cong thuc toan cap 3 moi

Mũ

ƒ

•

ƒƒƒ

ƒ@

?

@

ƒ ƒ
{ƒ„{

•
•
•

Ә ә

ƒ

ƒ

ầ

ƒ
ƒ „

B


<

•
•
•
•
•
•

?
@

{ƒ {


2ƒ
2ƒ
ƒ@{L{
Ž

ŵ

@

B

ƒ2ŵ
ƒ
Ŵ I ŵ ƒ
ƒ2Ŵ I ŵ
ƒ@{L{ 2 ƒA{L{
ƒ2ŵ
ƒ@{L{ 2 ƒA{L{
Ŵ I ŵ
› š [ …× 

•

ƒ"

/>{— / ˜ / ™{
{— ˜{
— /˜ /™
—˜-˜—

#

?

ƒ

ƒ

ƒ

#

˧{˲{

+ ℝ nếu α nguyên dương.

š

+ (0 ; + ∞ ) các trường hợp còn lại

ŵ ˲2Ŵ

Ž‘‰ š „ ; š ƒ< ƒ A9 4 
Ž‘‰ ŵ Ŵ Ž‘‰ ƒ ŵ Ž‘‰ ƒE 
Ž‘‰ „… Ž‘‰ „ - Ž‘‰ …

•
•
•

Ž‘‰

=

Ž‘‰ „E

•

Ž‘‰

•
•

Ž‘‰ „ . Ž‘‰ …

<

#

<

 Ž‘‰ „

. Ž‘‰ „

Ž‘‰ „ Ž‘‰ < …

•

Ž‘‰ „

•

Ž‘‰

Ž‘‰ …

#

A:

@

„

#

Ž‘‰ < …

Ž‘‰

=

„

E

•
•
•

•

A9 =

A9 <

Ž‘‰ „

•

•

š

L

L

•

Phương sai : •

#

$

4

4
$
C(# šC

4

.

4 {š
C(# C

. š {$

S gọi là ñộ lệch chuẩn.
Nếu mẫu số liệu cho ở dạng bảng phân bố tần số hay tần số ghép lớp:
š
•

$

ŵ


C(#
4

ŵ


C šC C Ž –ầ •ố …ủƒ šC

C(#

C šC$

Tổ hợp và xác suất:
E

{

E

E{

{ƒ - „{
•
•
•
•

4

ŵ
. $


C(#

E{
E

E("

Eƒ

C š C G

E{

E

E

„

;
E

ž… š—ấ– …ủƒ „‹ế …ố
{
{
{

#

$

# { - {
# $

{ È {

C(#

$

E

-



"ƒ

C



6{.{

„›

ˆ{š{ š

š

›

›

ƒš
…›

…›

„›

— ˜ . ˜  —
˜$



ˆ{š{ ›

†š

†š

E #

-

{ {

#ƒ

É

E

É

É É



#

#



Š{›{ š

.

—
—$

Ŵ†š
ŵ†š š -

ŵ
†š
š

Ž ÉšÉ -

ŵ EL
‡ 

‡EL †š

š[ #
α .ŵ
α-ŵ
L
ƒ
ƒL †š
Ž ƒ
ŵ
•‹ š †š . …‘• š 

ŵ
•‹ š …‘• š †š

ŵ
†š –ƒ š …‘•$ š
ŵ
†š . …‘– š •‹$ š

š [ †š

Ɉ{š{ . ‰{š{Ɇš

<

>
Ɋ{›{Ɇ›
=
>
{›{ 
Ɋ{›{ .
=

š

›

ƒ š
… ›

„›

ˆ{š{ š quay quanh Ox : 

†š

{›{Ɇ›

„-

{ {

-

„

ŵ . { {

; {ƒ / „{%

ƒ$ / Ŷƒ„ - „$

{ƒ - „{{ƒ . „{

< $
ˆ {š{†š



‰{›{ › quay quanh Oy: 

< $
{›{†›



‰

ƒ% / ŷƒ$ „ - ŷƒ„$ / „%

{ƒ / „{{ƒ$

; ƒ % / „%

biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị {x1,x2,…,xn }
Kỳ vọng : {{ š# ’# - š$ ’$ - š ’
C(#

Phương sai :

šC ’C ˜ớ‹ ’C

{

{š# . {$ - {š$ . {$ -

{{

C(#

ðộ lệch chuẩn : ú{{

ŵŶŷ

 
F
—

— ˜™ - —˜  ™ - —˜™ 

Ɉ{š{Ɇš

<

‰{š{

Š{›{ 

Šƒ› {{

{
{
{ { C š—‰ Šắ…
$
{ { # {{ $ { { { C ¯ộ… Žậ’

6{- .{

ƒš

ƒ $ . „$

#

#

4

š

— 
Ә ә
˜

{—[ { α —[ # —Ȋ
ŵ 
—
F
. $
—
—
—

—
Ŷ —
{•‹ —{ —Ȋ …‘• —
{…‘• —{ .—Ȋ •‹ —
—Ȋ
{–ƒ —{
…‘•$ —
—Ȋ
{…‘– —{ . $

•‹ —
{ƒI { ƒI — Ž ƒ
{‡I { —Ȋ‡I
—Ȋ
{Ž‘‰ —{
—Ž ƒ
—Ȋ
{Ž —{
—

#

{ƒ / „{$

4
š
4 C(# C
$
#
4
C(# šC
4

L?

•

Thống kê : Cho mẫu số liệu kích thước N {x1,x2,…,xN }
số trung bình:

›I —L

{—˜™{

Thể tích vật thể tròn xoay:

ˆ{š{ 2 Ŵ
Ž‘‰ ˆ{š{ Ž‘‰ ‰{š{
;
ˆ{š{ ‰{š{
ƒ2Ŵ I ŵ
‰{š{ 2 Ŵ
Ž‘‰ ˆ{š{ 2 Ž‘‰ ‰{š{
;
ˆ{š{
2 ˧{˲{
ƒ2ŵ
ˆ{š{
2Ŵ
Ž‘‰ ˆ{š{ 2 Ž‘‰ ‰{š{
;
ˆ{š{ ˧{˲{
Ŵ I ŵ

•



Ŵ
α š[

ŵ
. $
š
ŵ



Diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

Ž‘‰ „

#



Ŷ š
{•‹ š{ …‘• š
{…‘• š{ . •‹ š
ŵ
{–ƒ š{
…‘•$ š
ŵ
{…‘– š{ . $
•‹ š
{ƒL { ƒL Ž ƒ
{‡L { ‡L
ŵ
{Ž‘‰ š{
šŽ ƒ
ŵ

{Ž š{
š

+ ℝ + nếu α nguyên âm hay α = 0.

Logarit : Ž‘‰ š …× ‰ŠÂƒ Š‹ ƒ 2 Ŵ I



ˆ —{š{ ; ›L

{ {
{š [ {
ŵ 
F
š

‰{š{

ˆ{š{ 2 ˧{˲{

ˆ{š{

›

@

’2J
’ J
ƒA{L{ ; ˆ{š{



šC$ ’C G .
{{

$

šC { {‹

{š . {$

˜ớ‹ ’C

{

ƒ„ - „$ {
ŵŶ
C(#

šC {

{

{šC . {$ ’C
{{

•

P(AB)=P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)

•

P(A1A2…An)=P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2)…P(An/A1A2…An-1)

•

 –‘ ’Šầ { {

•
•

C

Ž ŵ Šệ ñầ› ñủ …á… „‹ế …ố {ŵ 3  3 {

ƒ›‡• {

EÈ

{

E(# { E {

6{-= { 6{.È-= {
6{- { 6{.È- {

@
&

{ È

E

{

XS biến cố A xuất hiện ñúng k lần trong n phép thử Becnuli:
 {{

E

’E {ŵ . ’{

E


/>Lượng giác :
Tích thành tổng:

Số phức:
ðơn vị ảo i: ‹$ .ŵ
‹&E ŵ ‹&E # ‹ ‹&E $ .ŵ ‹&E % .‹
•
dạng ñại số : œ ƒ - „‹ ,a,b ∈ ℝ
ƒ - „‹ ƒ - „ ‹ ; {ƒ ƒ „ „Ȋ{
{ƒ - „‹{ / {ƒ - „ ‹{ {ƒ / ƒ { - {„ / „ {‹
œ ƒ - „‹ …× •ố ñố‹ Žà . œ .ƒ . „‹
{ƒ - „‹{{ƒ - „ ‹{ {ƒƒ . „„ { - {ƒ„ - „ƒ {‹
œ ƒ - „‹
•ố ’Šứ… Ž‹² Šợ’ œ ƒ . „‹

 

œ ƒ . „‹ ; œ œ 
œ - œȊ œ - œȊ
œœȊ œ œȊ
z là số thực ;z œ ; œ Ž •ố ả‘ ; œ .œ
ɜÉ
ƒ$ - „ $ = œ œ ; ÉœÉ 4 Ŵ ÉœÉ Ŵ ; œ

ɜ œ É ÉœÉ Éœ  É Éœ - œ  É 3 ÉœÉ - ɜ  É
ŵ
œ
œ  œ œ  œ

#
œ

œ
œ
œ #
ɜÉ$
ɜÉ$
œ
œ œ

ɜ  É
œ
œ œ 
F
Ӱ Ӱ

ɜÉ
œ
œ
œ

Ŵ

œ Ž …£ „ậ… Šƒ‹ …ủƒ ™ ; œ $ ™
š$ . ›$ ƒ
nếu z = x+yi , w = a+bi thì :
Ŷš› „
›
Hai căn bậc hai của số thực a > 0 là / ƒ
›
Hai căn bậc hai của số thực a < 0 là
/ .ƒ ‹
Ŵ
›
Phương trình bạc hai : œ $ - œ $
.Ÿ
; δ là một căn bậc 2 của .



œ

œ

Ŵ

•

œ# $

./^
$-



”

Dạng lượng giác:

”(cosþ+isinþ) với

Ŵ

…‘•þ

ɜÉ

œ#

F

œ$

ƒ$ - „ $

•‹þ

.

.

$-

<
F

”(cosþ+isinþ)
œȊ ”Ȋ(cosþ +isinþ )
œœ  ””  {…‘• {þ - þ { - ‹•‹{þ - þ {{
”
œ
{…‘• {þ . þ { - ‹•‹{þ . þ {{
œ ”
œ
” {…‘• þ - ‹•‹ þ{
þ - Ŷ
þ - Ŷ
@
@
œ
” …‘•
- ‹•‹
F




 Ŵ
.ŵ

Nhân ñôi và hạ bậc : •‹ Ŷš Ŷ •‹ š …‘• š
…‘• Ŷš
…‘•$ š . •‹$ š Ŷ Ŷ …‘•$ š . ŵ
ŵ . Ŷ •‹$ š
Ŷ –ƒ š
…‘– $ š . ŵ
–ƒ Ŷš
…‘– Ŷš
$
Ŷ …‘– š
ŵ . –ƒ š
ŵ . …‘• Ŷš
ŵ - …‘• Ŷš
…‘•$ š
•‹$ š
Ŷ
Ŷ
Ŷ–
š
•‹š
– –ƒ
ŵ - –$
Ŷ
ŵ . –$
Ŷ–
…‘• š
–ƒš

ŵ - –$
ŵ . –$

Trung tuyến:

Ÿ$

Ŷ„$ - Ŷ… $ . ƒ$

Diện tích tam giác :
ŵ
ƒ„…
ŵ
ƒŠ
„…•‹
’”

Ŷ
Ÿ
Ŷ
’{’ . ƒ{{’ . „{{’ . …{
ðl hàm số Cosin: ƒ$ „$ - … $ -2bc.cosA
ðl hàm số sin:
ƒ
„
…
Ŷ
•‹
•‹
•‹

Một số giới hạn :
Ž‹

L7"

•‹ š
š

ŵ

Ž‹

I{L{7"

•‹—{ š{
—{š{

ŵ

•‹$ š - …‘•$ š ŵ
…‘• š
•‹ š
…‘– š
–ƒ š
•‹ š
…‘• š
–ƒ š …‘– š ŵ
ŵ
ŵ - –ƒ$ š
…‘•$ š

ŵ
ŵ - …‘– $ š
•‹$ š


•‹{ - ƒ{
Ŷ

…‘•{ - ƒ{
Ŷ

–ƒ{ - ƒ{
Ŷ

…‘–{ - ƒ{
Ŷ

…‘• ƒ

. •‹ ƒ

.…‘– ƒ

.–ƒ ƒ

•‹{ . ƒ{
Ŷ

…‘•{ . ƒ{
Ŷ


–ƒ{ . ƒ{
Ŷ

…‘–{ . ƒ{
Ŷ
•‹{ . ƒ{ •‹ ƒ
…‘•{ . ƒ{ .…‘• ƒ
–ƒ{ . ƒ{ .–ƒ ƒ
…‘–{ . ƒ{ .…‘– ƒ
•‹{ - ƒ{
…‘•{ - ƒ{
–ƒ{ - ƒ{
…‘–{ - ƒ{
J˩{.α{ .•‹α
…‘•{.α{ …‘•α
–ƒ{.α{ .–ƒα
…‘–{.α{ .…‘–α

•‹{ - ƒ{
Ŷ

…‘•{ - ƒ{
Ŷ

–ƒ{ - ƒ{
Ŷ

…‘–{ - ƒ{
Ŷ

…‘• ƒ

7

#

…‘• š …‘• ›

Cộng:
•‹{š / ›{
…‘•{š / ›{

š-›
š.›
…‘•
Ŷ
Ŷ
š.›
š-›
•‹
•‹ š . •‹ › Ŷ …‘•
Ŷ
Ŷ
š-›
š.›
…‘• š - …‘• › Ŷ …‘•
…‘•
Ŷ
Ŷ

š.›
š-›
•‹
…‘• š . …‘• › .Ŷ •‹
Ŷ
Ŷ
{š
•‹ / ›{
–ƒ š / –ƒ ›
…‘•š…‘•›
•‹ {› / š{
…‘– š / …‘– ›
•‹š•‹›

Tổng thành tích :

•‹ š - •‹ ›

–ƒ ƒ

.•‹ ƒ
.…‘• ƒ
–ƒ ƒ
…‘– ƒ

.…‘– ƒ

ƒ$ - „ $ •‹{š - α{
ƒ
„

•‹ α
…‘• α
ƒ$ - „ $
ƒ$ - „ $

•‹ š / …‘• š
Ŷ •‹{š / {
Ÿ

˜ớ‹

Nhân ba :

.–ƒ ƒ

sin

‡ Ž‹

L7"

‡L . ŵ
š

Ŷ •‹

ƒ•‹ š - „…‘• š

…‘• ƒ

.•‹ ƒ

ŵ
{…‘•{š . ›{ . …‘•{š - ›{{
Ŷ
ŵ
{•‹{š - ›{ - •‹{š . ›{{
Ŷ
ŵ
{…‘•{š - ›{ - …‘•{š . ›{{
Ŷ

•‹ š …‘• › / •‹ › …‘• š
…‘• š …‘• › •‹ š •‹ ›
–ƒ š / –ƒ ›
–ƒ{š / ›{
ŵ –ƒ š –ƒ ›

…‘– ƒ

α - Ŷ
.α - Ŷ
α - 
α - 

•‹ š ŵ ; š
- Ŷ
Ŷ

•‹ š .ŵ ; š . - Ŷ

Ŷ
•‹ š Ŵ ; š 
…‘• š ŵ ; š Ŷ
…‘• š .ŵ ; š  - Ŷ

…‘• š Ŵ ; š
- 
Ŷ
•‹ š 
…‘• š

Có nghiệm ; ÉÉ 3 ŵ
ƒ•‹ š - „…‘• š …
Có nghiệm ; ƒ$ - „$ 4 … $

Ž‹ {ŵ - {

•‹ š …‘• ›

•‹ ƒ

Phương trình:
•‹ š •‹ α
š α - Ŷ
;Ӛ
š  . α - Ŷ
š
…‘• š …‘• α ; Ӛ
š
–ƒ š –ƒ α ; š

…‘– š …‘– α ; š

ŵ
Ž‹ ŵ - F
7


•‹ š •‹ ›

cos
tan
cot

Ŵ"
Ŵ
ŵ

Ŵ
ÉÉ

•‹ ŷš
…‘• ŷš
ŷŴ"
ŵ
Ŷ
ŷ
Ŷ
ŷ
ŷ
ŷ

ŷ •‹ š . Ÿ •‹% š
Ÿ …‘•% š . ŷ …‘• š
ŸŹ"
Ŷ
Ŷ
Ŷ
Ŷ
ŵ
ŵ

źŴ"
ŷ
Ŷ
ŵ
Ŷ

%Ŵ"

ŷ
ŷ
ŷ

ŵ

Ŵ
ÉÉ
Ŵ

Cấp số Cọng :

{— {Ž  ;  ∈ ȕ — # — - † † Š•
—E # - —E #
{ 4 Ŷ{
—E
Ŷ
—# - { . ŵ{†
—
{—# - — { {Ŷ—# - { . ŵ{†{

Ŷ
Ŷ
Cấp số nhân :
{— {Ž  ;  ∈ ȕ — # — “ “ Š•
—$E —E # —E # { 4 Ŷ{ ;—
—# “ #
ŵ.“
—#
É“É ŵ ; ˟
—#

ŵ.“
ŵ.“

ŵ

Ž‹

L7"

ƒL . ŵ

š

Žƒ Ž‹

L7"

Ž{ŵ - š{
š

ŵ


Hệ 2 ẩn :
ƒš - „›
ƒ  š - „ ›

…
…Ȋ

ƒ
} 
ƒ

ế—

Ŵ ; š

ế—
ế—

Ŵ ˜

„
}
„

0

0

L

›

•
Bất ñẳng thức giá tri tuyệt ñối : .ÉƒÉ 3 ƒ 3 ɃÉ
/>ƒ …
}

…
…Ȋ

„
}
„Ȋ

0

0

Ŵ Šƒ› M Ŵ ; Šệ˜ô ‰Š‹ệ
Ŵ ; Šệ ˜ô •ố ‰Š‹ệ Šƒ› ˜
L
M
ƒš - „› - …œ †
ƒ
„
…
Ŵ
Hệ 3 ẩn :Ӣ ƒ š - „ › - …  œ † ˜ớ‹
ƒ  „ … 
ƒ š - „ › - …  œ †
ƒ „ … 
•

•
•

Có nghiệm
†
với ˖
†Ȋ
†
É É

É É;

„
„
„

˲

L

˳

…
…
… 

M

ƒ
ƒ
ƒ

;Ӝ

;Ӝ

4Ŵ
. 3 3
4Ŵ

…
…
… 

;

N

;Ӝ

É É2˔;A
3

$

†
†
†

É É

/

Trị tuyệt ñối và căn thức :

É É3

˴

4Ŵ
4Ŵ
3 $

ÉšÉ I ; .I ˲ I {I 2 Ŵ{
ÉšÉ 2 I ; ˲ .I ˨Jặ… š 2 I {I 2 Ŵ{

ÉƒÉ . É„É 3 Ƀ - „É 3 ÉƒÉ - ɄÉ
•
Cauchy:
ƒ-„
ƒ $ - „$
ƒ-„ $
ƒ4Ŵ „4Ŵ
4 ƒ„
4 ƒ„ ƒ„ 3
F
Ŷ
Ŷ
Ŷ
ƒ4Ŵ „4Ŵ …4Ŵ

}
}
ƒȊ …Ȋ

M

4Ŵ
/

ƒ
ƒ
ƒ

„
„

„

†
†
†

Ŵ ˓ I× J˧˨ÂI
4Ŵ
Ӝ
3.
4
4

Ŵ
4Ŵ
;B
4Ŵ
Ӝ
4 $
Ӝ

Hình học giải tích trong không gian
zȎ
zȎ zȎ
 ÉÇȎÉ ÉȎÉ

ŵ ȎÇȎ Ȏ
ȎÇ zȎ
Ŵ
Vectơ ñơn vị ȎÇ Ȏ zȎ

zzzzzzȎ
{š › œ{ ;  š ȎÇ - › Ȏ - œ zȎ


zƒȎ {š › œ{ ; zƒȎ š ȎÇ - › Ȏ - œ zȎ
„ {šȊ ›Ȋ œȊ{ ;k ∈ ℝ :
Cho zƒȎ {š › œ{ zȎ
zȎ {š / š  › / ›  œ / œ  {
š šȊ zƒȎ / „
zȎ ; › ›Ȋ
 zƒȎ {š › œ{
zƒȎ „
œ œȊ
zȎ šš  - ››  - œœ 
zƒȎ „

zȎ ; šš  - ››  - œœ  Ŵ
zƒȎ ʗ „
š$ - ›$ - œ$
zȎ
zƒȎ „
šš  - ››  - œœ 
zȎ{
…‘•{ƒzȎ „
zȎÉ
ɃzȎÉ É„
š $ - › $ - œ $ š $ - › $ - œ $
zzzzzȎ {š. . š- ›. . ›- œ. . œ- {
zzzzzȎ
{š. . š- {$ - {›. . ›- {$ - {œ. . œ- {$

ɃzȎÉ

zzzzzzȎ


zzzzzzȎ ; š3


œ3
# E
›- - ›. œ- - œ.
{
 Ž –”—‰ ¯‹ể …ủƒ
; {
Ŷ
Ŷ
Ŷ
› œ
š ›
œ
š
zȎC Ә} 
?ƒzȎ „
› œ  } }œ  š  } }š  ›  }ә
L

EL

# E

›3

M

EM

# E
š- - š.

N

EN

zȎC ʗ zƒȎ ;
?ƒzȎ „

zȎC ʗ „
zȎ
zȎC Ŵ
zȎ … ’Šươ‰
zȎ ; zƒȎ „
?ƒzȎ „
?ƒzȎ „
zȎC
zȎ •‹{ zƒȎ „
zȎ{
ɃzȎÉ „
?ƒzȎ „
zȎ

zȎ
zƒȎ „ …Ȏ ¯ồ‰ ’Šẳ‰ ; ?ƒzȎ „C …Ȏ Ŵ
ŵ
ŵ
 -./
?zzzzzȎ zzzzzȎC
-./0
?zzzzzȎ zzzzzȎC zzzzzȎ
Ŷ
ź
BB -./0-./0
?zzzzzȎ zzzzzȎC zzzzzzzȎ

Mặt cầu :
Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c) bán kính R :
{š . ƒ{$ - {› . „{$ - {œ . …{$ $
Phương trình :
š $ - › $ - œ $ - Ŷƒš - Ŷ„› - Ŷ…œ - † Ŵ ˜ớ‹ ƒ$ - „$ - … $ . † 2 Ŵ
+ Là PT mặt cầu tâm {.ƒ .„ .…{ Bk 
ƒ$ - „ $ - … $ . †
$
$
$
+ Nếu ƒ - „ - … . † Ŵ ta ñược 1 ñiểm {.ƒ .„ .…{
+ Nếu ƒ$ - „$ - … $ . † Ŵ ta không có mặt cầu.
Mặt phẳng {α{ cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là ñường tròn ( C ) thì:
+ Tâm J của ( C ) là hình chiếu vuông góc của I lên (α)
+ Bán kính của ( C ) : ”
$ . †$ ˜ớ‹ † †{ α{

ƒ % - „% - … %
ƒ-„-… %
ƒ-„-…
4 ƒ„…
4 ƒ„… ƒ„… 3
F
ŷ
ŷ
ŷ
Dấu bằng xảy ra khi các số hạng bằng nhau.
•
Bất ñẳng thức Bunhiacôpxki:
{ƒ# „# - ƒ$ „$ - - ƒ „ {$ 3 {ƒ#$ - - ƒ$ {{„#$ - - „$ {
@
dấu bằng xảy ra khi :
<

<

<@

Mặt phẳng:
+ Nếu IȎ IzȎ là 2 vectơ có phương song song hay thuộc mặt phẳng (P) thì
một vectơ pháp tuyến của (P) là : JzȎ ?IȎ IzȎC
+ Phương trình mặt phẳng (P) qua H" {˲" ˳" ˴" { nhận JzȎ {˓ ˔ ˕{
làm vectơ pháp tuyến : {š . š" { - {› . ›" { - {œ . œ" { Ŵ
+ Phương trình tổng quát của mặt phẳng :
$
š- ›- œŴ
- $- $ Ŵ

+Phương trình theo ñoạn chắn : mặt phẳng (P) không qua O ,cắt 3 trục
tại A(a;0;0) B(0;b;0) C(0;0;c) :
˲ ˳ ˴
- ŵ
I I I
Vị trí tương ñối của 2 mặt phẳng {{ š - › - œ Ŵ
˜ { {

ÈÈ 



š-

;

ɬ ;






›-









œ







Ŵ





Ȋ
 …ắ–   ;

{ ʗ   ;
- -  Ŵ{
Trong các tỉ lệ quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử tương ứng cũng bằng 0.

ðường thẳng :
+Phương trình tham số : ñường thẳng qua
" {š" ›" œ" { ˜–…’ z—Ȏ{ƒ „ …{
š š" - –ƒ
› ›" - –„ {– ∈ ℝ{
œ œ" - –…

+Phương trình chính tắc:
š . š" › . ›" œ . œ"
{ƒ„… Ŵ{
ƒ
„
…
+ Phương trình tổng quát :
š- ›- œŴ {{

š -  › -  œ -  Ŵ {  {
zzzȎ C với zȎ zzzȎ
zȎ 
 là
ðường thẳng này có 1 vectơ chỉ phương là : z—Ȏ ?
vtpt của (P) và (P’)
+Vị trí tương ñối của 2 ñường thẳng d qua M0 có vtcp z—Ȏ và d’ qua
M0’có vtcp z—ȎȊ :
† ˜ † ∈ ŵ ặ– ’Šẳ‰ ; ?—
zȎ zzzȎ
— C zzzzzzzzzzzzȎ
" " Ŵ
zzzȎ C Ӛ—
zȎ
zȎ zzzzzzzzzzzzȎ
" " ӛ Ŵ
† ɬ † ; ?—
zȎ —
zȎ Ӛ—
zȎ{
Ŵ

zȎ zzzzzzzzzzzzȎ
" " ӛ Ŵ
zzzȎ C zzzzzzzzzzzzȎ
zzzȎ C
zȎ —
" " Ŵ ?—
zȎ —
† …ắ– † ; { ?—



zzzzzzzzzzzzȎ
zzzȎ
† …Š±‘ † ; ?—
zȎ — C " 
Ŵ
zzzȎ C
†ÉɆ ; ?—
zȎ —

"

zȎ }
Ŵ

š- ›- œŴ š- ›- œŴ
É  -  - É
…‘• þ
$ - $- $
$ - $ - $

+Góc giữa ñường thẳng d có vtcp z—Ȏ {ƒ „ …{ ˜ ’ {{…× ˜–’–
{:
zȎ {
É ƒ - „ - …É
ɗ
zȎ zȎÉ
•‹þ
$ - $ - $ ƒ$ - „ $ - … $
ɗ
zȎÉ É
zȎÉ
+Góc giữa 2 ñường thẳng :
Ƀƒ - „„ - ……  É
…‘• þ
ƒ$ - „ $ - … $ ƒ$ - „ $ - … $
Góc :
+Góc giữa 2 mp


Khoảng cách :
+ Khoảng cách từ ñiểm {š3 ›3 œ3 { tới mặt phẳng Ax+By+Cz+D=0

# {.…

Ŵ{ $ {… Ŵ{ –‹²— …ự # $ Ŷ…
-  $É
Ŷƒ {ƒ 2 I{
š$ ›$
 
ŵ

{ƒ 2 I 2 Ŵ{
ƒ$ „ $
$
$
$
„
ƒ . … ”ụ… Žớ Ŷƒ –”ụ… „± Ŷ„
ĐỉŠ # $ { ƒ Ŵ{ # $ { „ Ŵ{
=
ŵ
⏠•ƒ‹ ‡
– …ž… …ạŠ …ủƒ
Š¿Š …Šữ nhật cơ sở : š /ƒ › /„
Bán kính qua tiêu ñiểm
 # ƒ - ‡ š3
 $ ƒ . ‡ š3

Ellip:
/>
É š3 - ›3 - œ3 - É

†{ {{ {

$- $- $
ГŠ‘ả‰ …ž…Š –ừ ñ‹ể # –ớ‹ ñườ‰ –Šẳ‰ † {“—ƒ " ˜à …ó ˜–…’ z—Ȏ )
zzzzzzzzzzzzȎ
ȎC
?
# " z—
†{# †{

ɗ
zȎÉ
Khoảng cách giữa 2 ñường thẳng chéo nhau d ( qua M0 có vtcp ˯
zȎ { và d’
(qua M’0 có vtcp ˯
zȎȊ) :

zzzzzzzzzzzȎ
}?˯
zȎ zzzȎ
˯ C H
" H" }
ˤ{ˤ ˤ {
?˯
zȎ zzzȎ
˯ C
EBốC Bộ =Bữ BậH 텊 ŷ À…Š –Šướ… =B×
ŵ
{†–À…Š ¯ž›{ {…Š‹ề— …ƒ‘{
ŷ
Ÿ %
 £ A HFụ {†–À…Š ¯ž›{ …Š‹ề— …ƒ‘ 3=ầI Ÿ$  =ầI

ŷ
{…Š—
˜‹ ¯ž›{ …Š‹ề— …ƒ‘
Ŷ”Š
 B¿ B:Fụ
H ¿ B:Fụ L - Ŷ¯žM Ŷ”Š - Ŷ” $
EBØC:Fụ †–À…Š¯ž› Š‹ề— ƒ‘ ” $ Š

ŵ
{…Š— ˜‹ ¯ž›{ {¯ườ‰•‹Š{ π”Ž
L 4×
Ŷ
H 4×
L - ¯žM ”Ž - ” $
ŵ
ŵ $
{†‹ệ –À…Š ¯ž›{ …Š‹ề— …ƒ‘
4×
” Š
ŷ
ŷ

.ðường thẳng
zȎ {ƒ „{
• PTTsố của ñ.t qua {š" ›" { và có vtcp —
š š" - ƒ–
L L
M M
PTCTắc:
[;
zȎ {.„ ƒ{{ :
<
› ›" - „–
{:
• PT ñường thẳng qua {š" ›" { và có VTPT zȎ {
{š . š" { - {› . ›" { Ŵ
• PTTQ : š - › Ŵ $ - $ 2 Ŵ ; zȎ {
{

L
M
ŵ
• P.T theo ñoạn chắn : <

–ƒ α ; α là góc ñịnh hướng giữa Ox
Hệ số góc : 
với ñt d.
• ðt có hsg k thì có 1vtcp z—Ȏ {ŵ {; zȎ { .ŵ{
• P.T ðT qua {š" ›" { có hsg k : › {š . š" { - ›"
.Vị trí tương ñối của 2 ñường thẳng : Cho 2 ñ.t:
{† { ƒ $ š - „$ › - …$ Ŵ
{†{ ƒ# š - „# › - …# Ŵ
…# ƒ#
ƒ# „#
„# …#
}… ƒ }
L
M
ƒ $ „$
„$ …$
$
$
• (d) cắt (d’)
D 0 ƒ# ƒ $ „# „$
• {†{ÈÈ{† {
Ŵ ˜ L Ŵ Šƒ› M Ŵ
ƒ# ƒ $ „# „$ …# …$
Ŵ
• {†{ɬ{† {

L
M
ƒ# ƒ $ „# „$ …# …$
É L1 . Khoảng cách và góc: †{ {
•

<

<

Đặ– ˆ{{ ƒš3 - „›3 - … ˜ {†{ ƒš - „› - … Ŵ
• ˆ{{ ˆ{{ Ŵ
  ở về 2 phía ñối với (d)
• ˆ{{ ˆ{{ 2 Ŵ
  ở về 1 phía ñối với (d)
¯ường phân giác của góc tạo bởi 2 ñ.t d và d’
ƒ š - „ › - … 
ƒš - „› - …
/
ƒ$ - „ $
ƒ $ - „ $

Ƀƒ - „„ É
…‘•{† † {
ƒ$ - „ $ ƒ$ - „ $

ðường tròn : PTðtròn tâm I(a;b) bán kính R:
{š . ƒ{$ - {› . „{$ $
• Phương trình :

š $ - › $ . Ŷƒš . Ŷ„› - … Ŵ ƒ$ - „$ . … 2 Ŵ
là phương trình ñường tròn tâm I(a;b) ,bk 
ƒ$ - „ $ . …
• ðường thẳng : ƒš - „› - … Ŵ tiếp xúc với ñường tròn
É L- †{ { 
tâm {š › { bán kính R
<

•


‹ế’ –—›ế –ạ‹  ∈ ¯ườ‰ –”ò Šậ zzzzȎ
 Ž ˜–’–

Tiêu ñiểm :
M ∈ (Ellip)

É

#

ƒ”ƒ„‘Ž
Š‘ ¯t ∆ ˜ ¯‹ể  ∈ ƒ”ƒ„‘Ž

†{ ∆ {
…ŠÀŠ –ắ… ˳ $ ŶJ˲ ’ –Šƒ •ố tiêu.
˘ Ә Ŵә ¯ường chuẩn : ˲ .
$

$

Bán kính qua tiêu ñiểm : MF = p/2 + xM
3 ñường cônic
Cho F cố ñịnh , ñường thẳng không qua F . M ∈ Cônic ( C )
3
‡ ,e là số thực cho trước.
>{3 ∆{

•
•

•

( C ) là ellip
‡ ŵ
( C ) là parabol
‡ ŵ
( C ) là hyperbol
‡2ŵ

Hyperbol:
Tiêu ñiểm : # {.… Ŵ{ $ {… Ŵ{ –‹²— …ự # $ Ŷ…
É # .  $ É
Ŷƒ {ƒ …{
M ∈ (Hyperbol)
š$ ›$
I
 
. $ ŵ

… $ ƒ$ - „$ ˠIậJ ˳ / ˲
$
ƒ
„
I
I
I$
”ụ… –Šự… Ŷƒ –”ụ… ả‘ Ŷ„ ¯ I˨˯ẩJ ˲ /
/
˥
I
ĐỉŠ # $ { ƒ Ŵ{ # $ { „ Ŵ{
2ŵ
⏠•ƒ‹ ‡
– …ž… …ạŠ …ủƒ
Š¿Š …Šữ nhật cơ sở : š /ƒ ›
Bán kính qua tiêu ñiểm
 # Ƀ - ‡ š3 É
=

/„



$

Ƀ . ‡ š3 É