Mô hình phần tử hữu hạn trong phân tích dao động của dầm có cơ tính biến đổi theo hai chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

TRẦN THỊ THƠM

MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA DẦM CÓ CƠ
TÍNH BIẾN ĐỔI THEO HAI CHIỀU

LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH KHOA HỌC VẬT CHẤT

Hà Nội – Năm 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

TRẦN THỊ THƠM

MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA DẦM CÓ CƠ

TÍNH BIẾN ĐỔI THEO HAI CHIỀU
Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã số: 9440107

LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH KHOA HỌC VẬT CHẤT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. PGS.TS. Nguyễn Đình Kiên
2. PGS.TS. Nguyễn Xuân Thành

Hà Nội - Năm 2019


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các số liệu và kết quả
được trình bày trong Luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất
cứ công trình nào khác.

Nghiên cứu sinh

Trần Thị Thơm

i


LỜI CẢM ƠN
Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS.
Nguyễn Đình Kiên và PGS.TS. Nguyễn Xuân Thành. Tôi xin chân thành cảm ơn
sâu sắc đến các Thầy, người đã tận tâm giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu.
Trong quá trình thực hiện Luận án, tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, tạo

điều kiện của tập thể Lãnh đạo, các nhà khoa học, cán bộ, chuyên viên của Học viện
Khoa học và Công nghệ, Viện hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam; tập thể
Ban lãnh đạo, cán bộ Viện Cơ học. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành về những
sự giúp đỡ đó.
Tôi xin chân thành cảm ơn đến các nghiên cứu viên phòng Cơ học vật rắn,
Viện Cơ học; anh chị em trong nhóm Seminar đã giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm cho
tôi trong quá trình thực hiện Luận án.
Tôi xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến những người thân trong gia đình đã chia
sẻ, động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành Luận án này.
Tác giả Luận án
Trần Thị Thơm

ii


MỤC LỤC
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....

i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...........

ii Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

................

vi Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.......................

xi Danh sách bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.............................

xiii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.......................................

1

Chương 1. Tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
... 5
1.1. Dầm FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
... 5
1.2. Phân tích dầm 1D-FGM trên thế giới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 7
1.2.1. Phương pháp giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 7
1.2.2. Phương pháp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 10
1.2.2.1. Phương pháp CPVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2.2.2. Phương pháp PTHH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 12
1.3. Phân tích dầm 2D-FGM trên thế giới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.4. Nghiên cứu dầm FGM trong nước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.5. Định hướng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 17
1.6. Điểm mới của Luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 18
Chương 2. Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19


2.1. Mô hình dầm 2D-FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 19
2.2. Lý thuyết dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 26
2.3. Phương trình dựa trên FSDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.3.1. Biến dạng và ứng suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 28
2.3.2. Năng lượng biến dạng đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.3.3. Động năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 31

iii


4

2.4. Phương trình dựa trên ITSDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.4.1. Phương trình biểu diễn theo
32
2.4.2. Phương trình biểu diễn theo

35

...................................
0

..................................

2.5. Ứng suất nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
2.6. Thế năng của lực ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 36
2.7. Phương trình chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 37
2.8. Điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 40
2.8.1. Điều kiện biên về lực và mô-men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.8.2. Điều kiện biên về chuyển vị và góc quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Chương 3. Mô hình phần tử hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.1. Mô hình phần tử dầm FSDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.1.1. Mô hình phần tử FBKo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.1.2. Mô hình phần tử FBHi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.2. Mô hình phần tử dầm ITSDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.2.1. Mô hình phần tử TBS

50

........................................

3.2.2. Mô hình phần tử TBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.3. Ma trận độ cứng do nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.4. Phương trình chuyển động rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.5. Thuật toán số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 57


5

3.5.1. Dao động tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 57
3.5.2. Phương pháp gia tốc trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.5.3. Véc-tơ lực nút . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 60
3.5.4. Quy trình tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 61
Chương 4. Kết quả số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 64
4.1. Sự hội tụ và độ tin cậy của mô hình PTHH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.1.1. Sự hội tụ của mô hình PTHH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64

4.1.2. Độ tin cậy của mô hình PTHH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.1.3. So sánh các mô hình phần tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71


5

4.2. Dao động tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 73
4.2.1. Dầm có thiết diện không đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
4.2.1.1. Ảnh hưởng của tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
4.2.1.2. Ảnh hưởng của nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 75
4.2.1.3. Dầm với các điều kiện biên khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
4.2.1.4. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
4.2.1.5. Mode dao động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 84
4.2.2. Dầm thon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 86
4.2.2.1. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4.2.2.2. Ảnh hưởng của tham số thiết diện và dạng thon . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.2.2.3. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91

4.3. Dao động cưỡng bức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 93
4.3.1. Ảnh hưởng của vận tốc lực di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
4.3.2. Ảnh hưởng của tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
4.3.3. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 103
Danh mục công trình liên quan tới Luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 107
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 123


DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT
TẮT Các kí hiệu thông thường
A0

Diện tích thiết diện ngang tại đầu trái (dầm thon)

A(x)

Diện tích thiết diện ngang

A11

Độ cứng dọc trục

A12

Độ cứng tương hỗ kéo-uốn

A22

Độ cứng chống uốn

A33

Độ cứng chống trượt (Dùng trong FSDT)

A34

Độ cứng tương hỗ xoắn-kéo

A44

Độ cứng tương hỗ xoắn-uốn

A66

Độ cứng tương hỗ xoắn-uốn bậc cao B11 , B22 ,

B44

Các độ cứng chống trượt (Dùng trong ITSDT) b(x)

Chiều rộng dầm thon
c

Tham số thiết diện

Dd

Tham số động lực học

EC1

Mô-đun đàn hồi của gốm 1

EC2

Mô-đun đàn hồi của gốm 2

EM1

Mô-đun đàn hồi của kim loại 1

EM2

Mô-đun đàn hồi của kim loại 2

E (x, z)

Mô-đun đàn hồi hiệu dụng

GC1

Mô-đun trượt của gốm 1

GC2

Mô-đun trượt của gốm 2

GM1

Mô-đun trượt của kim loại 1

GM2

Mô-đun trượt của kim loại 2

G(x, z)

Mô-đun trượt hiệu dụng

h

Chiều cao dầm

h(x)

Chiều cao dầm thon
vi


vii

I

Mô-men quán tính bậc hai của thiết diện ngang

I0

Mô-men quán tính bậc hai của thiết diện ngang tại đầu trái (dầm thon)

I(x)

Mô-men quán tính bậc hai của thiết diện ngang

I11

Mô-men khối lượng dọc trục

I12

Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-quay

I22

Mô-men khối lượng xoay của thiết diện ngang

I34 , I44 , I66

Mô-men khối lượng bậc cao

l

Chiều dài một phần tử

L

Chiều dài dầm

n

Tham số vật liệu của dầm 1D-FGM

nx

Tham số vật liệu theo chiều dài

nz

Tham số vật liệu theo chiều cao

nE

Số lượng phần tử rời rạc của dầm

P

Độ lớn lực di động

P

Tính chất hiệu dụng

PC1

Tính chất vật liệu của gốm 1

PC2

Tính chất vật liệu của gốm 2

PM1

Tính chất vật liệu của kim loại 1

PM2

Tính chất vật liệu của kim loại 2

T

Động năng

U

Năng lượng biến dạng

UB

Năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm

UT

Năng lượng biến dạng do ứng suất nhiệt

V

Thế năng của lực di động

L

Phiếm hàm Lagrange

VC1

Tỷ phần thể tích của gốm 1

VC2

Tỷ phần thể tích của gốm 2

VM1

Tỷ phần thể tích của kim loại 1


8

VM2

Tỷ phần thể tích của kim loại 2

s

Quãng đường lực P đi được

T

Nhiệt độ môi trường

T0

Nhiệt độ tham chiếu (300K ∼ 27◦ C)

u(x, z, t )

Chuyển vị dọc trục của điểm bất kì

u0 (x, t )

Chuyển vị dọc trục của điểm trên mặt giữa

v

Vận tốc lực di động

w(x, z, t )

Chuyển vị ngang của điểm bất kì

w0 (x, t )

Chuyển vị ngang của điểm trên mặt giữa

wst

Độ võng tĩnh tại giữa dầm

Véc-tơ và ma trận
d

Véc-tơ chuyển vị nút phần tử

D

Véc-tơ chuyển vị nút tổng thể

D˙

Véc-tơ vận tốc nút tổng thể

D¨

Véc-tơ gia tốc nút tổng thể

Fex

Véc-tơ lực nút tổng thể

Fef

Véc-tơ lực nút hiệu dụng

Nu

Ma trận các hàm nội suy cho chuyển vị dọc trục

Nw

Ma trận các hàm nội suy cho chuyển vị ngang

N

Ma trận các hàm nội suy cho góc quay

N

Ma trận các hàm nội suy cho góc trượt ngang

K

Ma trận độ cứng tổng thể

Kef

Ma trận độ cứng hiệu dụng

M

Ma trận khối lượng tổng thể

Chữ cái Hy Lạp

Hệ số giãn nở nhiệt của dầm
C1

Hệ số giãn nở nhiệt của gốm 1

0


9

C2

Hệ số giãn nở nhiệt của gốm 2

M1

Hệ số giãn nở nhiệt của kim loại 1

M2

Hệ số giãn nở nhiệt của kim loại 2

0

(x, t )

Góc trượt ngang
Góc quay của thiết diện ngang
Hệ số điều chỉnh trượt

i

Tần số tự nhiên thứ i của dầm

1

Tần số tự nhiên cơ bản

i

Tham số tần số thứ i

1

Tham số tần số cơ bản

T

Sự tăng của nhiệt độ

t

Bước thời gian

T∗

Tổng thời gian để một lực đi hết chiều dài dầm

xx

Biến dạng dọc trục

xz

Biến dạng trượt

xx

Ứng suất dọc trục (ứng suất pháp)

T
xx

Ứng suất nhiệt ban đầu

xz

Ứng suất trượt (ứng suất tiếp)
Mật độ khối (khối lượng riêng) hiệu dụng của dầm

C1

Mật độ khối của gốm 1

C2

Mật độ khối của gốm 2

M1

Mật độ khối của kim loại 1

M2

Mật độ khối của kim loại 2

C1

Hệ số Poisson của gốm 1

C2

Hệ số Poisson của gốm 2

M1

Hệ số Poisson của kim loại 1

M2

Hệ số Poisson của kim loại 2

Chữ viết tắt


1
0

CBT

Lý thuyết dầm cổ điển (Classical Beam Theory)

CPVP

Cầu phương vi phân

FGM

Vật liệu cơ tính biến thiên (Functionally Graded

Material) FSDT

Lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất
(First-order Shear Deformation Theory)

ITSDT

Lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến
(Improved Third-order Shear Deformation Theory)

FBHi

Mô hình phần tử FSDT sử dụng hàm nội suy thứ bậc
(First-order Beam element using Hierarchical shape

functions) FBKo

Mô hình phần tử FSDT sử dụng hàm nội suy

Kosmatka

(First-order Beam element using Kosmatka interpolation)
PTHH

Phần tử hữu hạn

TBS

Mô hình phần tử ITSDT sử dụng

là hàm độc lập

(Third-order Beam element based on Shi theory using )
TBS

Mô hình phần tử ITSDT sử dụng

0

là hàm độc lập

(Third-order Beam element based on Shi theory using
TSDT

Lý thuyết biến dạng trượt bậc ba
(Third-order Shear Deformation Theory)

0)


Danh sách hình vẽ

Hì
nh
2.

M . . 19
ô
h
chiều dài
dầm . . .
Hì B . . 21
nh i
Hì B . . 22
nh i
Hình 2.5 Ả
vớ n . . 25
h
iHì M . . 26
nh ô
Hình 3.1 (a) Các hàm dạng thứ bậc, (b) Các bậc tự do của phần tử dầm thứ bậc 48
Hình 3.2 Sơ đồ khối phân tích dao động tự do của dầm 2D-FGM trong
môi trường nhiệt độ sử dụng mô hình TBS . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Hình 3.3 Sơ đồ khối tính đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGM chịu
lực di động sử dụng mô hình FBKo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Hình 4.1 Ảnh hưởng của tham số vật liệu lên bốn tham số tần số đầu tiên
của dầm S-S với T = 50K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Hình 4.2 Sự phụ thuộc của tham số 1 vào tham số vật liệu của dầm tựa
giản đơn với các giá trị khác nhau của T . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Hình 4.3 Ảnh hưởng của tham số vật liệu lên bốn tham số tần số đầu tiên
của dầm C-C với T = 50K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Hình 4.4 Tham số tần số cơ bản của dầm C-C với các giá trị khác nhau

của sự tăng nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Hình 4.5 Ảnh hưởng của tham số vật liệu lên bốn tham số tần số đầu tiên
của dầm C-F với T = 50K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Hình 4.6 Tham số tần số cơ bản của dầm C-F với các giá trị khác nhau
của sự tăng nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Hình 4.7 Sự phụ thuộc của tham số tần số cơ bản của dầm S-S với các giá
trị L/h khác nhau ( T = 50K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Hình 4.8 Ba mode dao động đầu tiên cho u0 , w0 và 0 của dầm S-S với
T = 0K: (a) (nx , nz ) = (0, 0.5), (b) (nx , nz ) = (0.5, 0.5) . . . . . . . . . .
85

xi


xii

Hình 4.9 Ba mode dao động đầu tiên cho u0 , w0 và 0 của dầm S-S với
T. . . 85
50
Hình 4.10 Ba
mode
T. dao
. động
. 86
50
Hì
nh v. . . 89
i
Hì
nh v. . . 90

i
Hì
nh v. . . 90
i
Hì
nh củ
a. . . 91
dầ
Hì
nh củ
a. . . 92
dầ
Hì
nh củ
a. . . 93
dầ
Hì
nh th
ời
0)
. 97
gia
Hì
nh ( . . 98
a
Hình . . 98
4.19
Hình
4.20 g
i . . 10

ữ
1
Hình 4.21 Mối liên hệ giữa tham số động lực học với vận tốc của lực di
động với các giá trị L/h khác nhau: (a) nx = nz = 1/3, (b) nx = nz = 3. . .
101


Danh sách bảng

Bảng

Bả .
ng
Bả .
ng

. .

22

. .

23

4. .
. . 65
1Bả tro
ng tần
ng
. ..

. . 65
số
. .
Bảng 4.3 Sự hội tụ của mô hình FBHi trong đánh giá tham số tần số cơ
bản của dầm thon 2D-FGM (Dạng thon C) . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Bảng 4.4 So sánh tham số tần số cơ bản cho dầm 1D-FGM tạo bởi Al và
Al
.
. . 68
Bảng

2

4. .
. . 68
5
Bảng 4.6 So sánh tham số tần số cơ bản của dầm 1D-FGM trong môi
trường nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Bả c
ng tín
. ủ. .
. . 70
h. .
Bảng 4.8 So sánh tham số tần số cơ bản của dầm S-S 2D-FGM dựa trên
các mô hình phần tử khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Bảng 4.9 So sánh tham số động lực học của dầm S-S 2D-FGM dựa trên
cá
.
. .
. . 72

c
Bả
1
ng c.
. .
. . 74
o
Bả T 1 . . . . . . . 76
ng ha củ
Bả T 1 . . . . . . . 76
ng ha củ
Bả T 1 . . . . . . . 77
ng ha củ
Bả T 1 . . . . . . . 78
ng ha củ
Bả T 1 . . . . . . . 79
ng ha củ
Bả T 1 . . . . . . . 79
ng ha củ
Bả T 1 . . . . . . . 79
ng ha củ
Bả T 1 . . . . . . . 81
ng ha củ
xiii


xiv

Bảng

Bảng .
4.19
Bảng .
4.20
Bảng .
4.21
Bảng
4.
Bảng .

. .

81

. .

81

. .

82

. .

87

4.23
củ
. ..
a. .

. .

88

1

4. củ .
. . 88
a
24
Bảng 4.25 Ảnh hưởng của sự thay đổi tham số vật liệu tới tham số tần số
của dầm đều và dầm thon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Bảng 4.26 Tham số tần số cơ bản của dầm thon C-F với các giá trị L/h0
khác nhau (Dạng thon B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Bảng

Bảng 4.27 Tham số tần số
nh
.
. . 95
au
4. .
28
Bả

. .

99

ng cá
.
c

. .

10
0

1

của dầm thon S-S với các giá trị L/h0 khác


MỞ ĐẦU
Tính cấp thiết của đề tài
Vật liệu có cơ tính biến đổi (Functionally Graded Material - FGM),
một loại composite thế hệ mới, được sử dụng ngày càng nhiều để chế tạo các phần
tử kết cấu dùng trong các môi trường khắc nghiệt như nhiệt độ cao, có tính mài
mòn và ăn mòn lớn. Sự kết hợp giữa gốm có độ bền cao, tỷ trọng thấp với kim
loại có độ dai và khả năng chịu va đập tốt giúp FGM có nhiều ưu điểm so với các
loại vật liệu truyền thống. Đặc biệt, FGM không có các nhược điểm thường gặp
trong các vật liệu composite phân lớp như sự tách lớp và tập trung ứng suất. Các
nghiên cứu gần đây chỉ ra rằng các đáp ứng động lực học của dầm FGM được cải
thiện đáng kể nhờ việc lựa chọn hợp lý tỷ phần thể tích của vật liệu thành phần.
Dao động của kết cấu là bài toán quan trọng trong lĩnh vực cơ học, được
nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu từ lâu. Nhiều kết quả nghiên cứu về dao
động của dầm FGM, sử dụng cả phương pháp giải tích và phương pháp số, đã
được công bố trong thời gian gần đây. Tuy nhiên, phần lớn các công bố này liên

quan tới dầm có cơ tính biến đổi theo một chiều, chiều cao hoặc chiều dài dầm.
Trong nhiều tình huống thực tế, kết cấu FGM nói chung và dầm FGM nói riêng có
thể chịu các tải trọng cơ, nhiệt thay đổi theo nhiều phương khác nhau. Tối ưu hóa
độ bền và trọng lượng kết cấu bằng cách thay đổi tỷ phần thể tích các vật liệu thành
phần của FGM theo nhiều hướng không gian khác nhau là vấn đề có ý nghĩa thực tế,
được các nhà khoa học trên thế giới, đặc biệt ở Nhật Bản thực hiện trong những năm
gần đây. Phân tích kết cấu có cơ tính thay đổi theo nhiều phương khác nhau nói
chung và dao động của dầm FGM có cơ tính biến đổi theo cả chiều cao và chiều dài
dầm (dầm 2D-FGM) nói riêng, vì thế có ý nghĩa khoa học, được đặt ra từ nhu cầu
thực tế.
Khi tính chất cơ-lý của dầm 2D-FGM thay đổi theo chiều dài, các hệ số trong
phương trình vi phân chuyển động của dầm là hàm của tọa độ không gian dọc theo
trục dầm. Các phương pháp giải tích, vì thế thường gặp khó khăn trong phân tích
dao động của dầm 2D-FGM. Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) với nhiều thế
mạnh trong phân tích kết cấu, là lựa chọn hàng đầu để thay thế các phương pháp
giải tích truyền thống trong nghiên cứu bài toán này. Phát triển các mô hình PTHH,
tức là xây


1


2

dựng các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng, dùng trong phân tích dao động của
dầm 2D-FGM là vấn đề có ý nghĩa khoa học, góp phần thúc đẩy ứng dụng của vật
liệu FGM vào thực tế.
Từ những phân tích nêu trên, tác giả đã lựa chọn đề tài "Mô hình phần tử hữu
hạn trong phân tích dao động của dầm có cơ tính biến đổi theo hai chiều" làm đề tài
nghiên cứu cho Luận án của mình.

Mục tiêu của Luận án
Luận án nhằm phát triển một số mô hình PTHH dùng trong phân tích dao
động của dầm 2D-FGM. Ảnh hưởng của nhiệt độ môi trường và sự thay đổi của
thiết diện ngang dọc theo trục dầm là các yếu tố thường xuất hiện trong thực tế
được xem xét trong mô hình PTHH phát triển trong Luận án. Các mô hình này cần
có độ tin cậy cao, tốc độ hội tụ tốt và đánh giá được ảnh hưởng của tham số vật liệu,
tham số hình học cũng như có khả năng mô phỏng được ảnh hưởng của biến dạng
trượt tới các đặc trưng dao động và các đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGM.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án được giới hạn cụ thể như sau:
1. Đối tượng:
Đối tượng nghiên cứu là các dầm FGM có cơ tính biến thiên theo hai chiều,
chiều cao và chiều dài dầm. Vật liệu FGM của dầm giả định được tạo từ bốn
vật liệu thành phần khác nhau, trong đó hai vật liệu là gốm và hai vật liệu là
kim loại. Tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần tuân theo quy luật hàm
số lũy thừa. Thiết diện ngang của dầm có dạng hình chữ nhật với chiều cao và
chiều rộng có thể thay đổi tuyến tính dọc theo chiều dài dầm.
2. Phạm vi nghiên cứu:
- Luận án chỉ nghiên cứu bài toán dao động tuyến tính của dầm 2D-FGM. Như
vậy, độ võng và góc quay của thiết diện ngang được giả thiết là nhỏ, cho phép
bỏ qua số hạng phi tuyến trong biểu thức của biến dạng dọc trục. Vật liệu dầm
được giả thiết là đàn hồi tuyến tính, tức là mối quan hệ giữa ứng suất và biến
dạng tuân theo định luật Hooke.
- Mặc dù phương pháp trình bày trong Luận án có thể sử dụng để phân tích
dầm


3

chịu các tải trọng động khác nhau nhưng để tập trung vào nội dung chính là

phát triển mô hình PTHH, trong bài toán dao động cưỡng bức Luận án chỉ xét
trường hợp dầm chịu một lực di động với vận tốc không đổi. Như vậy, ảnh
hưởng của lực Coriolis và lực ly tâm sinh ra khi tính tới ảnh hưởng của khối
lượng di động được bỏ qua.
- Lời giải cho trường nhiệt độ phân bố không đồng nhất sinh ra từ sự chênh
lệch nhiệt độ giữa các mặt và hai đầu của dầm 2D-FGM, theo hiểu biết của tác
giả, là chưa có. Vì thế Luận án chỉ xem xét trường nhiệt độ tăng đều khi
nghiên cứu ảnh hưởng của nhiệt độ tới các đặc trưng dao động của dầm 2DFGM. Các tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ được xét tới trong Luận
án.
- Các phương trình cơ bản cho dầm 2D-FGM được viết trên cơ sở coi trục dầm
nằm trên mặt giữa dầm làm trục quy chiếu, tức là ảnh hưởng của vị trí mặt
trung hòa không xét tới trong Luận án.
Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp giải tích truyền thống dùng trong Cơ học Vật rắn và Cơ học
Kết cấu được sử dụng trong Luận án để xây dựng các biểu thức năng lượng của
dầm. Nhằm kế thừa và phát huy các nghiên cứu trước đây của Phòng Cơ học Vật
rắn, Viện Cơ học, Viện Hàn Lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, Luận án sử
dụng phương pháp PTHH như là công cụ chính để xây dựng các phương trình
chuyển động dưới dạng rời rạc hóa. Phương pháp tích phân trực tiếp Newmark, một
phương pháp phổ biến trong nghiên cứu động lực học kết cấu, được sử dụng để tính
toán đáp ứng động lực học của dầm.
Do tính phức tạp về mặt toán học khi nghiên cứu dầm 2D-FGM sử dụng lý
thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến, phần mềm tính toán symbolic Maple cũng
được sử dụng để hỗ trợ cho các biến đổi toán học cũng như việc xây dựng mô hình
PTHH và chương trình tính toán số.
Bố cục của Luận án
Ngoài phần Mở đầu, Luận án được chia làm Bốn Chương và phần Kết luận
cùng với các Tài liệu kham khảo. Các Công trình công bố của tác giả liên quan tới
Luận án được liệt kê ở cuối Luận án. Nội dung chính của các Chương như sau:
Chương 1 trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về

4

kết cấu dầm FGM. Một số kết quả liên quan tới dầm 2D-FGM nhận được bởi một số
tác giả trong thời gian gần đây được thảo luận chi tiết. Việc trình bày nhấn mạnh tới
phương pháp nghiên cứu để thấy rõ vì sao Luận án lựa chọn phương pháp PTHH để
phân tích dao động của dầm 2D-FGM.
Chương 2 trình bày mô hình toán học và các đặc trưng cơ học cho dầm
2D-FGM. Các phương trình cho mô hình toán học được xây dựng dựa trên hai lý
thuyết biến dạng trượt là lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (First-order Shear
Deformation Theory - FSDT) và lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến
(Improved Third-order Shear Deformation Theory - ITSDT). Chương này
cũng tiến hành thiết lập các biểu thức năng lượng tương ứng với hai lý thuyết trên để
làm cơ sở cho việc xây dựng các mô hình PTHH. Đặc biệt, ngoài cách biểu diễn các
phương trình cơ bản theo góc quay của thiết diện ngang như trong phần lớn các
nghiên cứu, các phương trình cơ bản dựa trên ITSDT còn được xây dựng dựa trên
cách biểu diễn theo góc trượt ngang. Hệ phương trình vi phân chuyển động cho dầm
dựa trên ITSDT với cách biểu diễn các phương trình cơ bản theo

0

được xây dựng từ

nguyên lý biến phân
Hamilton. Ảnh hưởng của ứng suất nhiệt ban đầu và sự tăng nhiệt độ cũng được đề
cập trong Chương 2.
Chương 3 trình bày việc xây dựng các mô hình PTHH trên cơ sở các lý
thuyết dầm và các hàm nội suy khác nhau. Ma trận độ cứng và ma trận khối lượng
cho hai mô hình dầm dựa trên FSDT sử dụng hàm dạng Kosmatka và các hàm dạng

thứ bậc được trình bày chi tiết. Ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho hai mô
hình phần tử dầm dựa trên ITSDT được xây dựng trên cơ sở các hàm dạng tuyến
tính và các hàm dạng Hermite.
Chương 4 trình bày các kết quả số nhận được từ việc phân tích các bài toán
khác nhau. Chương này cũng đưa ra một số nhận xét về ưu, nhược điểm của các mô
hình PTHH xây dựng trong Luận án trong phân tích dao động của dầm 2D-FGM.
Ảnh hưởng của các tham số vật liệu, tham số thiết diện ngang, nhiệt độ môi trường
và tải trọng ngoài tới các đặc trưng dao động cũng như các đáp ứng động lực học
của dầm cũng được trình bày chi tiết trong Chương 4.
Một số kết luận rút ra từ Luận án và kiến nghị cho các nghiên cứu tiếp theo
được tóm lược trong Phần Kết luận của Luận án.


Chương 1
TỔNG QUAN
Chương này tóm lược các kết quả nghiên cứu trong phân tích dầm 1D-FGM
của các tác giả trên thế giới. Kết quả được thảo luận trên cơ sở hai phương pháp
phân tích, phương pháp giải tích và phương pháp số. Kết quả nghiên cứu liên quan
tới dầm
2D-FGM, đối tượng nghiên cứu của Luận án, được thảo luận chi tiết. Các nghiên
cứu trong nước về dầm FGM cũng được đề cập. Cuối chương trình bày định hướng
nghiên cứu và một số điểm mới của Luận án.
1.1. Dầm FGM
Vật liệu có cơ tính biến đổi (FGM), do các nhà khoa học Nhật Bản khởi tạo lần
đầu tiên vào năm 1984 [1], có thể xem như là thế hệ vật liệu composite mới. FGM
được tạo bằng cách thay đổi liên tục tỷ phần thể tích các vật liệu thành phần, thường
theo các tọa độ không gian. Vì thế FGM không có các nhược điểm thường gặp trong
các vật liệu composite phân lớp và gia cường sợi như sự tách lớp hay tập trung ứng
suất. Với các ưu điểm này cùng khả năng chịu nhiệt cao của gốm, độ dai và va đập
tốt của kim loại, FGM ngày càng được sử dụng nhiều để chế tạo các phần tử kết cấu

và chi tiết máy trong các lĩnh vực công nghệ cao như công nghiệp hạt nhân, hàng
không, vũ trụ, truyền thông, năng lượng,...
Luật thay đổi tỷ phần thể tích của vật liệu thành phần đóng vai trò quan trọng
nhất tới tính chất hiệu dụng và ứng xử của kết cấu FGM. Dầm FGM phổ biến và
được quan tâm nhiều nhất được tạo từ hai vật liệu thành phần, gốm và kim loại, với
tỷ phần
thể tích thay đổi theo chiều cao dầm bằng quy luật hàm số lũy thừa
[2]:


Vc =

z
+1
h
2

n

h
h
, Vm = 1 − Vc , với − ≤ z ≤
2
2

(1.1)

trong đó Vc và Vm tương ứng là tỷ phần thể tích của gốm và kim loại; z là tọa độ
theo chiều cao dầm, tính từ mặt giữa; h là chiều cao dầm; số mũ n (không âm) là
tham số vật liệu, xác định sự phân bố của các vật liệu thành phần. Trong phương

trình (1.1) và dưới đây, các chỉ số dưới ‘c’ và ‘m’ được dùng để chỉ các pha gốm và
kim loại.
Dầm với tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần tuân theo quy luật (1.1)
5