24 đề thi chính thức vào 10 môn toán hệ chung THPT chuyên lam sơn thanh hóa năm 2015 2016 (có lời giải chi tiết)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn: TOÁN
(Dành cho tất cả các thí sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 12 tháng 6 năm 2015

Câu 1: (2,0 điểm)
a
a 
a +1

+
(a > 0, a ≠ 4)
Cho biểu thức: M = 
÷:
a −2 a−4 a +4
a−2 a
a) Rút gọn biểu thức M.
b) Tìm tất cả các giá trị của a để M ≤ 0.
Câu 2: (2,5 điểm)
3

2
x
+

=3

y

a) Giải hệ phương trình: 
x − 2 = 5

y
b) Cho phương trình: x 2 + 2(m − 2) − m 2 = 0 , với m là tham số. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân
việt x1;x2 thỏa mãn x1 < x2 ;| x1 | − | x 2 |= 6
Câu 3: (1,5 điểm)
Giải phương trình: 5 x 3 + 1 = 2( x 2 + 2)
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A và (C) là đường tròn tâm C bán kính CA. Lấy điểm D thuộc đường tròn (C) và
1
ACD ; N là giao điểm của đường
2
thẳng MD với đường cao AH của tam giác ABC; E là giao điểm thứ hai của đường thẳng BD với đường tròn
(C). Chứng minh rằng:
a) MN song song với AE.
b) BD.BE = BA2 và tứ giác DHCE nội tiếp.
c) HA là đường phân giác của góc DHE và D là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Câu 5: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x
y
z
S=
+
+
2

2
1 + y 1 + z 1 + x2
----HẾT---nằm trong tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho BDM =

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />

Câu
Câu 1

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHUYÊN LAM SƠN – MÔN TOÁN CHUNG
Nội dung
a/ Rút gọn biểu thức M ( a > 0 và a ≠ 4.)
a
a 
a +1

M =
+
÷:
a −2 a−4 a +4
a−2 a

a
a 
a +1
=
+
÷:

a − 2  ( a − 2) 2
 a ( a − 2)

a
a  ( a − 2) 2
a ( a + 1) ( a − 2) 2
= 
+
.
=
.
÷
÷
a
−
2
a
−
2
a
+
1
a
−
2
a +1


= a ( a − 2) = a − 2 a
b/ Tìm tất cả các giá trị của a để M ≤ 0

M ≤ 0 => a ( a − 2) ≤ 0 => a − 2 ≤ 0( do

Câu 2

a ≥ 0)

=> a ≤ 2 => a ≤ 4
Kết hợp điều kiện : Với 0 < a < 4 thì M ≤ 0.
Không xảy ra dấu = vì a ≠ 0 và a ≠ 4.
a/ Giải hệ phương trình
3

2 x + y = 3
1

Điều kiện: y ≠ 0. Đặt = t ta có hệ phương trình

y
x − 2 = 5

y
 2 x + 3t = 3
2 x + 3t = 3
−7t = 7
t = −1
<=> 
<=> 
<=> 

 x − 2t = 5(2)

2 x − 4t = 10
 x − 2t = 5
x = 3
Với t = −1 =>

1
= −1 => y = −1
y

x = 3
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất 
 y = −1
2
2
b/ x + 2(m − 2) x − m = 0 ( m là tham số)
Ta có: ∆ ' = (m − 2) 2 + m 2
(m − 2) 2 ≥ 0
=> ∆ ' = (m − 2) 2 + m 2 ≥ 0
Do 
m ≥ 0
(m − 2) 2 = 0
m = 2
=> 
=> m ∈ Φ
Dấu = xảy ra khi  2
 m = 0
m = 0
Vậy ∆ ' = (m − 2) 2 + m 2 > 0 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 < x2

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com

SĐT : 0982.563.365
Facebook : />
Điểm


 x1 + x2 = 4 − 2m
Theo viet ta có : 
2
 x1 x2 = − m
Để
| x1 | − | x2 |= 6 => (| x1 | − | x2 |) 2 = 36 => x12 + x2 2 − 2 | x1 x2 |= 36(1)
Do x1 x2 = −m 2 ≤ 0 =>| x1 x2 |= − x1 x2
 x1 + x2 = 6
2
2
2
Thay vào (1) => x1 + x2 + 2 x1 x2 = 36 => ( x1 + x2 ) = 36 => 
 x1 + x2 = −6
- Nếu : x1 + x2 = 6 =>4 - 2m = 6 => m = -1
- Nếu : x1 + x2 = −6 =>4 - 2m =-6 => m =5
Với m = -1, thay vào ta có phương trình
x2 − 6 x −1 = 0
∆ ' = 10 > 0
Phương trình có 2 nghiệm x1 < x2 là
x2 = 3 + 10; x1 = 3 − 10
Khi đó: | 3 − 10 | − | 3 + 10 |= −6( KTM )
Với m = 5, thay vào ta có phương trình
x 2 + 6 x − 25 = 0
∆ ' = 34 > 0
Phương trình có 2 nghiệm x1 < x2 là

x2 = −3 + 34; x1 = −3 − 34
Khi đó : | −3 − 34 | − | −3 + 34 |= 6(TM )
Câu 3

Vậy m = 5.
Giải phương trình: 5 x 3 + 1 = 2( x 2 + 2) (Điều kiện x ≥ -1)
PT <=> 5 ( x + 1)( x 2 − x + 1) = 2( x 2 + 2)
Đặt

x + 1 = a; x 2 − x + 1 = b ( a, b ≥ 0 )

=> a 2 + b 2 = x 2 + 2. thay vào ta có PT
5ab = 2(a 2 + b 2 )
<=> (2a − b)(2b − a) = 0
TH1: 2a-b=0=>2a=b

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />

2 x + 1 = x2 − x + 1
=> 4 x + 4 = x 2 − x + 1
<=> x 2 − 5 x − 3 = 0
∆ = 37 > 0

5 + 37
(TM )
 x1 =
2
=> 


5 − 37
(TM )
 x2 =

2
TH2: 2b-a=0
=>2b=a
2 x2 − x + 1 = x + 1
=> 4 x 2 − 4 x + 4 = x + 1
<=> 4 x 2 − 5 x + 3 = 0
∆ = −23 < 0 => PTVN
Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm : x1 =

5 + 37
5 − 37
; x2 =
2
2

Câu 4

a/ Chứng minh MN//AE
Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />

Xét đường tròn (C) ta có : AED =

1

ACD (góc nôi tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn cung
2

AD) (1)
1
ACD ( gt )(2)
2
Từ 1, 2 => AED= BDM
=> MN//AE (Vì có 2 góc đồng vị bằng nhau)
b/ Chứng minh BD.BE = DA2 và tứ giác DHCE nội tiếp
+ Chứng minh BD.BE = BA2
Xét ∆BAD và ∆BEA có
ABE chung (3)
AD=BEA( cùng chắn cung AD)
(4)
Từ 3,4 => ∆BAD ~ ∆BEA (g.g)
BD BA
=>
=
=> BD.BE = BA2 (5) (ĐPCM)
BA BE
+ Chứng minh DHCE nội tiếp
Xét ∆BAC vuông tại A có AH là đường cao => BA2 = BH.BC (Hệ thức) (6)
BD BH
=
(7) Mà CBE chung (8)
Từ 5,6 => BD.BE = BH.BC=>
BC BE
=> ∆BDH~ ∆BCE (c.g.c) => BHD =BEC (Hai góc tương ứng) (9)
Mà BHD +DHC = 180o (10)

Từ 9,10 => DHC+ BEC = 180o => Tứ giác DHCE nội tiếp (Đ/l) (ĐPCM)
c/ Chứng minh HA là đường phân giác của góc DHE và D là trung điểm của đoạn thẳng MN
+ Chứng minh HA là đường phân giác của góc DHE
Xét ∆CHE và ∆CEB có HCE chung (11)
Xét ∆BAC vuông tại A có AH là đường cao => CA2 = CH.CB (Hệ thức)
CE CH
=
(12)
Hay CE2 = CH.CB (do CE = CA = R) =>
CB CE
Từ 11,12 => ∆CHE và ∆CEB (c.g.c) => CHE =CEB (13)
Từ 9.13 => CHE= BHD
=> AHE= AHD (cùng phụ với 2 góc bằng nhau)
=> HA là đường phân giác của góc DHE
+ D là trung điểm của đoạn thẳng MN
DM BD
=
(talet )(14)
Ta có : MD//AE (câu a) =>
EA BE
Gọi giao của DE và AH là F
DN FD HD
=
=
Ta có :
(Ta lét – T/c tia phân giác) (15)
EA FE HE
DH BD
=
=> DH .CE = CH .BD (16)

Ta có : ∆HDB ~ ∆HCE (g.g) =>
HC CE
HC HE
=
=> HC.B E = HE.CE(17)
Ta có : ∆CHE ~ ∆CEB (g.g) => =>
CE BE
BDM =

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />

DH .CE HC.BD
HD BD
=
=>
=
(18)
HE.CE HC.BE
HE BE
DM DN
=
=> DM = DN
Từ 14.15.18 =>
EA
EA
=> D là trung điểm của MN (ĐPCM)
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn : x + y + z = 3
x

y
z
+
+
Tìm giá trị nhỏ nhất của S =
2
2
1 + y 1 + z 1 + x2
Từ 16,17 =>

Câu 5

x
xy 2
y
yz 2
z
zx 2
+
= x;
+
= y = x;
+
=z
Ta có :
1+ y2 1+ y2
1+ z2 1+ z2
1 + x2 1 + x2
=> S =

x
y
z
xy 2
yz 2
zx 2
+
+
=
(
x
+
y
+
z
)
−
(
+
+
)
1 + y2 1 + z 2 1 + x2
1 + y2 1 + z 2 1 + x2

=> S = 3 − (

xy 2
yz 2
zx 2
+

+
)
1 + y2 1 + z 2 1 + x2

Ta có:
xy 2
xy 2 xy yz 2
yz 2 yz zx 2
zx 2 zx
≤
=
;
≤
=
;
≤
=
1+ y2 2 y
2 1 + z2 2z
2 1 + x2 2 x
2
xy 2
yz 2
zx 2
xy + yz + zx
+
+
≤
2
2

2
1+ y 1+ z 1+ x
2
xy + yz + zx
=> S ≥ 3 −
2
Do
( x + y + z ) 2 ≥ 2( xy + yz + zx) => xy + yz + zx ≤ 3
3
3
=> S ≥ 3 − => S ≥
2
2
3
=> S MIN = khi x=y=z=1
2
=>

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />