34 đề thi chính thức vào 10 môn toán hệ chung THPT năng khiếu HCM năm 2015 2016 (có lời giải chi tiết)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH
_____________________

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
Năm học: 2015 – 2016
Môn thi: TOÁN (không chuyên)
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
________________________

Bài 1: (2 điểm)
a/ Giải các phương trình ( x 2 − 9) 2 − x = x( x 2 − 9)
( x 2 + 4 y 2 ) 2 − 4( x 2 + 4 y 2 ) = 5
b/ Giải hệ phương trình  2
2
3 x + 2 y = 5
( x − 2m)( x + m − 3)
= 0(1)
Bài 2: (1,5 điểm) Cho phương trình
x −1
a/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1;x2
2
2
2
b/ Tìm m để x1 + x2 − 5 x1 x2 = 14m − 30m + 4
Bài 3: (1,5 điểm)
 3+ x 3− x
36 
x −5
−

−
:
( x > 0; x ≠ 9; x ≠ 25)
a/ Rút gọn Q = 
÷
÷
 3− x 3+ x x −9  3 x − x
b/ Tìm x để Q < 0
Bài 4: (2 điểm)
a/ Cho một tam giác vuông. Nếu ta tăng độ dài mỗi cạnh góc vuông thêm 3cm thì diện tích tang thêm 33cm2;
nếu giảm độ dài một cạnh góc vuông đi 2cm và tăng độ dài cạnh góc còn lại thêm 1cm thì diện tích giảm 2cm 2.
Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác vuông
b/ Bạn An dự định trong khoảng thời gian từ ngày 1/3 đến ngày 30/4 sẽ giải mỗi ngày 3 bài toán. Thực hiện
đúng kế hoạch được một thời gian, vào khoảng cuối tháng 3 (tháng 3 có 31 ngày) thì An bị bệnh, phải nghỉ giải
toán nhiều ngày liên tiếp. Khi hồi phục, trong tuần đầu An chỉ giải được 16 bài; sau đó, An cố gắng giải 4 bài
mỗi ngày và đến 30/4 thì An cũng hoàn thành kế hoạch đã định. Hỏi An phải nghỉ giải toán bao nhiêu ngày?
Bài 5. (2 điểm) Hình bình hành ABCD có tam giác ADC nhọn, ADC=60o . Đường tròn tâm O ngoải tiếp tam
giác ADC cắt cạnh AB tại E ( E≠ A ), AC cắt DE tại I
a/ Chứng minh tam giác BCE đều và IO ⊥ DC
b/ Gọi K là trung điểm BD, KO cắt DC tại M. Chứng minh A, D, M, I cùng thuộc một đường tròn
OJ
c/ Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính
DE

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />

ĐÁP ÁN
Bài 1:

a) ( x 2 − 9) 2 − x = x( x 2 − 9) (1)
ĐK: x ≤ 2
(1) <=> ( x 2 − 9)( 2 − x − x) = 0
 x2 − 9 = 0
<=> 
 2 − x − x = 0
2
+) x − 9 = 0 ⇔ (x – 3)(x + 3) = 0 ⇔ x = 3 (loại) hoặc x = –3 (thỏa mãn)
0 ≤ x ≤ 2
0 ≤ x ≤ 2

<=>   x = −2 <=> x = 1
+) 2 − x − x = 0 <=> 2 − x = x <=>  2
x + x − 2 = 0
 x = 1

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là {–3;1}
( x 2 + 4 y 2 ) 2 − 4( x 2 + 4 y 2 ) = 5(*)
b)  2
2
3 x + 2 y = 5
Đặt a=x2+4y2,a>0,ta có:
(*) <=> 4 a 2 − 4a − 5 = 0
<=> (a − 5)(a + 1) = 0
 a = 5(TM )
<=> 
 A = −1( L)
2
2
2

2
2
 x + 4 y = 5
3x + 12 y = 15
10 y = 10
(I) <=>  2
<=>  2
<=>  2
2
2
2
3x + 3 y = 5
3 x + 2 y = 5
3x + 2 y = 5
2
 x = ±1
 y = 1
<=>  2
<=> 
 x = 1
 y = ±1
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm (1;1),(–1;1), (1;–1), (–1;–1)
Bài 2:
( x − 2m)( x + m − 3)
= 0(1)
a)
x −1
ĐK: x ≠ 1
x ≠ 1


(1) <=>   x = 2m
 x = 3 − m


1

m ≠ 2
 2m ≠ 1


Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ 3 − m ≠ 1 <=> m ≠ 2
 2m ≠ 3 − m
m ≠ 1



b) Với điều kiện trên, ta có (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = 2m, x2 = 3 – m.
Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />

Khi đó
x12 + x2 2 − 5 x1 x2 = 14m 2 − 30m + 4
<=> (2m) 2 + (3 − m) 2 − 5.2.m(3 − m) = 14m 2 − 30m + 4
<=> 4m 2 + 9 − 6m + m 2 − 30m + 10m 2 = 14m 2 − 30m + 4
<=> m 2 − 6m + 5 = 0
<=> (m − 1)( m − 5) = 0
⇔ m = 1 (loại) hoặc m = 5 (thỏa mãn)
Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.
Bài 3:

a) Với x > 0, x ≠ 9, x ≠ 25 ta có:
 3+ x 3− x
36 
x −5
Q = 
−
−
:
÷
÷
 3− x 3+ x x −9  3 x − x
=

(3 + x ) 2 − (3 − x ) 2 + 36 3 x − x
.
(3 − x )(3 + x )
x −5

=

(9 + 6 x + x) − (9 − 6 x + x) x (3 − x )
.
(3 − x )(3 + x )
x −5

=

(12 x + 36)(3 − x ) x
12 x
=

(3 − x )(3 + x )( x − 5)
x −5

b) Với x > 0 thì 12 x > 0
Do đó
12 x
Q < 0 <=>
< 0 <=> x − 5 < 0 <=> 0 ≤ x < 25
x −5
Kết hợp với điều kiện, ta có Q < 0 ⇔ 0 < x < 25, x ≠ 9
Vậy giá trị của x cần tìm là x ∈ (0;25)\{9}
Bài 4:
a) Gọi độ dài mỗi cạnh góc vuông của tam giác vuông là x, y (cm) (giả sử bài toán giảm 2cm ở
cạnh x) (x > 2, y > 0)
1
Diện tích tam giác vuông ban đầu là xy (cm2)
2
1
2
Khi tăng mỗi cạnh góc vuông thêm 3cm thì diện tích tam giác vuông là ( x + 3)( y + 3)(cm )
2
Theo bài ra ta có phương trình:
1
1
( x + 3)( y + 3) − xy = 33 (1)
2
2
1
2
Khi giảm cạnh x đi 2cm, tăng cạnh y thêm 1cm thì diện tích tam giác vuông là ( x − 2)( y + 1)(cm )

2
Theo bài ra ta có phương trình:
1
1
xy − ( x − 2)( y + 1) = 2(2)
2
2
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />

1
1
 2 ( x + 3)( y + 3) − 2 xy = 33
 x + y = 19
 x = 12
<=> 
<=> 

− x + 2 y = 2
y = 7
 1 xy − 1 ( x − 2)( y + 1) = 2
 2
2
(thỏa mãn điều kiện)
Độ dài mỗi cạnh góc vuông của tam giác vuông là 12cm và 7cm
⇒ Độ dài cạnh huyền là 122 + 7 2 = 193(cm)
b) Từ 1/3 đến 30/4 có 61 ngày.

Số bài toán theo kế hoạch mà An phải giải là 61.3 = 183 (bài)
Gọi: số ngày An giải toán theo đúng kế hoạch là x (ngày). Trong thời gian này, An giải 3x (bài)
số ngày An nghỉ giải toán là y (ngày). (x, y ∈ ℕ*, 1 ≤ x ≤ 30, y bé nhất)
Khi đó số ngày An giải mỗi ngày 4 bài là 61 – 7 – x – y = 54 – x – y (ngày)
Trong thời gian này, An giải được 4(54 – x – y) (bài)
Vậy tổng số bài An đã giải là 3x + 16 + 4(54 – x – y) (bài)
Theo bài ra ta có phương trình:
3 x + 16 + 4(54 − x − y ) = 183
<=> x + 4 y = 49
49 − x
<=> y =
4

49 − x 49 − 30 19
≥
=
4
4
4
y là số nguyên, bé nhất ⇒ y = 5 ⇒ x = 29.
Vậy An phải nghỉ ít nhất 5 ngày.
Câu 5:
Vì 1 ≤ x ≤ 30 => y =

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />

a) Vì AE // DC (do ABCD là hình bình hành) nên AED=EDC
Đây là hai góc nội tiếp lần lượt chắn cung AD và cung EC của đường tròn (O) ⇒ AD = EC.

Mà AD = BC (ABCD là hình bình hành) ⇒ BC = EC (1)
Vì ABCD là hình bình hành nên EBC=ADC = 60° (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ∆ EBC đều
Vì AECD là tứ giác nội tiếp nên AED= ACD, mà AED= EDC (cmt) nên EDC =ACD hay IDC= ICD
Suy ra ∆ ICD cân tại I ⇒ ID = IC
Mà OC = OD ( = bán kính của đường tròn (O)) nên OI là trung trực của CD.
⇒ OI ⊥ CD.
b) Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và AC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
⇒ K ∈ AC và KA = KC
Mà OA = OC ( = bán kính (O)) nên OK là trung trực AC.
⇒ MA = MC (vì M ∈ OK)
⇒ ∆ MAC cân ở M
=>MAC=MCA
Mà MDI=MCA (do ∆ IDC cân ở I) nên MAC=MDI hay MAI=MDI
⇒ AIMD là tứ giác nội tiếp hay A, I, M, D cùng thuộc một đường tròn.
c) Xét đường tròn (J), ta có:
AJC=2ABC=120o (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
=>AJC+ADC=180o
⇒ J ∈ (O)
Chứng minh tương tự ⇒ O ∈ (J)
⇒ JO = JC = OC
⇒ ∆ JOC đều ⇒ IOC=60o
Xét đường tròn (O): sđ AD = sđ EC ⇒ sđ AD + sđ AE = sđ EC + sđ AE ⇒ sđ DE = sđ AC
Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />

⇒ DE = AC.
OJ OC OC
1

3
=>
=
=
=
=
o
DE AC 2CK 2sin 60
3

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />