Điều khiển hệ pendubot dùng kỹ thuật điều khiển trượt

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.29 MB, 93 trang )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TP. HCM

---------------------------

NGUYỄN HỒNG PHÚC

ĐIỀU KHIỂN HỆ PENDUBOT DÙNG KỸ THUẬT
ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành : KỸ THUẬT CƠ ĐIỆN TỬ
Mã số ngành: 60520114

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TP. HCM

---------------------------

NGUYỄN HỒNG PHÚC

ĐIỀU KHIỂN HỆ PENDUBOT DÙNG KỸ THUẬT
ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT
LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành: KỸ THUẬT CƠ ĐIỆN TỬ
Mã số ngành: 60520114

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THANH PHƯƠNG

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu
trong Luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào
khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này
đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Học viên thực hiện Luận văn

Nguyễn Hồng Phúc

LỜI CÁM ƠN
Để hoàn thành chương trình cao học và thực hiện được đề tài này, tác giả đã nhận
được sự hướng dẫn, giúp đỡ nhiệt tình từ Quý thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình.
Trước hết, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Thanh Phương, người
đã dành nhiều thời gian và tâm huyết để hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập và
thực hiện luận văn này.
Tác giả chân thành cảm ơn Quý thầy cô khoa Cơ điện tử Trường Đại học Công
nghệ Thành phố Hồ Chí Minh đã cung cấp kiến thức và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả
thực hiện đề tài.
Xin cảm ơn Quý thầy cô phòng Quản lý khoa học – Đào tạo sau đại học Trường
Đại học Công nghệ Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện học tập tốt nhất cho tôi trong
suốt quá trình học tập tại Trường.
Chân thành gửi lời cảm ơn đến Ban lãnh đạo Trường Trung Cấp Kinh Tế - Kỹ

Thuật Nguyễn Hữu Cảnh và các thầy cô đồng nghiệp nơi công tác, đã giúp đỡ và tạo mọi
điều kiện để tác giả hoàn thành tốt khóa học này.
Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã động viên về vật
chất cũng như tinh thần cho tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Xin trân trọng biết ơn!
Người thực hiện
NGUYỄN HỒNG PHÚC

TÓM TẮT
Con lắc quay Pendubot là đối tượng có độ phi tuyến cao là đại diện tiêu biểu cho hệ
thống có một ngõ vào nhiều ngõ ra SIMO (Single–Input–Multi–Output). Pendubot bao
gồm hai thanh quay trên hai khớp nối. Hai thanh lần lượt là vai và khủy, khớp vai là khớp
nhận kích thích và khớp khủy là khớp bị động. So với các hệ thống thông thường có một
ngõ vào một ngõ ra SISO (Single–Input– Single –Output), bộ điều khiển cho hệ SIMO có
cấu tạo phức tạp hơn hẳn.
Mục tiêu của luận văn là điều khiển pendubot di chuyển từ vị trí ổn định hướng xuống, lên
vị trí không ổn định đảo ngược và cân bằng nó theo phương thẳng đứng. Bộ điều khiển
trượt đa bậc sẽ được xây dựng để điều khiển hệ thống con lắc quay SIMO.
Mô hình toán của đối tượng và bộ điều khiển trượt đa bậc sẽ được xây dựng và mô phỏng
bằng phần mềm Matlab/Simulink. Từ kết quả mô phỏng, ta sẽ chứng minh được bộ điều
khiển trượt đa bậc có thể điều khiển tốt đối tượng SIMO Pendubot. Đây là cơ sở để ta áp
dụng bộ điều khiển vào mô hình thật.

ABSTRACT
Pendulum Robot (Pendubot) is a nonlinear object and it is representative of a Single–
Input–Multi–Output system (SIMO). Pendubot includes two rotary bars on two joints.
Two bars are shoulder and elbow respectively, shoulder joint is received the stimulus and
elbow joint is a passive joint. Compared with the normal system – a Single–Input–Single–

Output system (SISO), SIMO system controller is designed with much more complex.
The objective of the thesis is control pendubot to move from stable downward position to
unstable inverted position and balance it vertically. The multi-level sliding controller will
be built to control the pendulum Robot SIMO system.
Mathematical model of the object and multi-level sliding controller will be built by
simulator software Matlab / Simulink. From the simulation results, we will demonstrate
that the multi-level sliding mode controller can control SIMO Pendubot subject. This is
our basis for applying the model in real control.

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
LỜI CÁM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
TÓM TẮT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
ABSTRACT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i v
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .v
LỜI MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1 TỔNG QUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.1. Tổng quan chung về lĩnh vực nghiên cứu, kết quả nghiên cứu trong và ngoài
nước đã công bố. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
1.2.

Mục tiêu, khách thể và đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

1.3.

Nhiệm vụ của đề tài và phạm vi nghiên cứu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4.

Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

Chương 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1. Điều khiển trượt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2
Điều khiển trượt đa bậc cho hệ thống SIMO . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 38
Chương 3 MÔ HÌNH TOÁN HỌC PENDUBOT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Chương 4 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN CHO PENDUBOT . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1. Thiết kế bộ điều khiển trượt cho hệ thống . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 53
4.2. Phân tích ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
Chương 5 MÔ PHỎNG
5.1
Mô phỏng luật điều khiển hệ thống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
5.2
Hiện tượng chattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3
Nhiễu trắng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Chương 6 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.1
Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2
Hướng phát triển luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 5.1: Các thông số của Pendubot

Bảng 5.2: Giá trị của các thông số q1 , q2 , q3 , q4 , q5
Bảng 5.3: Biên độ hiện tượng chattering của các tín hiệu hệ thống
Bảng 5.4: Biên độ hiện tượng chattering của các tín hiệu hệ thống
khi giảm hệ số η 2
Bảng 5.5: Biên độ hiện tượng chattering khi thay hàm signum
bằng hàm saturation
Bảng 5.6: Biên độ hiện tượng chattering của các tín hiệu hệ thống
khi giảm hệ số η 2 và thay hàm signum bằng hàm saturation
Bảng 5.7: So sánh biên độ của hiện tượng chattering của các
tín hiệu hệ thống
Bảng 5.8: Biên độ dao động của các tín hiệu trong hệ thống
khi bị ảnh hưởng của nhiễu với cường độ thấp
Bảng 5.9: Biên độ dao động của các tín hiệu trong hệ thống
khi bị ảnh hưởng của nhiễu với cường độ cao
Bảng 5.10: Biên độ dao động của các tín hiệu hệ thống khi
có nhiễu tác dụng trong hai trường hợp

Trang 61
Trang 61
Trang 69
Trang 72
Trang 76
Trang 79
Trang 80
Trang 83
Trang 85
Trang 86

DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH

Hình 2.1: Quĩ đạo trạng thái ở chế độ trượt
Hình 2.2: Hàm Signum
Hình 2.3: Hiện tượng chattering
Hình 2.4: Hàm Saturation
Hình 2.5: Cấu trúc đa bậc của các mặt trượt
Hình 3.1: Cấu trúc của Pendubot
Hình 3.2 : Bốn điểm cân bằng của hệ thống
Hình 4.1: Mô tả mục tiêu điều khiển của bộ điều khiển trượt
Hình 4.2: Cấu trúc các mặt trượt đa bậc
Hình 5.1: Mô hình simulink
Hình 5.2: Góc θ1 và θ 2 được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ
Hình 5.3: Góc θ1 và θ 2 được vẽ riêng lẻ
Hình 5.4: Vận tốc của hai thanh được vẽ trên một hệ trục tọa độ
Hình 5.5: Vận tốc của hai thanh được vẽ riêng lẻ
Hình 5.6: Các mặt trượt S1 , s2 và S 2 được vẽ trên
cùng một hệ trục tọa độ
Hình 5.7: Các mặt trượt S1 , s2 và S 2 được vẽ riêng lẻ
Hình 5.8: Tín hiệu ngõ vào τ = u
Hình 5.9: Tín hiệu điều khiển u (t ) với hiện tượng chattering
Hình 5.10: Góc θ1 và θ 2 với hiện tượng chattering
Hình 5.11: Các mặt trượt S1 , s2 và S 2 với hiện tượng chattering
Hình 5.12: Tín hiệu điều khiển u (t ) khi giảm hệ số η 2 = 0,1
Hình 5.13: Khảo sát biên độ tín hiệu điều khiển u (t ) khi giảm
hệ số η 2 = 0,1
Hình 5.14: Góc θ1 và θ 2 khi giảm hệ số η 2 = 0,1
Hình 5.15: Khảo sát biên độ tín hiệu của góc θ1 và θ 2 khi giảm
hệ số η 2 = 0,1
Hình 5.16: Các mặt trượt S1 , s2 và S 2 khi giảm hệ số η 2 = 0,1
Hình 5.17: Khảo sát biên độ tín hiệu của các mặt trượt S1 ,

Trang 35
Trang 35
Trang 37
Trang 37
Trang 39
Trang 46
Trang 52
Trang 54
Trang 55
Trang 62
Trang 63
Trang 64
Trang 64
Trang 65

s2

Trang 72

và S 2 khi giảm hệ số η 2 = 0,1

Hình 5.18: Tín hiệu điều khiển u (t ) khi thay hàm signum
bằng hàm saturation
Hình 5.19: Khảo sát biên độ của tín hiệu điều khiển u (t )
khi thay hàm signum bằng hàm saturation
Hình 5.20: Góc θ1 và θ 2 khi thay hàm signum bằng hàm saturation
Hình 5.21: Khảo sát biên độ tín hiệu của góc θ1 và θ 2 khi thay
hàm signum bằng hàm saturation

Trang 65

Trang 66
Trang 66
Trang 67
Trang 68
Trang 68
Trang 69
Trang 70
Trang 70
Trang 71
Trang 71

Trang 73
Trang 73
Trang 74
Trang 74

Hình 5.22: Các mặt trượt S1 , s2 và S 2 khi thay hàm signum
bằng hàm saturation
Hình 5.23: Khảo sát biên độ tín hiệu của các mặt trượt S1 ,

s2

và S 2 khi thay hàm signum bằng hàm saturation

Hình 5.24: Tín hiệu điều khiển u (t ) khi giảm hệ số η 2 = 0,1
và thay đổi hàm signum bằng hàm saturation
Hình 5.25: Khảo sát biên độ của tín hiệu điều khiển u (t ) khi
giảm hệ số η 2 = 0,1 và thay đổi hàm signum bằng hàm saturation
Hình 5.26: Góc θ1 và θ 2 khi giảm hệ số η 2 = 0,1 và thay đổi hàm

signum bằng hàm saturation
Hình 5.27: Khảo sát biên độ tín hiệu của góc θ1 và θ 2 khi giảm
hệ số η 2 = 0,1 và thay đổi hàm signum bằng hàm saturation
Hình 5.28: Các mặt trượt S1 , s2 và S 2 khi giảm hệ số η 2 = 0,1
và thay đổi hàm signum bằng hàm saturation

Trang 75
Trang 75
Trang 76
Trang 77

Trang 77
Trang 78
Trang 78

Hình 5.29: Khảo sát biên độ tín hiệu của các mặt trượt S1 , s2 và S 2 khi giảm
hệ số η 2 = 0,1 và thay đổi hàm signum bằng hàm saturation
Trang 79
Hình 5.30: Hệ thống pendubot khi thêm tín hiệu nhiễu trắng
Trang 80
Hình 5.31: Tín hiệu ngõ vào bị ảnh hưởng nhiễu cường độ thấp
Trang 81
Hình 5.32: Góc θ1 và θ 2 bị ảnh hưởng của nhiễu cường độ thấp
Trang 81
Hình 5.33: Vận tốc góc θ1 và θ2 bị ảnh hưởng nhiễu cường độ thấp Trang 82
Hình 5.34: Các mặt trượt S1 , s2 và S 2 bị ảnh hưởng của nhiễu
cường độ thấp
Trang 82
Hình 5.35: Tín hiệu ngõ vào bị ảnh hưởng nhiễu cường độ cao
Trang 83

Hình 5.36: Góc θ1 và θ 2 bị ảnh hưởng của nhiễu cường độ cao
Trang 84
Hình 5.37: Vận tốc góc θ1 và θ2 bị ảnh hưởng nhiễu cường độ cao Trang 84
Hình 5.38: Các mặt trượt S1 , s2 và S 2 bị ảnh hưởng của nhiễu
cường độ cao
Trang 85

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, điều khiển trượt đã được áp dụng phổ biến trong công
nghiệp, bao gồm cả lĩnh vực điều khiển phi tuyến. Sự quan tâm đối với kỹ thuật điều
khiển này là do bản chất phi tuyến, tính ổn định và bền vững vốn có của nó đối với các tác
động nhiễu từ bên ngoài cũng như những biến đổi trong thông số của hệ thống. Ngày nay,
với sự phổ biến của bộ chuyển mạch tần số cao cùng với vi xử lý mạnh, kỹ thuật điều
khiển trượt ngày càng được áp dụng rộng rãi hơn.
Điều khiển trượt được xem như một trong những phương pháp đơn giản nhất cho
việc điều khiển các hệ thống phi tuyến kể cả những hệ thống có mô hình không chắc chắn
dễ bị tác động bởi nhiễu từ bên ngoài hoặc do sự biến đổi tham số.
Con lắc ngược trong những năm gần đây đã thu hút sự chú ý nghiên cứu của nhiều
nhà khoa học chuyên ngành điều khiển tự động. Là một học viên yêu thích lĩnh vực điều
khiển tự động, tác giả chọn đề tài “Điều Khiển Pendubot Dùng Kỹ Thuật Điều Khiển
Trượt” với mong muốn tìm hiểu thêm, cũng như áp dụng những kiến thức đã học vào mô
hình con lắc ngược di động
2. Mục đích khách thể và đối tượng nghiên cứu.
Đối với hầu hết các phương pháp điều khiển Pendubot di chuyển từ điểm cân bằng ổn
định lên điểm cân bằng không ổn định và cân bằng nó tại vị trí đó, Pendubot được xem
như một hệ thống hoàn toàn là cơ khí trong suốt quá trình thiết kế. Điều này đã làm các
phương pháp điều khiển thêm phức tạp. Thật ra nét đặc trưng về mặt cấu trúc của
Pendubot là hệ thống cơ khí này có thể được xem như hai hệ thống con: lần lượt là thanh 1

và thanh 2 như hình 1. Quan điểm này cung cấp một ý tưởng khác để thiết kế một bộ điều
khiển cho Pendubot và có thể làm đơn giản quá trình thiết kế. Một vấn đề khác là mô men
xoắn điều khiển bị giới hạn tức là mô men xoắn điều khiển có định mức bởi thiết bị truyền
động của nó. Vì vậy xét mô men xoắn điều khiển là lý tưởng so với thực tế.

Hình 1: Hệ thống Pendubot
Mục tiêu nghiên cứu:
− Tìm hiểu về hệ Pendubot và phương pháp cân bằng nó
− Tìm hiểu về điều khiển trượt ứng dụng cho hệ Pendubot
Đối tượng nghiên cứu:
− Hệ Pendubot
− Bộ điều khiển trượt đa bậc
3. Nhiệm vụ của đề tài và phạm vi nghiên cứu.
− Xây dựng mô hình toán học cho hệ Pendubot
− Thiết kế bộ điều khiển trượt đa bậc điều khiển cân bằng cho Pendubot
− Mô phỏng hệ Pendubot trên phần mềm Matlab - Simulink
4. Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng các kiến thức về hình học, lượng giác kết hợp với định lý ổn định Lyapunov
để tìm ra phương trình toán học thể hiện mối quan hệ giữa các yếu tố sai số (sai số về
khoảng cách và sai số về góc lệch) với mô men xoắn tác dụng vào Pendubot nhằm điều
khiển góc di chuyển sao cho các sai số trên luôn hội tụ về 0.
Sử dụng kết quả mô phỏng trên phần mềm Matlab – Simulink cho Pendubot để kiểm
chứng độ tin cậy của bộ điều khiển được thiết kế.
5. Giới hạn của luận văn.
Luận văn chỉ mô phỏng mô hình toán học và luật điều khiển cho hệ thống trên phần
mềm Matlab – Simulink. Chưa kiểm chứng được độ tin cậy của bộ điều khiển bằng thực
nghiệm.
6. Tóm tắt phần thực hiện chính trong luận văn.
6.1. Mô hình động học hệ Pendubot

Cấu trúc của hệ Pendubot được chỉ ra trong hình 2. Hệ thống cơ khí kích thích dưới
(under-actuated mechanical system) là một robot với một bộ truyền động ở thanh 1 và
thanh 2 là thanh quay tự do xung quanh thanh 1.

Hình 2: Cấu trúc của Pendubot
Từ cấu tạo của Pendubot ta cần xây dựng mô hình toán học cho nó để phục vụ quá
trình tổng hợp bộ điều khiển và mô phỏng trên máy tính một cách chính xác. Khi xây
dựng mô hình toán học cho Pendubot ta có thể sử dụng nhiều phương pháp để tìm được
phương trình động lực học. Ở đây ta sử dụng một phương pháp thường được sử dụng đó là
phương pháp Euler-Lagrange.
Xét giả định tiêu chuẩn tức là không có ma sát, mô hình động học hệ thống có thể
được suy ra theo dạng phương trình Euler-Lagrange như sau:

( )

D( θ ) θ + C θ, θ θ + G ( θ ) = τ

(1)

Với θ = [θ1 θ 2 ]T , θ1 và θ 2 là góc của thanh 1 so với phương ngang và góc của thanh 2
so với thanh 1; θ và θ là vector vận tốc góc và vector gia tốc góc; τ = [τ 1 0]T , τ 1 là mô
men xoắn bên ngoài đưa vào thanh 1; các ma trận D( θ ) , C (θ, θ ) và G ( θ ) được trình bày với
năm thông số q1 , q 2 , q3 , q 4 , q5 như sau
D( θ ) là ma trận quán tính
D
D( θ ) =  11
 D21

D12  q1 + q2 + 2q3 cos θ 2
=
D22   q2 + q3 cos θ 2

q2 + q3 cos θ 2 

q2


( )

C θ, θ là ma trận lực hướng tâm
C12  − q3θ2 sin θ 2
C
C θ, θ =  11
=
C21 C22   q3θ1 sin θ 2

( )

(

)

− q3 θ1 + θ2 sin θ 2 

0


Và G ( θ ) là ma trận trọng lực được tính
G  q g cos θ1 + q5 g cos(θ1 + θ 2 ) 
G ( θ ) =  11  =  4

q5 g cos(θ1 + θ 2 )
G21  


Thuộc tính của ma trận quán tính rất quan trọng: đối xứng, xác định dương
Các thông số được định nghĩa:
q1 = m1lc21 + m2 l12 + I1

2
 q 2 = m2 l c 2 + I 2

q3 = m2l1lc 2
q = m l + m l
1 c1
2 1
 4
q5 = m2lc 2

Với m1 và m2 là khối lượng của hai thanh; l1 và l2 là chiều dài của hai thanh; lc1 và lc 2
là khoảng cách từ tâm của mỗi thanh tới điểm khớp; I1 và I 2 mô men quán tính của thanh
1 và thanh 2; g là gia tốc trọng trường.
Giải phương trình (1) ta được
θ1 
−1
   = D ( θ ) τ − C θ, θ θ − G ( θ )
θ

 2

[

( )

]

(2)

6.2. Mô tả các điểm cân bằng
Viết lại phương trình (2)

( )
( )

θ1 = f1 θ , θ + b1τ1
 
θ 2 = f 2 θ , θ + b2 τ1

(3)

Đặt x1 = θ1 , x2 = θ1 , x3 = θ 2 , x4 = θ2 và u = τ 1 .
Theo biểu thức tổng quát của lớp hệ thống kích thích dưới [9], mô hình động học ở
phương trình (1) có thể được biểu diễn ngắn gọn như sau:
 x 1 = x2
 x = f ( X ) + b ( X ) u
 2
1
1



x
=
x
,
4
 3
 x 4 = f 2 ( X ) + b2 ( X ) u

(4)

Với X = [ x1 x2 x3 x4 ] T được định nghĩa như một vector biến trạng thái, khi đó
θ = [ x1

x2 ] , θ = [ x3

x4 ] , θ = [ x 2

x 4 ] và f i ( X ) và bi ( X ) ( i = 1,2 ) là các hàm phi tuyến của các

biến trạng thái và biểu thức của chúng được chỉ ra bên dưới
Đặt H1 = C11θ1 + C12θ2 + G11 và H 2 = C21θ1 + C22θ2 + G21 sau đó chúng ta có

b1 ( X ) = D22 D11 D22 − D12 D21 ,
b2 ( X ) = D21 D12 D21 − D11 D22 ,
f1 ( X ) = D12 H 2 − D22 H1 D11 D22 − D12 D21 ,
f 2 ( X ) = D11 H 2 − D21H1 D12 D21 − D11 D22 .

Từ (4) cho u = 0 . Đối với một hệ thống autonomous, các phương trình sau có thể đạt
được khi X = 0 .
q4 g cos x1 + q5 g cos( x1 + x3 ) = u

q5 g cos( x1 + x3 ) = 0

(5)

Giải tìm ( x1 , x3 ) từ phương trình (5) ta được
 u 
u
 ; điều kiện
≤1
x1 = cos −1 
q4 g
 q4 g 

(6)

π
− x1 ; với k = 1,3,5....
2

(7)

x3 = k

Phương trình (6) và (7) miêu tả các điểm cân bằng của hệ thống. Có thể miêu tả bốn
điểm cân bằng của hệ Pendubot như sau
1)

[θ

1

]

x2

x3

π
x2 ] = 
2

]

x2

x3

 π
x2 ] =  −
 2

]

x2

x3

π
x2 ] = 
2

]

x2

x3

 π
x2 ] =  −
 2

θ1 θ 2 θ2 = [ x1


0 0 0 : cả thanh 1 và thanh 2 bị đảo


ngược ở điểm cao nhất
2)

[θ

1

θ1 θ 2 θ2 = [ x1

0 π


0 : cả thanh 1 và thanh 2 trở


xuống ở điểm thấp nhất
3)

[θ

1

θ1 θ 2 θ2 = [ x1

0 π


0 : thanh 1 ở vị trí trên cao và


thanh 2 ở vị trí thấp hơn
4)

[θ

1

θ1 θ 2 θ2 = [ x1


0 0 0 : thanh 1 ở vị trí thấp hơn và


thanh 2 ở vị trí cao hơn
π

π  là điểm cân bằng ổn
 2



Trong số bốn điểm cân bằng trên, trừ điểm [θ1 θ 2 ] = −

π
2


định, còn ba điểm cân bằng còn lại là các điểm không ổn định. Điểm [θ1 θ 2 ] = 


0 là


trường hợp khó nhất cho việc ổn định hồi tiếp trong ba điểm cân bằng dao động [3]. Mục
π

π  lên
2





đích điều khiển cho pendubot là di chuyển hệ từ điểm cân bằng có giá trị −

π



điểm cân bằng có giá trị  0 và cân bằng hệ tại vị trí này. Hình 3 miêu tả bốn điểm cân
2



bằng hệ Pendubot

Hình 3: Bốn điểm cân bằng của hệ thống
6.3. Thiết kế bộ điều khiển trượt cho hệ thống
Pendubot có cấu trúc là hai thanh quay trên hai điểm khớp. Hai thanh có thể được coi
như là hai hệ thống con: thanh 1 xem như hệ thống con thứ nhất và thanh 2 là hệ thống
con thứ hai. Dựa trên ý tưởng này để thiết kế bộ điều khiển trượt đa bậc. Từ (4) các biến
trạng thái ( x1 , x2 ) và ( x3 , x4 ) có thể lần lượt được coi như các trạng thái của hai hệ thống
con. Và biểu thức không gian trạng thái của hai hệ thống con có thể suy ra như bên dưới
 x 1 = x2

 x 2 = f1 ( X ) + b1 ( X ) u

(8a)

Và
 x 3 = x4

 x 4 = f 2 ( X ) + b2 ( X ) u

(8b)

Với X = [ x1 x2 x3 x4 ]T là vectơ các biến trạng thái; f1 ( X ) , f 2 ( X ) , b1 ( X ) và b2 ( X ) là
các hàm phi tuyến của các biến trạng thái; u là ngõ vào điều khiển.

Mục tiêu của luận văn là điều khiển Pendubot chuyển động ở điểm cân bằng ổn định
π



0 π 0 lên điểm cân bằng bất ổn định có giá trị
ban đầu có giá trị là X = −
2


π
X =
2


0 0 0 và cân bằng hệ thống tại điểm bất ổn định đó như hình 4.


Hình 4: Mô tả mục tiêu điều khiển của bộ điều khiển trượt

π
Gọi e là tín hiệu sai lệch, θ1 là tín hiệu ban đầu, θ1d = là tín hiệu mong muốn ta có
2

e = θ1 − θ1d . Lấy đạo hàm tín hiệu sai lệch theo thời gian e = θ1

Vậy e = x1 −

π
⇒ e = x2
2

Để thiết kế điều khiển, các mặt trượt của hai hệ thống con được định nghĩa như sau

π 
π


s1 = c1e + e = c1 θ1 −  + θ1 = c1  x1 −  + x2
2
2



s = c θ + θ = c x + x
2 2
2
2 3
4
 2

(9)

Với c1 và c2 là hằng số dương và phải thỏa mãn điều kiện Hurwitz
Lấy vi phân s1 và s2 theo thời gian t , có
s1 = c1 x 1 + x 2 = c1 x2 + f1 ( X ) + b1 ( X ) u

s 2 = c2 x 3 + x 4 = c2 x4 + f 2 ( X ) + b1 ( X ) u

(10)

Cho s1 = 0 và s 2 = 0 , các luật điều khiển tương đương của hai hệ thống con có thể có
c1 x2 + f1 ( X )

ueq1 = − b ( X )

1

u = − c2 x4 + f 2 ( X )
 eq 2
b2 ( X )

(11)

Theo si và ueqi ( i = 1,2 ), bộ điều khiển trượt đa bậc có thể được thiết kế theo mô tả sau:
s1 được định nghĩa như mặt trượt S1 lớp thứ nhất. Luật điều khiển trượt có thể được

suy ra cho S1 bằng định lý ổn định Lyapunov. Sau đó mặt trượt lớp thứ nhất được sử dụng
để xây dựng mặt trượt S 2 lớp thứ hai với s2 . Và luật điều khiển cuối cùng có thể có được

từ cấu trúc đa bậc được chỉ ra ở hình 5.

Hình 5: Cấu trúc các mặt trượt đa bậc
Luật điều khiển trượt đa bậc sẽ được suy ra như sau:
Mặt trượt lớp thứ nhất được định nghĩa S1 = s1 . Đối mặt trượt lớp thứ nhất, luật điều
khiển trượt và hàm Lyapunov được định nghĩa
u1 = u eq1 + u sm1

(12a)

Và
V1 ( t ) =

S12
2

(12b)

Ở đây u sm1 là điều khiển chuyển mạch của bộ điều khiển trượt lớp thứ nhất.
Lấy vi phân V1 ( t ) theo thời gian t và cho S 1 = −k1 S1 − η1 sgn S1 , với k1 và η1 là hằng số
dương, sau đó luật điều khiển trượt lớp thứ nhất có thể được suy ra từ (12).
u1 = ueq1 +

S 1
b1 ( X )

(13)

Mặt trượt lớp thứ hai được định nghĩa
S 2 = αS 1 + s 2

(14)

Với α là hằng số
Đối với mặt trượt lớp thứ hai, luật điều khiển và hàm Lyapunov được định nghĩa
u 2 = u1 + ueq 2 + u sm 2

Và

(15a)

2

S
V2 ( t ) = 2

(15b)

2

Với u sm 2 là điều khiển chuyển mạch của bộ điều khiển trượt lớp thứ hai.
Lấy vi phân V2 ( t ) theo thời gian t và cho S 2 = −k 2 S 2 − η 2 sgn S 2 , với k 2 và η2 là hằng số
dương. Sau đó luật điều khiển tổng quát của điều khiển trượt đa bậc có thể được suy ra
như sau
u2 =

αb1 ( X ) ueq1 + b2 ( X ) ueq 2 + S 2
αb1 ( X ) + b2 ( X )

(16)

Nhận xét: từ luật điều khiển tổng quát, chỉ có điều khiển chuyển mạch của bộ điều
khiển trượt lớp thứ hai làm việc và điều khiển chuyển mạch của bộ điều khiển trượt lớp
thứ nhất được gộp vào quá trình suy diễn. Trong quá trình động học, nếu bất kỳ trạng thái
của hệ bị lệch so với mặt trượt, điều khiển chuyển mạch của lớp thứ hai sẽ đưa nó về mặt
trượt của nó. Điều này sẽ làm cho trạng thái hệ thống trượt trên bề mặt trượt lớp thứ hai.
Và các trạng thái của hệ thống con vẫn trượt trên mặt trượt của nó.
6.4. Mô phỏng luật điều khiển hệ thống
Các thông số của hệ pendubot được chọn để thực hiện mô phỏng theo [12]: m1 = 1,0367
[kg], m2 = 0,5549 [kg], l1 = 0,1508 [m], l2 = 0,2667 [m], lc1 = 0,1206 [m], lc 2 = 0 ,1135 [m],
I1 = 0,0031 [kg.m2], I 2 = 0,0035 [kg.m2], g = 9,8 [m/s2].

Vì thế các thông số q1 , q2 , q3 , q4 , q5 được tính như sau:
q1 = m1lc21 + m2l12 + I1 = 0,0308 [kg.m2]
q2 = m2lc22 + I 2 = 0 ,0106 [kg.m2]
q3 = m2l1lc 2 = 0,0095 [kg.m2]
q4 = m1lc1 + m2l1 = 0 ,2086 [kg.m2]
q5 = m2lc 2 = 0,0630 [kg.m]

0

t

Clock

To Workspace

u

tol

theta1
thea2

To Workspace3

SMC

dtheta1
dtheta2

pendubot

Demux

x
To Workspace2

S-Function1

S-Function

S1
To Workspace1

theta1

dtheta1

theta2

dtheta2

s2
To Workspace5
S2

S1, s2, S2

To Workspace4

Time
Scope

Hình 6: Mô hình simulink
Chọn các thông số của bộ điều khiển trượt như sau: c1 = 8 , c2 = 2,8 , α = 2,5 , k 2 = 1,5 ,
η 2 = 5 . Kết quả mô phỏng được thể hiện trong hình 7, hình 8, hình 9, hình 10, hình 11,

hình 12 và hình 13.
4
theta1
theta2
3

theta1 + theta2

2

1

0

-1

-2

0

5

10

15
time(s)

20

25

30

Hình 7: Góc θ1 và θ 2 được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ
2

theta1

1
0

-1
theta1
-2

0

5

10

15
time(s)

20

25

30

4
theta2
theta2

2

0

-2

0

5

10

15
time(s)

20

25

30

Hình 8: Góc θ1 và θ 2 được vẽ riêng lẻ
π
 2


Ở điều kiện ban đầu, giá trị của góc θ1 và θ 2 như sau [θ1 θ 2 ] = −

π
2


muốn là [θ1 θ 2 ] = 


π  . Giá trị mong



0 . Trong hình 7 và hình 8, trong khoảng thời gian từ 0 đến 5s: góc


θ1 và θ 2 dao động, sau thời điểm 5s trở đi: góc θ1 ở vị trí 1.57 rad, góc θ 2 trở về 0. kết quả

mô phỏng đạt được như giá trị mong muốn. Hình 9 và hình 10 biểu diễn vận tốc góc của
hai thanh
5
dtheta1
dtheta2

dtheta1 + dtheta2

0

-5

-10

0

5

10

15
time(s)

20

25

30

Hình 9: Vận tốc của hai thanh được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ
6
dtheta1
dtheta1

4
2
0
-2

0

5

10

15
time(s)

20

25

30

5

dtheta2

dtheta2
0

-5

-10

0

5

10

15
time(s)

20

25

30

Hình 10: Vận tốc của hai thanh được vẽ riêng lẻ
Theo hình 9 và hình 10: trong khoảng thời gian từ 0 đến 5s: vận tốc góc θ1 và θ2 dao

động, sau thời điểm 5s trở đi vận tốc góc cả hai thanh đều hội tụ về 0. Kết quả mô phỏng
đạt được như giá trị mong muốn.
10

0

s1, S1, s2, and S2

-10

-20

-30

-40
S1=s1
s2
S2

-50

-60

0

5

10

15

time(s)

20

25

30

Hình 11: Các mặt trượt S1 , s2 và S 2 được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ

50
S1=s1

S1=s1
0
-50

0

5

10

15
time(s)

20

25

30

10
s2
s2

0
-10

0

5

10

15
time(s)

20

25

30

100
S2
S2

0

-100

0

5

10

15
time(s)

20

25

30

Hình 12: Các mặt trượt S1 , s2 và S 2 được vẽ riêng lẻ
Qua hình 11 và hình 12 các mặt trượt S1 , s2 và S 2 cũng dao động trong khoảng từ 0
đến 5s. Sau đó cũng hội tụ về 0
1
tol
0.5
0

Control input

-0.5
-1
-1.5

-2
-2.5
-3

0

5

10

15
time(s)

20

25

30

Hình 13: Tín hiệu ngõ vào τ = u
Tín hiệu ngõ vào τ = u có giá trị khoảng ± 2.6 N . Và hội tụ về 0 sau 5s, hệ thống được
cân bằng ổn định, nhưng tín hiệu điều khiển u ( t ) bị hiện tượng chattering tức là dao động
với tần số cao và biên độ của hiện tượng này cũng khá lớn.
6.4.1. Hiện tượng chattering
Tín hiệu điều khiển u (t ) không thể thay đổi giá trị một cách tức thời khi quỹ đạo pha
vừa chạm mặt trượt. Kết quả là quỹ đạo pha sẽ vượt qua mặt trượt một đoạn và sẽ quay về
mặt trượt sau đó khi u (t ) thay đổi giá trị theo luật điều khiển. Quá trình được lặp lại và kết
quả là quỹ đạo pha dao động quanh mặt trượt. Hiện tượng này được gọi là hiện tượng
chattering. Để khảo sát hiện tượng dao động này, phóng lớn hình 8, hình 12, hình 13 ta
được các hình 14, hình 15, hình 16.

tol

0.25
0.2
0.15

Control input

0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
0

5

10

15
time(s)

20

25

30

Hình 14: Tín hiệu điều khiển u (t ) với hiện tượng chattering
1.5714
theta1

1.5712
theta1

1.571
1.5708
1.5706
1.5704
1.5702

0

5

10

15
time(s)

20

25

30

-3

1

x 10

theta2

theta2

0.5
0
-0.5
-1

0

5

10

15
time(s)

20

25

30

Hình 15: Góc θ1 và θ 2 với hiện tượng chattering
-4

S1=s1

5

x 10

S1=s1
0
-5

0

5

10

15
time(s)

20

25

30

-3

5

x 10

s2

s2
0
-5

0

5

10

-3

5

15
time(s)

20

25

30

x 10

S2

S2
0
-5

0

5

10

15
time(s)

20

25

30

Hình 16: Các mặt trượt S1 , s2 và S 2 với hiện tượng chattering
Biên độ hiện tượng chattering của các tín hiệu hệ thống được đưa ra trong bảng 1
Bảng 1: Biên độ hiện tượng chattering của các tín hiệu hệ thống
u (t )
0,157

θ1

2 × 10 −4

θ2
4,6 × 10 −4

[N]

[rad]

[rad]

S1
2,2 × 10

[rad]

s2
−4

2,1 × 10

S2
−3

[rad]

2,7 × 10 −3

[rad]

Nhận xét: khi chọn thông số η 2 = 5 thì đáp ứng hệ thống bị dao động với tần số rất cao
và biên độ của hiện tượng chattering cũng thấy rất rõ qua việc quan sát tín hiệu điều khiển
u (t ) . Để khắc phục hiện tượng này ta có hai cách: cách thứ nhất là giảm hệ số η 2 xuống,

cách thứ hai là ta thay hàm signum bởi hàm saturation.
6.4.1.1. Giảm biên độ của hiện tượng chattering bằng cách giảm hệ số η 2
Chọn hệ số η 2 = 0,1 . Đáp ứng của hệ thống sẽ được thể hiện qua các hình 17, hình 19 và
hình 21.
1
tol
0.5
0

Control input

-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3

0

5

10

15

time(s)

20

25

30

Hình 17: Tín hiệu điều khiển u (t ) khi giảm hệ số η 2 = 0,1
tol

0.25
0.2
0.15

Control input

0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
0

5

10