ĐỀ thi HSG huyện năm 2018 2019 (2)

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA

HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn: Toán

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN. (8 điểm)
Mỗi câu đúng 0,5 điểm
Câu 1
Câu 2
Câu 3
A
B;D
C
Câu 9
Câu 10
Câu 11
C
B
A
II. PHẦN TỰ LUẬN. (12 điểm)

Câu 4
B
Câu 12
C

Câu 5
C
Câu 13

A;C

Câu 6
D
Câu 14
C

Câu 7
D
Câu 15
D

Hướng dẫn giải

3
điểm

Câu 1

a. Chứng minh rằng nếu p, q là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì p 2 − q 2 chia
hết cho 24
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3 .
3 ⇒ p 2 − 1M
3 (*)
Mặt khác ta có ( p − 1) p ( p + 1) M
a.
Vì p − 1; p + 1 là hai số chẵn liên tiếp nên một số là bội của 2 , một số là bội
( 1,5 của 4 .
điểm) Do đó ( p − 1) ( p + 1) = p 2 − 1M
8 (**). Mặt khác ( 8,3) = 1 (***)

Từ (*), (**) và (***) suy ra p 2 − 1M24

Tương tự ta có: q − 1M24 ⇒ ( p − 1) − ( q − 1) = p − q M24
2

2

2

Câu 8
A
Câu 16
B

2

2

0,5
0,5
0,25
0,25

b. Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1; a 2 + b 2 + c 2 = 1; a 3 + b3 + c3 = 1 .
Chứng minh: a 2017 + b 2018 + c 2019 = 1 .
Ta có a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

⇒ 1 − 3abc = 1 − ab − bc − ca ⇔ ab + bc + ca = 3abc
12 = ( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab + bc + ca )
2

b.
( 1,5
điểm)

a = 0
⇒ ab + bc + ca = 0 ⇒ abc = 0 ⇔ b = 0
 c = 0
b + c = 1
 2
2
Nếu a = 0 => b + c = 1
b3 + c 3 = 1


⇒ b 2 + c 2 + 2bc = 1 ⇒ 2bc = 0 ⇒ (a,b,c) =(0,0,1) hoặc (a,b,c) =(0,1,0)

0,25
0,25
0,25

0,5

Trang- 1/5


Nếu b = 0 làm tương tự =>(a,b,c) =(0,0,1) hoặc (a,b,c) =(1,0,0)
Nếu c = 0 làm tương tự =>(a,b,c) =(0,1,0) hoặc (a,b,c) =(1,0,0)
Vậy mọi trường hợp ta có P = 1

0,25
3,5
điểm

Câu 2
a. Giải phương trình:

a.
(1,75
điểm)

x3 + x 2 + 3x + 3 + 2 x = x 2 + 3 + 2 x 2 + 2 x

 x3 + x 2 + 3x + 3 ≥ 0

2 x ≥ 0
⇔ x≥0
+ Điều kiện xác định:  2
x + 3 ≥ 0
2 x 2 + 2 x ≥ 0

+ Viết lại phương trình

( x + 1) ( x 2 + 3) +

2 x = x 2 + 3 + 2 x ( x + 1) ⇔

0,25

(

2x − x2 + 3

)(

0,5

+ Phương trình

2 x − x 2 + 3 = 0 ⇔ x 2 − 2 x + 3 = 0 vô nghiệm.

0,5

+ Phương trình

x + 1 − 1 = 0 ⇔ x = 0 (thỏa mãn ĐKXĐ)

0,25

+ Kết luận nghiệm của PT là x = 0

b.
( 1,75
điểm)

)

x +1 −1 = 0

0.25

 xy + x + 1 = 7 y
( *)
b. Giải hệ phương trình:  2 2
2
x
y
+
xy
+
1
=
13
y

1 = 0
( vn ) ⇒ y ≠ 0
Thay y = 0 vào hệ ta có: 
1 = 0

0,25

x 1

x+ + =7

y y
 xy + x + 1 = 7 y

⇒

( **)
Với y ≠ 0 ta có:  2 2
2
x
1
x
y
+
xy
+
1
=
13
y
2

x + +
= 13

y y2

0,25

1

a
=
x
+


y
1
⇒ x 2 + 2 = a 2 − 2b
Đặt 
y
b = x

y

0,5

 a = 4

a + b = 7
b = 3
⇔
Kết hợp với ( **) ta có hệ phương trình:  2
a − b = 13  a = −5

 b = 12

Trang- 2/5


Với

 x = 3

 y = 1
a = 4  x = 3 y

⇒ 2
⇔  x = 1


b = 3 3 y − 4 y + 1 = 0
 y = 1
 
3

0, 25

1

x + = −5

 x = 12 y
y
a = −5 
⇒
⇒
Với 
2
b = 12
12 y + 5 y + 1 = 0 ( vn )
 x = 12
 y

0,25

 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm: ( x; y ) = ( 3;1) ; ( x; y ) = 1; ÷
 3

0,25

Cho đường tròn (O) có dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A di động
trên đường tròn sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao BE,
CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng
EF và BC đoạn thẳng KA cắt (O) tại M. Chứng minh rằng
4
Câu 4
a. Tứ giác BCEF nội tiếp được trong đường tròn.
điểm
b. KM .KA = KB.KC
c. Đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định khi A di động trên
đường tròn (O)

a.
(1
điểm)
Do BE;CF là các đường cao của tam giác
Do đó tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp.

nên

0,5
0,5

Trang- 3/5

b.
(1,0
điểm)

·
·
Vì tứ giác AMBC nội tiếp nên KMB
= KCA

0,25

·
·
µ chung; KMB
⇒ VKBM ~ VKCA (g.g)
Xét VKBM và VKAC có K
= KCA

0,25

⇒

KB KM
=
⇒ KM .KA = KB.KC (1) (ĐPCM)
KA KC

Chứng minh tương tự phần b ta có KE.KF = KB.KC (2)
Từ (1); (2) suy ra KM .KA = KE.KF

Từ KM .KA = KE.KF suy ra tứ giác EFMA nội tiếp (3)
Có ·AEH = ·AFH = 900 suy ra tứ giác AEHF nội tiếp(4)
Từ (3),(4) suy ra 5 điểm A,M,F,H,E cùng thuộc đường tròn
c
Do đó ·AMH = ·AFH = 900
(2
điểm) Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua O
Chứng minh M,H,A’ thẳng hàng.
Chứng minh BH//CA’; CH//BA’ nên BHCA’ là hình bình hành.
Suy ra MH đi qua trung điểm I cố định của BC

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn x + y + z = 2018 . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2018 2018 + x 4 y − 4 z
Câu 5
P=
+
+
.
x
y
2018 − y
(1,5
2018 2018 + x 4 y − 4 z
P=
+
+
điểm)
x
y
2018 − y

=

x + y + z 2x + y + z 4 y − 4z
+
+
x
y
x+z

 y x z+x x+z
4x
4y
=  + ÷+
+
+
+
−3
x
y
x
y
x
+
z
x
+
z


y x

+ ≥2
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có:
x y
z+x
4x
z + x 4x
+
≥2
.
= 2.2 = 4
x
x+z
x x+z
Tương tự :

0,5
0, 5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

1,5
điểm

0,5

0,25

0,25

x+z
4y
+
≥4
y
x+z

Trang- 4/5


Suy ra P ≥ 2 + 8 – 3 = 7
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
Kết luận: Pmin = 7 ⇔ x = y = z =

2018
3

2018
3

0,25

0,25

Trang- 5/5