15 đề thi chính thức vào 10 môn toán THPT chuyên hà giang năm 2015 2016 (có lời giải chi tiết)

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC: 2015 – 2016
Môn thi: TOÁN
Thời gian thi: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
(Dành cho tất cả các thí sinh thi vào THPT Chuyên)

SỞ GD & ĐT HÀ GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1 (2,0 điểm)
1 �� a  1
a 2�
� 1


Cho biểu thức P  �
�
�: �
a ��
a 1 �
� a 1
� a 2
�
a. Rút gọn biểu thức P
1
b. Tìm a để P 
6
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho phương trình: x – 2(m – 1)x + m + 1 = 0
a. Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn điều kiện x = 3x

Câu 3 (1,5 điểm)
Hai người thợ làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người
1
thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm được công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình trong mấy giờ
4
thì xong.
Câu 4 (3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn (O;R), đường kính AB, C là điểm chính giữa cung AB. Điểm M thuộc cung AC (M
≠ A, M ≠ C). Qua M kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn, gọi H là giao điểm của BM với OC. Từ H kẻ một
đường thẳng song song với AB, đường thẳng đó cắt tiếp tuyến d ở E.
a. Chứng minh OHME là tứ giác nội tiếp
b. Chứng minh EH = R
c. Kẻ MK vuông góc với OC tại K. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆ OBC đi qua tâm đường tròn nội tiếp ∆
OMK.
Câu 5 (1,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của A  x  1  y  2 , biết x + y = 4
2

1

2

1

2

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />

ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1
a. Ta có: Điều kiện: a > 0, a ≠ 1, a ≠ 4
a  ( a  1) ( a  1)( a  1)  ( a  2)( a  2)
P
:
a ( a  1)
( a  2)( a  1)


1
(a  1)  (a  4)
1
( a  2)( a  1)
:

.
3
a ( a  1) ( a  2)( a  1)
a ( a  1)

a 2
3 a
b. Điều kiện: a > 0, a ≠ 1, a ≠ 4
1
a 2 1
a 2 1
P �
 �
 � 2( a  2)  a � a  4 � a  16 (thỏa mãn)

6
6
2
3 a
a
Vậy a > 16 là điều kiện cần tìm
Câu 2
a. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆’ = (m – 1) – (m + 1) > 0
⇔ m – 3m > 0 ⇔ m(m – 3) > 0 ⇔ m > 3 hoặc m < 0
b. Với m > 3 hoặc m < 0, phương trình có 2 nghiệm x , x . Theo Viét ta có
x + x = 2m – 2; x x = m + 1 ⇒ x = 2m – 2 – x
m 1
3(m  1)
� x1 
Ta có x = 3x ⇔ 2m – 2 – x = 3x ⇔ 4x = 2m – 2 � x2 
2
2
m  1 3(m  1)
� m  1  x1 x2 
.
� 4(m  1)  3(m  1) 2
2
2
5 2 7
52 7
(thỏa mãn) hoặc m 
(thỏa mãn)
� 3m 2  10m  1  0 � m 
3
3

5 �2 7
Vậy m 
là giá trị cần tìm.
3
Câu 3
Gọi số giờ để mỗi người làm một mình hết công việc đó lần lượt là x và y (h) (x,y > 0)
1
1
Mỗi giờ, người thứ nhất và người thứ hai làm được và (công việc)
y
x
�1 1 �
1 1 1
Hai người làm hết công việc đó trong 16h nên 16 �  � 1 �  
(1)
x y 16
�x y �
1
1 1
1
Người thứ nhất làm trong 3h và người thứ 2 làm trong 6h thì được công việc nên 3.  6.  (2)
x
y 4
4
�1 1 1
�1 1

�x  y  16
�
�x  24

�
�x 24
��
��
Từ (1) và (2) có hệ: �
(thỏa mãn)
1 1
1
1 1
y  48
�
�
�

3.  6. 
�
y 4
�y 48
� x


2

2

1

1

2

1

1

2

1

2

2

2

2

2

2

Vậy thời gian để mỗi người làm một mình xong công việc là 24h và 48h
Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />

Câu 4

a. Vì C là điểm chính giữa cung AB nên OC ⊥ AB. ME là tiếp tuyến của (O) ⇒ ME ⊥ MO
=> OHE = OME = 90o => OHME là tứ giác nội tiếp

(1)
o
b. Có góc nội tiếp chắn nửa đường tròn AMB = 90 => AMH + AOH = 180o
⇒ OHMA là tứ giác nội tiếp
(2)
Từ (1) và (2) ⇒ 5 điểm O, H, M, E, A cùng thuộc 1 đường tròn ⇒ OMEA là tứ giác nội tiếp
=> EAO = 180o – EMO = 90o
Tứ giác OHEA có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật. ⇒ EH = OA = R.
c. Gọi I là trung điểm BC ⇒ đường tròn (I), đường kính BC là đường tròn ngoại tiếp ∆ OBC
Gọi J là giao của (I) và BH.
Vì OM = OB nên ∆ OMB cân tại O => OMB = OBM
Vì MK ⊥ OC ⇒ MK // AB ⇒ OBM = KMB
Suy ra OMB = KMB ⇒ MJ là phân giác của góc OMK (3)
Vì OJCB là tứ giác nội tiếp nên JOC = JBC
(4)
Có MOC = 2.MBC (góc ở tâm và góc nội tiếp)
(5)
Từ (4) và (5) ⇒ MOC = 2.JOC => MOJ = JOC => OJ là phân giác góc MOC (6)
Từ (3) và (6) ⇒ J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MKO
Vậy đường tròn (I) đi qua tâm đường tròn nội tiếp ∆ MKO
Câu 5
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số (1;1) và



A2 
1. x 1 �
1.
y 2

 1
2

2

12   x 1 y 2 

2 x





x  1; y  2 ta có

y 3

2

A

� 3
�
1
x 1
x
�

�x  1  y  2
�

� 2
��
1
y2 � �
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi �
�x  y  4
�
�y  5
�x  y  4
� 2
Vậy GTLN của A là 2

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />
2