Sức bền vật liệu_ xoắn

Fourth Edition

CHAPTER

3

MECHANICS OF
MATERIALS
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
John T. DeWolf

Lecture Notes:
J. Walt Oler
Texas Tech University

Torsion
Xoắn

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Contents
Introduction

Statically Indeterminate Shafts

Torsional Loads on Circular Shafts

Sample Problem 3.4

Net Torque Due to Internal Stresses

Design of Transmission Shafts

Axial Shear Components

Stress Concentrations

Shaft Deformations

Torsion of Noncircular Members

Shearing Strain

Thin-Walled Hollow Shafts

Stresses in Elastic Range

Example 3.10

Normal Stresses
Torsional Failure Modes
Sample Problem 3.1

Angle of Twist in Elastic Range

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

3- 2


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Tải xoắn trên trục tròn
• Quan tâm đến ứng suất và biến
dạng của trục tròn chịu xoắn.
• Động cơ thực hiện một moment
xoắn T lên trục.
• Trục truyền moment xoắn đến
máy phát.
• Máy phát tạo ra một moment
xoắn T’ = T và ngược chiều.

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

3- 3


Fourth

Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Moment xoắn do bởi ứng suất bên trong
• Tập hợp của ứng suất cắt nội lực là
moment xoắn nội lực, bằng và ngược
chiều với moment xoắn tác dụng,
T    dF     dA

• Mặt dầu biết moment xoắn do ứng xuất cắt
gây ra, sự phân bố của ứng suất này thì
không.

• Sự phân bố ứng suất này rất phức tạp – do
vậy phải xem xét biến dạng của trục.
• Không giống như ứng suất pháp do tải dọc
trục, sự phân bố của ứng suất cắt do moment
xoắn không thể giả thuyết là đồng nhất.
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

3- 4


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Brief – Tóm tắt
Xét bên trái mc 1-1 trên AB
Lập phương trình cân bằng

m

11

  6 kN  m   t * x  TAB  0

TAB  6 kN  m  t * x

Thanh ngàm hai đầu (siêu tĩnh)
* Thay ngàm tại A và B bởi TA và TB
= Có được hai quan hệ
 m  TA  90  TB  0

 AB  0
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

3- 5


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Brief – Tóm tắt
* Ứng suất cắt trên mcn



T  kN

2
cm
J
with 0    c
J  12  c 4



TAB dx

 rad 
GJ
A
* Điều kiện cứng
J



 c14





    rad




L

 rad

m



* Góc xoắn tương đối
trên đoạn ACB

* Góc xoắn
B

1  c4
2
2

* Góc xoắn tỉ đối

m

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

C   B  C

rad 

B

* Điều kiện bền



    kN

cm 2


3- 6


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Thành phần cắt dọc trục
• Moment xoắn tác dụng lên trục tạo

nên ứng suất cắt trên những mặt
vuông góc với trục.
• Để cân bằng thì những mặt chứa trục của
trục chịu xoắn phải xuất hiện ứng suất cắt
bằng về giá trị.
• Trục được làm từ những thanh mãnh chịu
xoắn sẽ xuật hiện những thành phần ứng
suất cặt dọc trục.
• Các thanh mãnh sẽ trượt tương đối với
nhau khi có hai moment xoắn bằng nhau
về giá trị và ngược chiều tác dụng.
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

3- 7


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Biến dạng của trục
• Quan sát hình: góc xoắn của trục tỉ lệ với
moment xoắn tác dụng và chiều dài của
trục
 T
L

• Khi chịu xoắn, mỗi tiết diện của trục tròn
vẫn phẳng và không méo.
• Tiết diện của trục tròn rỗng và đặc vẫn
phẳng và không méo bởi vì trục tròn thì
đối xứng trục.
• Tiết diện của trục không tròn sẽ bị méo
khi chịu xoắn.
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

3- 8


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Shearing Strain
• Xét phần tử trên trục. Khi tải xoắn tác
dụng, phần tử này sẽ biến dạng thành hình
bình hành
• Khi hai mặt bên của phần tử vẫn phẳng,
biến dạng cắt bằng góc xoắn.

• Do đó
L   or  



L

• Biến dạng cắt tỉ lệ với góc xoắn và bán kính
 max 

c
L

and  

 max  G max  G
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.


c

 max

c
 
  max
L
L Gc
3- 9


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Ứng suất trong phạm vi đàn hồi

• Nhân phương trình vừa rồi với modul cắt G,
G 


c

G max

Từ định luật Hooke,   G , như vậy



c

 max

Ứng suất cắt biến đồi tuyến tính với bán kính
của mặt cắt.

J  12  c 4

• Nhắc lại rằng tổng moment của ứng
suất nội lực sẽ bằng moment xoắn tác
dụng tại mặt cắt,



T    dA  max   2 dA  max J
c
c
J



1  c4
2
2

 c14



• Như vậy ứng suất cắt,
 max 

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Tc
T
and  
J
J
3 - 10


Fourth

Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Ứng suất pháp
• Những phần tử có mặt song song và
vuông góc với trục của trục chỉ chịu ứng
suất cắt. Ứng suất pháp, cắt hoặc kết hợp
cả haicó thể được tìm thấy ở hướng khác.

• Xét phần tử tạo góc 45o với trục của
trục,
F  2 max A0 cos 45   max A0 2

 45o 

F  max A0 2

  max
A
A0 2

• Phần tử a chịu cắt thuần túy.
• Phần tử c chịu ứng suất kéo trên hai mặt
và ứng suất nén trên hai mặt khác.
• Chú ý rằng ứng suất đối với phần tử a
và c có cùng độ lớn.
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

3 - 11


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Kiểu hư hỏng xoắn
• Vật liệu dẻo thường hư hỏng
khi chịu cắt. Vật liệu dòn chịu
xoắn kém hơn.
• Khi chịu xoắn, vật liệu dẻo đứt
tại mặt phẳng có ứng suất cắt
cực đại: mặt phẳng vuông góc
trục.
• Khi chịu xoắn, vật liệu dòn
đứt dọc theo mặt phẳng vuông
góc với phương mà ở đó ứng
suất pháp cực đại: mặt phẳng
tạo góc 45o vơi trục.
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

3 - 12


Fourth

Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 3.1
SOLUTION:

• Dùng mặt cắt qua AB, BC
và lập ptcb tĩnh để tìm tải
xoắn.

Trục rỗng BC có đường kính trong
và ngoài 90 mm và 120 mm. Trục
rắn AB và CD có đường kính d. Với
tải như hình vẽ, xác dịnh (a) ứng
suất cắt cực đại và cực tiểu trong
BC, (b) đường kính yêu cầu d của
trục AB và CD nếu ứng cắt cho phép
65 MPa.
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

• Áp dụng công thức xoắn đàn
hồi để tìm ứng suất cực đại
và cực tiểu trong BC.
• Với tải xoắn và ứng suất cắt,
tìm đường kính yêu cầu.

3 - 13

Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 3.1
SOLUTION:

• Dùng mặt cắt qua AB, BC và lập
ptcb tĩnh để tìm tải xoắn.

 M x  0  6 kN  m   TAB

 M x  0  6 kN  m   14 kN  m   TBC

TAB  6 kN  m  TCD

TBC  20 kN  m

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

3 - 14


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 3.1
• Áp dụng công thức xoắn đàn
hồi để tìm ứng suất cực đại và
cực tiểu trong BC.

J

• Với tải xoắn và ứng suất cắt, tìm
đường kính yêu cầu.



c24  c14   0.0604  0.0454 
2
2



 13.92 10

 max   2 

6

m

4

TBC c2 20 kN  m 0.060 m 

J
13.92 10 6 m 4

 max 

Tc
Tc

J  c4
2

65MPa 

6 kN  m
 c3
2

c  38.9 103 m
d  2c  77.8 mm

 86.2 MPa

 min c1

 max c2

 min
86.2 MPa

 min  64.7 MPa



45 mm
60 mm

 max  86.2 MPa
 min  64.7 MPa

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

3 - 15


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Góc xoắn trong phạm vi đàn hồi
• Quan hệ giữa góc xoắn và biến dạng cắt
cực đại,
 max 

c
L

• Trong phạm vi đàn hồi, quan hệ ứng suất và
biến dạng cắt theo định luật Hooke,
 max 

 max
G



Tc
GJ

• Góc xoắn tuyệt đối or tương đối (rad),


TL
or
GJ


x

2
2
Tdx
Tdx

d 
 2  1   d  
GJ
GJ
1
x1

• Nếu tải xoắn hoặc tiết diện trục thay đổi
dọc theo chiều dài, góc xoắn là,
 
i

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Ti Li
Gi J i
3 - 16


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 3.2
300 Nm

600 Nm

SOLUTION:

t = 1500 Nm/m

• Tính phản lực tại ngàm C
bằng ptcb.

B

A

C
40 cm

80 cm

Tính ứng suất cắt lớn nhất trên
thanh và góc xoắn tại mặt cắt A,
B của trục chịu lực như hình vẽ.
Biết trục bằng thép có modul
đàn hồi trượt G = 8.106 N/cm2.
Đường kính trục d = 5 cm.

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

• Xác định moment xoắn nội
lực trong đoạn AB, BC.
• Tính ứng suất cắt cực đại tại
mc có moment xoắn lớn

nhất.
• Tìm góc xoắn tương ứng mỗi
trục và góc xoắn đầu mút A
và tại B.
3 - 17


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 3.2
SOLUTION:

300 Nm

A
x1

300 Nm

2 2

80 cm

T1
1

A

 T1  300 Nm

T

2

40 cm

 300  T1  0

• Đoạn BC (0.4 m ≤ x2 ≤ 1.2 m).

B

1
x2

 TC  900 Nm

11

TC

C

 TAC  300  600  t  0.8  TC  0

T

2 t = 1500 Nm/m

1

• Áp dụng phương trình cân bằng
tĩnh cho trục.

• Đoạn AB.

600 Nm

x1
300 Nm

 300  600  t   x2  0.4   T2  0

 T2  300  t   x2  0.4  Nm 
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

A

1
600 Nm t

B

T2
2

2

x2
3 - 18


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 3.2
SOLUTION:

300

(-)
T
(+)

• Ứng suất cắt tại ngàm C.

300

TC c 900000  2.5
2
C 



3600
N
/
cm
  2.54
J
2





900

• Góc xoắn tại A.
 A   AB   BC


1.2

T1 AB
Tdx2


GJ 0.4 GJ

300  0.4

8x10   0.0254
2
10

1.2





0.4

 300  t   x

2

 0.4   dx2

8x10   0.0254
2
10

 rad 

• Góc xoắn tại B.
 B   A   BA
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

3 - 19

Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 3.4
SOLUTION:

• Xác định moment xoắn nội
lực trong AB và BC.

• Góc xoay tương đối ở AB và
BC. Từ đó tính góc xoay tại
C.

Moment xoắn phân bố đều q
(lb.in/in) tác dụng lên toàn bộ trục và
• J và r là hằng số, ứng suất
moment tập trung T = 3qL (lb.in) tác
cắt cực đại xuất hiện tại mặt
dụng tại B. Modul đàn hồi trượt G,
cắt có T cục đại.
bán kính r. Xác định theo q, L, G, r:
a) góc quay của mặt cắt tại C, b) ứng • Bằng cách vẽ moment xoắn
suất cắt lớn nhất trong trục.
T như một hàm của x, chúng
ta có thể xác định giá trị cự

đại của nó.
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

3 - 20


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS
Sample Problem 3.5

Beer • Johnston • DeWolf

T  T

AB

 3qL  q  3L  x1   0  TAB  qx1

T  T

BC

 q  3L  x2   0  TAB  q  3L  x2 

• Figs. (a; b) show FBD of AB, BC after imaginary cuts are made at x
from A and internal torques TAB, TBC drawn as per out convention. We
place the distributed torque by an equivalent torque that is equal to the
distributed torque intensity multiplied by length of the cut shaft.

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

3 - 21


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 3.5
SOLUTION:

• Integrating Eq. of the angle of twist for each segment, the relative
rotation of segment ends is
 d 
TAB
qx1




4

r
dx
G
J

G
AB AB
 1  AB
2
1

qx
 B   A  
G r 4

L

0


2

B



d  

A

xB  L

2qx1
dx1  rad 
4


G r
xA 0

qL2

G r 4

xC 3 L
C
q  3L  x2 
2q  3L  x2 
 d 
TBC

  d   
dx2  rad 

 
4
4
G r
G r
 dx2  BC GBC J BC
B
xB  L
2
3L
2
2

2
2

3
L




x2
2q
q
L
4
qL
2
2
 C   B 
3
Lx


9
L


3
L
 




4
4
G r 
2  L G r 
2
2  G r 4





© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

3 - 22


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 3.5
SOLUTION:

• a) The rotation of the section at C
with respect to the section at A

qL2
4qL2
3qL2
C   A  


rad  _ ccw
4
4
4 
G r
G r
G r

• b) The figure above show the plot of the internal torque as a function
of x. The maximum torque will occur on a section just to the right of
B. The maximum torsional shear stress is

 max

Tmax  max  2qL  r  lb


in 2
 r4
J
2





© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

3 - 23


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 3.6

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

3 - 24


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 3.6

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

3 - 25