Đề thi Olympic Toán 11 năm 2018 – 2019 trường THPT Kim Liên – Hà Nội

– 2019
Môn: TOÁN -

11

: 150 phút

: 2 cos5 x.sin x 2sin 5 x.cos x

Câu 1(3,0

).

Câu 2 (2,0

).

Câu 3 (4,0

). Cho

x2

(un ) xác

a (0;1) và

un

vn

(vn )

:

u1 1

(un ) :

a)

x 2 x 6.

x

3

sin 2 4 x.

3
1

aun3 a 1 , n

*

.

un3 1

(vn )

nhân
lim(u13 u23 ... un3 n)

a

b)

4.

25

).

Câu 4 (3.0

ó6

5
,
Toán

AB,

ABCD.A’B’C’D’

). Cho

Câu 5 (6.0
E

Anh.

DD’ sao cho AI

D'E

x 1) .

x, (0

A'C .

IE

600.

AC ' và DI

b) Tìm x
M,N

AB, A ' D '.

(CMN )

Câu 6 (2.0

a, b, c
4

1
2

b 2

8
2

c 3

2

------------c s d ng tài li

K

B'K
.
B 'C '

B 'C '

).

a 1

I

a2

b2

c 2 3b 0 .

1.
------------i thích gì thêm.

H và tên thí sinh: ………………………....................................................….SBD: ...............................


ĐÁP ÁN ĐỀ OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2018 – 2019

TRƯỜNG THPT KIM LI£N

ĐIỂM

NỘI DUNG

C¢U
5

5

2

2 cos x.sin x  2sin x.cos x  sin 4 x

1

(3 điểm)

 2 cos x.sin x(cos 2 x  sin 2 x)(cos 2 x  sin 2 x)  sin 2 4 x
1
 sin 2 x.cos 2 x  sin 2 4 x  sin 4 x  sin 2 4 x
2



x

k

 4 x  k
4

sin 4 x  0






 k ,k  .
1   4 x   k 2  x 
sin 4 x 

2

1,5

1,5


24
2

 x  5  k 
24
2



6

5
4 x 
 k 2
6


Điều kiện xác định: x  0; x  9.
2

2

(2 điểm)

x2

x2
x
 x 
 x2 x 6
 x  2(3  x )  
 2.
 
3 x
3 x
 3 x  3 x
 x
3  x  2
 x  2 x  6


 x  8  2 7.
 x
x

x

3

 3  x  1


1,0

a) Ta có un31  aun3  a  1  un31  1  a un3  1 . Suy ra vn 1  avn .

1,0

Như vậy dãy số  vn  là cấp số nhân với công bội a nên nó là cấp số nhân lùi vô hạn.

1,0



3
(4,0 điểm)

b) Ta được v1  v2  ...  vn 





2 1  an
1 a





2 1  a



3
1

3
2

3
n

 u  u  ...  u  n 

lim u13  u23  ...  un3  n  4  lim
n





2 1 a
1 a

n

 4



2 1  an



1 a

2
2
1

4a .
1 a
1 a 1 a
2
3
.
T là phép thử ‘Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong số 25 học sinh’. Ta có :   C25

Vì 0  a  1 nên lim

1,0

1,0

1,0

Gọi A là biến cố : 3 học sinh được chọn luôn có học sinh dự thi môn Toán và học sinh dự thi 0,5
môn Anh. Ta có các trường hợp sau thuận lợi cho biến cố A :

4

(3,0 điểm)



Có 1 học sinh chọn môn Toán, 2 học sinh chọn môn Anh có : C61.C52 khả năng



Có 2 học sinh chọn môn Toán, 1 học sinh chọn môn Anh có : C62 .C51 khả năng



Có 1 học sinh chọn môn Toán, 1 học sinh chọn môn Anh, 1 học sinh chọn môn khác

2,0

(Văn, Tin, Sinh học, Lịch sử, Vật Lí, Hóa, Địa lý) có : C61.C51C141 khả năng.
 A  C61 .C52  C62C51  C61C51C141 . Vậy xác suất của biến cố A là P( A) 

1

A
555 111


.

2300 460

0,5


Đặt A ' B '  a; A ' D '  b; A ' A  c.

K
C'

D'

a) Ta có: A ' C  a  b  c.

F

N

Lại có: IE  IA  AD  DE

B'

A'
M'

  xa  b  (1  x)c.
5

(6,0 điểm)

Xét:

E





A ' C.IE  a  b  c .  xa  b  (1  x)c
2

2

3.0



2

  xa  b  (1  x)c   x  1  (1  x)  0.
Suy ra A ' C  IE.

A

DI . AC '

b) Ta có: cos 600 
Suy ra:

1  x

DI . AC '



2



C

D
M

( DA  AI )( AD  AB  AA ')
DI . AC '



B

I

1  x
1  x2 . 3

.

1
 x 2  8 x  1  0  x  4  15.
2

1,5

1 x . 3
c) Gọi M’ là trung điểm cạnh A’B’.
Trong ( A ' B ' C ' D ') : kẻ đường thẳng đi qua N và song song với C ' M ' cắt đường thẳng

B ' C ' tại K . Khi đó K là giao điểm của mặt phẳng (CMN ) với đường thẳng B ' C '.

Áp dụng định lí Ta-lét ta tính được:

Đặt P 

1

 a  1

2



4

b  2

2



B'K 5
 .
B 'C ' 2

8

 c  3

2

.

Ta thấy: a 2  b2  c 2  2a  4b  2c  6   a  1   b  2    c  1  0 , theo giả thiết
2

6

(2 điểm)

1,5

2

2

thì a 2  b 2  c 2  3b . Suy ra 3b  2a  4b  2c  6  0 hay 2a  b  2c  10  16 .
 x 2  y 2  2 xy
Với hai số x, y  0 ta có: 
 ( x 2  y 2 )( x  y )2  8 x 2 y 2 .
2
( x  y )  4 xy
1
1
8
Do đó: 2  2 
(1)
2
x

y
 x  y
Áp dụng (1) ta có:
1
4
8
1
1
8




;
.
2
2
2
2
2
2
 a  1  b  2   a  b  2   a  b  2   c  3  a  b  c  5 






2
2

2






2
8
8
8
16
.
P

 8.

2
2
2
2
2a  b  2c  10 
b
b


  c  3


 a   2

 a   c  5
2
2




Theo giả thiết và chứng minh trên thì 0  2a  b  2c  10  16 ,  P  1 .
Khi a  1, b  2, c  1 thì P  1 .

0,5

0,5

0,5

0,5

Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn được đủ điểm tối đa như đáp án qui định.
……………….HÕt………………...

2