Sức bền vật liệu _ moment quán tính

Fourth Edition

CHAPTER

5

MECHANICS OF
MATERIALS
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
John T. DeWolf
Lecture Notes:
J. Walt Oler
Texas Tech University

Moments of Inertia
Moment quán tính

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Contents
Introduction
Moments of Inertia of an Area

Moment of Inertia of an Area by
Integration
Polar Moment of Inertia
Radius of Gyration of an Area
Sample Problem 4.1
Sample Problem 4.2
Parallel Axis Theorem
Moments of Inertia of Composite
Areas
Sample Problem 4.4
Sample Problem 4.5
Product of Inertia
Principal Axes and Principal
Moments of Inertia

Sample Problem 4.6
Sample Problem 4.7
Mohr’s Circle for Moments and
Products of Inertia
Sample Problem 4.8
Moment of Inertia of a Mass
Parallel Axis Theorem
Moment of Inertia of Thin Plates
Moment of Inertia of a 3D Body by
Integration
Moment of Inertia of Common
Geometric Shapes
Sample Problem 4.12
Moment of Inertia With Respect to an
Arbitrary Axis

Ellipsoid of Inertia. Principle Axes of
Axes of Inertia of a Mass

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

9- 2


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Giới thiệu (Introduction)

• Chương này sẽ giới thiệu phương pháp tính moment quán
tính đối với trục và tích moment quán tính.

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

9- 3


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Moment quán tính của diện tích
• Xem xét lực phân bố F , độ lớn của nó tỉ lệ với
diện tích phần tử A , trên nó, lực này tác dụng
và thay đổi tuyến tính đối với khoảng cách của
A từ một trục đã cho.
• Ví dụ: Xem xét dầm chịu uốn thuần túy. Nội lực
thay đổi tuyến tính với khoảng cách từ trục trung
hòa mà nó đi qua trọng tâm của tiết diện.

F = kyA

R = k  y dA = 0  y dA = Q x = first moment
2
M = k  y 2 dA
 y dA = second moment

• Ví dụ: Xem xét lực thủy tĩnh thực trên cổng
tròn chìm dưới nước.
F = pA = yA
R =   y dA
M x =   y 2 dA
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

9- 4


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Moment quán tính của diện tích bởi tích phân
• Moment quán tính của một diện tích
đối với trục x và y,
I x =  y 2 dA

I y =  x 2 dA

• Việc tính tích phân được đơn giản hóa
bởi chọn dA là một dải mỏng song
song với trục x hoặc y.
• Với một diện tích hình chữ nhật,
2

h

I x =  y dA =  y 2bdy = 13 bh 3
0

• Công thức cho diện tích chữ nhật cũng
có thể được áp dụng với những dải mà
nó song song trục tọa độ,
dI x = 13 y 3 dx
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

dI y = x 2 dA = x 2 y dx

9- 5


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Moment quán tính cực (Polar Moment of Inertia)
• Moment quán tính cực là một thông số
quan trọng bài toán bao gồm đối tượng
là trục tròn chịu xoắn và sự quay của
thanh dẹt (hoặc tấm).
J 0 =  r 2 dA

• Mối quan hệ giữa moment quán tính cực
và moment quán tính,





J 0 =  r 2 dA =  x 2  y 2 dA =  x 2 dA   y 2 dA
= Iy  Ix

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

9- 6

Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Bán kính quán tính (Radius of Gyration of an Area)
• Xem xét diện tích A với moment
quán tính Ix. Tưởng tượng rằng
diện tích này tập trung trong một
dải mỏng song song với trục x.
I x = k x2 A

kx =

Ix
A

kx = bán kính quán tính đối với
trục x
• Tương tự,
Iy =

k y2 A

ky =

J O = kO2 A k O =

Iy
A
JO
A

kO2 = k x2  k y2
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

9- 7


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 5.1
SOLUTION:

• Xét dải vi phân song song với trục x có
diện tích dA.
dI x = y 2 dA

dA = l dy

• Với tam giác đồng dạng,

l h y
=
b
h

Xác định moment quán
tính của tam giác đối
với trục x.

l =b

h y
h

dA = b

h y
dy
h

• Lấy tích phân dIx từ y = 0 đến y = h,
h y
bh 2
I x =  y dA =  y b
dy =  hy  y 3 dy
h
h0
0
2

h



2

h

b  y3 y 4 
= h  
h 3
4
0
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.



bh3
I x=
12
9- 8


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 5.2
SOLUTION:

• Xét phần tử diện tích vi phân hình
vành khuyên
dJ O = u 2 dA

dA = 2 u du
r

r

2

J O =  dJ O =  u 2 u du  = 2  u 3du
0

0

JO =

a) Xác định moment quán
tính độc cực trung tâm bởi • Từ sự đối xứng, Ix = Iy,
tích phân trực tiếp.
 4
b) Sử dụng kết quả câu a, xác
định moment quán tính
của diện tích tròn đối với
đường kính.

JO = I x  I y = 2I x

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

2


2

r4

r = 2I x
I diameter = I x =


4

r4

9- 9


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Lý thuyết trục song song (Parallel Axis Theorem)

• Xem xét moment quán tính I của diện
tích A đối với trục AA’
I AA ' =  y 2 dA

• Trục BB’ đi qua trọng tâm diện tích và
được gọi là trục trọng tâm.
2

I AA ' =  y 2 dA =   y  d  dA
=  y2 dA  2d  ydA  d 2  dA

I AA ' = I BB '  Ad 2 Lý thuyết trục song

song
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

9 - 10


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Lý thuyết trục song song (Parallel Axis Theorem)
• Moment quán tính IT của diện tích
tròn đối với tiếp tuyến của đường
tròn,

 

I T = I  Ad 2 = 14  r 4   r 2 r 2
= 54  r 4

• Moment quán tính của tam giác đối với
trục trọng tâm,
I AA = I BB  Ad 2

 2

1 bh 3  1 bh 1 h
I BB = I AA  Ad 2 = 12
2
3
1 bh 3
= 36

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

9 - 11


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Moment quán tính của diện tích phức
• Moment quán tính của diện tích phức A đối với một trục đã cho
bằng tổng moment quán tính của diện tích thành phần A1, A2, A3,
... , đối với cúng một trục.

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

9 - 12


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Moment quán tính của diện tích phức

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

9 - 13


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 5.4
SOLUTION:

• Xác định trọng tâm tiết diện
phức đối với gốc đặt tại trọng
tâm của dầm.
• Áp dụng lý thuyết trục song
song để xác định moment
quán tính của dầm và tấm thép
Sức bền của dầm thép cán W14x38
đối với trục trọng tâm của tiết
(A = 11.2 in2, Ix = 385 in4, Iy = 472.3
diện phức.
in4) tăng lên bằng cách gắn tấm thép
• Tính bán kính quán tính từ
lên bản cánh phía trên.
moment quán tính của tiết diện
Xác định moment và bán kính quán
phức.
tính đối với trục song song với tấm
thép và đi qua trọng tâm tiết diện.
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

9 - 14


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 5.4
SOLUTION:

• Xác định trọng tâm tiết diện phức đối với
gốc đặt tại trọng tâm của dầm.
Section
A, in 2
y , in. yA, in 3
Plate
6.75
7.425 50.12
Beam Section 11.20
0
0
 A = 17.95
 yA = 50.12

Y  A =  yA

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

yA 50.12 in 3

Y =
=

= 2.792 in.
2
A
17.95 in


9 - 15


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 5.4
• Áp dụng lý thuyết trục song song để xác định
moment quán tính của dầm và tấm thép đối với
trục trọng tâm của tiết diện phức.
I x, beam section = I x  AY 2 = 385  11.20 2.792 2
= 472.3 in 4

 3

1 9  3  6.757.425  2.792 2
I x, plate = I x  Ad 2 = 12
4

= 145.2 in 4

I x = I x, beam section  I x, plate = 472.3  145.2

I x = 618 in 4

• Tính bán kính quán tính từ moment quán tính
của tiết diện phức.
k x =

I x 617.5 in 4
=
A 17.95 in 2

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

k x = 5.87 in.
9 - 16


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 5.5
SOLUTION:

• Tính moment quán tính của diện
tích hình chữ nhật và diện tích của

nữa hình tròn.

Xác định moment quán tính
của diện tích được tô bóng
đối với trục x.

• Moment quán tính của diện tích tô
bóng nhận được bằng cách lấy
moment quán tính của hình chữ nhật
trừ cho nửa hình tròn.

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

9 - 17


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 5.5
SOLUTION:

• Tính moment quán tính của diện tích chữ
nhật và của nữa hình tròn đối với trục x.
Hình chữ nhật:
I x = 13 bh3 = 13 240 120  = 138.2  106 mm 4

Nửa hình tròn:
Moment quán tính đối với AA’,
I AA = 18 r 4 = 18  90 4 = 25.76  106 mm 4
Moment quán tính đối với x’,
4r 4 90 
a=
=
= 38.2 mm
3
3
b = 120 - a = 81.8 mm
2

2

A = 12 r = 12  90 
3

= 12.72  10 mm

2





I x = I AA  Aa 2 = 25.76  106 12.72  103



= 7.20  106 mm 4

Moment quán tính đối với trục x,





I x = I x  Ab 2 = 7.20  106  12.72  103 81.82
= 92.3  106 mm 4

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

9 - 18


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 5.5
• Moment quán tính của diện tích tô bóng nhận
được bằng cách lấy moment quán tính của
hình chữ nhật trừ cho nửa hình tròn.

Ix

=

138.2  106 mm 4



92.3  106 mm 4

I x = 45.9  106 mm 4

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

9 - 19


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Tích quán tính (Product of Inertia)
• Tích quán tính:
I xy =  xy dA

• Khi trục x, trục y hoặc cả hai trục
xy là trục đối xứng, tích quán tính
Ixy = 0

• Lý thuyết trục song song đối với tích
quán tính:
I xy = I xy  x yA

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

9 - 20


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Trục chính – Moment quán tính chính
• Sự thay đổi của trục mang lại
I x =
I y =

Ix  I y
2
Ix  Iy

I xy =

Cho

I x =  y 2 dA I y =  x 2 dA

I xy =  xy dA

Chúng ta mong muốn xác định
moment và tích quán tính đối
với trục x’ và y’.
Note: x  = x cos  y sin 
y  = y cos  x sin 




2
Ix  I y
2

Ix  I y
2
Ix  Iy
2

cos 2  I xy sin 2
cos 2  I xy sin 2

sin 2  I xy cos 2

• Phương trình cho Ix’ và Ix’y’ là phương
trình tham số của đường tròn,

 I x  I ave 2  I x2y = R 2
Ix  Iy

I ave =
2

 Ix  Iy  2
  I xy
R = 
 2 

• Phương trình cho Iy’ và Ix’y’ dẫn đến
cùng 1 đường tròn.

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

9 - 21


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Trục chính – Moment quán tính chính
• Tại điểm A và B, Ix’y’ = 0 và Ix’
tương ứng là một cực đại hoặc
cực tiểu.
I max,min = I ave  R

tan 2 m = 

2

I ave =

2

Ix  I y

• Phương trình của θm định nghĩa
hai góc, lệch nhau một góc 90o
mà nó tương ứng với trục chính
của diện tích đối với O.

 I x  I ave   I x2y = R 2
Ix  I y

2 I xy

2

 Ix  Iy 
2
R= 

I
• Imax và Imin là moment quán tính

xy
 2 

chính của diện tích đối với O.

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

9 - 22


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 5.6
SOLUTION:

• Xác định tích quán tính bằng cách
tích phân trực tiếp với lý thuyết trục
song song trên dải diện tích vi phân
thẳng đứng .

Xác định tích quán tính của
tam giác vuông (a) đối với
trục x, y và
(b) đối với truc trọng tâm
song song với trục x và y.

• Áp dụng lý thuyết trục song song
để ước lượng tích quán tính đối với

trục trọng tâm.

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

9 - 23


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 5.6
SOLUTION:

• Xác định tích quán tính bằng cách tích phân
trực tiếp với lý thuyết trục song song trên dải
diện tích vi phân thẳng đứng.
 x
 x
y = h1   dA = y dx = h1  dx
 b
 b
 x
xel = x
yel = 12 y = 12 h1  
 b

Tích phân dIx từ x = 0 đến x = b,
b

I xy =  dI xy =  xel yel dA =  x
0

2

 x
h 2 1   dx
 b

12 

b

2

2
 x 2 x3 x 4 
x3 
2 x x
= h  
 2 dx = h    2 
b 2b 
0 2
 4 3b 8b  0
b

I xy =

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

1 b2h2
24
9 - 24


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 5.6
• Áp dụng lý thuyết trục song song để ước
lượng tích quán tính đối với trục trọng tâm.
x = 13 b

y = 13 h

Với kết quả từ câu a,
I xy = I xy  x yA

 13 h12 bh 

1 b2h2  1 b
I xy = 24
3

1 b 2h 2
I xy =  72

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

9 - 25