8 đề thi chính thức vào 10 môn toán hệ chuyên THPT chuyên thái nguyên năm 2015 2016 (có lời giải chi tiết)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI NGUYÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
CHUYÊN THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi: TOÁN (Chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi gồm: 01 trang)

Câu 1 : (1,5đ)
Cho phương trình x 2 − (m + 1) x + m = 0, m là tham số . Tìm giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm trái
2
2
dấu x1 , x2 sao cho x1 + x2 = 17
Câu 2 : (1,5đ)
 x 4 + y 4 = 97
Giải hệ phương trình sau : 
x + y = 5
Câu 3 : (1,0đ)
Hay tìm các chữ số a , b , c , d biết rằng a, ad , cd , abcd là các số chính phương .
Câu 4 (1,0đ)
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình sau : x 4 + y 3 = xy 3 + 1.
Câu 5 : (1,0đ)
Chứng minh rằng luôn tồn tại một số dạng 20162016…2016 (gồm các số 2016 viết kế tiếp nhau) mà số đó chia
hết cho 2017 .
Câu 6 (1,5đ)
Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB , CD . Biết đường tròn ngoại
tiếp hình chữ nhật ABCD có đường kính bằng 8 + 2 3 và tồn tại một điểm I thuộc đoạn thẳng MN sao cho
·

·
góc DAI
= 45o và góc IDA
= 30o. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD .

Câu 7 (2,5đ)
Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm K . Vẽ tiếp tuyến chung AD (A ∈ (O1), D ∈ (O2))
rồi vẽ đường kính AB của đường tròn (O1) Qua B vẽ tiếp tuyến BM với đường tròn (O2). Chứng minh rằng :
a. BM2 = BK.BD.
b. AB = BM.
---------------------------Hết----------------------------

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />

ĐÁP ÁN
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN THÁI NGUYÊN
Bài 1 :
Phương trình : x 2 − (m + 1) x + m = 0 có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0 m < 0 (*)
Áp dụng định lý Vi – et ta có : x1 + x2 = m + 1; x1 x2 = m
2
2
2
Để : x1 + x2 = 17 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 17

0,5đ
0,25đ

⇔ (m + 1) − 2m = 17 ⇔ m = 16 ⇔ m = ±4

Kết hợp điều kiện (*) ta tìm được m = - 4

0,25đ
0,25đ

2

2

0,25đ

Bài 2 :
Đặt xy = a khi đó ta có :
x 4 + y 4 = 97 ⇔ ( x 2 + y 2 ) 2 − 2 x 2 y 2 = 97
⇔ (( x + y ) 2 − 2 xy ) 2 − 2 x 2 y 2 = 97 ⇔ (52 − 2a) 2 − 2a 2 = 97
⇔ (( x + y ) 2 − 2 xy ) 2 − 2 x 2 y 2 = 97 ⇔ (52 − 2a) 2 − 2a 2 = 97
a = 6
⇔ 2a 2 − 100a + 528 = 0 ⇔ 
0, 25d
 a = 44
+ Với a = 6 , ta có hệ phương trình
 xy = 6
x = 2
x = 3
⇔
hoặc 
0,5đ

x + y = 5  y = 3
y = 2

 xy = 44
+ Với a = 44 ta có hệ phương trình : 
vô nghiệm 0,25đ
x + y = 5
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : (2;3) , (3;2) .
Câu 3 :
Do a là chính phương nên a∈{1; 4; 9}
Ta có 92 = 81,10 2 = 100 nên không có số dạng 9x là chính phương suy ra a = 1 hoặc a = 4 .
0,25đ
+ Do ab chính phương nên ad = 16 hoặc ad = 49 suy ra d = 6 hoặc d = 9
+ Do cd chính phương nên cd =16 hoặc cd =36 hoặc cd =49 => c = 1 hoặc c = 3 hoặc c = 4
0,25đ
2
+ Nếu a = 1 , d = 6 và c = 1 hoặc c = 3 khi đó abcd = 1b16 hoặc abcd = 1b36 . Do 1bc6 = ( x 4) hoặc 1bc6 = ( x6) 2
nên ta có 262 = 676;
342 = 1156; 442 = 1936; 462 = 2126. Chỉ có 1936 là thỏa mãn yêu cầu bài toán .

( )

+ Nếu a = 4 , d = 9 và c = 4 khi đó abcd = 4b 49 = x3

2

( )

hay abcd = x7

2

Ta có : 632 = 3969;67 2 = 4489;732 = 5329 không có số nào thỏa mãn yêu cầu đề bài 0,25đ

Vậy với a = 1 , b = 9 , c = 3 , d = 6 thỏa mãn yêu cầu bài toán . 0,25đ
Câu 4 :
Ta có : x 4 + y 3 = xy 3 + 1 ⇔ x 4 − 1 + y 3 − xy 3 = 0
Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />

x =1
⇔ ( x − 1)( x3 + x 2 + x + 1 − y 3 ) = 0 ⇔  3
2
3
x + x + x +1 = y
+ Với x = 1 thay vào phương trình đã cho ta được : 1 + y 3 = y 3 + 1 đúng với mọi y nguyên .
Vậy (x;y) = (1;t) , ∀t ∈ Z
+ Với x 3 + x 2 + x + 1 = y 3 (1) . Khi đó :
Do x ∈ Z và x 2 + x + 1 > 0 => x 3 < y 3 (2)
+ Mặt khác do : x ∈ Z và x(x+1) > 0 nên ta có:
Khi x = 0 thì y = 1 thỏa mãn .
Khi x = -1 thì y = 0 thỏa mãn . 0,25đ
Vậy các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình đã cho là(0;1) , (-1; 0), (1; t) , ∀t ∈ Z
Câu 5 :
Ta xét 2018 số dạng an = 20162016...2016 ( gồm n số 2016 viết kế tiếp nhau )1 ≤ n ≤ 2018
Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại 2 số ak , at mà có hiệu ( ak − at ) M2017,
1 ≤ t ≤ k ≤ 2018, k , t ∈ N *
4t
Do: ak − at = 10 ak −t
4t
Mà (10 , 2017) = 1 => ak −t M2017
Vậy chứng tỏ tồn tại số có dạng 20162016…2016 chỉa hết cho 2017 .

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

Câu 6 :

Đặt AB = x , AD = y , 0 < x < y .
Do đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có đường kính bằng :

8 + 2 3 nên ta có :

AC = BD = 8 + 2 3 => x 2 + y 2 = 8 + 2 3 (*)
·
Do : DAI
=45o nên tam giác MAI vuông cân tại M .
x
Suy ra : MI = MA =
2

0,25đ

0,25đ

x
x 3
·
Ta lại có tam giác NDI vuông tại N và NDI
0,25đ
= 60o nên trong tam giác IND có : ND = => NI =

2
2
x x 3 1+ 3
Từ đó suy ra : y = MN = MI + IN = +
0,25đ
=
x
2
2
2
1+ 3
Thay y =
x vào (*) ta được :
2

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />

2

 1+ 3 
4+2 3 2
2
x + 
x÷
=
8
+
2

3
⇔
x
+
x = 8+ 2 3
÷
2
4


2
⇔ x = 4 => x = 2 => y = 1 + 3

0,25đ

Vậy : S ABCD = xy = 2 1 + 3

0,25đ

2

(

)

Bài 7 :

0,25đ
a) + Hình vẽ : ( BM có thể nằm giữa BA và BD )
+ Dễ dàng chứng minh được 3 điểm B , K , D thẳng hàng . 0,25đ

Xét hai tam giác ΔBMK và ΔBDM có :
·
·
(vì cùng bằng nửa số đo cung KM của (O2) ) 0,25 đ
BDM
= KMB
·
chung 0,25đ
MBD
Suy ra : ΔBMK đồng dạng với ΔBDM . 0,25đ
BK BM
⇒
=
=> BM 2 = BK .BD (1) 0,5đ
BM BD
b) Có : ·AKB = 90o ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O1) )
·
Có DAB
0,25đ
= 90o ( Do AD là tiếp tuyến của đường tròn (O1) )
·ABK = KAD
·
(Vì c ng bằng nửa số đo cung AK của (O1) )
0,25đ
Suy ra : ΔAKB đồng dạng với ΔDAB
AB BK
⇒
=
⇒ AB 2 = BD.BK (2) . 0,25đ
BD AB

Từ (1) và (2) suy ra : AB 2 = BM 2 => AB = BM 0,25đ

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />