Sức bền vật liệu _ thanh chịu uốn

Fourth Edition

CHAPTER

6

MECHANICS OF
MATERIALS
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
John T. DeWolf
Lecture Notes:
J. Walt Oler
Texas Tech University

Pure Bending
Thanh Chịu Uốn

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Pure Bending
Pure Bending
Symmetric Member in Pure Bending

Bending Deformations
Strain Due to Bending
Beam Section Properties
Deformations in a Transverse Cross Section
Sample Problem 4.2
Bending of Members Made of Several
Materials
Example 4.03
Reinforced Concrete Beams
Sample Problem 4.4
Stress Concentrations
Plastic Deformations
Members Made of an Elastoplastic Material

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Example 4.03
Reinforced Concrete Beams
Sample Problem 4.4
Stress Concentrations
Plastic Deformations
Members Made of an Elastoplastic Material
Plastic Deformations of Members With a Single
Plane of S...
Residual Stresses
Example 4.05, 4.06
Eccentric Axial Loading in a Plane of Symmetry
Example 4.07
Sample Problem 4.8
Unsymmetric Bending

Example 4.08
General Case of Eccentric Axial Loading

4-2


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Pure Bending

Uốn thuần túy: Chi tiết hình trụ
chịu tác dụng ngẫu lực tác dụng
trong mặt phẳng dọc trục.
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

4-3


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Phần đối xứng trong uốn thuần túy
• Nội lực trong mặt cắt bất kỳ tương đương
với một ngẫu lực. Moment của ngẫu lực là
moment uốn tiết diện.
• Tổng của những thành phần của lực trong
mọi hướng thì bằng không.
• Moment thì như nhau đối với bất kỳ trục
nào vuông góc với mặt phẳng của ngẫu lực
và bằng không đối với trục thuộc mặt
phẳng.
• Những điều kiện có thể được áp dụng đến
tổng của thành phần và moment của những
nội lực siêu tĩnh cơ bản.
Fx   s x dA  0
M y   zs x dA  0
M z    ys x dA  M
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

4-4


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Biến dạng uốn
Dầm với mặt phẳng đối xứng trong chịu uốn

thuần túy:
• Phần tử vẫn đối xứng
• Uốn đều để tạo thành cung tròn
• Mặt phẳng tiết diện qua tâm cung và vẫn
phẳng
• Chiều dài cạnh đỉnh giảm và của cạnh đấy
tăng
• Mặt trung hòa phải xuất hiện. Nó song song
với mặt trên và mặt dưới, đồng thời chiều dài
của nó không đổi
• Ứng suất và biến dạng của phần tử phía trên
mặt trung hòa sẽ âm (nén) và ngược lại
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

4-5


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Biến dạng do uốn
Xét đoạn dầm với chiều dài L.
Sau biến dạng, chiều dài của mặt trung
hoa vẫn không đổi. Tại mặt cắt bất kỳ,
L     y q
  L  L     y q  q   yq


yq
y
x   

(strain varies linearly)
L
q

c
c
m 
or ρ 



m

y
c

 x   m

+ với ρ : bán kính cong

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

4-6

Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Ứng suất do uốn
• Với vật liệu đàn hồi tuyến tính,
y
c

s x  E x   E m
y
  s m (stress varies linearly)
c

• Khi cân bằng tĩnh,
y
Fx  0   s x dA    s m dA
c

s
0   m  y dA
c

Moment tĩnh đối với trục
trung hòa bằng không. Như
vậy, trục trung hòa đi qua
trọng tâm tiết diện.

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

• Khi cân bằng tĩnh,
 y

M    ys x dA    y   s m  dA
 c

s
s I
M  m  y 2 dA  m
c
c
Mc M
sm 

I
S
y
Substituting s x   s m
c
My
sx  
I
4-7


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Đặc tính tiết diện
• Ứng suất pháp cực đại do uốn,
Mc M

I
S
I  section moment of inertia
I
S   section modulus
c

sm 

Một dầm có moment tĩnh càng lớn, ứng
suất cực đại càng nhỏ.
• Xét dầm tiết diện hình chữ nhật
3
1
I 12 bh
S 
 16 bh3  16 Ah
c
h2

Giữa hai dầm cùng diện tích tiết diện,
dầm có chiều cao h lớn hơn sẽ hiệu quả

hơn trong chống uốn.
• Dầm thép được thiết kế đề có moment tĩnh
lớn
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

4-8


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Biến dạng trong mặt cắt ngang
• Biến dạng do moment uốn M được định lượng
bởi đường cong mặt trung hòa:

s
1 Mc
 m  m 

c
Ec Ec I
M

EI
1

• Mặt dầu mặt phẳng tiết diện vẫn phẳng khi
chịu moment uốn, biến dạng “trong mặt
phẳng” thì khác không,
 y   x 

y


 z   x 

y


• Giãn nở phía trên và co rút phía dưới mặt
trung hòa trong hướng y, z gây ra uốn cong
“trong mặt phẳng”,
1 
  anticlasti c curvature
 
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

4-9


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 6.1
SOLUTION:

• Dựa trên hình học tiết diện, tính
trọng tâm tiết diện và moment
quán tính.
Y 

 yA
A



I x   I  A d 2



• Áp dụng công thức uốn đàn hồi dể
tìm ứng suất nén và kéo lớn nhất.
Một chi tiết bằng gang đúc chịu tác
dụng bởi moment 3 kN-m. Biết E
= 165 GPa và loại bỏ ảnh hưởng
của mặt lượn, xác định (a) ứng suất
nén và kéo cực đại, (b) bán kính
cong.
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

sm 

Mc
I

• Tính bán kính cong
1





M
EI
4 - 10


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 6.1
SOLUTION:

Dựa trên hình học tiết diện, tính trọng
tâm tiết diện và moment quán tính.
Area, mm 2

y , mm

yA, mm3

1 20  90  1800

50

90  103

2 40  30  1200
 A  3000

20

24  103
3
 yA  114  10

3

 yA 114  10
Y 

 38 mm
3000
A



 121 bh3  A d 2 

1 90  203  1800  12 2    1 30  403  1200  182 
 12
12

I x   I  A d 2  

I  868  103 mm 4  868  10-9 m 4
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

4 - 11


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 6.1
• Áp dụng công thức uốn đàn hồi dể tìm
ứng suất nén và kéo lớn nhất.
Mc
I
M c A 3 kN  m  0.022 m
s A  76.0 MPa
sA 


9

4
I
868  10 m
M cB
3 kN  m  0.038 m
s B  131.3 MPa
sB  


9
4
I
868  10 m

sm 

• Tính bán kính cong
1






M
EI
3 kN  m

165 GPa 868 10-9 m 4 

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

1

 20.95  10 3 m -1


  47.7 m

4 - 12


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Uốn của dầm composite
• Xét dầm composite được tạo thành bởi
hai vật liệu E1 và E2.
• Biến dạng pháp thay đổi tuyến tính.
x  

y



• Sự thay đổi ứng suất pháp

s 1  E1 x  

E1 y



s 2  E2 x  

E2 y



Trục trung hòa không đi qua trọng
tâm tiết diện của dầm composite
• Lực phần tử của tiết diện
Ey
E y
dF1  s 1dA   1 dA dF2  s 2 dA   2 dA



sx  

My
I

s1  s x

s 2  ns x



• Định nghĩa một tiết diện biến đổi
nE1  y dA   E1 y n dA
E
dF2  
n 2

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.





E1

4 - 13


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Example 6.2
SOLUTION:

• Biến đổi tiết diện thanh thành tiết

diện tương đương hoàn toàn bằng
đồng
• Tính toán đặc tính của tiết diện mới
• Tính ứng suất cực đại trong tiết diện
mới. Nó chính là ứng suất cực đại của
thanh đồng.
Thanh được ghép từ thanh thép
(Es = 29x106 psi) và đồng (Eb =
15x106 psi). Xác định ứng suất
trong thép và đồng khi moment
40 kip*in được áp dụng.

• Xác định ứng suất cực đại của phần
thép của thanh bởi nhân tỉ số của mo
đun đàn hồi với ứng suất cực đại của
đồng.

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

4 - 14


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Example 6.2

SOLUTION:

• Biến đổi tiết diện thanh thành tiết diện
tương đương hoàn toàn bằng đồng.
Es 29  106 psi
n

 1.933
Eb 15  106 psi
bT  0.4 in  1.933  0.75 in  0.4 in  2.25 in

• Tính toán đặc tính của tiết diện mới
1 b h3  1 2.25 in.3 in.3
I  12
T
12

 5.063 in.4

• Tính ứng suất cực đại
Mc 40 kip  in.1.5 in.
sm 

I



4

5.063 in.

 11.85 ksi

s b max  s m
s s max  ns m  1.933 11.85 ksi
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

s b max  11.85 ksi
s s max  22.9 ksi
4 - 15


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Dầm dầm bê tông tăng cường và composite
• Dầm bê tông chịu moment uốn được tăng cường
bởi thanh thép.
• Thanh thép mang toàn bộ tải kéo bên ưới mặt
trung hòa. Phần phía trên của dầm chịu tải nén.
• Tại tiết diện biến đổi, diện tích mặt cắt ngang
của thép, As, được thay thế bởi diện tích tương
đương nAs với n = Es/Ec.
• Để xác định vị trí trục trung hòa
bx  x  n As d  x   0
2

1 b x2
2

 n As x  n As d  0

• Ứng suất pháp trong bê tông và thép
sx  

My
I

sc  s x
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

s s  ns x
4 - 16


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 6.3
SOLUTION:

• Biến đổi sang tiết diện bằng bê

tông.
• Đánh giá đặc tính hình học của
tiết diện biến đổi.
• Tính ứng suất cực đại trong
bê tông và thép.

Một sàn bê tông được tăng cường
bởi thanh thép d = 5/8-in. Mô đun
đàn hồi của thép 29x106psi và bê
tông 3.6x106psi. Với mỗi ft của
sàn chịu moment uốn 40 kip*in,
ứng suất cực đại trong bê tông và
thép.
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

4 - 17


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Sample Problem 6.3
SOLUTION:

• Biến đổi sang tiết diện được làm bằng bê tông.
Es 29  106 psi

n

 8.06
Ec 3.6  106 psi
2
nAs  8.06  2 4 85 in   4.95 in 2



 

• Đánh giá đặc tính hình học của tiết diện mới.
 x
12 x   4.954  x   0
 2

x  1.450 in





I  13 12 in 1.45 in 3  4.95 in 2 2.55 in 2  44.4 in 4

• Tính ứng suất cực đại trong bê tông và thép.
sc 

Mc1 40 kip  in  1.45 in

I

44.4 in 4

ss  n

Mc2
40 kip  in  2.55 in
 8.06
I
44.4 in 4

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

s c  1.306 ksi
s s  18.52 ksi
4 - 18


Fourth Edition

CHAPTER

6

MECHANICS OF
MATERIALS
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
John T. DeWolf
Lecture Notes:
J. Walt Oler

Texas Tech University

Analysis and Design
of Beams for Bending
Phân tích – Thiết kế
dầm chịu uốn

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Analysis and Design of Beams for Bending
Introduction
Shear and Bending Moment Diagrams
Sample Problem 6.1
Sample Problem 6.2
Relations Among Load, Shear, and Bending Moment
Sample Problem 6.3
Sample Problem 6.5
Design of Prismatic Beams for Bending
Sample Problem 6.8

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

5 - 20


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Giới thiệu (Introduction)
• Dầm - cấu kiện mang tải tại những
điểm khác nhau dọc theo chiều dài
• Tải ngang của dầm được phân loại: tải
tập trung và tải phân bố
• Tải tác dụng dẫn đến nội lực bao gồm
lực cắt (từ sự phân bố ứng suất cắt) và
moment uốn (từ sự phân bố ứng suất
pháp)
• Ứng suất pháp thường là tiêu chuẩn
thiết kế tới hạn
sx  

My
I

sm 

Mc M


I
S

Yêu cầu xác định vị trí và giá trị của
moment uốn lớn nhất
© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

5 - 21


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Giới thiệu (Introduction)
Phân loại gối tựa

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

5 - 22


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Shear and Bending Moment Diagrams
• Xác định ứng suất cắt và pháp cực
đại yêu cầu chỉ ra lực cắt và
moment uốn cực đại
• Lực cắt và moment uốn tại một điểm
được xác định bởi áp dụng phương
trình cân bằng tại mặt cắt đi qua điểm
đó
• Khái niệm dấu của lực cắt V - V’ và
moment uốn M - M’

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

5 - 23


Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Shear and Bending Moment Diagrams

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

5 - 24

Fourth
Edition

MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Shear and Bending Moment Diagrams

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

5 - 25