Đề khảo sát HS lớp9 thi vào 10 năm 2009

Đề kiểm tra toán 9
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Bài 1: Hãy viết vào bài làm chữ cái đứng trớc mỗi phơng án trả lời đúng trong các câu dới
đây. Ví dụ 1.A,
1. Điều kiện để biểu thức A =
x
x xy
đợc xác định là:
A. x

y B. x

0; y

0; x

y C. x > 0; y

0; x

y D. xy

0; x

y.
2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, các trục toạ độ đợc chia theo đơn vị cm. Khoảng cách từ gốc
toạ độ O tới đờng thẳng y = x 2 là:
A. 2 (cm) B. 4 (cm) C.
2
(cm) D. 2
2

(cm)
3. Điều kiện của m để 3 điểm A(1;3); B(-1;-1); C(-2;m) thẳng hàng là:
A. m = 3 B. m = -3 C. m = 0 D. m

3
4. Hệ phơng trình nào sau đây có vô số nghiệm?
A.
2 4 1
2 2
x y
x y
+ =


+ =

B.
2. 3. 5
2 3 5
x y
x y

=


=


C.
2 1

2 4 2
x y
x y
+ =


+ =

D.
1
2 2 2
x y
y x
=


=

5. Phơng trình nào sau đây có tích 2 nghiệm bằng 3?
A. x
2
- 2x + 3 = 0 B. x
2
+ 3 = 0 C. x
2
- 2x - 3 = 0 D. x
2
- 4x + 3 = 0
6. Với 0
0

<

< 90
0
, biểu thức (1 sin
2

). tg
2
(90
0
-

) bằng:
A. 1 cos
2

B. 1 cotg
2

C. sin
2

D. 1 + tg
2

7. Một tam giác đều nội tiếp đờng tròn (O). Nếu độ dài đờng tròn (O) là 6

(cm) thì cạnh của
tam giác đều đó có độ dài là:

A.
3 3
2
(cm) B.
3 3
(cm) C.
2 3
(cm) D. 3 +
3
(cm)
8. Một hình trụ có chiều cao 5cm và có diện tích xung quanh là 30

(cm
2
) thì có thể tích là:
A. 45

(cm
3
) B. 75

(cm
3
) C. 15

(cm
3
) D. 90

(cm

3
)
Bài 2: Cho biểu thức A =
2 2
1
2 1
a a
a
a a

+

ữ
ữ

+ +

.
1a
a
+
(với a > 0, a

1)
a) Hãy rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của a để A =
1
1a
.
c) Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của a để biểu thức B = A.(1 +

a
) có giá trị nguyên.
Bài 3: Cho phơng trình x
2
2(k +
2
)x + k
2
+ 1 = 0 (1) (k là tham số)
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k.
b) Tìm k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
1 2
x x
=
3
.
Bài 4: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R, I là trung điểm của AO. Qua I kẻ đờng thẳng
d vuông góc với AB, d cắt nửa đờng tròn tại K. Lấy điểm C nằm giữa I và K, AC cắt nửa đờng
tròn tại M, BM cắt d tại D.
a) Chứng minh tam giác ICA và tam giác IBD đồng dạng và tính IC.ID theo R.
b) Gọi N là trung điểm của CD. Chứng minh NM là tiếp tuyến của (O).
c) Gọi E là điểm đối xứng với B qua I. Chứng minh tứ giác ACDE nội tiếp.
d) Khi C di động trên đoạn thẳng IK thì tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD chạy trên đ-
ờng nào?
Đáp án Biểu điểm
Bài

đáp án
điểm
Bài 1
(2,0đ)
Câu 1: C; Câu 2: C ; Câu 3: B; Câu 4: D
Câu 5: D; Câu 6: C; Câu 7: B; Câu 8: A
Mỗi
câu
đúng
0,25
Bài 2
(1,5đ)
a) (1đ) Với
0; 1a a
ta có:

2 2
1
2 1
a a
a
a a
+


+ +
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 2
2
2
2 2
1
1
2 2
( 1).( 1)
1
2 . 1 2 . 1
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1
2
1 1
a a
a
a
a a
a a
a
a a a a
a a a a
a a a a a a

a a
a
a a
+
= +

+
+
= +
+
+
+ +
= +
+ +
+ + +
=
+
=
+
Vâỵ với
0; 1a a
ta có

( ) ( )
( ) ( )
2
2 1 2 2
.
1
1 1

1 1
a a
A
a
a
a a
a a
+
= = =

+
+
0,25
0,25
0,25
0,25
b). (0,75đ)
Với
0; 1a a
thì
2
1
A
a
=

. Theo đề bài ta có
1
1
A

a
=

( )
( )
2
2 1
1
1
2 1 1
2 1 0
1 0
1 0
1
a
a
a a
a a
a
a
a
=


=
+ =
=
=
=
Ta thấy giá trị a = 1 không thoả mãn điều kiện

0; 1a a
. Vậy không có giá trị
nào của a để
1
1
A
a
=

c). (0,75đ)
0,25
0,25
0,25
0,25
Với
0; 1a a
thì
2
1
A
a
=

.Ta có B =
( )
2 2
1
1
1
a

a
a
+ =



+ Nếu a là số nguyên nhng không là số chính phơng thì
a
là số vô tỷ. Khi đó
1a
là số vô tỷ nên giá trị của biểu thức B cũng là số vô tỷ. Nh vậy sẽ không thoả
mãn yêu cầu của đề bài.
+ Nếu a là số nguyên và là số chính phơng thì
a
là số nguyên. Khi đó
a
-1 cũng
là số nguyên. Để giá trị của biểu thức B là số nguyên thì phải có
1a
là ớc của 2.
Mà Ư(2) =
{ }
1; 2
.
+ Từ các trờng hợp trên tìm giá trị của a =4, a= 9.
Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của a thoả mãn yêu cầu đề bài là a = 4.
0,25
0,25
Bài 3
(2,0đ)

a). (0,75đ)
Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt thức
( ) ( )
2
' 2
2 1. 2 1 2 1k k k k = + + = + +

2
' 2
1 1 1 1 1
2 0
2 2 2
2 2
k k k

= + + + = + + >
ữ ữ


Vì
2
1
0
2
k

+
ữ

với mọi giá trị của m nên

0
>
với mọi giá trị của k
Vậy phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
0,25
0,25
0,25
b). (1,25đ). Theo Định lý Viet, ta có:
( )
1 2 1 2
2 2 ; . 2 1x x k x x k+ = + = +
Theo đề bài ta có
1 2
3x x =

( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
1 2
2
1 2 1 2
2
2
2
1 2
3
4 3

2 2 4. 2 1 3
4 4 2 1 0
2 2 4.1 4 0
1 2
2 2 2 1 2 2 2 2
;
4 2 4 2
x x
x x x x
k k
k k
k k
=
+ =

+ + =

+ + =

= = >
+
+
= = = =
Vậy
( )
1 2
1 2
1 2
;
2 2

k k
+

= =
thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
mãn điều kiện
1 2
3x x =
a). (1,00đ) Chứng minh tam giác ICA và tam giác IBD đồng dạng và tính IC.ID
theo R
+ Chứng minh tam giác ICA và tam giác IBD đồng dạng
Ta có
ã
0
90AMB =
(góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn (O)) và
ã
0
90DIB =
(gt)
Nên tam giác vuông DIB đồng dạng với tam giác vuông BMA (vì có chung góc
nhọn).
ã
ã
MAB IDB =
(2góc tơng ứng)

Xét tam giác ICA đồng dạngvới tam giác IBD có
ã
ã
MAB IDB=
(theo cmtrên)
Vậy tam giác ICA đồng dạngvới tam giác IBD (đpcm)
+ Tính IC.ID theo R
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 4
(3,5đ)
Vì tam giác ICA đồng dạng với tam giác IBD nên
. .
IC IA
IC ID IA IB
IB ID
= =
Mà
2
3 3
. .
2 2 4
R R R
IA IB = =
nên

2
3
.
4
R
IC ID =
0,25
0,25

N
E
D
M
K
I
A
O
B
C
b)(1,00đ)Chứng minh NM là tiếp tuyến của đờng tròn (O;R)
+ Vì tam giác ICA đồng dạng với tam giác IBD (theo cmtrên) nên
ã
ã
IBD ICA=
Mà
ã
ã
MDB ICA=
(2góc đối đỉnh) nên
ã

ã
IBD MDB=
(1)
+ Ta có tam giác DMC vuông tại M có MN là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên
NM = NC =
2
DC
suy ra tam giác NMC cân tại N vì có


ã
ã
NMC NCM=
(2).
+ Ta có tam giác OMB cân tại O vì có OM = OB = bán kính


ã
ã
OBM OMB=
(3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra
ã
ã
NMC OMB=
mà tam giác AMB vuông ở M


ã
ã

0
90AMO OMB+ =



ã
ã
0
90AMO NMC+ =

nên
ã
0
90NMO =
hay NM vuông góc với bán kính MO tại M
0,25
0.25
0,25
+ Vậy NM là tiếp tuyến của đờng tròn (O) (đpcm). 0,25
c). (0,75đ) Chứng minh ACDE là tứ giác nội tiếp.
+ Ta có tam giác DEB có DI là đờng cao đồng thời là trung tuyến nên tam giác DEB
cân tại D. Suy ra
ã ã
DBI DEI=
Mà
ã
ã
DBI MCD=
(theo chứng minh câu b) nên
ã

ã
MCD DEI=
+ Xét tứ giác ACDE có góc ngoài tại đỉnh C bằng góc trong tại đỉnh E nên tứ giác
ACDE nội tiếp.
0,25
0,25
0,25
d). (0,75đ) Khi C di động trên đoạn IK thì tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác
ACD chạy trên đờng nào ?
+ Chỉ ra đợc tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD cũng là tâm đờng tròn
ngoại tiếp tứ giác ACDE
+ Suy ra tâm tròn ngoại tiếp tam giác ACD nằm trên đờng trung trực của AE.
+ Chỉ ra đợc AE cố định và kết luận.
0,25
0,25
0,25