“Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT trong dạy học Đại số và Giải tích .

1

Phi hp rốn luyn k nng gii toỏn phng trỡnh vi phỏt trin t duy
hm cho hc sinh THPT trong dy hc i s v Gii tớch ".

mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Nâng cao chất lợng dạy học nói chung, chất lợng dạy
học môn Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với
ngành Giáo dục nớc ta hiện nay. Một trong những khâu then
chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phơng pháp dạy học. Định hớng đổi mới phơng pháp dạy học đã
đợc chỉ rõ trong các văn bản có tính chất pháp quy của Nhà
nớc và ngành Giáo dục nớc ta. Có thể dẫn ra một vài văn bản
đã đợc ban hành trong những năm qua nh sau:
- Luật Giáo dục (1998) quy định: Phơng pháp giáo
dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp
học, môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng
vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
- Dự thảo chơng trình (1989) môn Toán nêu rõ: ...Góp
phần phát triển năng lực trí tuệ, t duy trừu tợng và trí tởng tợng không gian, t duy biện chứng, t duy hàm; đồng thời rèn
luyện các phẩm chất của t duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo.
Tuy nhận thức rõ đợc tầm quan trọng và định hớng đổi
mới phơng pháp đã đợc nêu ra ở trên nhng thực tế dạy học
hiện nay vẫn còn chịu ảnh hởng nhiều của quan niệm và phơng pháp dạy học xa cũ. Nhận định về vấn đề này đã có


2
không ít nhà nghiên cứu đa ra những ý kiến, đặt ra nhiều
vấn đề cho ngành Giáo dục và mỗi giáo viên suy nghĩ, tháo
gỡ. Sau đây là một số ý kiến nh vậy:

- ý kiến của GS. Hoàng Tụy: "Ta còn chuộng cách dạy
nhồi nhét, luyện trí nhớ dạy mẹo vặt để giải những bài toán
oái ăm, giả tạo; chẳng giúp gì mấy để phát triển trí tuệ mà
làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mỏi mệt và chán chờng".
- ý kiến của GS. Nguyễn Cảnh Toàn: Kiến thức, t duy,
tính cách con ngời chính là mục tiêu của giáo dục. Thế nhng,
hiện nay trong nhà trờng t duy và tính cách bị chìm đi
trong kiến thức".
1.2. Kiến thức và kỹ năng là hai mặt gắn bó hữu cơ
trong mỗi nội dung dạy học. Không thể nói đến vấn đề rèn
luyện kỹ năng thực hiện một loại hoạt động nào đó nếu
không chú ý trang bị kiến thức về lĩnh vực đó một cách
vững chắc. Ngợc lại, việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt
động trong mỗi lĩnh vực có tác dụng củng cố và mở rộng
kiến thức, giúp cho ngời học tìm thấy những tác dụng to lớn
của kiến thức học đợc trong việc giải quyết các tình huống
trong thực tiễn và trong khoa học.
Chủ đề phơng trình và bất phơng trình có vị trí
quan trọng trong chơng trình môn Toán THPT. Kiến thức và
kỹ năng về chủ đề này có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến
cuối cấp. Những kiến thức về phơng trình và bất phơng
trình còn là chìa khoá để giải quyết nhiều vấn đề thuộc
hầu hết các chủ đề kiến thức về Đại số, Giải tích và Hình
học, đặc biệt là Hình học giải tích. Vì vậy bên cạnh việc
giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề phơng trình,
bất phơng trình một cách đầy đủ theo quy định của ch-


3
ơng trình, việc rèn luyện kỹ năng giải phơng trình và bất

phơng trình cho học sinh có ý nghĩa quan trọng trong việc
nâng cao chất lợng dạy học nhiều nội dung môn Toán ở trờng
THPT.
Kiến thức hàm số có vai trò quan trọng trong toàn bộ chơng trình môn Toán phổ thông. Điều này đợc khẳng định
không chỉ ở nớc ta mà còn đợc đề cập đến trong nhiều ý
kiến của các nhà khoa học nớc ngoài. Ta có thể thấy đợc điều
này qua các ý kiến đợc trích từ [16] sau đây:
- ý kiến của Kơlanh khi khởi xớng phong trào cải cách
việc dạy học Toán ở trờng phổ thông đầu thế kỷ XX đã đề
nghị: Đa cái mới vào giáo trình toán phổ thông, lấy t tởng hàm
số và biến hình làm t tởng quan trọng nhất.

- Kiến nghị của

Hội nghị Quốc tế về giáo dục quốc dân họp tại Giơnevơ
(tháng 7 năm 1956) gửi các vị Bộ trởng Giáo dục các nớc nêu rõ:
Nên xây dựng chơng trình sao cho việc dạy Toán dựa trên các
cơ sở hàm số ...
- ý kiến của GS. Papy tại Hội nghị Quốc tế các nhà toán
học họp tại Matxcơva (tháng 8 năm 1966) đề nghị: Chơng
trình toán Trung học (cấp II và II) phải bao gồm: Tập hợp,
Quan hệ, Đồ thị, Nhóm, Không gian vectơ, Các yếu tố của
phép tính vi phân và tích phân.
ở Việt Nam, chơng trình môn Toán trong cải cách giáo
dục và các chơng trình đổi mới trong những năm gần đây
đều chú trọng đến kiến thức hàm số. Trong [24], GS. Nguyễn
Bá Kim đã cho rằng "Đảm bảo vị trí trung tâm của khái niệm
hàm số" là một trong "những t tởng cơ bản" của chơng trình
môn Toán bậc THPT. Khi phân tích t tởng cơ bản này tác giả
đã nhấn mạnh:

4
- Nghiên cứu hàm số đợc coi là nhiệm vụ xuyên suốt chơng trình bậc Phổ thông Trung học;
- Phần lớn chơng trình Đại số và Giải tích dành cho việc
trực tiếp nghiên cứu hàm số và công cụ khảo sát hàm số;
- Cấp số cộng và cấp số nhân đợc nghiên cứu nh những
hàm số đối số tự nhiên;
- Lợng giác chủ yếu nghiên cứu những hàm số lợng giác
còn phần công thức đợc giảm nhẹ;
Phơng trình và bất phơng trình đợc trình bày liên hệ
chặt chẽ với hàm số.
1.3. Gắn bó chặt chẽ với t tởng hàm số, t tởng biến
hình, t tởng về sự tơng ứng đơn trị giữa các tập hợp, các sự
vật và hiện tợng là vấn đề t duy hàm. Những đặc trng về t
duy hàm đợc các tác giả Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chơng,
Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dơng Thuỵ, Nguyễn Văn Thờng chỉ
ra trong [25]. Phát triển t duy hàm có ý nghĩa quan trọng
trong dạy học toán, nó vừa là yêu cầu của việc dạy học môn
Toán, vừa là điều kiện để nâng cao chất lợng dạy học nhiều
tuyến kiến thức môn Toán. Việc dạy học các kiến thức môn
Toán đợc trình bày theo t tởng hàm số có tác dụng tốt trong
việc phát triển t duy hàm cho học sinh đồng thời có thể rèn
luyện nhiều kỹ năng giải toán và ứng dụng kiến thức toán cho
học sinh trong sự kết hợp phát triển t duy hàm.
1.4. Có một số công trình nghiên cứu các biện pháp
nâng cao chất lợng dạy học nội dung Phơng trình, bất phơng
trình. Nhiều công trình nghiên cứu về phát triển t duy hàm
cho học sinh thông qua dạy học các chủ đề kiến thức cụ thể.
Dựa trên những kết quả nghiên cứu đó, chúng tôi tập trung

xét vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán phơng trình cho học


5
sinh trong sự phối hợp hữu cơ với vấn đề phát triển t duy
hàm.
Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: Phối
hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phơng trình với phát
triển t duy hàm cho học sinh THPT trong dạy học Đại số
và Giải tích ".
2. Mục đích nghiên cứu
Xác định mối quan hệ tơng hỗ giữa việc rèn luyện kỹ
năng giải phơng trình, bất phơng trình với việc phát triển t
duy hàm cho học sinh trong dạy học Đại số và Giải tích nhằm
góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn Toán ở trờng THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Hệ thống hoá các vấn đề lý luận về kỹ năng và
quan điểm rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh.
3.2. Hệ thống hoá các kỹ năng giải toán phơng trình,
bất phơng trình cần rèn luyện cho học sinh THPT.
3.3. Hệ thống hoá các thành tố của t duy hàm và quan
điểm phát triển t duy hàm cho học sinh trong dạy học toán.
3.4. Đề xuất quan điểm rèn luyện các kỹ năng giải toán
phơng trình, bất phơng trình trong sự phối hợp với việc phát
triển t duy hàm cho học sinh THPT thông qua dạy học Đại số
và Giải tích.
3.5. Thực nghiệm s phạm, kiểm tra tính khả thi và hiệu
quả áp dụng.
4. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở dạy học đúng chơng trình quy định, áp

dụng các phơng pháp dạy học và sử dụng các phơng tiện
hiện có, nếu trong quá trình dạy học giáo viên quan tâm
phối hợp giữa việc rèn luyện kỹ năng giải toán với việc phát


6
triển t duy hàm cho học sinh thì chất lợng dạy học môn Toán
(thể hiện qua khả năng giải toán phơng trình, bất phơng
trình của học sinh) đợc cải thiện.
5. Phơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các vấn đề về Tâm
lý học, Giáo dục học, Lý luận dạy học, Toán học, Triết học,
Thống kê trong giáo dục ... có liên quan đến đề tài.
5.2. Nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, Điều tra ...
5.3. Thực nghiệm s phạm.
6. đóng góp của luận văn
6.1. Hệ thống hoá các vấn đề lý luận liên quan đến đề
tài.
6.2. Đề xuất một số quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ
năng giải toán phơng trình với phát triển t duy hàm.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu
tham khảo, luận văn có 3 chơng:
Chơng 1: Một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài
1.1. Một số đổi mới về nội dung và phơng pháp dạy học
1.1.1. Một số đổi mới về nội dung
1.1.2. Đổi mới về phơng pháp dạy học
1.2. Kỹ năng và vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học
sinh
1.2.1. Khái niệm kỹ năng

1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh
1.3. T duy hàm và vấn đề phát triển t duy hàm cho học sinh
1.3.1. T duy hàm
1.3.2. Vấn đề phát triển t duy hàm thông qua dạy học
phơng trình


7
1.4. Kết luận chơng 1
Chơng 2: Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phơng
trình với phát triển t duy hàm cho học sinh THPT
2.1. Phân tích nội dung chủ đề Phơng trình trong môn
Toán THPT
2.1.1. Về chủ đề phơng trình, bất phơng trình
2.1.2. Các kỹ năng cần rèn cho học sinh khi giải toán phơng trình
2.2. Rèn kỹ năng giải toán phơng trình dựa vào các t tởng chủ
đạo của t duy hàm
2.2.1. Rèn kỹ năng vận dụng các dạng phơng trình mẫu
2.2.2. Rèn kỹ năng biến đổi phơng trình
2.2.3. Rèn kỹ năng giải phơng trình thông qua đánh giá
giá trị các biểu thức thành phần
2.2.4. Rèn kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát
biểu bài toán
2.2.5. Rèn kỹ năng giải phơng trình thông qua xét sự
biến thiên của hàm số
2.3. Phát triển t duy hàm cho học sinh thông qua giải toán phơng trình
2.3.1. Tìm miền xác định của tơng ứng hàm thông
qua giải toán phơng trình, bất phơng trình
2.3.2. Tìm giá trị vào, giá trị ra của một tơng ứng
thông qua giải toán phơng trình

2.3.3. Xét tính chất của tơng ứng hàm thông qua giải
toán phơng trình, bất phơng trình
2.3.4. Định hớng sử dụng phơng trình, bất phơng trình
trong quá trình lợi dụng tơng ứng hàm để giải quyết vấn
đề.


8
2.4. Kết luận chơng 2
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm

chơng 1

Một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài
1.1. Một số đổi mới về nội dung và phơng pháp dạy học

1.1.1.

Một số đổi mới về nội dung

Chơng trình sách giáo khoa (SGK) mới hiện nay đã có
những thay đổi về nội dung và cách trình bày nh:
- Đa thêm vào một số nội dung Toán học cho hoàn chỉnh
chơng trình THPT, nh Số phức, Thống kê, Tổ hợp, Xác suất
Sắp xếp nội dung chơng trình theo hệ thống để dễ dạy,
dễ học hơn nh phần toạ độ trong mặt phẳng ở chơng trình

lớp 12 đợc đa vào cuối lớp 10 giảm nhẹ phần các đờng cônic.
Đồng thời nhấn mạnh liên hệ giữa các phần khác nhau của chơng trình Toán ở các cấp, các lớp, giữa các môn học. Chẳng
hạn đa phần Đạo hàm xuống lớp 11 để giúp kịp thời cho dạy
và học môn Vật lý ở đầu lớp 12.
- Cách viết SGK nh từ trớc đến nay còn mang tính hàn
lâm: Thông báo kiến thức, trình bày các vấn đề quá lôgíc
chặt chẽ; đa ra nhiều các bài toán khó nên còn thiếu tính s
phạm. SGK cha thể hiện đợc phơng pháp dạy học tích cực.


9
Theo cách viết SGK và cách giảng dạy cũ, SGK chỉ đơn
thuần là một tài liệu khoa học dùng cho giáo viên, nội dung
các tiết dạy thờng đợc viết cô đọng, đầu tiên là nêu định
nghĩa của một khái niệm mới, sau đó là các tính chất và
chứng minh, rồi các định lý và chứng minh, cuối cùng là các
ví dụ và các bài toán. Theo định hớng đổi mới, SGK phải
trình bày và hớng dẫn nh thế nào đó để cho nếu không có
thầy giáo, học sinh cũng có thể tự học đợc, cố nhiên là khó
khăn và vất vả hơn.
SGK mới nêu nhiều câu hỏi, đề ra nhiều hoạt động tại
lớp mà giáo viên có thể thay đổi cho thích hợp để phát huy
tính tích cực học tập của học sinh, học sinh đợc suy nghĩ và
hoạt động nhiều hơn. Nhiều câu hỏi đặt ra nhằm giúp học
sinh nhớ lại một kiến thức nào đó hoặc để gợi ý, hoặc để
định hớng cho những suy nghĩ của họ Các câu hỏi này nói
chung là dễ, vì thế không đa ra câu trả lời trong SGK.
SGK theo tinh thần mới tinh giảm những nội dung phức
tạp, giảm bớt những suy luận quá hình thức, quá trừu tợng,
giảm nhẹ phần lý thuyết, chủ yếu là giảm nhẹ các chứng

minh của các tính chất hoặc định lý. Một số tính chất quá
hiển nhiên không nêu ra, các định lý chứng minh quá phức
tạp thì chỉ nêu những trờng hợp cụ thể để kiểm chứng mà
không cần phải chứng minh.
SGK theo tinh thần mới tăng cờng những nội dung thực
tiễn, thiết thực, những điều gần gũi với cuộc sống của học
sinh trong trờng hợp có thể. Chẳng hạn, trong phần véctơ, có
thể đa thêm những ứng dụng trong Vật lý: Tổng hợp lực,
phân tích lực


10
Ngoài ra, SGK mới còn đa thêm các phần nh: Có thể em
cha biết, em có biết, bài đọc thêm, để nói thêm những chi
tiết hay, thú vị gây hứng thú học tập cho học sinh.
SGK mới đã chỉ ra các hoạt động tại từng thời điểm
để thầy, trò xem xét và giải quyết. Những hoạt động này
rất đa dạng, có thể là ôn lại kiến thức cũ, đặt vấn đề cho
kiến thức mới, qua các ví dụ cụ thể gợi ý phơng pháp giải
quyết vấn đề hay bài toán đặt ra, thực hành áp dụng trực
tiếp các công thức nêu trong lý thuyết. Cách thức thực hiện
các hoạt động này cũng rất đa dạng: Có thể thầy làm
hoặc cho học sinh thực hiện, hoặc nêu thành vấn đề để
cả lớp cùng thảo luận tìm cách giải quyết.
Tóm lại so với sách giáo khoa cũ thì sách giáo khoa lần
này không phải thay đổi nhiều về nội dung mà chủ yếu
thay đổi cách trình bày để học sinh học tập một cách tích
cực hơn.
Những sự thay đổi trên của sách giáo khoa hiện nay
đã tạo điều kiện để học sinh học tập một cách tích cực

hơn, từ đó giáo viên có thể phối hợp rèn luyện kỹ năng với
việc phát triển t duy hàm cho học sinh qua dạy học Toán nói
chung và dạy học chủ đề phơng trình nói riêng.
1.1.2. Đổi mới phơng pháp dạy học
Thực tế dạy học Toán lâu nay cho thấy, chúng ta chỉ coi
trọng đến mục đích truyền thụ tri thức, thờng thì giáo viên
đa ra các định lý, tính chất rồi giải thích cho học sinh
thông hiểu chứng minh, vận dụng định lý, tính chất. Phơng
pháp dạy học đợc sử dụng phổ biến trong nhà trờng là phơng
pháp thuyết trình tràn lan, thầy truyền đạt kiến thức áp
đặt, dới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi phát hiện, trò tiếp


11
thu thụ động. Đa số giáo viên chỉ nghĩ đến việc dạy đúng,
dạy đủ, dạy nội dung gì chứ cha nghĩ đến cách dạy nh thế
nào? Phần lớn khi giảng dạy họ coi mọi đối tợng học sinh là nh
nhau nên giảng cùng một nội dung, cùng một phơng pháp và
tự cho là hoàn thành nhiệm vụ. Ngoài ra kiểu đánh giá và thi
cử đã ảnh hởng rõ rệt tới phơng pháp giảng dạy, đánh giá và
thi cử nh thế nào thì sẽ có lối dạy tơng ứng đối phó nh thế
ấy, dạy và học theo kiểu "Thi gì - học nấy".
Về thực trạng này, nhà toán học Nguyễn Cảnh Toàn đã
nhận định: Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đa ra kiến
thức (khái niệm, định lý) rồi giải thích, chứng minh, trò cố
gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, hiểu
chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức
định lý để tính toán, chứng minh.
GS. Hoàng Tụy phát biểu: Ta còn chuộng cách dạy nhồi
nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải các bài toán oái

oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy đến việc phát triển trí tuệ
mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán
nản ".
Tóm lại, với kiểu dạy học nh vậy tạo thói quen "Thầy giảng
- Trò ghi", thầy truyền thụ kiến thức còn trò thụ động tiếp
thu kiến thức, điều thầy nói đợc coi là tuyệt đối đúng,
những gì thầy giảng thờng không có sự tranh luận giữa thầy
và trò, không có sự phản hồi, thông tin ngợc từ phía học sinh
trong bài giảng. Kiểu giảng dạy "một chiều" nh vậy làm giảm
hiệu suất tiếp thu kiến thức cũng nh hoạt động tự giác, tích
cực, sáng tạo của học sinh; không kiểm soát đợc việc học. Do
đó việc đổi mới phơng pháp dạy học đợc xác định là một


12
trong những nội dung chủ yếu trong đổi mới giáo dục ở nớc
ta hiện nay.
Quan điểm đổi mới phơng pháp dạy học bao gồm sự
đổi mới trên các phơng diện: cách dạy, cách học, cách tổ
chức và cách kiểm tra đánh giá. Cốt lõi của đổi mới dạy và
học là hớng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động, chống
lại thói quen học tập thụ động. Chuyển từ dạy học lấy giáo
viên làm trung tâm sang dạy học lấy học sinh làm trung tâm,
làm cho học sinh suy nghĩ nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn
trong một tiết học. Thay vì lối dạy truyền thống truyền thụ
một chiều, thuyết trình, giảng giải các kiến thức sẵn có,
giáo viên cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng
tạo, tự học, kỹ năng vận dụng vào thực tiễn, phù hợp với đặc
điểm từng học sinh; tác động đến tình cảm, đem lại niềm
vui, tạo đợc sự hứng thú học tập cho học sinh, tận dụng đợc

công nghệ mới nhất áp dụng trong dạy và học.
Dạy học theo quan điểm mới giáo viên không chỉ đơn
giản cung cấp kiến thức mà còn phải thiết kế, tổ chức, hớng
dẫn học sinh hoạt động để học sinh tích cực tham gia vào
các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo. Từ
đó tự lực khám phá kiến thức mình cha biết chứ không phải
tiếp thu thụ động những kiến thức sẵn có. Giáo viên cần cài
đặt những tình huống thực tế để học sinh trực tiếp quan
sát, làm thí nghiệm, thảo luận, giải quyết theo cách riêng của
bản thân, từ đó học sinh lĩnh hội đợc kiến thức mới.
Nh vậy, chức năng và vai trò của giáo dục ngày nay đã
đợc "chuyển sang vai trò nhà tổ chức giáo dục", phơng pháp
dạy học mới đã chú trọng đến việc phát huy tối đa tính tích
cực, độc lập của học sinh, đề cao phơng pháp tự học,


13
"chuyển quá trình giáo dục sang quá trình tự giáo dục". Xóa
bỏ cách học cũ không kích thích đợc học sinh suy nghĩ, tìm
tòi, rèn luyện trí thông minh, chuyển đổi chức năng từ thông
báo, tái hiện sang tìm tòi. "Để phát huy tối đa tính tích cực
học tập của học sinh, tốt nhất là tổ chức tốt những tình
huống có vấn đề, đòi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh
luận giữa những ý kiến trái ngợc" (Tài liệu Bồi dỡng giáo viên
2006).
Đổi mới phơng pháp dạy học không chỉ đổi mới cách
dạy, cách học, cách tổ chức hoạt động mà còn đổi mới cả
cách kiểm tra đánh giá. Nội dung kiểm tra, đánh giá phải
toàn diện, bao gồm cả kiến thức, kỹ năng và phơng pháp có
trong chơng trình học, khắc phục tình trạng "học tủ" đối

phó với thi cử, ra đề kiểm tra nặng về tính toán, mẹo vặt
nh trớc đây.
Việc đổi mới phơng pháp dạy học dựa trên những thành
tựu của Tâm lý học hiện đại, Lý luận dạy học cho rằng, nhân
cách của học sinh đợc hình thành và phát triển thông qua
các hoạt động chủ động, có ý thức. Do đó để đạt đợc mục
đích dạy học thì cần phải đặt học sinh vào vị trí của chủ
thể hoạt động trong quá trình dạy học, thông qua hoạt động
tích cực của bản thân mà nắm đợc kiến thức mới, kỹ năng
mới đồng thời nắm đợc phơng pháp "làm ra" những kiến
thức, kỹ năng đó, không theo những khuôn mẫu có sẵn, bộc
lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo. Qua hoạt động học sinh
không những chiếm lĩnh đợc kiến thức mới mà còn hình
thành và phát triển năng lực.
Tuy nhiên, cần phải nói thêm rằng đổi mới phơng pháp dạy
học không có nghĩa là gạt bỏ, phủ nhận hoàn toàn các ph-


14
ơng pháp truyền thống mà cần kế thừa, phát triển các
mặt tích cực của hệ thống phơng pháp dạy học quen
thuộc, đồng thời cần học hỏi, vận dụng một số phơng
pháp mới, theo quan điểm đổi mới phù hợp với điều kiện
dạy và học ở từng vùng, từng miền ở nớc ta.
1.2. Kỹ năng và vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học
cho học sinh
1.2.1. Khái niệm kỹ năng
Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học s phạm thì: Kỹ
năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phơng pháp) để giải quyết một nhiệm vụ mới [19, tr.131].
Còn Tâm lý học đại cơng cho rằng: Kỹ năng là năng lực

sử dụng các dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng
lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất
của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận
hay thực hành xác định[31, tr.149].
Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: "Kỹ năng là khả năng
vận dụng những kiến thức thu nhận đợc trong một lĩnh vực
nào đó vào thực tế"[44, tr. 426].
Tóm lại, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức vào giải
quyết nhiệm vụ mới. Trong thực tế dạy học, học sinh thờng
gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức,
phơng pháp...) vào giải quyết các bài tập cụ thể. Học sinh thờng khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra
khỏi đối tợng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính,
mối quan hệ vốn có giữa kiến thức và đối tợng. Sở dĩ nh vậy
là do kiến thức không chắc chắn, khái niệm trở nên chết
cứng, không gắn liền cơ sở của kỹ năng.
Một sự vật có thể có nhiều thuộc tính bản chất khác
nhau, những thuộc tính bản chất về các mặt phù hợp với
những hoạt động, mục đích nhất định. Do đó cần lựa chọn


15
những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trớc hành động,
để hành động biến đổi đối tợng đạt mục tiêu (tất nhiên
mục tiêu đặt ra thu đợc thông tin mới). Sự dễ dàng hay khó
khăn khi vận dụng kiến thức (hình thành kỹ năng) tùy thuộc
vào khả năng nhận dạng kiểu bài toán, phát hiện, nhìn thấy
trong các dữ liệu đã cho của bài toán, có những thuộc tính
và những quan hệ là bản chất để thực hiện giải bài toán đã
cho.
Theo các nhà Tâm lý học sự hình thành kỹ năng chịu

ảnh hởng của các yếu tố sau:
Nội dung của bài toán đặt ra, đợc tách ra một cách rõ ràng
hay che đậy quan hệ bản chất của bài toán bởi các dữ liệu xuất
phát, làm lệch hớng t duy.
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
1
1
9
3
1
cos4x cos2x
cos4x cos2x
16
2
16
2
2
Mới nhìn dễ gây cho học sinh tâm lý hoảng sợ vì nghĩ
là phơng trình vô tỉ lợng giác nhng chịu khó suy nghĩ, xem
xét các biểu thức dới dấu căn, xét thấy các biểu thức dới căn là
các bình phơng đúng:
2

1
1
1

cos4x cos2x
cosx
16

2
4

2

9
3
3

cos4x cos2x
cosx
16
2
4

Nh vậy, tính chất vô tỉ trong bài toán chỉ là cái áo ngụy
trang, bởi vì
cos2x

A A 2 , phơng trình đã cho có dạng:

1
3 1
cos2x . Việc lột bỏ hình thức bề ngoài của
4
4 2


16
bài toán, phát hiện ra mối quan hệ bản chất ẩn chứa trong

bài toán, giúp học sinh xác định đúng bản chất của bài toán.
Để phát hiện ra mối quan hệ bản chất chứa trong bài
toán, học sinh chỉ nhìn thấy, phân tích những yếu tố riêng
biệt của bài toán mà cần thâu tóm toàn bộ những yếu tố có
mặt trong bài toán.
Ví dụ 2: Giải phơng trình:

26 15 3

x







x



x

2 7 4 3 2 2 2 3 1

Cần phải quan sát, phân tích tất cả các số hạng có mặt
trong phơng trình, từ đó mới phát hiện đợc mối quan hệ bản
chất có mặt trong bài toán đó là:

26 15 3 2 3
2 3 1
2 3
7 4 3

x

2 3

x

2x

3x

x

x

Khả năng khái quát, mở rộng ảnh hởng không nhỏ đến
việc hình thành kỹ năng. Tâm lý và thói quen tâm lý cũng
là một yếu tố ảnh hởng đến sự hình thành kỹ năng. Khi học
sinh hăng say, hứng thú trong học tập sẽ giúp họ dễ dàng
hình thành kỹ năng, còn ngợc lại sẽ cản trở việc học tập. Thói
quen tâm lý là một trở ngại thờng gặp trong học tập. Nguyên
nhân chủ yếu hình thành thói quen tâm lý đó là t duy của
con ngời có tính phơng hớng. Một loại kiến thức hoặc phơng
pháp cũ nào đó dùng nhiều lần, ấn tợng sâu làm cho học sinh

không bứt ra khỏi sự ràng buộc của thói quen t duy cũ để mở
ra một hớng suy nghĩ mới.


17
Ngoài ra, một nguyên nhân nữa hình thành thói quen
tâm lý đó là nhận thức chỉ dừng lại ở bề mặt, không quan
sát phân tích đặc điểm của từng bài toán cụ thể.
Ví dụ 3: Giải phơng trình:

2 2x 1 x
2

1
0
2

Nếu chỉ quan sát trên bề mặt thông thờng học sinh sẽ
chỉ nghĩ đến việc khai triển rồi đơn giản đa ra phơng
trình bậc hai:





4 2x2 4 2 1 x 2

1
0 và tìm nghiệm theo công
2

thức quen thuộc rất cồng kềnh, phức tạp:

x12

4





2
1

2 1 4 2 1 4.4 2 2
2 . . .


2.4 2

Tuy nhiên, nếu chú ý quan sát, phân tích đặc điểm
bài toán thấy giữa các hệ số hình thành tỉ lệ, thực hiện
biến đổi đơn giản các hệ số đa phơng trình về dạng:
a x b x c 0 :
2 2x 1
2

1
2x 1 0
2

2x 1 0

1

2x 1 2 2x 1 0
2 2x 1 1 0
2


2
Nh vậy, thói quen tâm lý là một thứ tiêu cực, làm cho t
duy trở nên cứng nhắc, bảo thủ và cản trở quá trình học tập
của học sinh.
1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học
sinh


18
Trong các mục đích riêng của môn Toán ở trờng phổ
thông thì việc truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ
sở vì các mục đích khác muốn thực hiện đợc phải dựa trên
mục đích này. Và kiến thức về một mặt nào đó sẽ không đợc củng cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn cũng nh vào các
ngành khoa học khác, nếu không chú trọng việc rèn luyện kỹ
năng thực hiện các hoạt động tơng ứng.
Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng
toán học nói riêng là một yêu cầu quan trọng, đảm bảo mối
liên hệ giữa học với hành, điều này đã đợc nhiều tác giả đề
cập nh:
Suy nghĩ tức là hành động ( J. Piaget)

Cách tốt nhất để tìm hiểu là làm ( Kant)
Học để hành, học và hành phải đi đôi ( Hồ Chí
Minh)
Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học
thuộc lòng khái niệm, định nghĩa, định lý mà không biết
vận dụng hay vận dụng không thành thạo vào việc giải bài
tập.
Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng t duy và tính cách cho
học sinh ( Nguyễn Cảnh Toàn). Việc hình thành và rèn luyện
kỹ năng giải toán cho học sinh là một trong những yêu cầu cơ
bản và cần thiết của hoạt động dạy toán, giúp học sinh hiểu
sâu sắc kiến thức toán trong trờng phổ thông, đồng thời rèn
luyện cho học sinh các thao tác t duy, các hoạt động trí tuệ.
Từ đó, bồi dỡng các phẩm chất trí tuệ, phát triển năng lực
giải toán cho học sinh.
Sự hình thành kỹ năng đó là sự nắm vững một hệ
thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ


19
những thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và
đối chiếu chúng với những hành động cụ thể.
Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng những con đờng
khác nhau nh:
Con đờng thứ nhất: Sau khi cung cấp, truyền thụ cho
học sinh vốn tri thức cần thiết thì yêu cầu học sinh vận dụng
tri thức đó để giải các bài toán liên quan theo mức độ tăng
dần.
Con đờng thứ hai: Dạy những dấu hiệu đặc trng, từ đó
có thể định hớng một số dạng bài toán và các thao tác cần

thiết để giải dạng toán đó.
Con đờng thứ ba: Dạy học sinh các hoạt động tâm lý
cần thiết đối với việc vận dụng tri thức.
Việc hình thành và rèn luyện cho học sinh cần đợc tiến
hành trên các bình diện khác nhau.
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán, thể hiện
rõ dới dạng giải bài tập toán.
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học
khác nh vật lý, hoá học.
- Kỹ năng vận dụng vào đời sống.
Có thể nói, bài tập toán chính là ''mảnh đất'' để rèn
luyện kỹ năng toán. Do đó, để rèn luyện kỹ năng toán cho
học sinh, giáo viên cần tăng cờng hoạt động giải toán (đây
cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán). Cụ thể hơn
thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng toán cho
học sinh cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau:
* Cần hớng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét
ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa


20
chúng. Nói cách khác, hớng cho học sinh biết cách phân tích
đặc điểm bài toán.
Ví dụ 1: Giải bất phơng trình





x1

2x 3



50 3x 12

(1)

Nếu giải bài toán này theo phơng pháp thông thờng, tức
dùng biến đổi tơng đơng, thì sẽ tơng đối phức tạp.
Ta nhận thấy, tổng các bình phơng các căn thức ở vế
trái là một số không đổi:




2

x1


2

2x 3

50 3x

2

48

Và vế trái của (1) có dạng a1b1 + a2b2 + a3b3 trong bất
đẳng thức Bunhiakốpxki.
Từ đó,
Bunhiakốpxki

ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng

thức

để

xem

giải

quyết

bài

toán:

Nếu

ta

a1 1 x; a2 2x 3;a3 50 3x; b1 b2 b3 1 thì ta có:

1. 1 x 1.





2x 3 1. 50 3x 12 12 12 48

1 x 2x 3 50 3x 12
Tức là (1) luôn đúng.
Vậy nghiệm của bất phơng trình đã cho chính là điều
3
50
kiện cho các căn thức có nghĩa: x
2
3
* Hớng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để
giải quyết các bài tập, các đối tợng cùng loại.
* Xác lập đợc mối liên quan giữa bài tập mô hình khái
quát và các kiến thức tơng ứng.
Ngoài ra, còn tạo nhu cầu hớng thú cho học sinh, khắc phục
ảnh hởng tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện
ba mặt sau:


21
+ Nhìn bài toán dới nhiều khía cạch khác nhau, từ

đó so sánh các cách giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận
dụng hợp lý kiến thức.
+ Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của
bài toán
Ví dụ 2: Giải bất phơng trình






Nếu để ý mối liên hệ:
x1

2x 3



50 3x 12





2

2

x1

2x 3

50 3x



2

48

là một hằng số; làm ta liên hệ tới tích vô hớng. Có thể xem vế
trái là tích của hai véc tơ còn vế phải là tích các độ dài của
chúng. Với hớng suy nghĩ này, lời giải bài toán khá độc đáo.
Điều kiện để bất phơng trình có nghĩa là:


x 1

3
x

2
50
x

3
Đặt:

3
50

x
2
3

r
u x 1, 2x 3, 50 3x
r
v 1, 1, 1
rr
u.v x 1 2x 3 50 3x
r
u x 1 2x 3 50 3x 48
r
v 3
r r
u . v 12





Từ góc độ hình học để hiểu bất phơng trình thì vấn
rr r r
đề trở nên rõ ràng. Bài toán chuyển về chứng minh u.v u . v
. Đây là một bất đẳng thức đúng với tích vô hớng của hai


22
véc tơ. Vậy nghiệm của bất phơng trình là những giá trị
của x mà bất phơng trình có nghĩa tức là:

3
50
x .
2
3

Nh vậy, các cách giải hay, độc đáo đều gắn liền với
đặc điểm của từng bài. Do đó cần phải quan sát kỹ và chú
ý đầy đủ mới có thể nhìn ra đặc điểm ẩn sâu trong bài
toán.
+ Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong
khi giải toán. Học sinh không chỉ gặp những bài toán đơn
giản, tuân theo phơng pháp và các bớc làm rõ ràng mà còn
gặp khá nhiều bài phức tạp, không có phơng pháp sẵn. Đòi
hỏi phải suy nghĩ tìm cách giải ngắn gọn, chặt chẽ độc
đáo.
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
(x2 5x + 3)(2x2 + 5x 1) = (x2 + 5x + 3)(2x2 5x -1)
Khi gặp bài toán này, thông thờng học sinh nhân các số
hạng với nhau, sau đó đơn giản rồi giải, nh vậy sẽ rất phiền
phức. Chăm suy nghĩ, chú ý đến đặc điểm phơng trình,
các hệ số có mặt ở hai vế phơng trình, nghĩ tới cách học
cấp phơng trình,dùng phơng pháp xác định hệ số để giải.
Đặt a = x2 - 5x + 3; b = 2x2 + 5x -1.
Phơng trình trở thành: ab = ( a + 10x)(b 10x)
Rút gọn đợc: - 100x2 + 10x(b a) = 0
x 2

2

Suy ra : x = 0; b a = 10x x 4 0
x 2

Hoặc cũng có thể đặt a = x2 + 3; b = 2x2 1.


23
Không dừng lại ở cách giải này, tiếp tục suy nghĩ, xem
xét phân tíchđặc điểm phơng trình. Phơng trình cho ở
dạng tích nên có thể biến đổi thành dạng tỉ lệ:
x2 5x 3 2x2 5x 1

x2 5x 3 2x2 5x 1

(2)

Vậy có thể dùng tính chất tỉ lệ thức để giải phơng
trình này đợc không? Với hớng suy nghĩ này, ta có lời giải bài
toán khá độc đáo:
áp dụng tính chất tỉ lệ thức:
b c a b c d
2x2 6 4x2 2
x2 3 2x2 1



đợc

a d b a c d
10x
10x
x
x
Giải đợc: x 0; x 2; x 2
Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học
thì việc rèn luyện kỹ năng đóng một vai trò hết sức quan
trọng, góp phần bồi dỡng t duy toán học cho học sinh.
1.3. T duy hàm và vấn đề phát triển t duy hàm
cho học sinh
1.3.1. T duy hàm
Trớc hết hãy bàn về thuật ngữ t duy hàm, t duy hàm tất
nhiên không phải là thuật ngữ toán học, t duy là một khái
niệm Tâm lý còn hàm là một khái niệm toán học, hàm ở
đây không có nghĩa là hàm số mà còn có thể là một sự tơng ứng giữa các phần tử của hai tập hợp nào đó.
Cho đến nay vẫn cha có một định nghĩa thống nhất,
chính thức về t duy hàm. Theo Koliagin định nghĩa t duy
hàm nh sau: T duy hàm là một loại hình t duy đặc trng bởi
việc nhận thức đợc tiến trình những sự tơng ứng riêng và
chung giữa các đối tợng toán học hay giữa các tính chất của
chúng (kể cả kỹ năng vận dụng chúng) [30].


24
Còn Trần Thúc Trình và Phạm Đức Quang cho rằng: T duy
hàm là các hoạt động trí tuệ liên quan đến sự tơng ứng
giữa các phần tử của một, hai hay nhiều tập hợp, phản ánh

mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử của tập hợp
đó, trong sự vận động của chúng.
Nguyễn Bá Kim thì thay vì đa ra định nghĩa t duy
hàm, đã đa ra các hoạt động đặc trng cho nó, ông quan
niệm t duy hàm đặc trng bởi các hoạt động phát hiện, thiết
lập, nghiên cứu và lợi dụng các sự tơng ứng.
Nh vậy, t duy hàm là hoạt động trí tuệ liên quan đến
sự nghiên cứu những quy luật của sự vật, trong sự biến đổi
sinh động của chúng, trong sự phụ thuộc lẫn nhau của
chúng.
Với cách hiểu này, t duy hàm không chỉ cần đối với nhà
khoa học mà nó cũng rất cần thiết đối với ngời lao động, nó
là yếu tố quan trọng trong văn hoá Toán học giúp ngời lao
động tìm ra quy luật trong tự nhiên, xã hội và t duy. Chẳng
hạn nh sản phẩm của t duy hàm thể hiện qua câu ca dao
Chuồn chuồn bay thấp thì ma, bay cao thì nắng, bay vừa
thì râm thể hiện sự tơng ứng giữa độ cao và thời tiết.
1.3.2. Vấn đề phát triển t duy hàm cho học sinh
thông qua dạy học phơng trình
Trong dạy học toán học ở trờng việc phát triển t duy hàm
cho học sinh không có nghĩa là thầy lên lớp một bài giảng về
t duy hàm. Nhiệm vụ t duy hàm không tồn tại độc lập so với
nhiệm vụ truyền thụ kiến thức. Muốn phát triển t duy hàm
thầy giáo phải thông qua kiến thức đã quy định, trong và
trên cơ sở đó tìm ra giải pháp phát triển t duy hàm cho học
sinh, phát triển t duy hàm là mục đích kép.


25
Thực tiễn giáo dục t duy hàm cho học sinh phổ thông

gặp nhiều khó khăn nh : Trình độ học sinh còn hạn chế,
không đồng đều, khối lợng kiến thức nhiều trong khi số tiết
dành cho bộ môn Toán lại không nhiều. Những tri thức về hoạt
động t duy hàm không đợc qui định rõ ràng trong chơng
trình nên không đợc giảng dạy một cách tờng minh. Mặt
khác, hầu hết giáo viên phổ thông nắm về t duy hàm cha
đầy đủ và cũng cha thấy đợc tầm quan trọng của nó trong
dạy học. Trong dạy học việc xem xét các đối tợng toán học
một cách cô lập, trong trạng thái tĩnh tại, rời rạc. Cha thấy hết
những mối liên hệ phụ thuộc hoặc mối quan hệ nhân quả
làm cho học sinh lúng túng trong việc giải quyết các bài toán.
Bên cạnh đó, các tài liệu viết về vấn đề này nói chung còn
hạn chế, khó tiếp cận, gây cho giáo viên và học sinh không ít
khó khăn.
Qua phiếu thăm dò, trao đổi với các giáo viên có kinh
nghiệm, dạy một số tiết để thăm dò rút ra những khó khăn
của giáo viên, học sinh khi tiếp cận các bài toán phơng trình,
bất phơng trình và hệ phơng trình do thiếu giáo dục các
thành tố t duy hàm:
- Xác lập sự tơng ứng;
- Nhìn nhận sự vật trong trạng thái vận động và biến
đổi;
- Đặt sự vật này trong mối liên hệ sự vật kia theo các
quan hệ nhân quả, phụ thuộc.
Các khó khăn chủ yếu là:
1. Học sinh không biết cách phân chia các trờng hợp
riêng khi đứng trớc một bài toán cụ thể;