39 đề thi chính thức vào 10 môn toán hệ chung THPT chuyên trần hưng đạo bình thuận năm 2015 2016 (có lời giải chi tiết)

GD&ĐT BÌNH THUẬN
ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN TRẦN HƯNG ĐẠO 2015-2016
Thời gian làm bài 120 phút ( không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm). Giải phương trình
x  8  2 x  9  x  20
Bài 2: (2 điểm). Một bác nông dân đem trứng ra chợ bán. Tổng số trứng bán ra được tính như sau:
Ngày thứ nhất bán được 8 trứng và 1/8 số trứng còn lại
Ngày thứ hai bán được 16 trứng và 1/8 số trứng còn lại
Ngày thứ ba bán được 24 trứng và 1/8 số trứng còn lại
…
Cứ như vậy cho đến ngày cuối cùng thì bán hết trứng. nhưng thật thú vị, số trứng bán được trong mỗi ngày đều
bằng nhua. Hỏi tổng số trứng bán được là bao nhiêu và bán hết trong bao nhiêu ngày?
Bài 3: (2 điểm) Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z= 3 2 . Chứng minh rằng:
1
1
1
3


�
x (3 y  5 z )
y (3z  5 x)
z (3x  5 y ) 4
Bài 4: (3 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R,điểm C di động sao cho ACB=60o và các đoạn thẳng
AC,BC lần lượt cắt đường tròn (O) tại hai điểm D,E.
a) Chứng minh rằng khi điểm C di động thì đường thằng DE luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
b) Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B trên đường thẳng DE. Xác định vị trí điểm C để tích
AM.BN đạt giá trị lớn nhất
1
2
2014 2015

,
,....,
,
. Mỗi lần biến đổi,xóa đi 2 số bất kì a,b và
Bài 5: (2 điểm) Trên bảng viết các số
2015 2015
2015 2015
thay bằng số a+b-5ab. Hỏi sau 2014 lần thực hiên phép biến đổi trên bảng còn lại bao nhiêu số?

ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Bài 1: (2 điểm).
�x �9
x  8  2 x  9  x  20( �
)
�x  8  2 x  9 �0
 x  9  1  x  20
 x  9  x  21
�x �21
�x �21
�x �21
�
 �
 �2
 ��
x  25  x  25
2
�x  9  ( x  21)
�x  43x  450  0
��
x  18

��


Bài 2: (2 điểm).
Gọi x là số trứng bán được ( x �N * ) thì:
x 8
8

Số trứng bán được trong ngày thứ nhất là : 8 
Số trứng bán được trong ngày thứ hai là :

16 

x  (16  8 

x 8
)
8

8

Theo đề toán ta có phương trình:
x 8
x 8
x  (16  8 
)
=
8
16


8
8
Giải phương trình ta được x=392
Vậy tổng số trứng bán được là 392 trứng
x 8
Số trứng bán được trong mỗi ngày là 8 
=56
8
Số ngày là 392:56=7 ngày
Bài 3: (2 điểm)
Dự đoán điểm rơi (điểm xảy ra dấu bằng) là x=y=z= 2 . Kiểm tra lại ta thấy x=y=z= 2 thì mỗi số hạng của
8

1
1
1
1


 . Tổng của 3 số hạng đúng bằng ¾
x (3 x  5 x)
8x2 2x 2 4
1
1
2
�
Mỗi số hạng của vế trái có dạng
nên ta liên tưởng đến bất đẳng thức
(nghịch đảo của trung
ab

ab a  b
vế trái bằng

ab
ab �
). Dấu = xảy ra khi a=b
2
Trong phân thức thứ nhất của vế trái, khi dấu = xảy ra thì 3y+5x=8x lên ta nhân cả tử và mẫu số với 8  2 2
để làm xuất hiện 8x trong dấu căn, nghĩa là :
bình nhân �nghịch đảo của trung bình cộng suy ra từ bất đẳng thức Cô-si:

1
2 2
4 2

�
(1)
x (3 y  5 z )
8 x (3 x  5 y ) 8 x  3 y  5 z
Tương tự ta có:
1
4 2
�
(2)
y(3 z  5 x) 8 y  3z  5 x
1
4 2
�
(3)
z(3x  5 y ) 8 z  3 x  5 y

Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều (1);(2);(3) ta được:
1
1
1
VT �4 2(


)(*)
8 x  3 y  5z 8 y  3z  5x 8 z  3x  5 y
1 1 1
1 1 1
9
Biểu thức trong dấu ngoặc có dạng   ta liên tưởng đến bất đẳng thức   �
. Chứng
a b c
a b c a bc
minh như sau:
Theo bất đẳng thức Cô-si áp dụng cho 3 số không âm ta có:


�
a  b  c �3 3 abc
1 1 1
1 1 1
9
�
 (a  b  c)(   ) �9    �
�1 1 1
1
1

1
a b c
a b c abc
�   �3 3 . .
a b c
�a b c
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
1 1 1
9
Áp dụng bất đẳng thức   �
vào (*) ta được:
a b c abc
9
9
3
VT �4 2.
 4 2.

16( x  y  z )
16.3 2 4
8x  3 y  5z
�
�
8 y  3z  5 x
x yz 3 2
�
 x  y  z 

 2
Dấu = xảy ra  �

8
z

3
x

5
y
3
3
�
�
8 x  3 y  5 z  8 y  3z  5x  8 z  3x  5 y
�
Bài 4: (3 điểm)

a) sdACB 

1
1
sd ( AB  DE )  60O  (180O  DE )  DE  60O mà OD = OE = R   ODE
2
2

R 3
R 3
=>DE tiếp xúc đường tròn (O;
) cố định.
2
2

b) ACB=60o =>C di động trên hai cung chứa góc 60o dựng trên đoạn AB giới hạn sao cho các đoạn thẳng
CA,CB phải cắt đường tròn (O)
OA = OB, OH//AM//BN (cùng vuông góc với DE)=> OH là đường trung bình của hình thang ABNM
Đều cạnh R=>đường cao OH 


 AM  BN  2OH  R 3 không đổi=>tích AM.BN lớn nhất =
AM  BN 2
R 3 2 3R 2
) (
) 
 AM  BN
2
2
4
 C là điểm chính giữa của hai cung chứa 60o dựng trên đoạn AB
Bài 5: (2 điểm)
Mỗi lần biến đổi ta xóa đi 2 số và viết lại 1 số nên tổng kết mỗi lần biến đổi sẽ giảm đi 1 số. sau 2014 lần biến
đổi thì sẽ giảm 204 số=>còn lại 1 số.
Giả sử các số trên bảng đang là a1;a2;a3;…;ak tại 1 thời điểm bất kì.
Cho tương ứng bảng số trên với tích(5a1-1)(5a2-1)…(5ak-1)
Sau mỗi lần biến đổi xóa đi 2 số a và b bất kì và thay bằng số a+b-5ab thì tích trên mất đi 2 thừa số (5a-1),(5b1) nhưng được thêm thừa số 5(a+b-5ab)-1=-(5a-1)(5b-1)
Như vậy sau mỗi lần biến đổi tích chỉ đổi dấu
1 403
1
Vì tích ban đầu bằng 0(do bảng ban đầu có thừa số 
lên thừa số tương ứng là 5.  1  0 ) lên sau 2014
5 2015
5
lần thực hiên phép biến đổi trên bảng số và trên tích tương ứng thì số cuối cùng x cũng phải cho tích bằng 0 tức

(

là 5x-1=0x=

1
5