28 đề thi chính thức vào 10 môn toán hệ chung THPT chuyên nguyễn trãi hải dương năm 2014 2015 (có lời giải chi tiết)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu I ( 2,0 điểm)
1) Giải phương trình:

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NGUYỄN TRÃI
NĂM HỌC 2014 – 2015
Môn thi: Toán ( không chuyên )
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi gồm: 01 trang

43 − x = x − 1

2) Rút gọn biểu thức: A =

10 x
2 x −3
x +1
−
+
(x ≥ 0; x ≠ 1)
x+3 x −4
x + 4 1− x

Câu II ( 2,0 điểm)
Cho Parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d):y=(m-1)x+m+4 (tham số m)
1) Với m = 2, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).
2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.

Câu III ( 2,0 điểm)
 x + y = 3m + 2
1) Cho hệ phương trình: 
( tham số m)
3 x − 2 y = 11 − m
Tìm m để hệ đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn x2 – y2 đạt giá trị lớn nhất.
2) Một ô tô dự định đi từ A đến B dài 80 km với vận tốc dự định. Thực tế trên nửa quãng đường đầu ô tô đi
với vận tốc nhỏ hơn vận tốc dự định là 6 km/h. Trong nửa quãng đường còn lại ô tô đi với vận tốc nhanh
hơn vận tốc dự định là 12 km/h. Biết rằng ô tô đến B đúng thời gian đã định. Tìm vận tốc dự định của ô
tô.
Câu IV ( 3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC cắt nhau tại H. Dựng hình bình hành
BHCD.
1) Chứng minh: Các tứ giác APHN, ABDC là các tứ giác nội tiếp.
2) Gọi E là giao điểm của AD và BN. Chứng minh: AB.AH = AE.AC
3) Giả sử các điểm B và C cố định, A thay đổi sao cho tam giác ABC nhọn và B ·AC không đổi. Chứng
minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN có diện tích không đổi
Câu V ( 1,0 điểm)
Cho x; y là hai số dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S=

( x + y)2 ( x + y)2
+
x2 + y 2
xy

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />

ĐÁP ÁN
Câu
Câu 1

NỘI DUNG
1) Giải phương trình: 43 − x = x − 1
 x − 1 ≥ 0(1)
43 − x = x − 1 <=> 
2
43 − x = ( x − 1) (2)
(1) <=> x ≥ 1
x = 7
(2) <=> x 2 − x − 42 = 0 <=> 
 x = −6
Kết hợp nghiệm ta có: x= 7 ( thỏa mãn), x = - 6 (loại)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {7}.
10 x
2 x −3
x +1
−
+
(x ≥ 0; x ≠ 1)
2)Rút gọn biểu thức: A =
x+3 x −4
x + 4 1− x
A=

Điểm
0,25

0,25
0,25
0,25
1,00

10 x
2 x −3
x +1
−
+
(x ≥ 0; x ≠ 1)
x+3 x −4
x + 4 1− x

=

10 x
2 x −3
x +1
−
−
( x + 4)( x − 1)
x +4
x −1

0,25

=

10 x − (2 x − 3)( x − 1) − ( x + 1)( x + 4)

( x + 4)( x − 1)

0,25

=

10 x − (2 x − 5 x + 3) − (x + 5 x + 4) −3x + 10 x − 7
=
( x + 4)( x − 1)
( x + 4)( x − 1)

0,25

( x − 1)(7 − 3 x ) 7 − 3 x
=
( x + 4)( x − 1)
x +4
2
Câu 2 Cho Parabol (P): y=x và đường thẳng (d):y=(m-1)x+m+4 (tham số m)
Với m = 2, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).
m = 2 ta có phương trình đường thẳng (d) là : y = x + 6
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình:
x2=x+6
 x = −2
<=> x 2 − x − 6 = 0 <=> 
x = 3
+) x = -2 => y = 4
+) x = 3 => y = 9
Vậy m= 2 thì (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A(-2;4) và B(3;9)
2. Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm về hai phía của trục tung.

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình:
x 2 = (m − 1) x + m + 4
=

<=> x 2 − (m − 1) x − m − 4 = 0(*)
Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25

1,00

0,25


(d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (*)có 2
nghiệm trái dấu
1. (- m – 4) < 0
m>-4
Câu 3
 x + y = 3m + 2
1) Cho hệ phương trình: 
( tham số m)
3 x − 2 y = 11 − m

0,25
0,25
0,25
1,00

 x + y = 3m + 2
 2 x + 2 y = 6m + 4
5 x = 5m + 15
x = m + 3
<=> 
<=> 
<=> 

3 x − 2 y = 11 − m
3 x − 2 y = 11 − m
 x + y = 3m + 2
 y = 2m − 1

0,25

x 2 − y 2 = ( m + 3) 2 − (2m − 1) 2 = −3m 2 + 10m + 8
49
5
=
− 3(m − ) 2
3
3
5 2
5
Do (m − ) ≥ 0 với mọi m; dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m =

3
3
49
5
=> x 2 − y 2 ≤
,dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m =
3
3
49
5
Hay x2-y2 lớn nhất bằng
,dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m =
3
3
2. Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h) (x > 6)
80
Khi đó thời gian ô tô dự định đi hết quãng đường AB là
(h)
x
40
Thời gian thực tế ô tô đi nửa quãng đường đầu là
(h)
x−6
40
Thời gian thực tế ô tô đi nửa quãng đường còn lại là
(h)
x + 12
Theo bài ra ta có phương trình:
40
40

80
+
=
x − 60 x + 12 x
40 x( x + 12)
40 x( x − 6)
80( x − 6)( x + 12)
<=>
+
=
x( x − 6)( x + 12) x( x − 6)( x + 12) x( x − 6)( x + 12)

0,25

<=> 40 x 2 + 480 x + 40 x 2 − 240 x = 80 x 2 + 480 x − 5760
<=> 240 x = 5760
<=> x = 24
Vậy vận tốc dự định của ô tô là 24 (km/h)

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />
0,25
0,25

0,25

0,25

0,5

0,25


Câu 4

0,25

0,25
Từ giả thiết ta có: APH=90o; ANH = 90o
=>Tứ giác APHN nội tiếp đường tròn đường kính AH
Ta có: BD//CH (BDCH là hình bình hành) và CH ⊥ AB
 BD ⊥ AB => ABD=90o
 Tương tự ta có: ACD=90o
 Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn ( đường kính AD)
2. Xét 2 tam giác ABE và ACH có:
ABE=ACH (cùng phụ với góc BAC) (1)
Góc BAE phụ với góc BDA; BDA=BCA (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Góc CAH phụ với góc BCA =>BAE=CAH(2)
Từ (1) và (2) suy ra 2 tam giác ABE, ACH đồng dạng
AB AC
=>
=
=> AB. AH = AC. AE
AE AH
3. Gọi I là trung điểm của BC => I cố định ( do B, C cố định)
Gọi O là trung điểm AD => O cố định (do góc BAC không đổi, B, C cố định, O là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
 Độ dài OI không đổi
Tứ giác ABDC là hình bình hành => I là trung điểm của HD

1
=> OI = AH (OI là đường trung bình của tam giác ADH)
2
 Độ dài AH không đổi
Vì AH là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN, độ dài AH không đổi => độ dài bán
kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN không đổi => đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN có
diện tích không đổi.
Câu 5 Ta có:

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25

0,25

0,25


S=

( x + y ) 2 (x + y) 2
+
x2 + y 2
xy

= 1+

2 xy
x2 + y 2
+
+2
x2 + y2
xy

2 xy
x2 + y2
x2 + y 2
+
)
+
x2 + y2
2 xy
2 xy
Do x, y là các số dương nên ta có:
= 3+ (

0,25
0,25

2 xy

x2 + y2
2 xy x 2 + y 2
+
≥
2
.
=2
x2 + y 2
2 xy
x 2 + y 2 2 xy
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
2 xy
x2 + y2
=
<=> ( x 2 + y 2 ) 2 = 4 x 2 y 2 <=> ( x 2 − y 2 ) 2 = 0
2
2
x +y
2 xy
<=> x 2 = y 2
<=> x = y ( x; y > 0)
x2 + y 2
≥ 1 <=> x = y
2 xy
Cộng các bất đẳng thức ta được S ≥ 6
S = 6  x = y. Vậy Min S = 6 khi và chỉ khi x = y
x 2 + y 2 ≥ 2 xy =>

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365

Facebook : />
0,25