Phương pháp tìm chữ số tận cùng theo môđun và lũy thừa

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU...................................................................................................1
1.1. Lý do chọn đề tài...........................................................................................1
1.2. Điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm...........................................................3
1.3. Phạm vi, đối tượng áp dụng...........................................................................3
PHẦN II: NỘI DUNG..............................................................................................4
2.1. Thực trạng của việc tìm chữ số tận cùng.........................................................4
2.2. Cơ sở lý thuyết của việc tìm chữ số tận cùng................................................5
2.2.1. Đồng dư thức...........................................................................................5
2.2.2. Tính chất chữ số tận cùng của lũy thừa...................................................6
2.3. Một số phương pháp tìm chữ số tận cùng bằng máy tính Casio...................7
2.3.1. Tìm một chữ số tận cùng.........................................................................7
2.3.2. Tìm hai chữ số tận cùng..........................................................................9
2.3.3. Tìm ba chữ số tận cùng.........................................................................11
2.3.4. Tìm bốn chữ số tận cùng trở lên............................................................12
2.3.5. Một số dạng toán khác liên quan đến chữ số tận cùng..........................13
PHẦN III: KẾT LUẬN..........................................................................................15
3.1. Ý nghĩa của đề tài........................................................................................15
3.2. Kiến nghị.....................................................................................................15

Trang 0


PHẦN I: MỞ ĐẦU
1.1.

Lý do chọn đề tài

Môn Toán là một trong những môn học chiếm một vị trí quan trọng và then
chốt trong nội dung các chương trình môn học phổ thông. Các kiến thức kĩ năng

của môn Toán ở THCS có nhiều ứng dụng trong cuộc sống. Bất cứ ngành nào nghề
nào cũng đòi hỏi phải có sự tính toán. Muốn tính toán giỏi ta phải học tốt môn toán,
từ những con số, rồi thực hiện các phép tính đơn giản cho đến các phép tính
khó.v.v. Vì vậy ngoài việc làm cho mọi đối tượng học sinh nắm rõ kiến thức cơ bản
trong chương trình THCS thì việc bồi dưỡng học sinh giỏi là nhiệm vụ hàng đầu
của mỗi người giáo viên trong nhà trường. Bên cạnh phải giáo dục cho học sinh có
đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện
nay. Muốn giải quyết nhiệm vụ quan trọng này, trước hết thầy, cô giáo chúng ta ai
cũng phải xây dựng cho mình một phương pháp dạy thật tốt và thường xuyên cải
tiến phương pháp giảng dạy cho phù hợp với từng nội dung, điều kiện giảng dạy
vào các đối tượng tham gia học tập, nhằm tạo tiền đề vững chắc, lâu bền trong việc
tiếp nhận tri thức, nề nếp và thái độ học tập của các em ở nhà trường.
Để giúp học sinh học tốt môn toán, ngoài việc truyền thụ kiến thức cơ bản
theo phân phối chương trình của Bộ Giáo dục & Đào tạo ban hành cho các trường
học phổ thông, giáo viên cũng như học sinh cần phải nghiên cứu thật nhiều các tài
liệu, sách báo, băng hình,.... có liên quan đến môn toán để bổ sung các dạng kiến
thức mới, phương pháp giải mới, giúp học sinh học dễ hiểu, dễ tiếp thu bài nhằm
tạo được sân chơi thân thiện, từ đó các em mới tích cực tham gia các hoạt động học
tập, rồi có ý tưởng tự nghiên cứu sáng tạo cho việc học và giải toán được thuận lợi
hơn. Theo nhà khoa học Lep-Nitx đã nói: “Một phương pháp được coi là tốt, nếu
như ngay từ đầu ta có thể thấy trước và sau đó có thể khẳng định được rằng theo

Trang 1


phương pháp đó ta sẽ đạt tới đích”. Với mỗi bài toán ta cũng có thể giải được, chỉ
cần bắt chước theo những chuẩn mực đúng đắn và thường xuyên thực hành.
Tuy nhiên trong suốt qúa trình giảng dạy cho thấy việc vận dụng kiến thức
cơ bản trong sách giáo khoa, sách nâng cao đối với những bài toán như “Tìm chữ
số tận cùng của một số tự nhiên viết dưới dạng lũy thừa” có bậc thấp thì học sinh

dễ tìm ra, còn những lũy thừa ở dạng bậc cao thì học sinh vô cùng lúng túng, khó
giải. Các bài toán về lũy thừa thật là đa dạng, phong phú và hấp dẫn, thế nhưng
không ít học sinh khi làm loại toán này thường chưa phân được dạng nên chưa có
phương pháp giải phù hợp, dẫn đến bế tắc hoặc có những cách giải còn phức tạp,
chưa tối ưu. Tận dụng sức mạnh với nhiều chức năng của máy tính Casio
750VnPlus tôi đã giúp học sinh giỏi bộ môn máy tính cầm tay Casio giải quyết các
bài toán tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa một cách dễ dàng. Chính vì vậy, tôi
mạnh dạn đưa ra “Một số phương pháp tìm chữ số tận cùng bằng máy tính cầm
tay Casio”.
1.2.

Điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Sử dụng máy tính cầm tay Casio cùng với kiến thức đồng dư thức để tìm
một hoặc nhiều chữ số tận cùng.
1.3.

Phạm vi, đối tượng áp dụng

Phương pháp tìm chữ số tận cùng bằng máy tính cầm tay Casio này áp dụng
cho học sinh lớp 6 và học sinh bồi dưỡng học sinh giỏi môn máy tính cầm tay
Casio.

Trang 2


PHẦN II: NỘI DUNG
2.1. Thực trạng của việc tìm chữ số tận cùng
Lớp 6 là lớp đầu cấp THCS, học sinh vừa mới được làm quen với môi
trường, phương pháp học tập mới nên quá trình học tập của các em vẫn đang còn

bỡ ngỡ và thụ động. Mỗi thầy cô dạy một môn, xong 1 tiết (45 phút) là thầy cô sang
lớp khác dạy, không hiểu bài, không chép bài kịp cũng chẳng biết làm sao. Nhiều
thầy cô ở THCS quen dạy các lớp 8, lớp 9 đến khi dạy lớp 6 vẫn giữ nguyên phong
cách đứng lớp, phương pháp giảng dạy mới làm các em thêm lúng túng, mất tự tin.
Không còn những bài toán chỉ việc áp dụng công thức và những phép toán cộng,
trừ, nhân, chia nữa mà thay vào đó là các dạng toán logic hơn. Đòi hỏi các em phải
lập luận, áp dụng công thức, chứng minh rồi mới tính toán để đưa ra kết quả cuối
cùng. Trong môn toán còn chia thành 2 mảng riêng là Đại số và Hình học. Mỗi
phần lại xoay quanh những vấn đề, những bài toán riêng đòi hỏi các em phải nắm
chắc kiến thức, nội dung.
Về mặt tâm sinh lý thì các em trở nên nhút nhát là từ HS lớn nhất của trường
tiểu học lại trở thành nhỏ nhất của trường THCS. Nhìn các anh chị lớp trên to lớn,
lanh lợi, các em bỗng thấy mình sao nhỏ bé, ngờ nghệch, nếu bị các anh chị lớp
trên hù dọa lại càng sợ hơn. Chưa hết, các nội quy, quy định của nhà trường đều
được thực hiện thật nghiêm túc như đi trễ, không có phù hiệu trên áo, không đeo
khăn quàng, quên mang dép có quai hậu… sẽ bị nhắc nhở, ghi tên từ ở cổng trường
rồi sau đó còn bị giáo viên chủ nhiệm nhắc nhở trong tiết sinh hoạt lớp, bị trừ điểm
hạnh kiểm. Từ đó dẫn đến tình trạng các em rụt rè, mất tự tin ảnh hưởng không nhỏ
đến kết quả học tập của các em.
Kiến thức về lũy thừa thật sự rất mới mẻ với các em. Trong nội dung chương
trình sách giáo khoa chỉ mới cho các em làm quen với việc lũy thừa và nhân, chia
hai lũy thừa cùng cơ số. Các em chưa có điều kiện nghiên cứu sâu về lũy thừa. Do
Trang 3


đó khi gặp các bài tập lũy thừa là học sinh gặp khó khăn mà đặc biệt là dạng toán
tìm chữ số tận cùng thì các em còn không chú ý xem nội dung là gì nữa mà chỉ đọc
qua loa đề rồi bỏ trống.
Kết quả khảo sát học sinh trước khi thực hiện đề tài
Tổng số

Giỏi
2
5,7%

35

Khá
5
14,3%

Kết quả
TB
Yếu
9
11
25,7% 31,4%

Kém
8
22,9%

Thái độ
Hứng thú
Không hứng thú
7
28
20%
80%

Như vậy vấn đề đặt ra là đứng trước những bài tập tìm chữ số tận cùng thì

học sinh định hướng cách tìm như thế nào?
2.2. Cơ sở lý thuyết của việc tìm chữ số tận cùng
2.2.1. Đồng dư thức
a. Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b có cùng số dư trong phép chia cho
một số tự nhiên m � 0 thì ta nói a đồng dư với b theo môđun m, và có đồng dư
thức: a �b (mod m), a �b (mod m) � a – b Mm
Ví dụ: 7 �10 (mod 3), 12 �22 (mod 10)
b. Một số định lý về đồng dư:
Định lý Fermat: Nếu p là số nguyên tố thì n p – n chia hết cho p với mọi số nguyên
n
n p �n (mod p), p là số nguyên tố.

Đặc biệt nếu n, p nguyên tố cùng nhau thì n p 1 �1 (mod p)
Định lý Euler: Nếu n là số nguyên dương bất kỳ và a là số nguyên tố cùng nhau với
n, thì
trong đó φ(n) là ký hiệu của phi hàm Euler được tính như sau: n  p1e p2e ... pke với
1

p2 ,

…,

pk là

� 1 �� 1 �
1 �
1 �
... �
1 �
�

�
� p1 �
� p2 � � pk �
�

1
số nguyên tố, thì  (n)  n �

c. Tính chất của đồng dư thức:
Trang 4

2

k

p1 ,


Tính chất phản xạ: a �a (mod m)
Tính chất đối xứng: a �b (mod m) � b �a (mod m)
Tính chất bắc cầu: a �b (mod m), b �c (mod m) thì a �c (mod m)
a � b (mod m)
�
��
a c
c � d (mod m)
�

Cộng , trừ từng vế: �

b

d (mod m)

Mở rộng ta có: a �b (mod m) � a + c �b + c (mod m)
a + b �c (mod m) � a �c - b (mod m)
a �b (mod m) � a + km �b (mod m)
a � b (mod m)
�
ac
c � d (mod m)
�

Nhân từng vế : �

bd (mod m)

Mở rộng ta có: a �b (mod m) � ac �bc (mod m) (c � Z)
a �b (mod m) � an �bn (mod m)
Có thể nhân (chia) hai vế và môđun của một đồng dư thức với một số nguyên
dương, a �b (mod m) � ac �bc (mod mc)
ac � bc (mod m)
�
a
Mở rộng ta có: �
(c, m) = 1
�

b (mod m)

2.2.2. Tính chất chữ số tận cùng của lũy thừa
Tính chất 1: Các số có chữ số tận cùng là 0; 1; 5; 6 khi nâng lên luỹ thừa bậc bất kỳ
nào thì chữ số tận cùng không thay đổi.
Các số có chữ số tận cùng là 4; 9 khi nâng lên luỹ thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng
không thay đổi.
Các số có chữ số tận cùng là 3; 7; 9 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n �N) thì chữ số
tận cùng là 1.
Các số có chữ số tận cùng là 2; 4; 8 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n �N) thì chữ số
tận cùng là 6.
Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kỳ khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 1 (n �N) thì chữ
số tận cùng không thay đổi.
Trang 5


Tính chất 3: Các số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n �N)
thì chữ số tận cùng là 7; Các số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên luỹ
thừa bậc 4n + 3 (n �N) thì chữ số tận cùng là 3.
Các số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n �N) thì chữ số
tận cùng là 8; Các số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n +
3 (n �N) thì chữ số tận cùng là 2.
Các số có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n �N)
thì chữ số tận cùng là không đổi.
2.3.

Một số phương pháp tìm chữ số tận cùng bằng máy tính Casio

2.3.1. Tìm một chữ số tận cùng
Cách 1: Sử dụng các tính chất chữ số tận cùng của lũy thừa
Cách 2: Sử dụng đồng dư thức
- Nếu a tận cùng là 0, 1, 5 hoặc 6 thì an lần lượt tận cùng là 0, 1, 5 hoặc 6.

- Nếu a tận cùng là 2, 3 hoặc 7, ta có nhận xét sau với k �N * :
24 k  16k �6(mod10)
34 k  81k �1(mod10)
7 4 k  492 k �1(mod10)

Do đó để tìm số tận cùng của an với a có tận cùng là 2, 3 hoặc 7 ta lấy n chia cho 4.
Giả sử n = 4k + r với r � 0,1, 2,3 .
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của 799
Cách 1: Biến đổi trực tiếp theo tính chất của lũy thừa
799  73.796  73.(74 )24  (...3).(...1) 24  ...3
Vậy chữ số tận cùng của 799 là 3.
Cách 2: Sử dụng đồng dư thức
Trên máy tính Casio 570vnPlus ta sẽ tìm số dư của số mũ cho 4
99Qa4= Kết quả là 24, R = 3.
Trang 6


799  7 4 k .73 �1.343(mod10) �3(mod10)

Vậy chữ số tận cùng của 799 là 3.
Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của 789324
Cách 1: Biến đổi trực tiếp theo tính chất của lũy thừa

187324= (1874)81 =(….1)81 =(…1)
Vậy chữ số tận cùng của 187324 là 1
Cách 2: Dùng đồng dư thức
324Qa4= Kết quả là 81, R = 0
789324  7894 k �1(mod10)

Ví dụ 3: Tìm chữ số tận cùng của: 377 2015  1112015  12342015

Phương pháp: Ta sẽ tìm chữ số tận cùng của mỗi lũy thừa rồi cộng, trừ lại với nhau
2015Qa4= Kết quả là 508, R = 3
377 2015  377 4 k .73 �1.343(mod10) �3(mod10) , chữ số tận cùng là 3

1112015 chữ số tận cùng là 1
12342015  12344 k .12343 �1.4(mod10) �4(mod10)

Do đó chữ số tận cùng của 377 2015  1112015  12342015 là 3 – 1 + 4 = 6
Vậy chữ số tận cùng của 377 2015  1112015  12342015 là 6.
Ví dụ 4: Tìm chữ số tận cùng của tổng S  21  35  49  ...  20148049
Ta thấy số mũ đều chia cho 4 dư 1. Nên số mũ sẽ có dạng 4k + 1.
Sử dụng tính chất: Một số tự nhiên bất kỳ khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 1 (n �N)
thì chữ số tận cùng không thay đổi.
Nên S  1  2  3  ...  2014
Bấm máy tính IQ[R1E2014= Kết quả: 2029105
Vậy chữ số tận cùng của biểu thức trên là 5.
2.3.2. Tìm hai chữ số tận cùng
Cách 1: Sử dụng các tính chất chữ số tận cùng của lũy thừa
Trang 7


Cách 2: Sử dụng đồng dư thức
a 20 k �00(mod100) nếu a �0(mod10) ,
a 20 k �01(mod100) nếu a �1;3;7;9(mod10)
a 20 k �25(mod100) nếu a �5(mod10)
a 20 k �76(mod100) nếu a �2; 4;6;8(mod100)

Vậy để tìm hai chữ số tận cùng của an ta lấy số mũ chia cho 20.
Ví dụ 1: Tìm hai chữ số tận cùng của 71991.
Cách 1:

Ta thấy: 74 = 2401, số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng
bằng 01. Do đó:
71991 = 71988 . 73 =(74)497 . 343 = (...01)497.343
= (...01). 343 = ...43.
Vậy 71991 có hai chữ số tận cùng là 43.
Cách 2:
1991Qa20= Kết quả là 99, R = 11
71991  7 20 k .711 . Tiếp tục dùng máy tính bỏ túi tính tiếp giá trị của 711

7^11= Kết quả là 19773266743
Do đó 71991  7 20 k .711 �1.43(mod100) �43(mod100)
Vậy hai chữ số tận cùng của 71991 là 43
Ví dụ 2: Tìm hai chữ số tận cùng của 2100
Cách 1:
Chú ý rằng :210=1024 ,bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng
bằng 76,số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng
76.Do đó
( 2)100=(210)10 =(1024)10 =(10242)5 =(….76)5 =….76
Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76
Cách 2:
Trang 8


100Qa20= Kết quả là 5, R = 0
2100  220 k �76(mod100)

Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76
Ví dụ 3: Tìm hai chữ số tận cùng của 9999

99

99

Ta có: 9999 = 992k + 1 = (992)k . 99 = (… 01)k . 99 = ...99
� Vậy 999999 có hai chữ số tận cùng là 99.

Ví dụ 4: Tìm hai chữ số tận cùng của 3999
999Qa20= Kết quả: 49, R= 19
Nên 3999  320 k .319
3u19= Kết quả: 1162261467

3999  320 k .319 �01.67(mod100) �67(mod100)
Vậy hai chữ số tận cùng của 3999 là 67
14

Ví dụ 5: Tìm hai chữ số tận cùng của 1414 .
14

14

14

Cách 1 : Ta có 1414  714 .214
14

1414  214.714 M4 nên 714  7 4 k �1(mod100)

2u20Qa100= Kết quả: 10485, R = 76
Ta tìm dư trong phép chia 1414 cho 20 = 4 . 5
Ta có 1414  (15  1)14 �1(mod 5)

� r0  5t  1 , t = 0, 1, 2, 3.

14u14Qa20= Kết quả tràn màn hình do đó ta sẽ tính
Ta có 14u2= Kết quả 196.
Nên 1414  (142 )7 �(4) 7 (mod 20) �16384(mod 20) �16(mod 20) Nên 1414 = 20k + 16.
14

Suy ra 214  220 k 6 �216.76(mod100) .
2u16= Kết quả : 65536
14

Suy ra 214 �36.76(mod100) �36(mod100)
Trang 9


14

Vậy 1414 có hai chữ số tận cùng là 36
14

Cách 2. Ta có 1414 �414 �6(mod10)
14

� 1414  1410 k 6  146.1410 k �146.76(mod100)
146  76.26 �7 2.64 �36(mod100).
14

Vậy hai chữ số tận cùng của 1414

là 36.

2.3.3. Tìm ba chữ số tận cùng
a100 k �000(mod103 ) nÕu a �0(mod10)
a100 k �001(mod103 ) nÕu a �1,3, 7,9(mod10)
a100 k �625(mod103 ) nÕu a �5(mod10)
a100 k �376(mod103 ) nÕu a �2, 4, 6,8(mod10)

Vậy để tìm ba chữ số tận cùng của an ta tìm hai chữ số tận cùng của số mũ n.
2003

9
Ví dụ 1: Tìm ba chữ số tận cùng của 2 .
2003
Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 9 .

Ta có: 92003  93.92000  93.(320 ) 200
9u3= Kết quả: 729 nên 93.(320 )200 �29.(01) 200 (mod100) �29(mod100)
Suy ra: 29

2003

 2100 k 29  229.(2100 ) k

2u29= Kết quả: 536870912
nên 229.(2100 ) k �912.376(mod1000) �912(mod1000)
9
Vậy ba chữ số tận cùng của 2

2003

là 912.
1991

9
Ví dụ 2: Tìm ba chữ số tận cùng của số 2

Giải
1991
Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 9

Ta có 91991  9.91990  9.(320 )199 mà 320 �01(mod100)
nên 9.(320 )199 �9.(01)199 (mod100) �9 mod(100)
Trang 10


1991

� 29

100k
 2100 k 9  2100 k .29 mà 2 �376(mod1000)

2u9= Kết quả: 512 nên 2100 k .29 �376.512(mod1000)
376O512= Kết quả: 192512
Nên 376.512(mod1000) �512(mod1000)
1991

9
Vậy ba chữ số tận cùng của 2

là 512.

2.3.4. Tìm bốn chữ số tận cùng trở lên
Để tìm ba chữ số tận cùng trở lên của một luỹ thừa, cần chú ý rằng:
Các số có tận cùng bằng 001, 376, 625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận
cùng bằng 001, 376, 625
Các số có tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng
0625.
Nếu đề bài yêu cầu tính nhiều chữ số tận cùng thì có thể tính chính xác số đó rồi
suy ra chữ số tận cùng.
Ví dụ 1: Tìm bốn chữ số tận cùng của 51992
Trên máy tính bỏ túi ta tính thử:
5^2=Kết quả: 25
5^3=Kết quả:1 25
5^4=Kết quả: 625
Dễ thấy 625 lũy thừa bao nhiêu cũng có tận cùng là 0625 nên
51992 =(54)498 =625498 =0625498 =(...0625)
Vậy bốn chữ số tận cùng của 51992 là 0625
Ví dụ 2: Tìm bảy chữ số tận cùng của 20720183
2072018^3= Kết quả: 8,895709082.1018
Như vậy ta được các chữ số đầu tiên là: 889570908
Bấm tiếp Mp8,89570908[10u18=
Kết quả:1949980000
Trang 11


Như vậy đã tìm được: 889570908194998 còn thiếu 4 chữ số
Để tìm 4 chữ số tận cùng: Ta tính 20183
2018u3= Kết quả: 8217949832. Sẽ lấy 4 chữ số là 9832
Như vậy kết quả 20720183 = 8895709081949989832

Vậy bảy chữ số tận cùng của 20720183 là 9989832
2.3.5. Một số dạng toán khác liên quan đến chữ số tận cùng
Ngoài các dạng bài tập tìm chữ số tận cùng thì các bài tập liên quan đó là: Chứng
minh chia hết cho 10, 100,…
Ví dụ 1: Chứng minh rằng 8102 - 2102 chia hết cho 10
Ta sẽ tìm từng chữ số tận cùng của mỗi lũy thừa. Ta thấy các số có tận cùng bằng 2
hoặc 8 nâng lên luỹ thừa 4 thì được số có tân cùng là 6. Một số có tận cùng bằng 6
nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 6. Do đó ta biến đổi như sau:
8102 =(84)25.82 = (….6)25.64=(….6).64 = …4
2102 =( 24)25.22 =1625.4 =(…6).4 = …4
Vậy 8102 - 2102 tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10
Ví dụ 2: Chứng minh rằng 261570 chia hết cho 8
Ta thấy :265= 11881376 ,số có tận cùng bằng 376 nâng lên luỹ thừa nào(khác 0)
cũng có tận cùng bằng 376.
Do đó: 261570=(265)314=(…376)314=(…376)
Mà 376 chia hết cho 8
Một số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8
Vậy 261570 chia hết cho 8.
Tóm lại, để tìm chữ số tận cùng ta phải tận dụng sức mạng của máy tính Casio
570vnPlus và kiến thức về đồng dư thì mọi bài toán đều trở nên dễ dàng. Qua đó sẽ
giúp cho học sinh say mê học tập, hiểu bài sâu hơn, góp phần vào việc nâng cao
chất lượng học tập bộ môn cuối năm học.
Khảo sát sau khi thực hiện đề tài
Trang 12


Tổng số
35

Giỏi

7
20%

Kết quả
Khá
TB
Yếu
15
9
4
42,9% 25,7% 11,4%

Trang 13

Kém
0
0

Thái độ
Hứng thú
Không hứng thú
27
8
77,1%
22,9%


PHẦN III: KẾT LUẬN
3.1.

Ý nghĩa của đề tài
Qua thực tế thực hiện đề tài này tôi thấy giúp học sinh vận dụng lí thuyết

về luỹ thừa để tìm chữ số tận cùng của một tích, một luỹ thừa học sinh từ chỗ nắm
bắt lí thuyết biết vận dụng từ đó có hứng thú trong quá trình làm bài tập, đặc biệt ở
các dạng bài tập chứng minh chia hết, tìm dư trong phép chia của một tổng, một
hiệu, một biểu thức. Qua đó còn rèn cho học sinh tư duy toán học, tính cẩn thận, tỉ
mỉ, chính xác, giúp giáo viên nhìn nhận đánh giá về bản thân, về học sinh một cách
khách quan.
Từ kết quả thực tế của sáng kiến kinh nghiệm “Tìm chữ số tận cùng của
một luỹ thừa” cho thấy việc tìm tòi, nghiên cứu và vân dụng các chuyên đề nâng
cao vào cho đối tượng học sinh khá giỏi là cần thiết và nên đầu tư sâu, đặc biệt là
với đội tuyển học sinh giỏi, giúp học sinh có cái nhìn tổng quát, nhạy bén trong các
phương pháp chứng minh chia hết, có ý thức tìm tòi, tham khảo tài liệu, tìm các bài
toán hay, các cách giải dặc biệt, học sinh chủ động tìm hướng giải một bài toán,
đồng thời cũng giúp giáo viên tự học, tự bồi dưỡng, góp phần nâng cao chuyên
môn nghiệp vụ.
3.2.

Kiến nghị
Việc dạy chuyên đề nâng cao là một mảng kiến thức nằm ngoài chương

trình cơ bản vì vậy với giáo viên nhiều khi còn gặp khó khăn về phương pháp, về
kiến thức do đó nhà trường cần tạo điều kiện về tài liệu, thời gian để các giáo viên
trực tiếp giảng dạy được trao đổi kinh nghiệm học tập lẫn nhau.
Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm của bản thân được đúc rút trong quá
trình giảng dạy, công tác. Kính mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo để
sáng kiến được hoàn thiện hơn./.

Trang 14