1
dx
x6 + 1

1

∫x

M2 =

0

/>1 + x2
dx
1 + x4
10

3

3
dx
+1

BÀI TẬP 12 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt : x = acos2t hoặc x = acost
0

∫

I=

-a

a+x

dx
a-x

0

∫

J=

-2

W=

1

∫
0

2+x
dx
2-x

1-x

(1 + x )

5

dx

K=

1
2

∫

-1

1+x
dx
1-x

2
B ÀI TẬP 13 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt : x = a + ( b - a ) sin t; 0 ≤ t ≤

a+b
2

I=

∫ ( x - a )( b - x )dx; 0 < a < b

M=

3

∫
2

3a + b
4

1

( - 4 + 5x - x )
2

3

dx

J=

3

∫ ( x - 1)( 5 - x )dx
2

B ÀI TẬP 14 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt: Đặt t = x + a + x + b

I1 =

2

∫
0

I2 =

−3

∫

-5

1
(x + 1)(x + 2)
1
(x + 1)(x + 2)

dx

Q=

1

1

∫ ( x + 1)( x + 8 ) dx

I1 =

2π
3

2

I1 =

π
2

1

∫ sinx + cosx + 1 dx
0

6

5

x
2

hoặc t = - x - a + - x - b

∫ ( x - 1)( 9 - x )dx
3

dx

∫ 2sinx - cosx + 1 dx
π
2

K=

0

B ÀI TẬP 15 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt: đặt t = tg

π
2


Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt
B ÀI TẬP 16: Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt:

/>
a

∫ f(x)dx đặt x = - t

-a

I1 =

1

∫

x 2006 sin xdx

1

cos x
∫− 1 ex + 1 dx

I1 =

−1

I2 =

π

∫ cos nx. cos mxdx
π

∫

−1

sin nx. sin mxdx

1

∫

I =

−π

x3

sin 2 x
I = ∫ x
dx
2 +1

−π
π

∫ ln ( x +
2

I =

−

x 4 + sinx
∫ x 2 + 1 dx
−1

M2 =

)

1

∫

M3 =

-2

B ÀI TẬP 17 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt:

π
2

2

(ex . sin x + ex x 2 )dx

−1

x + 1 dx
2

2

1

dx

x2 + 1

−1

x + cosx
dx
2
π 4 - sin x

∫

M1 =

1 - x2

dx
1 + 2x

∫

I2 =

−π

I3 =

1

π
2

π

∫ f(x)dx đặt x = 2 - t
0

I2 =

π

∫

π
2

cos nx. cos mxdx

I1 = ∫ cos 2 x. cos 2 2xdx

−π

0

B ÀI TẬP 18 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt
π

∫ f(x)dx đặt x = π - t
0

;

2π

∫

f(x)dx đặt x = 2 π - t

0

π

I1 = ∫ x. sin x. cos 2 xdx

b

∫ xf(x)dx đặt x = a + b - x
a

H1 =

0

2π

∫

sin ( sin x + nx ) dx

K1 =

0

2π

∫ x. cos

3

0

B ÀI TẬP 19:Tích Phân từng phần
π
2

Q1 = ∫ x.cos 2 xdx

0

π
2

Q2 = ∫ x 2 .sinxdx
0

1

Q3 = ∫ x.tg 2 xdx
0

T1 =

π
2

∫ (x
0

2

+ 1 ) sin xdx

π
2

T2 = ∫ x. sin 2 xdx

π
3

I1 = ∫ x.sinxdx
0

π
3

x

0

∫ cos xdx

π
2

eπ

I2 =

π
4

T3 = ∫ x 2 cos xdx

I3 =

0

∫ cos(lnx)dx
0

7

2

xdx


Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt
Q4 =

π
2

x. cos x

∫ 1 + sin x dx
π
2

cosx

∫

∫

T4 =

2

0

Q5 =

/>π
3
0

dx

π
4

I4 =

∫ ( 2x - 1) cos xdx
2

0

π
4

x + sinx

I 5 = ∫ x.(2 cos 2 x - 1)dx

∫ 1 + cosx dx

T5 =

7 + cos2x
0
Đặt t = sinx hoặc sinx = 2sint

x + sinx
dx
cos 2 x

π
2

0

0

π

π
2

I 6 = ∫ x.cos 4 x.sin 3 xdx

T6 = ∫ cos x. ln(cos x + 1)dx

0

0

ln 2

∫

N1 =

x.e− x dx

e

∫ ( x ln x )

I1 =

1

I 2 = ∫ x. ln(x 2 + 1)dx

N 2 = ∫ x .e dx
2

−x

1

∫ ( x + 1)

2

∫ ( 1 - ln x )

2

dx

I3 =

1

I 4 = ∫ ln xdx

N 4 = ∫ x. ln xdx

1
e

2

I =

2

dx

ln x
dx
x2

∫

ln ( x + 1 )
dx
x2

2

∫

3

1

1

ln x

∫ ( x + 1)

1

e

2

e

1

e

I3 =

.e dx
2x

0

e

I2 =

0

0

N3 =

I1 =

dx

1

0

1

2

3

∫

(

x. ln x + x 2 + 1
x2 + 1

1

) dx

B ÀI TẬP 20:Tích phân từng phần dạng kết hợp
π
2

π
2

G1 = ∫ e . sin 3xdx

T=

E1 = ∫ e . cos 3xdx

2x

0

-x

G2 = ∫ e2x . sin 2 xdx

E2 =

0

⎛

∫ ⎜⎝

2e

0

π

e2

lnx +

1

⎞
⎟ dx
2 lnx ⎠

π

2

eπ

E = ∫ e-x . sin 3xdx

∫ cos(ln x)dx

0

0

π

H = ∫ ex . sin 2 ( πx ) dx
0

B ÀI TẬP 21 : Bài tập đổi biến – từng phần

I1 =

π2

∫ sin

xdx

0

I2 =

π3

∫ sin
0

π
2

2

K1 = ∫ esin x sin x. cos 3 xdx
0

3

xdx

K2 =

π
2

∫
π
3

I=

⎛π⎞

⎜2⎟
⎝ ⎠

∫

3

sin 3 xdx

0

sin 3 x - sinx
cot gx.dx
sin 3 x

B ÀI TẬP 22 :Tích phân từng phần dạng khó

8

1
9

⎛
x
F1 = ∫ ⎜⎜ 3 x +
+
2
sin ( 2x + 1 )
0⎝

⎞
⎟dx
4x - 1 ⎟⎠

1

5


Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt
F1 =

/>
π
2

x 2 sin x
∫π 1 + 2 x dx

-

T1 =

e

∫
1

π
4

ln 1 + ln x
dx
x
3

2

H 1 = ∫ ln ( 1 + tgx ) dx
0

2

B ÀI TẬP 23: Giải phương trình:
x

1
∫0 1 - t2 dt = 0

1 + lnt
∫1 t dt = 0

∫

x

e

x

∫
0

1

(1 - t )
2

3

x

dt = tgx

x

∫ (2
0

x

3⎞
⎛
4
∫0 ⎜⎝ 4 sin t - 2 ⎟⎠dt = 0
x

t -1

x

∫7

t -1

x

et - 1dt = 0

0

ln 2 - 2t + 2 )dt = 2

∫ (e

1
+
2

x2 - x

2t

0

+ e-2t )dt = 1

ln 7dt = 6log 7 ( 6x - 5 ) ; x ≥ 1

0

∫ cos ( t - x )dt = sinx
2

0

x

B ÀI TẬP 24: Giải phương trình ẩn x

∫

3
2

t
1-t

2

1+ 1-t

2

(

dt = 6 - 2x 1 + 2 1 - x 2

)

B ÀI TẬP 25: Giải và biện luận phương trình:

a.

x

( m + 1) t2

∫ (t

−1

2

- 2m ( t + 1 )

+ 2t )( t 2 - 2mt - 2m )

x

b. 3 ∫ t 2 dt = 3 3 3x - 2 + 1

=0

1

⎛
c. x + 1 + m x - 1 = ( m + 1 ) ⎜
⎜
⎝

⎞
+ 1⎟
⎟
t2 - 1
⎠

x

dt

∫

2

x

t-1

∫

d. x - 1 =

t 2 - 2t + m 2

0

dt

B ÀI TẬP 26: Giải các bất phương trình

a. ln3

2 ( x - 1) + 1

∫

3 t dt ≤ x 2 - 4x + 3

b.

x

2 + lnx

∫

lnx

x

5t 2 - 16t + 20
c. ∫ 2
dt ≤ 0
2
0 ( t - 4 )( t - 5t + 4 )

d.

1

2

2 cos x

dt
2 t
+

x

∫

<

-

e

3
4

dt
t
x

1
2

2 sin x

≤

∫ ( cost - sint )dt + 1
0

B ÀI TẬP 27:
1. Tìm m để bất phương trình 2
2. Tìm m để bất phương trình

0

x

x

0

m

3
2
∫ ( 3t + 1 )dt - 6m ∫ tdt ≤ 3m + m - 2x nghiệm đúng với x ∈ [ 0,1]

∫ (t

3

x

3. Tìm m để bất phương trình 2 ln 3

- mt 2 - t - m )dt ≤
x

∫ (3
0

2t

1
nghiệm đúng với x ∈ [ - 1,1]
4

- 3 t )dt > 2m ( 3 x + 1 ) + 3 nghiệm đúng với mọi x

9


Index of /

Index of /
Name

Last modified

Parent Directory

16-May-2006 10:40

-

cgi-bin/

16-May-2006 10:24

-

_private/

16-May-2006 10:24

-

images/

16-May-2006 10:24

-

postinfo.html

16-May-2006 10:24

2k

Apache/1.3.34 Server at www.toanthpt.net Port 80

5:07:32 PM

Size

Description