Định lý forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM THỊ LOAN

ĐỊNH LÝ FORELLI ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
VÀO KHÔNG GIAN PHỨC

Ngành: Toán giải tích
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai

THÁI NGUYÊN - 2018


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực
và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ
cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong
luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái nguyên, tháng 9 năm 2018
Người viết luận văn

Phạm Thị Loan

i

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo T.S
Nguyễn Thị Tuyết Mai. Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất
đối với cô.
Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán Trường Đại học Sư
phạm Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy chúng em suốt
khóa học.
Em chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã động viên khích
lệ trong suốt quá trình hoàn thành, bảo vệ luận văn này.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2018
Tác giả luận văn

Phạm Thị Loan

ii


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii
MỤC LỤC............................................................................................................ iii
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................................. 3

1.1 Hàm đa điều hòa dưới và tập đa cực ............................................................. 3
1.1.1 Hàm đa điều hòa dưới................................................................................. 3
1.2.2. Tập đa cực.................................................................................................. 4
1.2 Ánh xạ chỉnh hình.......................................................................................... 5
1.3 Không gian phức............................................................................................ 5
1.4. Không gian phức lồi chỉnh hình ................................................................... 7

1.5. Không gian phức có tính chất thác triển Hartogs ........................................ 7
1.6. Không gian K𝑎̈ hler phức .............................................................................. 9
1.6.1. Dạng Kä hler .............................................................................................. 9
1.6.2. Không gian Kä hler ................................................................................... 9
1.7 Không gian Stein ........................................................................................ 12
Chương 2: ĐỊNH LÝ FORELLI ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO
KHÔNG GIAN PHỨC ....................................................................................... 16

2.1. Không gian phức có tính chất Forelli ......................................................... 16
2.2. Định lý Forelli đối với không gian phức kiểu Hartog ................................ 20
2.3. Định lý Forelli đối với đa tạp K𝑎̈ hler phức compact lồi chỉnh hình .......... 24
2.4. Định lý Forelli đối với đa tạp phức lồi chỉnh hình ..................................... 25
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 32

iii


MỞ ĐẦU
Ánh xạ chỉnh hình vào các không gian phức từ lâu đã trở thành những
hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Hướng nghiên cứu này đã thu
hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới. Một số tác giả
nổi tiếng như Đỗ Đức Thái, Nguyễn Thanh Vân, J. Sicial, Shiffman, T.Terada,...
đã chứng minh được một số kết quả đẹp đẽ và sâu sắc về ánh xạ chỉnh hình vào
các không gian phức. Những công trình đó đã thúc đẩy hướng nghiên cứu này
phát triển mạnh mẽ. Ngày nay, nhiều nhà toán học trên thế giới vẫn quan tâm
đến vấn đề trên bằng những cách tiếp cận khác nhau nhằm giải quyết được những
bài toán cụ thể đặt ra trong lĩnh vực đó.
Như chúng ta đã biết định lý cổ điển của Hartogs khẳng định rằng nếu một
hàm giá trị phức 𝑓(𝑧1 , … , 𝑧𝑛 ) được xác định bởi 𝑧 = (𝑧1 , … , 𝑧𝑛 ) ∈ 𝑈 ⊂ ℂ𝑛 , (𝑛 ≥

2) là hàm chỉnh hình tách, tức là chỉnh hình theo từng biến khi các biến khác
nhau là cố định thì 𝑓 là chỉnh hình thực sự. Đây là một trong số những kết quả
quan trọng của giải tích phức nhiều biến.
Năm 1978, Forelli đã chứng minh được kết quả đáng chú ý sau đây:
Nếu f là một hàm được xác định trong hình cầu đơn vị 𝔹𝑛 ⊂ ℂ𝑛 , chỉnh
hình trên giao của 𝔹𝑛 với mỗi đường thẳng phức l đi qua điểm gốc và nếu f khả
vi lớp 𝐶 ∞ trong lân cận của điểm gốc thì f chỉnh hình trong 𝔹𝑛 .
Năm 2004 các tác giả Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tài Thu, Phạm Ngọc Mai
[14] đã nghiên cứu và đưa ra một số kết quả mở rộng của định lý Forelli đối với
ánh xạ chỉnh hình vào các không gian phức.
Mục đích của luận văn này là nghiên cứu trình bày lại một cách chi tiết, rõ
ràng các kết quả nghiên cứu của Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tài Thu, Phạm Ngọc Mai
về định lý Forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào các không gian phức.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn
được trình bày trong 2 chương.

1


Trong chương 1 chúng tôi trình bày các kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho
việc trình bày nội dung chính của luận văn ở chương 2 bao gồm một số kiến thức
cơ bản của giải tích phức như: ánh xạ chỉnh hình, không gian phức, không gian
phức lồi chỉnh hình, không gian phức kiểu Hartogs, không gian K𝑎̈ hler phức,
không gian Stein.
Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chương này chúng tôi
trình bày các định lý là mở rộng của định lý Forelli bao gồm.
 Không gian phức có tính chất Forelli.
 Định lý Forelli đối với không gian phức kiểu Hartogs.
 Định lý Forelli đối với đa tạp K𝑎̈ hler phức compact lồi chỉnh hình.
 Định lý Forelli đối với đa tạp phức lồi chỉnh hình.

2


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Hàm đa điều hòa dưới và tập đa cực
1.1.1 Hàm đa điều hòa dưới
Định nghĩa 1.1.1 [5]
Giả sử D là một tập con mở trong ℝ𝑛 . Hàm 𝑢: 𝐷 → [−∞, ∞), 𝑢 ≠ −∞
trên mọi thành phần liên thông của D được gọi là điều hòa dưới trong D nếu u
thỏa mãn hai điều kiện sau:
i. Hàm u là nửa liên tục trên trong D, tức là tập {𝑧 ∈ 𝐷: 𝑢(𝑧) < 𝑠} là mở với
mỗi số thực s.
ii. Với mỗi tập con mở compact tương đối G của D, với mỗi hàm ℎ: 𝐺 → ℝ
̅ nếu 𝑢 ≤ ℎ trên 𝜕𝐺 thì 𝑢 ≤ ℎ trên G.
điều hòa trong G và liên tục trên 𝐺:
Định nghĩa 1.1.2 [5]
Giả sử Ω là một tập con mở trong ℂ𝑛 . Hàm 𝜑: Ω → [−∞, ∞) được gọi là
đa điều hòa dưới trong Ω nếu:
i. 𝜑 là nửa liên tục trên trong Ω và 𝜑 ≠ −∞ trên mọi thành phần liên thông
của Ω.
ii. Với mỗi điểm 𝑧 0 ∈ Ω và mỗi đường thẳng phức 𝑙(𝜉) = 𝑧 0 + 𝑤. 𝜉 đi qua
𝑧0 (ở đó Ω ∈ ℂ𝑛 , 𝜉 ∈ ℂ), hạn chế 𝜑 lên đường thẳng này, tức là hàm 𝜑 ∘ 𝑙(𝜉) hoặc
là điều hòa dưới ≡ −∞ trên mọi thành phần liên thông của tập mở
{𝜉 ∈ ℂ: 𝑙(𝜉) ∈ Ω}.
Ta có tiêu chuẩn đa điều hòa dưới như sau:
Hàm 𝜑: Ω → [−∞, ∞) nửa liên tục trên trong miền Ω⊂ ℂ𝑛 là đa điều hòa
dưới trong Ω khi và chỉ khi :
với mỗi 𝑧0 ∈ Ω và mỗi 𝑤 ∈ ℂ𝑛 , tồn tại 𝑟0 = 𝑟0 (𝑧 0 , 𝑤) sao cho

𝜑(𝑧 0 ) ≤

1 2𝜋
∫ 𝜑(𝑧 0
2𝜋 0

+ 𝑤𝑟𝑒 𝑖𝑡 )𝑑𝑡, với mọi 𝑟 < 𝑟0 .

3


Định nghĩa 1.1.3
Giả sử X là không gian phức. Một hàm đa điều hòa dưới trên X là hàm
𝜑: 𝑋 → [−∞, ∞) thỏa mãn : Với mỗi 𝑥 ∈ 𝑋 tồn tại lân cận 𝑈 của 𝑥 và một ánh
xạ song chỉnh hình ℎ: 𝑈 → 𝑉, với 𝑉 là một không gian con phức đóng của một
miền 𝐺 nào trong ℂ𝑛 , tồn tại một hàm đa điều hòa dưới 𝜑̃: 𝐺 → [−∞, ∞) sao cho
𝜑|𝑈 = 𝜑̃ ∘ ℎ.
Để ý rằng định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn bản đồ
địa phương.
Formaess và Narasimha đã chứng minh rằng: Hàm nửa liên tục trên
𝜑: 𝑋 → [−∞, ∞) là đa điều hòa dưới khi và chỉ khi 𝜑 ∘ 𝑓 là điều hòa dưới hoặc
𝜑 ∘ 𝑓 ≡ −∞ với mọi ánh xạ chỉnh hình 𝑓: ∆→ 𝑋, trong đó ∆ là đĩa đơn vị mở
trong ℂ.
Ký hiệu PSH(X) là tập tất cả các hàm đa điều hòa dưới trên không gian
phức X.
1.2.2. Tập đa cực
Định nghĩa 1.2.2
Giả sử X là một không gian phức. Một tập 𝐸 ⊂ 𝑋 được gọi là đa cực (đa
cực đầy) nếu với mỗi điểm 𝑎 ∈ 𝐸 tồn tại một lân cận 𝑉 của 𝑎 và một hàm đa điều
hòa dưới 𝜑: 𝑉 → [−∞, ∞) sao cho 𝐸 ∩ 𝑉 ⊂ {𝑧 ∈ 𝑉: 𝜑(𝑧) = −∞} (𝐸 ∩ 𝑉 =

{𝑧 ∈ 𝑉: 𝜑(𝑧) = −∞}).
Định lý 1.2.2 (Định lý Josefson)[5]
Nếu 𝐸 ⊂ ℂ𝑛 là tập đa cực thì tồn tại một hàm 𝑢 ∈ 𝑃𝑆𝐻(ℂ𝑛 ) sao cho 𝐸 ⊂
{𝑧 ∈ ℂ𝑛 : 𝑢(𝑧) = −∞}.
Định lý này được mở rộng một cách tự nhiên lên các không gian Stein.
Định lý 1.2.3 [5]
Hợp đếm được của các tập đa cực là tập đa cực.

4


1.2 Ánh xạ chỉnh hình
Định nghĩa 1.2.1
Giả sử X là một tập mở trong ℂn và 𝑓: 𝑋 → ℂ là một hàm số.
Hàm f được gọi là khả vi phức tại 𝑥0 ∈ 𝑋 nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính
λ: ℂn → ℂ sao cho
|f(x0 + h) − f(x0 ) − λ(h)|
= 0,
|h|→0
|h|
lim

1

trong đó ℎ = (ℎ1 , … , ℎ𝑛 ) ∈ ℂ và |ℎ| = (∑𝑛𝑖=1 |ℎ𝑖 |2 )2 ).
𝑛

Hàm f được gọi là chỉnh hình tại 𝑥0 ∈ 𝑋 nếu 𝑓 khả vi phức trong một lân
cận nào đó của 𝑥0 .
Hàm f được gọi là chỉnh hình trên X nếu f chỉnh hình tại mọi điểm thuộc

X.
Định nghĩa 1.2.2
Cho X là một tập mở trong ℂ𝑛
i. Một ánh xạ 𝑓: 𝑋 → ℂ𝑚 có thể viết dưới dạng 𝑓 = (𝑓1 , … , 𝑓𝑚 ), trong đó
𝑓𝑖 = 𝜋𝑖 ∘ 𝑓: 𝑋 → ℂ, 𝑖 = 1, … , 𝑚 là các hàm tọa độ. Khi đó 𝑓 được gọi là chỉnh
hình trên 𝑋 nếu hàm 𝑓𝑖 chỉnh hình trên 𝑋 với mọi 𝑖 = 1, … , 𝑚.
ii. Ánh xạ 𝑓: 𝑋 → 𝑓(𝑋) ⊂ ℂ𝑛 được gọi là song chỉnh hình nếu f là song
ánh, chỉnh hình và 𝑓 −1 cũng là ánh xạ chỉnh hình.

1.3 Không gian phức
Định nghĩa 1.3.1
Giả sử 𝑍 là đa tạp phức. Một không gian phức đóng 𝑋 là một tập con đóng
của 𝑍 mà về mặt địa phương được xác định bởi hữu hạn các phương trình giải
tích. Tức là, với 𝑥0 ∈ 𝑋 tồn tại một lân cận mở 𝑉 của x trong 𝑍 và hữu hạn các
hàm chỉnh hình 𝜑1 , … , 𝜑𝑚 trên 𝑉 sao cho
𝑋 ∩ 𝑉 = {𝑥 ∈ 𝑉|𝜑𝑖 (𝑥) = 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚}.

5


Định nghĩa 1.3.2
Giả sử X là một không gian phức trong đa tạp phức Z.
- Một điểm 𝑎 ∈ 𝑋 được gọi là điểm chính quy của X nếu a có một lân cận
U trong Z sao cho 𝑈 ∩ 𝑋 là đa tạp phức. Tập các điểm chính quy của X được kí
hiệu là Xreg .
- Một điểm 𝑎 ∈ 𝑋 được gọi là điểm kỳ dị của X nếu nó không là điểm
chính quy. Tập các điểm kỳ dị của X được kí hiệu là 𝑋𝑠𝑖𝑛 .
Định lý 1.3.1
Trong không gian phức X, tập các điểm chính quy 𝑋𝑟𝑒𝑔 là một đa tạp phức
mở và tập các điểm kì dị 𝑋𝑠𝑖𝑛 là một không gian phức với 𝐼𝑛𝑡𝑋𝑠𝑖𝑛 = ∅.

Định nghĩa 1.3.3
Giả sử X là một không gian con trong đa tạp phức 𝑍.
Hàm 𝑓: 𝑋 → ℂ được gọi là chỉnh hình trên 𝑋 nếu với mỗi điểm 𝑥 ∈ 𝑋 tồn
tại một lân cận 𝑈(𝑥) ⊂ 𝑍 và một hàm chỉnh hình 𝑓̂ trên 𝑈 sao cho 𝑓̂|𝑈∩𝑋 =
𝑓|𝑈∩𝑋 .
Định nghĩa 1.3.4
Giả sử 𝑓: 𝑋 → 𝑌 là ánh xạ giữa hai không gian phức 𝑋 và 𝑌. 𝑓 được gọi là
chỉnh hình nếu với mỗi hàm chỉnh hình 𝑔 trên một tập con mở 𝑉 của 𝑌, hàm hợp
𝑔 ∘ 𝑓 là hàm chỉnh hình trên 𝑓 −1 (𝑉).
Kí hiệu Hol(X,Y) là tập các ánh xạ chỉnh hình từ 𝑋 vào 𝑌 được trang bị tô
pô compact mở.
Giả sử {𝑓𝑛 : 𝑋 → 𝑌} là dãy các ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức
𝑋, 𝑌. Nếu {𝑓𝑛 } hội tụ đều tới 𝑓 trong Hol(X,Y) thì 𝑓 là ánh xạ chỉnh hình.
Định lý 1.3.2 (Định lý Hironaka về giải kỳ dị)
Giả sử X là không gian phức. Khi đó, với mọi 𝑥 ∈ 𝑋 tồn tại lân cận mở
U chứa x, tồn tại đa tạp giải tích M và ánh xạ chỉnh hình 𝜋: 𝑀 → 𝑈 lên U sao
cho:
i.

𝜋 là ánh xạ riêng.
6


Ngoài tập hợp các điểm kỳ dị S của X trong U thì
𝜋: 𝑀\𝜋 −1 (𝑆) → 𝑈\𝑆
ii.

là ánh xạ song chỉnh hình.

1.4. Không gian phức lồi chỉnh hình

Định nghĩa 1.4.1
Cho 𝑀 là không gian phức, 𝐾 là một tập compact trong 𝑀. Ký hiệu:
̂ = {𝑧 ∈ 𝑀: |𝑓(𝑧)| ≤ ‖𝑓‖𝐾 , với mọi hàm 𝑓 chỉnh hình trên 𝑀}
𝐾
̂ được gọi là bao lồi chỉnh hình của 𝐾.
𝐾
Định nghĩa 1.4.2
Cho 𝑀 là không gian phức. Ta nói 𝑀 là không gian phức lồi chỉnh hình
̂ của 𝐾 là compact
nếu với mọi tập compact 𝐾 trong 𝑀, bao lồi chỉnh hình 𝐾
trong 𝑀.
Ví dụ 1.4.1
Mọi đa tạp lồi (hình học) trong ℂ𝑛 là không gian phức lồi chỉnh hình.
Tính chất 1.4.1
1. Mọi đa tạp Stein là đa tạp lồi chỉnh hình.
2. Nếu M, N là các không gian lồi chỉnh hình thì 𝑀 × 𝑁 cũng là không gian
lồi chỉnh hình.
3. Mọi không gian con phức của một không gian lồi chỉnh hình cũng là không
gian lồi chỉnh hình.
1.5. Không gian phức có tính chất thác triển Hartogs [14]
Định nghĩa 1.5.1
Cho r > 0 đặt ∆𝑟 = Δ(0,r) ={|𝑧| < 𝑟} ⊂ ℂ và Δ1 =Δ . Giả sử 𝑋 là một
không gian phức chúng ta nói rằng 𝑋 có tính chất thác triển Hartogs (viết tắt X
là (HEP)) nếu mọi ánh xạ chỉnh hình từ một miền Reimann 𝛺 trên một đa tạp
Stein vào X đều có thể thác triển chỉnh hình tới 𝛺̂ là bao chỉnh hình của 𝛺.
Kí hiệu H2(r) = {(𝑧1 , 𝑧2 ) ∈ ∆2 : |𝑧| < 𝑟 ℎ𝑜ặ𝑐 |𝑧| > 1 − 𝑟} (0 < r < 1).
H2(r) là miền Hartogs 2 chiều.
7

Định lý 1.5.1
Không gian phức M có tính chất (HEP) khi và chỉ khi mọi ánh xạ
chỉnh hình
𝑓: 𝐻2 (𝑟) → 𝑀
đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình trên ∆2 .
Ivashkovich và Shiffman đã chỉ ra rằng X có tính chất Hartogs nếu và chỉ
nếu với mọi ánh xạ chỉnh hình f : H2(r)→X đều thác triển chỉnh hình trên Δ2.
Lớp của các không gian phức có tính chất thác triển Hartogs là rất lớn.
Fujimoto đã chứng tỏ rằng lớp của các không gian phức có tính chất thác triển
Hartogs chứa lớp các không gian phức taut. Adachi, Suzuki và Yoshida đã chỉ ra
rằng lớp này cũng chứa lớp các nhóm Lie phức. Shiffman cũng chứng minh được
rằng lớp này chứa lớp các đa tạp phức Hecmit đầy với độ cong tiết diện chỉnh
hình không dương.
Đặc biệt, Ivaskovich đã chứng tỏ rằng một đa tạp K𝑎̈ hler phức lồi chỉnh
hình có tính chất thác triển Hartogs nếu và chỉ nếu nó không chứa các đường
cong hữu tỉ. Đỗ Đức Thái đã tổng quát hóa kết quả này của Ivaskovich đối với
không gian K𝑎̈ hler phức lồi chỉnh hình.
Định nghĩa 1.5.2
Giả sử M là một không gian phức.
i) Một tập con mở A của M được gọi là kiểu Hartogs (kiểu H) nếu tồn tại
một ánh xạ song chỉnh hình từ A vào tập con giải tích của một không gian phức
có tính chất thác triển Hartogs.
ii) Không gian M được gọi là không gian kiểu Hartogs nếu với mỗi p ∈ M
tồn tại một lân cận Wp của p với rp >0 và một lân cận Sp của p kiểu (H). Sao cho
với mỗi f ∈ Hol(Δ,M), nếu f(0)∈ Wp thì f(𝐴𝑟𝑝 ) ⊂ Sp.
Lớp các không gian phức kiểu Hartogs là rộng hơn lớp không gian phức
có tính chất thác triển Hartogs. Dễ thấy nó chứa các lớp các không gian phức có
tính chất thác triển Hartogs và các không gian phức hyperbolic.

8

Tính chất 1.5.1
1. Nếu M, N là các không gian phức kiểu Hartogs thì M  N cũng là không gian
phức kiểu Hartogs.
2. Mọi không gian phức con của một không gian phức kiểu Hartogs cũng là kiểu
Hartogs.
1.6. Không gian K𝒂̈ hler phức
1.6.1. Dạng K𝒂̈ 𝒉𝒍𝒆𝒓[3]
Định nghĩa 1.6.1.
Giả sử 𝑋 là một không gian phức tổng quát, χ là một 𝐶 ∞ (𝑞, 𝑞)-dạng thực
trên 𝑋.
i) χ được gọi là 𝐶 ∞ (𝑞, 𝑞) - dạng dương nếu tồn tại một phủ mở 𝒰= {𝑈𝛼 }
của X mà với mỗi α, phép nhúng 𝑗𝛼 : 𝑈𝛼 → 𝐺𝛼 nhúng Uα vào một miền
con Gα trong ℂ𝑛𝛼 và một C ∞ dạng dương χα kiểu (𝑞, 𝑞) trên 𝐺𝛼 sao
cho
j∗α χα = χ|𝑈𝛼 .
ii) Một 𝐶 ∞ (1,1)-dạng dương trên X được gọi là một dạng Hecmit trên X.
iii) Một dạng Hecmit X được gọi là dạng K𝑎̈ hler nếu ở trong định nghĩa trên
mọi χα đều là dạng đóng.
1.6.2. Không gian K𝒂̈ hler [11]
Định nghĩa 1.6.2
Một không gian phức cùng với một dạng Kä hler trên nó được gọi là một
không gian K𝑎̈ ℎ𝑙𝑒𝑟.
Bổ đề 1.6.1
Giả sử X là một không gian phức và χ là 𝐶 ∞ dạng thực dương kiểu (q,q)
trên X với 𝑞 > 0. Cho E là tập con của 𝐶𝑞 (𝑋) sao cho ⋃𝐴∈𝐸 |𝐴| chứa trong
tập con compact của X. Khi đó E là bị chặn nếu và chỉ nếu tập {∫𝐴 𝜒: 𝐴 ∈ 𝐸}
là bị chặn.

9


Ivaskovich đã chứng minh rằng một đa tạp K𝑎̈ ℎ𝑙𝑒𝑟 lồi chỉnh hình có
tính chất thác triển Hartog nếu và chỉ nếu mọi ánh xạ chỉnh hình 𝜎: ℂ𝑃1 →
𝑋 là hằng.
Dựa vào kết quả của Ivaskovich chúng ta có những tính chất của không
gian K𝑎̈ hler lồi chỉnh hình sau đây.
Định lý 1.6.2
Cho X là một không gian K𝑎̈ ℎ𝑙𝑒𝑟 lồi chỉnh hình. Khi đó, X có tính chất
thác triển Hartog nếu và chỉ nếu mọi ánh xạ chỉnh hình 𝜎: ℂ𝑃1 → 𝑋 là hằng.
Chứng minh.
Cho 𝑀 = {𝑧 ∈ 𝑈 ⊂ ℂ2 : 𝜑(𝑧) = 0} là một siêu mặt giả lồi mạnh, trong đó
U là một miền trong ℂ2 và 𝜑 là một 𝐶 2 - hàm trên 𝑈. Đặt 𝑈 + = {𝑧 ∈ 𝑈: 𝜑(𝑧) >
0}. Gọi 𝑓: 𝑈 + → 𝑋 là một ánh xạ chỉnh hình. Chúng ta có thể chứng minh được
rằng f có thể thác triển thành ánh xạ chỉnh hình vào một lân cận của mỗi điểm
thuộc vào 𝑈 + . Với mỗi 𝑛 ta đặt
𝐵𝑛 = {𝑧 ∈ ℂ2 : ‖𝑧‖ < 1⁄2},
𝑈𝑛+ = 𝐵𝑛 ∩ 𝑈 + và đặt 𝐵 = ⋃𝑛 𝑓(𝑈𝑛+ ). Ta sẽ chứng minh rằng B chỉ chứa một
điểm.
Với mỗi 𝑧 ∈ 𝑈 + , đặ𝑡 ∆𝑛𝑧 = {𝑤: < 𝑤 − 𝑧, 𝑔𝑟𝑎𝑝 𝜑(𝑧) >= 0} ∩ 𝑈𝑛+ .
Ta có các bổ đề sau:
Bổ đề 1.6.2
Nếu 𝑈 + là đủ nhỏ thì
sup{𝑉𝑜𝑙 𝑓(∆𝑛𝑧 ): 𝑧 ∈ 𝑈 + /2} < +∞.
Bổ đề 1.6.3
Với mọi dãy {∆𝑛𝑧𝑗 } (n cố định) hội tụ đến ∆𝑛0 , tồn tại một dãy con {∆𝑛𝑧𝑗 }
𝑘

sao cho {𝑓(∆𝑛𝑧𝑗 } hội tụ đến tập giải tích A có chiều 1 trong Y với 𝜕𝐴 ⊂ 𝑓(𝜕∆𝑛0 ).

𝑘

Ngoài ra ánh xạ 𝑓|∆10\{0} vào X có thể thác triển thành một ánh xạ chỉnh hình vào
∆10 .
10


Vì vậy, theo Bổ đề 1.6.3, 𝐴 = 𝑓(∆10 ) ∪ ⋃∞
𝑗=1 𝐵𝑗 , trong đó 𝐵𝑗 là các tập con
giải tích compact trong 𝑋. Hiển nhiên ⋃∞
𝑗=1 𝐵𝑗 chứa trong một tập compact trong
𝑋. Do đó tồn tại 𝑞 ∈ 𝑋 và một lân cận 𝑈 của 𝑞 sao cho 𝐵𝑗 ∩ 𝑈 ≠ ∅, 𝑣ớ𝑖 𝑚ỗ𝑖 𝑗 ≥
1. Chúng ta có thể giả thiết rằng tồn tại ánh xạ phủ giải tích 𝜃 từ 𝑈 vào 𝐵𝑘 , trong
đó 𝑘 = 𝑑𝑖𝑚𝑋 và 𝐵𝑘 = {𝑧 ∈ ℂ𝑘 : ‖𝑧‖ < 1} với 𝜃(𝑞) = 0.
̃𝑗 = 𝜃(𝐵𝑗 ). Theo Định lý ánh xạ riêng, 𝐵
̃𝑗 là tập con giải tích của 𝐵𝑘
Đặt 𝐵
̃𝑗 ≥ 𝑐. 𝜋, với mọi 𝑗 ≥ 1.
với mọi 𝑗 ≥ 1. Do đó theo định lý Alexander, ta có 𝑉𝑜𝑙 𝐵
̃
Điều này là không thể, vì 𝑉𝑜𝑙 (⋃∞
𝑗=1 𝐵𝑗 )< +∞.
Gọi 𝜌 là một metric xác định tô pô của 𝑋 và 𝑆 là một đường cong phức
compact trong 𝑋. Đặt
∑(𝑠) = {𝑥1 , … , 𝑥𝑛 }
và 𝜀 > 0 sao cho
𝐵(𝑥𝑗 , 𝜀) = {𝑥 ∈ 𝑋: 𝜌(𝑥, 𝑥𝑗 ) < 𝜀}
là các lân cận rời nhau của 𝑥𝑗 .
̅̅̅𝜀 , 𝑌𝜀 = 𝑌\𝑈
̅̅̅𝜀 .

Đặt 𝑈𝜀 = ⋃𝑛𝑗=1 𝐵𝑗 (𝑥𝑗 , 𝜀), 𝑆𝜀 = 𝑆\𝑈
Chú ý rằng 𝑆𝜀 là một đa tạp Stein đóng trong 𝑌𝜀 . Do đó, tồn tại một lân cận Stein
𝑊𝜀 của 𝑆𝜀 trong 𝑌𝜀 . Đặt 𝑒: 𝑊𝜀 → ℂ𝑛 là một ánh xạ nhúng.
Chúng ta có bổ đề tiếp theo.
Bổ đề 1.6.4
̅ → 𝑋 sao cho 3
Giả sử rằng, với mỗi 𝛿 > 0,tồn tại một đĩa giải tích 𝑓: 𝐷
điều kiện sau được thỏa mãn:
i.

̅ )𝛿 𝑐ủ𝑎 𝑓(𝐷
̅ );
𝑆𝜀 chứa trong một 𝛿 −lân cận 𝑓(𝐷

ii.

𝑚𝑖𝑛{𝜌(𝑥, 𝑦): 𝑥 ∈ 𝑓(𝜕𝐷), 𝑦 ∈ 𝑆𝜀 } > 2𝛿;

iii.

̅ ) ∩ 𝜕(𝑆𝜀 )𝛿 ⊂ (𝜕𝑆𝜀 )𝛿 . Khi đó 𝑆 ≅ 𝐶𝑃1 ;
𝑓(𝐷

Chứng minh.

11


Kí hiệu 𝜋: 𝑁 → 𝑒(𝑆𝜀 ) là phân thớ chuẩn tắc của 𝑒(𝑆𝜀 ) trong ℂ𝑛 . Khi đó,
với 𝛿 > 0 đủ nhỏ, tồn tại một lân cận 𝑁𝛿 của 𝑒(𝑆𝜀 ) trong N và 𝑉𝛿 của 𝑒(𝑆𝜀 ) trong

ℂ𝑛 và một ánh xạ song chỉnh hình 𝜑: 𝑁𝛿 → 𝑉𝛿 sao cho 𝜑|𝑒(𝑆𝜀 ) = 𝐼𝑑.
Đặ𝑡 𝜋̃ = 𝜋 ∘ 𝜑 −1 : 𝑉𝛿 → 𝑒(𝑆𝜀 ).
̅ → 𝑋 sao cho
Dễ thấy rằng 𝜋̃ 2 = 𝜋̃. Theo giả thiết, tồn tại một đĩa giải tích 𝑓: 𝐷
̅ ) ⊃ 𝑆𝜀 , 𝑓(𝜕𝐷) ∩ 𝑒 −1 (𝑉𝛿 ) = ∅ và
𝑓(𝐷
̅ ) ∩ 𝑒 −1 (𝜕𝑉𝛿 ) ⊂ 𝑒 −1 ∘ 𝜋̃ −1 (𝜕𝑒(𝑆𝜀 )).
𝑓(𝐷
Khi đó ánh xạ 𝑓(𝐷) ∩ 𝑒 −1 (𝑉𝛿 ) 𝜋→1 𝑆𝜀 , ở đó 𝜋1 = 𝑒 −1 ∘ 𝜋̃ ∘ 𝑒, là toàn ánh riêng.
Từ đó suy ra 𝜋1 𝑓: 𝐺 = 𝑓 −1 [𝑓(𝐷) ∩ 𝑒 −1 (𝑉𝛿 )] → 𝑆𝜀 là một ánh xạ phủ giải tích.
Do đó ta có 𝐻1 (𝑆, 𝑍) = 0 , tức là 𝑆 ≅ ℂ𝑃1.
Từ Bổ đề 1.6.4, ta có
Bổ đề 1.6.5
𝐵𝑗 là đường cong hữu tỉ với mọi 𝑗 ≥ 1.
Theo các Bổ đề 1.6.3 và Bổ đề 1.6.5 Ta có, 𝑓: 𝑈 + → 𝑋 có thể thác triển thành
̅ + . Định lý được chứng minh. ∎
ánh xạ chỉnh hình trên một lân cận của 𝑈
1.7 Không gian Stein [4]
Kí hiệu:

𝑋

𝒪 là bó các mầm hàm chỉnh hình trên đa tạp 𝑋. 𝒪 𝑋 vành các mầm

hàm chỉnh hình trên 𝑋.
Định nghĩa 1.7.1
Một không gian vành (𝑋, 𝑋 𝒪) được gọi là một không gian giải tích nếu
với mọi 𝑥 ∈ 𝑋 có một lân cận U sao cho (𝑈,𝑋 𝒪)|U là đẳng cấu tới một không
gian vành (𝑌,𝑌 𝒪), ở đó Y là một đa tạp con của một miền trong ℂ𝑛 ,𝑌 𝒪 =
(𝑛 𝒪/ℱ|𝑌) ở đó ℱ là bó idean của Y.

Định nghĩa 1.7.2
Cho (X, 𝒪) là một không gian giải tích.

12


 X được gọi là lồi chỉnh hình nếu mọi tập compact K của X, ̂
𝐾 là
compact.
 X được gọi là không gian Stein nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
a) X có một tô pô đếm được.
b) X là lồi chỉnh hình.
c) Cho 𝑥 ∈ 𝑋, có 𝑓1 , … , 𝑓𝑛 ∈ 𝒪𝑋 sao cho 𝑟𝑎𝑛𝑘𝑥 (𝑓1 , … , 𝑓𝑛 ) = 𝑑𝑖𝑚𝑡𝑥 𝑋.
d) Cho 𝑥 ≠ 𝑦 ∈ 𝑋, có 𝑓 ∈ 𝒪𝑋 sao cho 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑦).
Ví dụ 1.7.1
1. ℂ𝑛 rõ ràng là một không gian Stein.
2. 𝐶ho X là một không gian giải tích và (a), (b), (c) thỏa mãn (tức là không
gian con giải tích của ℂ𝑛 ). Cho 𝑓1 , … , 𝑓𝑘 ∈ 𝒪𝑋 sao cho tập {𝑥 ∈
𝑋; |𝑓𝑖 (𝑥)| ≤ 1}.
là tập compact. Khi đó 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑋; |𝑓𝑖 (𝑥)| < 1} là không gian Stein.
3. Nếu X là một miền Reiman trên ℂ𝑛 thì bao chỉnh hình E(X) của nó là đa
tạp Stein.
4. Mọi không gian giải tích một chiều không compact đều là không gian Stein.
Định nghĩa 1.7.2
Cho (𝑋,𝑋 𝒪) là một không gian giải tích. Một miền Oka – Weil trên X là
một tập mở compact tương đối W sao cho tồn tại một ánh xạ chỉnh hình 𝜑 được
̅ , và lấy giá trị trong ℂ𝑛 , sao cho 𝜑|𝑊 là một
xác định trong một lân cận của 𝑊
ánh xạ song chỉnh hình từ W vào một đa tạp con đóng của ∆(0; 1) 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 ℂ𝑛 .
Mệnh đề 1.7.1

Cho (𝑋,𝑋 𝒪) là một không gian giải tích Stein. Cho K là một tập con
compact lồi chỉnh hình của X. Nếu U là lân cận của K, thì tồn tại một miền Oka
̅ ⊂ 𝑈.
– Weil W, xác định bởi các hàm toàn cục, sao cho 𝐾 ⊂ 𝑊 ⊂ 𝑊
Định lý 1.7.1
Cho (𝑋,𝑋 𝒪) là một không gian Stein, và K là tập con lồi chỉnh hình của
X. Khi đó tồn tại các hàm 𝑓1 , … , 𝑓𝑡 ∈ 𝒪𝑋 sao cho, nếu 𝒜 là đại số các đa thức
13


trong 𝑓1 , … , 𝑓𝑡 thì khi đó K là A-lồi. Hơn nữa 𝒜 là trù mật trong 𝒪(𝐾) (trong đó
A là một đại số các hàm chỉnh hình trên X).
Hệ quả 1.7.1
Cho (𝑋,𝑋 𝒪) là một không gian Stein và Y là một tập con mở của X. Khi
đó các khẳng định sau là tương đương:
1. (𝑌,𝑋 𝒪|𝑌 ) là một không gian Stein, và 𝒪𝑋 là trù mật trong 𝒪𝑌 trên 𝑌;
2. Nếu 𝐾 là tập con compact của 𝑌, thì 𝐾(𝒪𝑌 , 𝑌) = 𝐾(𝒪𝑋 , 𝑋);
3. 𝑌 là 𝒪𝑋 − 𝑙ồ𝑖.
Định lý 1.7.2
Giả sử (𝑋,𝑋 𝒪) là một không gian giải tích, và 𝑋 = ⋃ 𝑋𝑖 với 𝑋𝑖 ⊂ 𝑋𝑖+1 .
Giả sử (𝑋𝑖 ,𝑋 𝒪|𝑋𝑖 ) là một không gian Stein và là 𝒪𝑋𝑖+1 - lồi. Khi đó X là một
không gian Stein.
Chứng minh.
Trước tiên, chúng ta chứng minh rằng với mọi i, 𝒪𝑋 |𝑋𝑖 là trù mật trong 𝒪𝑋𝑖 .
Gọi 𝐾0 là tập con compact của 𝑋𝑖 . Chọn các tập compact 𝐾𝑗 ⊂ 𝑋𝑖+𝑗 sao cho
𝐾𝑗+1 ⊃ 𝐾𝑗 ⊃ 𝐾0 ,
với mọi 𝑗 > 0 và 𝑋 = ⋃ 𝐾𝑗 .
Với 𝑓0 ∈ 𝒪𝑋𝑖 . Bằng phương pháp quy nạp, chúng ta chọn một dãy {𝑓𝑗 } sao cho
𝑓𝑗 ∈ 𝒪𝑋𝑖+𝑗 và ‖𝑓𝑗 − 𝑓𝑗−1 ‖𝐾𝑗−1 < 2−𝑗 𝜀.
Chọn 𝑓1 sao cho

𝑓1 ∈ 𝒪𝑋𝑖+1 và ‖𝑓1 − 𝑓‖𝐾0 < 𝜀⁄2.
Nếu 𝑓1 , … , 𝑓𝑘 đã được chọn, vì 𝒪𝑋𝑖+𝑘+1 |𝑋𝑖+𝑘 là trù mật trong 𝑋𝑖+𝑘 , , tồn tại
𝑓𝑘+1 ∈ 𝒪𝑋𝑖+𝑘+1 sao cho
‖𝑓𝑘+1 − 𝑓𝑘 ‖𝐾𝑘 < 2−𝑘+1 𝜀.
Bây giờ, dãy {𝑓𝑗 ; 𝑗 ≥ 𝑘} hội tụ đều trên 𝐾𝑘 . Vì vậy 𝑓 = 𝑙𝑖𝑚𝑓𝑗 là một hàm
chỉnh hình hoàn toàn xác định trên 𝑋, và
‖𝑓 − 𝑓0 ‖𝐾 ≤ ∑∞
𝑗=1 ‖𝑓𝑗 − 𝑓𝑗+1 ‖ < 𝜀.
14


Do đó, 𝑋 là lồi chỉnh hình với 𝐾 là một tập con compact của 𝑋. Tồn tại 𝑖 sao cho
𝐾 ⊂ 𝑋𝑖 . Khi đó 𝐾(𝒪𝑋𝑖 , 𝑋𝑖 ) là compact. Theo Hệ quả 1.7.1
𝐾 (𝒪𝑋𝑖+𝑗 , 𝑋𝑖+𝑗 ) = 𝐾(𝒪𝑋𝑖 , 𝑋𝑖 ), với mọi 𝑗 .
Lấy 𝑦 ∈ 𝐾(𝒪𝑋 , 𝑋). Khi đó với mỗi 𝑗, 𝑦 ∈ 𝑋𝑖+𝑗 , vì vậy 𝑦 ∈ 𝐾(𝒪𝑋 , 𝑋𝑖+𝑗 ). Vì 𝒪𝑋 là
trù mật trong 𝒪𝑋𝑖+𝑗 nên ta có 𝑦 ∈ 𝐾(𝒪𝑋𝑖+𝑗 , 𝑋𝑖+𝑗 ) = 𝐾(𝒪𝑋𝑖 , 𝑋𝑖 ). Vì vậy
𝐾(𝒪𝑋 , 𝑋) = 𝐾(𝒪𝑋𝑖 , 𝑋𝑖 )
là compact.
Giả sử x, y là hai điểm phân biệt trong 𝑋. Tồn tại 𝑖 sao cho 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋𝑖 . Tồn
tại 𝑓 ∈ 𝒪𝑋𝑖 sao cho 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑦). Vì vậy tồn tại 𝑓 ′ ∈ 𝒪𝑋 đủ gần 𝑓 sao cho
𝑓 ′ (𝑥) ≠ 𝑓 ′ (𝑦)
Do đó 𝒪𝑋 là tách các điểm.
Cho 𝑥 ∈ 𝑋𝑖, và 𝑧1 , … , 𝑧𝑛 là tọa độ địa phương trong lân cận U của x. Vì
𝑋𝑖, là không gian Stein, tồn tại các hàm 𝑓1 , … , 𝑓𝑛 ∈ 𝒪𝑋𝑖 sao cho ma trận
(𝜕𝑓𝑖 |𝜕𝑧𝑗 )(𝑥) là không kì dị. Vì hàm 𝑓 → (𝜕𝑓𝑖 |𝜕𝑧𝑗 )(𝑥) là liên tục theo tô pô hội
tụ đều trên 𝒪𝑋𝑖 , nếu 𝑔1 , … , 𝑔𝑛 là đủ gần 𝑓1 , … , 𝑓𝑛 , ma trận (𝜕𝑔𝑖 |𝜕𝑧𝑗 )(𝑥) cũng là
không kì dị. Nếu chúng ta chọn 𝑔𝑖 ∈ 𝒪𝑋 , thì chúng xác định tọa độ địa phương
tại 𝑥. Khi đó, vì 𝑋𝑖 là tách nên 𝑋 có một tô pô tách được. Do đó 𝑋 là không gian
Stein.∎

15


Chương 2
ĐỊNH LÝ FORELLI ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
VÀO KHÔNG GIAN PHỨC
Trong chương này ta dùng một số kí hiệu như sau:
Giả sử la là một đường thẳng phức qua điểm gốc của ℂ𝑛 . Khi đó trong ℂ𝑛 ,
tập la được cho bởi
{𝑡(𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ): 𝑡 ∈ ℂ}.
Do đó ta có thể xét la như 1 điểm a = [𝑎1 : … : 𝑎𝑛 ] trong ℙ𝑛−1 (ℂ).
Cho 𝑧 = (𝑧1 , . . . , 𝑧𝑛 ) ∈ ℂ𝑛 , đặt
‖𝑧‖ = (|𝑧1 |2 + ⋯ + |𝑧𝑛 |2 )1/2 .
Với mỗi R >0 đặt
𝔹𝑛𝑟 = 𝔹𝑛 (0, 𝑅)={𝑧 ∈ ℂ𝑛 : ‖𝑧‖ < 𝑅}, 𝔹𝑛 = 𝔹1𝑛 .
2.1. Không gian phức có tính chất Forelli
Định nghĩa 2.1.1
Cho M là một không gian phức. Ta nói rằng 𝑀 có tính chất Forelli đối với
hình cầu đơn vị 𝔹𝑛 trong ℂ𝑛 (viết tắt M có tính chất (FP)) nếu điều kiện sau
được thỏa mãn:
Bất kì một ánh xạ 𝑓: 𝔹𝑛 → 𝑀 chỉnh hình trên giao của 𝔹𝑛 với mọi đường
thẳng phức l đi qua điểm gốc, và f là khả vi lớp 𝐶 ∞ trong lân cận của điểm gốc,
thì 𝑓 là chỉnh hình trong 𝔹𝑛 .
Ví dụ 2.1.1
i) Mặt phẳng phức ℂ có tính chất Forelli.
ii) Đỗ Đức Thái và Phạm Ngọc Mai [13] đã chỉ ra rằng mọi không
gian phức kiểu Stein đều có tính chất Forelli.
Bổ đề 2.1.1 [7]
Cho M là một không gian phức, 𝑈, 𝑉 là tập mở trong ℂ𝑚 ,ℂ𝑛 tương ứng và
K là tập compact liên thông trong ℂ𝑛 chứa V. Cho f: U× 𝑉→M là ánh xạ chỉnh

16


hình. Nếu 𝑓𝑧 : {𝑧} × 𝐾 → 𝑀 thác triển chỉnh hình tới K với mọi z ∈ 𝑈 thì tồn tại
tập con đa cực đóng E của U và một ánh xạ chỉnh hình
𝑓̃ : (U \ E) × 𝐾 → 𝑀
sao cho f =𝑓̃ trên (U \ E)× 𝑉.
Chứng minh.
Kí hiệu 𝐸 là tập các điểm 𝑧 ∈ 𝑈 sao cho 𝑓 không thác triển chỉnh hình
lên một lân cận (trong 𝑈 × ℂ𝑛 ) của {𝑧} × 𝐾. Khi đó 𝐸 là tập con của 𝑈. Chúng
ta phải chứng minh E là tập đa cực.
Chúng ta có thể phủ 𝑋 bởi tập hợp đếm được {𝑋 𝑘 }k∈N các đa tạp con của
hình cầu Euclid. Vì hình cầu trong 𝐶 𝑑 có thể nhúng riêng trong 𝐶 2𝑑+1 , chúng ta
có thể xem mỗi 𝑋𝑘 như một đa tạp con đóng trong không gian Euclid. Đặt 𝒟 là
một cơ sở đếm được sao cho tô pô của ℂ𝑛 bao gồm các đa đĩa và kí hiệu {𝐷𝑗 }𝑗∈𝑛
là tập các đa đĩa trong 𝒟 có giao khác rỗng với 𝐾. Với các số nguyên dương 𝑗1, .
. ., 𝑗𝑟 , 𝑘1 ,. . .,𝑘𝑟 (𝑟 ≥ 1) kí hiệu N(𝑟; 𝑗1 , … , 𝑗𝑟 , 𝑘1 , … 𝑘𝑟 ) là tập các f ∈ Hol(𝑉, 𝑋)
sao cho f thác triển chỉnh hình tới 𝐷𝑗1 ∪. . .∪ 𝐷𝑗𝑟 và 𝑓(𝐷𝑗𝛼 )⊂ 𝑋𝑘𝛼 , với 1 ≤ 𝛼 ≤
𝑟.
Giả sử ngược lại E không phải là một tập đa cực. Khi đó tồn tại các số
nguyên dương 𝑗1 , … , 𝑗𝑟 , 𝑘1 , … , 𝑘𝑟 (r≥1) sao cho 𝐷𝑗1 ∪. . .∪𝐷𝑗𝑟 ⊃ 𝐾 và nếu chúng
ta cho 𝐸 ′ tập các điểm của 𝑧 ∈ 𝐸 sao cho 𝑓𝑧 ∈ 𝑁(𝑟; 𝑗1 , … , 𝑗𝑟 , 𝑘1 , … , 𝑘𝑟 ), thì 𝐸 ′
không là tập đa cực.
Chọn đa đĩa 𝐷𝛼′ ⊆ 𝐷𝑗𝛼 , 𝑣ớ𝑖 1 ≤ 𝛼 ≤ 𝑟, sao cho 𝐷1′ ∩ … ∩ 𝐷𝑟′ ⊃ 𝐾. Bằng
′
các hoán đổi 𝐷𝛼′ (và 𝑘𝛼 ) chúng ta có thể giả thiết rằng V∩𝐷1′ ≠∅ và 𝐷𝛼−1
∩ 𝐷𝛼′ ≠

∅ , với 2 ≤ 𝛼 ≤ 𝑟.

Đặt 𝑉0 = 𝑉 và 𝑉𝛼 =V∪ 𝐷1′ ∪ … ∪ 𝐷𝛼′ với 1 ≤ 𝛼 ≤ 𝑟. Bằng cách quy nạp
chúng ta xây dựng các tập mở 𝑈𝛼 ⊂ 𝑈 sao cho 𝑈𝛼 ∩ 𝐸 ′ không là tập đa cực và f
thác triển chỉnh hình tới 𝑈𝛼 × 𝑉𝛼 , với 0 ≤ 𝛼 ≤ 𝑟.
Chúng ta bắt đầu với 𝑈0 = 𝑈. Theo quy nạp ta cho 1 ≤ 𝛼 ≤ 𝑟 và giả sử
𝑈𝛼−1 được xây dựng với các tính chất ở trên. Chọn một đa đĩa mở 𝐷𝛼" ⊆ 𝐷𝛼′ ∩
17


̃ 𝑈𝛼−1 × 𝑉𝛼−1 → 𝑋 là một thác triển chỉnh hình tới f. Theo định
𝑉𝛼−1 và kí hiệu 𝑓:
nghĩa của 𝐸 ′ , 𝑓̃((𝐸 ′ ∩ 𝑈𝛼−1 ) × ̅̅̅̅
𝐷𝛼′ ) ⊂ 𝑋𝑘𝛼 . Do đó, tồn tại một tập mở 𝑈𝛼′ ⊂
𝑈𝛼−1 sao cho 𝑈𝛼′ ⊃ 𝐸 ′ ∩ 𝑈𝛼−1 và 𝑓̃(𝑈𝛼′ × ̅̅̅̅
𝐷𝛼" ) ⊂ 𝑋𝑘𝛼 . Khi đó 𝐸 " = 𝐸 ′ ∩
𝑈𝛼−1 = 𝐸 ′ ∩ 𝑈𝛼′ , không là một tập đa cực. Đồng nhất 𝑋𝑘𝛼 với một đa tạp con
của 𝐶 𝑑 ( cho một vài số nguyên dương 𝑑) và đặt
𝑔 = 𝑓̃|𝑈𝛼′ × 𝐷𝛼" : 𝑈𝛼′ × 𝐷𝛼" → 𝑋𝑘𝛼 ⊂ 𝐶 𝑑 .
Theo định nghĩa của 𝐸 ′ , 𝑔𝑧 có một thác triển chỉnh hình 𝑔𝑧′ : ̅̅̅̅
𝐷𝛼′ →𝐶 𝑑 với
mọi 𝑧 ∈ 𝐸 ′ . Vì 𝐸 ′ không là tập đa cực, nên theo kết quả của Bedford và Taylor,
tồn tại một điểm 𝑧0 ∈ 𝐸 ′ sao cho 𝐸 " là L - chính quy địa phương tại 𝑧0 . Vì vậy,
tồn tại một lân cận liên thông 𝑈𝛼 ⊂ 𝑈𝛼′ của 𝑧0 và một ánh xạ chỉnh hình 𝑔′ : 𝑈𝛼 ×
̅𝛼′ → ℂ𝑑 sao cho 𝑔′ = 𝑔 trên 𝑈𝛼 × 𝐷𝛼′′ . Theo nguyên tắc đồng nhất ta có
𝐷
𝑔′ : 𝑈𝛼 × 𝐷𝛼′ → 𝑋𝑘𝛼 ⊂ 𝑋. Vì 𝐸 " là L - chính quy địa phương tại 𝑧0 , 𝐸 " ∩ 𝑈𝛼
không là tập đa cực. Theo định nghĩa của 𝐸 ′ , ánh xạ 𝑔′ trùng với f trên tập
(𝐸 " ∩ 𝑈𝛼 )×(𝐷𝛼′ ∩ 𝑉𝛼−1 ) và do đó 𝑔′ trùng với f trên 𝑈𝛼 × (𝐷𝛼′ ∩ 𝑉𝛼−1 ).
Vậy ta đã tìm được thác triển chỉnh hình của f tới 𝑈𝛼 × 𝑉𝛼 . Chứng minh
quy nạp kết thúc.
Vì 𝑉𝑟 ⊃ 𝐾, 𝑓 thác triển chỉnh hình đến 𝑈𝑟 × 𝐾 và do đó 𝑈𝑟 ∩ 𝐸 = ∅. Điều này

là mâu thuẫn với 𝑈𝑟 ∩ 𝐸 ′không là tập đa cực. Vì vậy 𝐸 là tập đa cực.
Định lý 2.1.1 [14]
Giả sử M là không gian phức và 𝔹𝑛 là hình cầu đơn vị mở của ℂ𝑛 .
Giả sử f: 𝔹𝑛 →M là ánh xạ thỏa mãn f là chỉnh hình trên giao của 𝔹𝑛 với
mọi đường thẳng phức đi qua gốc và f thuộc lớp cuả 𝐶 ∞ trong lân cận cuả điểm
gốc. Khi đó tồn tại một tập con đa cực S của ℙ𝑛−1 (ℂ) sao cho f là chỉnh hình
trong một lân cận của 𝔹𝑛 ∪ {𝑙: 𝑙 ∈ 𝑆 }.
Chứng minh.
Theo định lý Forelli, tồn tại 𝑟0 > 0 sao cho:
(1) 𝑓 là chỉnh hình trong 𝔹𝑛𝑟0 .

18


Đặt 𝔹𝑛∗ = 𝔹𝑛 \ {𝑧𝑛 = 0}. Xét ánh xạ chỉnh hình 𝜑: 𝔹𝑛∗ → ℂ𝑛 được cho bởi
𝜑(𝑧1 , … , 𝑧𝑛 ) = (

𝑧1
𝑧𝑛−1
,…,
, 𝑧𝑛 ).
𝑧𝑛
𝑧𝑛

Đặt 𝜑(𝔹𝑛∗ ) = 𝑇 𝑣à xác định 𝜑1 :𝔹𝑛∗ → 𝑇 𝑏ở𝑖 𝜑1 (𝑧) = 𝜑(𝑧) sao cho 𝑧𝜖 𝔹𝑛∗ . Khi
đó 𝜑1 là song chỉnh hình.
Đặt 𝑔 = 𝑓 °𝜑1−1 ∶ 𝑇 → 𝑀 và
TR,h = {𝑡 = (𝑡 ′ , 𝑧𝑛 ) ∈ 𝑇: ‖𝑡 ′ ‖ < 𝑅 𝑣à 0 < |𝑧𝑛 |2 <

ℎ

1+𝑅 2

)}

sao cho 𝑅 > 0 và 0 < h ≤ 1.
{𝑇𝑅,ℎ } là tích của hai tập mở nên nó cũng là một tập mở. Hiển nhiên khi ℎ tăng
thì bán kính tập mở thứ hai cũng tăng. Do đó {𝑇𝑅,ℎ } là họ của các tập con mở
tăng khi ℎ tăng và 𝑇 =∪ {𝑇𝑅,1 : 𝑅 ∈ 𝑄+∗ }. Từ (1) ta có 𝑔 là chỉnh hình trong 𝑇𝑅,𝑟02
với mọi 𝑅 > 0.
Định nghĩa
∆̃𝑅 =𝐴̅√1|(1+𝑅2) = {𝑧 ∈ 𝐶: |𝑧| ≤ √1/(1 + 𝑅2 )},
SR

=

′
̃
{𝑤 ′ ∈ 𝔹𝑛−1
𝑅 : 𝑔 không thác triển đến mọi lân cận của (𝑤 × ∆𝑅 ) ∩

𝜑1 (𝔹𝑛∗ )}.
Theo định nghĩa trên, phần bù của 𝑆𝑅 là tập mở cho nên 𝑆𝑅 là đóng.
Chúng ta phải chứng minh 𝑆𝑅 là đa cực. Thật vậy, theo giả thiết và vì
1
1+‖𝑤 ′ ‖2

>

1
1+𝑅 2

với mọi 𝑤 ′ ∈ 𝔹𝑛−1
𝑅 ,

Ta có ánh xạ 𝑔𝑤 ′ (𝑤𝑛 ) = 𝑔(𝑤 ′ , 𝑤𝑛 ) = 𝑓(𝑤𝑛 𝑤 ′ , 𝑤𝑛 ) là chỉnh hình trên lân cận
của ∆̃𝑅 . Theo Bổ đề 2.1.1 tồn tại một tập con đa cực đóng 𝑆𝑅′ của 𝔹𝑛−1
sao cho
𝑅
′
̃
g thác triển thành ánh xạ chỉnh hình 𝑔̃ : (𝔹𝑛−1
𝑅 \ 𝑆𝑅 ) × ∆𝑅 ) → 𝑀. Rõ ràng SR⊂

𝑆𝑅′ và do đó SR là đa cực.
Đặt 𝑆̃R = SR× ∆̃R và 𝑆̃ = ∪𝑅∈𝑄+∗ 𝑆̃R . Rõ ràng 𝑆̃ là tập con đa cực của T.

19


Lấy một điểm bất kì 𝑧 = (𝑧 ′ , 𝑧 𝑛 ) ∈ 𝑇\𝑆̃. Vì T = ∪𝑅∈𝑄+∗ TR,1, nên tồn tại R∈ 𝑄+∗
sao cho z∈ 𝑇R,1. Mặt khác, theo định nghĩa của SR và 𝑆̃R,ta có z’∉ 𝑆R. Vì vậy g
thác triển chỉnh hình trên lân cận của (𝑧 ′ × ∆̃R)∩ 𝑇. Điều đó có nghĩa là g là chỉnh
hình trên lân cận mở của 𝑧. Từ đó suy ra g là chỉnh hình trên lân cận mở của T \
𝑆̃.
Xét ánh xạ 𝑝 ∶ ℂ𝑛 → ℂ𝑛−1 được cho bởi (𝑧1 , . . . , 𝑧𝑛 ) ↦ (𝑧1 , . . . , 𝑧𝑛−1 ) và
đặt
𝑇 ∗ = {𝑧: 𝑧 ∈ 𝑇 𝑣à 𝑝(𝑧) ∉∪𝑅∈𝑄+∗ 𝑆𝑅 }.
Vì 𝑇 ∗ ⊂ 𝑇\𝑆̃ nên 𝑔 là chỉnh hỉnh trên một lân cận mở của 𝑇 ∗ .
𝑛
Hơn nữa 𝔹𝑛 = ∪𝑗=1

(𝔹𝑛 \ {𝑧𝑗 = 0})∪ 𝔹𝑛𝑟0 nên 𝑓 là chỉnh hình trên một lân cận

mở của 𝔹𝑛 \ ∪𝑎∈𝑆 la trong đó 𝑆 là đa cực trong ℙ𝑛−1 (ℂ).
2.2. Định lý Forelli đối với không gian phức kiểu Hartogs
Để chứng minh định lý Forelli đối với không gian phức kiểu Hartogs ta
cần một số kết quả sau:
Định lý 2.2.1 [14]
Cho 𝑈, 𝑉 là tập mở trong ℂ𝑚 , ℂ𝑛 tương ứng và K là tập compact liên
thông trong ℂ𝑛 chứa V. X là một không gian giải tích phức f:U×V→ 𝑋 là ánh xạ
chỉnh hình. Nếu 𝑓𝑧 thác triển chỉnh hình tới K với mọi z∈ U. Khi đó tồn tại một
̃ (𝑈\𝐸) × 𝐾 → 𝑋
tập con đóng E có độ đo 0 trong U và một ánh xạ chỉnh hình 𝑓:
sao cho 𝑓 = 𝑓̃ trên (𝑈\𝐸) × 𝑉.
Chứng minh [7]:
Kí hiệu E là tập các điểm 𝑧 ∈ 𝑈 sao cho 𝑓 thác triển chỉnh hình lên một
lân cận (trong 𝑈 × ℂ𝑛 ) của {𝑧} × 𝐾. Khi đó 𝐸 là tập con của 𝑈. Giả sử 𝐸 có độ
đo dương. Như trong chứng minh của Bổ đề 2.1.1. Ta chọn 𝐸 ′ là tập các điểm
của 𝑧 ∈ 𝐸 sao cho 𝑓𝑧 ∈ 𝑁(𝑟; 𝑗1 , … , 𝑗𝑟 , 𝑘1 , … , 𝑘𝑟 ) sao cho 𝐸 ′ có độ đo dương và
vì vậy 𝐸 ′ không là một tập đa cực. Định lý 2.2.1 được chứng minh hoàn toàn
tương tự như chứng minh Bổ đề 2.1.1

∎

20


Bổ đề sau chỉ ra một lớp các không gian phức có tính chất (HEP).
Bổ đề 2.2.1 [7]
Giả sử X là không gian giải tích phức. Khi đó các khẳng định sau là tương
đương:

i.

X có tính chất (HEP)

ii.

Nếu D là một miền trong ℂ2 và 𝑝 ∈ 𝜕𝐷 sao cho D có 𝐶 2 biên tại p và D
không giả lồi Levi tại p thì mọi ánh xạ chỉnh hình 𝑓: 𝐷 → 𝑋 thác triển
thành một ánh xạ chỉnh hình trên một tập mở chứa 𝐷 ∪ {𝑝}.

iii.

̃ sao cho 𝐷
̃ là bao chỉnh hình
Nếu D là một miền trong một đa tạp Stein 𝐷
của D thì mọi ánh xạ chỉnh hình 𝑓: 𝐷 → 𝑋 có thể thác triển chỉnh hình tới
̃.
𝐷

Bổ đề 2.2.2 [7]
Cho U, V có miền tương ứng trong ℂ𝑀 , ℂ𝑁 , cho 𝑉0 là một tập mở của V,
và cho E là tập con đóng có độ đo 0 trong U. Khi đó bao chỉnh hình của U×𝑉0 ∪
(𝑈\𝐸) × 𝑉 chứa U×V.
Bổ đề 2.2.3 [7]
Giả sử M là không gian phức có tính chất thác triển Hartogs (HEP). Giả
sử U,V là miền xác định trong ℂ𝑛 ,ℂ𝑚 tương ứng và giả sử V0 là 1 tập con mở
của V. Nếu f: U × 𝑉0 → 𝑀 là ánh xạ chỉnh hình thì fz thác triển chỉnh hình đến
V cho tất cả các điểm z ∈ 𝑈. Khi đó f là thác triển chỉnh hình đến U × 𝑉.
Chứng minh.
Xét một miền tùy ý 𝑉 ′ với 𝑉0 ⊂ 𝑉 ′ ⊆ 𝑉. Theo Định lý 2.2.1 tồn tại một

tập con đóng 𝐸 có độ đo 0 trong 𝑈 sao cho 𝑓 thác triển chỉnh hình đến tập 𝐷 =
̃ của 𝐷 chứa U×𝑉 ′ . Vì
𝑈×𝑉0 ∪ (𝑈\𝐸) × 𝑉 ′. Theo Bổ đề 2.2.2 bao chỉnh hình 𝐷
vậy theo Bổ đề 2.2.1, 𝑓 thác triển chỉnh hình đến 𝑈 × 𝑉 ′ . Vì 𝑉 ′ là tùy ý nên định
lý được chứng minh.∎
Forelli đã chứng minh được kết quả đáng chú ý sau đây:

21