LTDH log&mu(captoc co hdan)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (153.78 KB, 7 trang )
LTDH 2009 GV VÕ SĨ KHUÂN
Vài vấn đề về phương trình &Bất phương trình Mũ Log
1) Giải phương trình:
2
2 2
log ( 7)log 12 4 0x x x x
+ − + − =
2) Giải bất phương trình )3(log53loglog
2
4
2
2
2
2
−>−− xxx
3) Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực:
2 2
1 1 1 1
9 ( 2)3 2 1 0
x x
m m
+ − + −
− + + + =
4)
( ) ( )
3
1 8
2
2
log 1 log 3 log 1 0x x x+ − − − − =
5) Giải bất phương trình:
2 2
1 2
9 1 10.3
x x x x+ − + −
+ ≥
.
6) Giải bất phương trình:
2 2
log ( 3 1 6) 1 log (7 10 )x x+ + − ≥ − −
7) Giải bất phương trình:
4
2 2
2
1 1
log ( 3) log ( 1) log (4 )
2 4
x x x+ + − ≥
8) Tìm m để bất phương trình: 5
2x
– 5
x+1
– 2m5
x
+ m
2
+ 5m > 0 thỏa với mọi số thực x.
9) Giải bất phương trình:
2
1
ln ln( 1) 0
2
x
x x
+
− − + >
10) Giải phương trình: log
9
(x + 1)
2
+
3
27
3 3
log 2 log 4 log ( 4) (1)x x= − + +
11) Cho phương trình :
2 2
5 5
log 2 log 1 2 0x x m
+ + − − =
, ( m là tham số ) .
Tìm các giá trị của tham số m để ptrình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
3
1;5
12) Giải hệ phương trình:
log log
2 2 3
y x
x y
xy y
=
+ =
HƯỚNG DẪN GIẢI:
1) Đặt ẩn phụ
2
logt x=
giải ph.trình bậc 2:
2
(7 ) 12 4 0t x t x− − + − =
; t=4; t=3-x
Dùng tính đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất ta có x= 16; x=2(1/2đ).
2) BPT (1) ⇔
)3(5)1)(3()3(532
2
−>+−⇔−>−−
tttttt
ĐS :
)16;8(]
2
1
;0(
∪
3) Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực:
2 2
1 1 1 1
9 ( 2)3 2 1 0
x x
m m
+ − + −
− + + + =
(1)
* Đk
[-1;1]x ∈
, đặt t =
2
1 1
3
x+ −
;
[-1;1]x ∈ ⇒ [3;9]t ∈
Ta có: (1) viết lại
2
2 2
2 1
( 2) 2 1 0 ( 2) 2 1
2
t t
t m t m t m t t m
t
− +
− + + + = ⇔ − = − + ⇔ =
−
Xét hàm số f(t) =
2
2 1
2
t t
t
− +
−
, với
[3;9]t ∈
. Ta có:
2
/ /
1
4 3
( ) , ( ) 0
3
( 2)
t
t t
f t f t
t
t
=
− +
= = ⇔
=
−
Lập bảng biến thiên
t 3 9
f
/
(t) +
f(t)
48
7
4
Căn cứ bảng biến thiên , (1) có nghiệm
[-1;1]x ∈
⇔ (2) có nghiệm
[3;9]t ∈
⇔
48
4
7
m≤ ≤
1
LTDH 2009 GV VÕ SĨ KHUÂN
4) Giải phương trình:
( ) ( )
3
1 8
2
2
log 1 log 3 log 1 0x x x+ − − − − =
(*).
Điều kiện:
1 3x
< <
. Ta có (*) ⇔
( )
2 2 2
log 1 log (3 ) log ( 1) 0
1 3
x x x
x
+ + − − − =
< <
⇔
( ) ( )
2
1 17
1 3 1 4 0
2
x x x x x x
±
+ − = − ⇔ + − = ⇔ =
(tmđk)
5) Giải bất phương trình:
2 2
1 2
9 1 10.3
x x x x+ − + −
+ ≥
. Đặt
2
3
x x
t
+
=
, t > 0.
Bất phương trình trở thành: t
2
– 10t + 9 ≥ 0 ⇔ ( t ≤ 1 hoặc t ≥ 9)
Khi t ≤ 1 ⇒
2
2
3 1 0 1 0
x x
t x x x
+
= ≤ ⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤
.(i)
Khi t ≥ 9 ⇒
2
2
2
3 9 2 0
1
x x
x
t x x
x
+
≤ −
= ≥ ⇔ + − ≥ ⇔
≥
(2i)
Kết hợp (i) và (2i) ta có tập nghiệm của bpt là: S = (- ∞; -2]∪[-1;0]∪[1; + ∞).
6) Điều kiện:
3 1 0
10 0
7 10 0
x
x
x
+ ≥
− ≥
− − >
1
10
3
x⇔ − ≤ ≤
2 2
log ( 3 1 6) 1 log (7 10 )x x+ + − ≥ − −
⇔
2 2
3 1 6
log log (7 10 )
2
x
x
+ +
≥ − −
⇒
3 1 6
7 10
2
x
x
+ +
≥ − −
⇒
3 1 6 2(7 10 )x x+ + ≥ − −
⇒
3 1 2 10 8x x+ + − ≥
⇒ 49x
2
– 418x + 369 ≤ 0 ⇒ 1 ≤ x ≤
369
49
(thoả)
7) Giải bất phương trình:
4
2 2
2
1 1
log ( 3) log ( 1) log (4 )
2 4
x x x+ + − ≥
ĐKXĐ:
4
3 0
( 1) 0 0 1
4 0
x
x x
x
+ >
− > <=> < ≠
>
BPT <=>
2 2 2
log ( 3) log 1 log 4x x x+ + − ≥
<=>
2 2
log ( 3) 1 log 4 ( 3) 1 4x x x x x x+ − ≥ <=> + − ≥
<=>
1
3
( 3)( 1) 4
0 1
0 3 2 3
( 3)(1 ) 4
x
x
x x x
x
x
x x x
>
≥
+ − ≥
<=>
< <
< ≤ − +
+ − ≥
8) Đặt X = 5
x
⇒ X > 0. BPT đã cho trở thành: X
2
+ (5 + 2m)X + m
2
+ 5m > 0 (*)
Bpt đã cho có nghiệm với mọi x khi và chỉ khi (*) có nghiệm với mọi X > 0
⇔∆ < 0 hoặc (*) có hai nghiệm X
1
≤ X
2
≤ 0 . Từ đó suy ra m
9) Giải bất phương trình:
2
1
ln ln( 1) 0
2
x
x x
+
− − + >
ĐK: x ≠ -1.
BPT ⇔
2
2 2
2
1 2( 1)
1
1 1 2( 1)
2
1 2( 1)
x x x
x
x x x x x
x x x
+ > − +
+
> − + ⇔ + > − + ⇔
+ < − − +
2
2
2 3 1 0
1
1
2
2 3 0
x x
x
x x
− + <
⇔ ⇔ < <
− + <
2
LTDH 2009 GV VÕ SĨ KHUÂN
10) log
9
(x + 1)
2
+
3
27
3 3
log 2 log 4 log ( 4) (1)x x= − + +
ĐK:
4 4
1
x
x
− < <
≠ −
(1)
⇔
log
3
(x + 1) + log
3
4 = log
3
(4 – x) + log
3
(x + 4)
⇔
log
3
4
1x +
= log
3
(16 – x
2
)
⇔
4
1x +
= 16 – x
2
⇔ x = 2 hoặc x = 2 -
24
11) Đặt t =
2
5
log 1x +
ta thấy nếu x
∈
3
1;5
thì t
∈
[ ]
1;2
Phương trình có dạng: t
2
+ 2t – m – 3 = 0; t
∈
[ ]
1;2
⇔
t
2
+ 2t – 3 = m ; t
∈
[ ]
1;2
Xét hàm số hàm f(t) = t
2
+ 2t – 3 trên
[ ]
1;2
ta được 0
≤
f(t)
≤
5
ĐK của m là: 0
≤
m
≤
5
12) Giải hệ phương trình:
log log
2 2 3
y x
x y
xy y
=
+ =
Điều kiện: x > 0 và x ≠ 1 và y > 0 và y ≠ 1
Ta có
2
log log log log 2 0
y x y y
xy y x x= ⇒ + − =
log 1
log 2
y
y
x
x
=
⇒
= −
2
1
x y
x
y
=
⇒
=
+ Với x = y ⇒ x = y =
2
log 3 1−
+ Với x =
2
1
y
ta có:
2
1
2 2 3
y
y
+ =
theo bất đẳngt thức Cô-si pt vô nghiệm
ĐỀ DỰ BỊ 2008
A1: Giải bất phương trình :
0
1
32
loglog
2
2
1
≥
+
+
x
x
Bpt ⇔
1
1
32
log00
1
32
loglog
22
2
1
≤
+
+
<⇔≥
+
+
x
x
x
x
2
2
2 3 2 3 2
log 0 1 0
2 1
1 1 1
2
2 3 2 3 1 1
log 1 2 0
1 1 1
x x x
x x
x x x
x
x x x
x x x
+ + +
> > >
< − ∨ > −
+ + +
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < −
+ + < −
≤ ≤ ≤
+ + +
Vậy bất phương trình có tập ngiệm là (–∞ ; –2)
A2: Giải phương trình :
−=+
x
x
x
x
6
9log
log
1
3
3
Điều kiện
>
≠<
3
6
10
x
x
. Ta có:
2 4 2
3
1 6
3 log 9 3 log 3 log (9 6) 1 log (3. ) log (9 6)
log
x x x x x
x x x x
x x
+ = − ⇔ + = − − ⇔ = −
÷
2)63)(1(0693
2224
=⇒−−⇔=+−⇔
xxxxx
B1: Giải phương trình :
2 1
2
2log (2 2) log (9 1) 1x x
+ + − =
Giải:
2 1
2
2log (2 2) log (9 1) 1x x+ + − =
Điều kiện x > 1/9 .
3
LTDH 2009 GV VÕ SĨ KHUÂN
Với điều kiện đã cho phương trình tương đương với
2 2
2 2 2 2
log (4 8 4) log (9 1) 1 log (4 8 4)) log (18 2)x x x x x x
+ + = − + ⇔ + + = −
2
1
4 10 6 0
3
2
x
x x
x
=
⇔ − + = ⇔
=
(thỏa điều kiện)
B2: Giải bất phương trình :
06.523
1212
<−−
++
xxx
02
2
3
.5
4
9
.304.26.59.306.523
1212
<−
−
⇔<−−⇔<−−
++
xx
xxxxxx
Đặt
0
2
3
>
=
x
t
Ta có
2log2
2
3
020
0253
0
2
3
2
<⇔<
<⇔<<⇔
<−−
>
xt
tt
t
x
D: Giải bất phương trình :
022.162
1
2
224
2
2
≤−−
−−−−
xxxx
Ta có :
2 2 2
2
2 4 2 2 1 2 1
2 1
4
2 16.2 2 0 4 2 0
2
x x x x x x
x x
− − − − − −
− −
− − ≤ ⇔ − − ≤
Đặt
2
2 1
2 0
x x
t
− −
= >
. Bất phương trình tương đương với :
2
3 2
0
0 0
0 2
4
2 0
2 4 0 ( 2)( 2 2) 0
t
t t
t
t
t t t t t
t
>
> >
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < <
− − <
− − < − + + <
Vậy
2
2 1 2 2
0 2 2 2 1 1 2 2 0 1 3 1 3
x x
x x x x x
− −
< < ⇔ − − < ⇔ − − < ⇔ − < < +
Giải phương trình và bất phương trình :
1)
2
2
2
2
1
9 2 3
3
x x
x x
−
−
− ≤
÷
2)
2
2
log 2 2log 4 log 8
x x
x
+ =
3)
3
1 8
2
2
log 1 log (3 ) log ( 1) 0x x x+ − − − − =
4)
2 2
1 2
9 10.3 1 0
x x x x+ − + −
− + =
5) log
3
(3
x
−1).log
3
(3
x+1
−3) = 6 6)
2 4 2
1
2(log 1)log log 0
4
x x+ + =
7)
( )
2
2
1 2
2
1 1
log 2x 3x 1 log x 1
2 2
− + + − ≥
. 8)
022.72.72
xx21x3
=−+−
+
.
Tính tích phân:
4
LTDH 2009 GV VÕ SĨ KHUÂN
1)
2
1
( 2)ln .x x dx−
∫
2)
2
0
( 1)sin 2 .x x dx
π
+
∫
3)
1
3 2ln
.
1 2ln
e
x
dx
x x
−
+
∫
4)
10
5
2 1
dx
x x− −
∫
5)
6
2
(2 1) 4 1
dx
x x+ +
∫
6)
2
2
1
(2 1)cos .I x x dx
π
= −
∫
7)
3
2
1
ln
ln 1
e
x
I dx
x x
=
+
∫
8)
7
3
0
2
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
9)
3
2
0
sin .tanI x xdx
π
=
∫
10)
2
1
ln .
e
x x dx
∫
11)
4
sin
0
(tan cos )
x
x e x dx
π
+
∫
12)
∫
−+
=
2/
0
2cossin43
2sin
π
dx
xx
x
I
13)
∫
+
+
=
2
0
14
1
dx
x
x
I
14)
∫
−
=
1
0
2
3
4
dx
x
x
I
15)
∫
−
−=
1
0
2
2
)
4
.( dx
x
x
exI
x
16) Trong mặt phẳng Oxy cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường
2
xy4
=
và y = x.
Tính thể tích vật thể tròn trong khi quay (H) quanh trục Ox trọn một vòng.
17) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 0 và
( )
1x
x1x
y
2
+
−
=
.
18) Trong mp(Oxy), tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x
2
và
2
x2y
−=
.
HD giải
12) Đặt t = sinx +1 ⇒ sinx = t – 1 ⇒ cosxdx = dt
Khi x = 0 ⇒ t = 1 ; khi x = π/2 ⇒ t = 2 Ta có :
∫ ∫
−=
+=
−=
−
=
2
1
2
1
2
1
22
2
1
2ln
1
||ln
111
t
tdt
t
t
dt
t
t
I
13)
∫
+
+
=
2
0
14
1
dx
x
x
I
Đặt
2
t 1 1
t 4x 1 x dx tdt
4 2
−
= + ⇒ = ⇒ =
. Khi x = 0 ⇒ t = 1 ; khi x = 2 ⇒ t = 3
2
3
3 3
2 3
1 1
1
t 1
1
1 1 1 3 13 3 11
4
I . tdt (t 3)dt = t t
t 2 8 24 8 12 4 6
−
+
= = + + = + =
÷
∫ ∫
14)
1 1
3 2
2 2
0 0
4 4
x x
I dx xdx
x x
= =
− −
∫ ∫
Đặt
tdtxdxtxxt
−=⇒−=⇒−=
222
44
. Khi x = 0 ⇒ t = 2 ; khi x = 1 ⇒
3
=
t
Ta có
( )
∫ ∫
−=−−
−=
−=−=−
−
=
3
2
2
3
3
2
3
2
2
33
3
16
334
3
8
8
3
1
4)4()(
4
ttdtttdt
t
t
I
5
