Bài giảng an toàn thông tin ECC

Mã hóa công khai ECC
Tổng quan về ECC (Elliptic Curve Cryptography)
 Phương thức này phát minh năm 1985 bởi hai nhà toán học Miller và Koblitz.
 Mã hoá thông tin lên một nhóm bao gồm những điểm trên đường cong elliptic.
 Đường cong elliptic này được định nghĩa trên một trường đại số hữu hạn (finite

field).
 Hay nói cho đơn giản hơn, dựa trên những điểm tọa độ số nguyên trên trục tọa độ
Descartes, kể cả một điểm đặc biệt ở vô cực (infinity).
 Elliptic thực tế chỉ là những điểm có tọa độ số nguyên, thỏa mãn một phương
trình đại số bậc ba.

 Page 1


Mã hóa công khai
ECC
Các khái niệm cơ bản về ECC
 Tập điểm (x, y) thỏa mãn đẳng thức:
 Điểm O được gọi là điểm vô cùng.

 Page 2


Mã hóa công khai
ECC
Đường cong Eliptic trên trường số thực (Dạng Weierstrass)
 Phép cộng

 Page 3

Mã hóa công khai ECC
Cấu trúc nhóm trên đường cong Elliptic
 Phép nhân

 Bậc r

 Page 4


Mã hóa công khai ECC
Mật mã công khai dùng đường cong Eliptic
 Đường cong elliptic được xây dựng trên các trường hữu hạn.
 Có hai trường hữu hạn: Trường hữu hạn Fq với q là số nguyên tố hoặc q là 2^m

(m là số nguyên).
 Tùy thuộc vào trường hữu hạn Fq, với mỗi bậc của q, tồn tại nhiều đường cong
elliptic.
 Do đó, với một trường hữu hạn cố định có q phần tử và q lớn, có nhiều sự lựa
chọn nhóm đường cong Elliptic.

Bài toán logarit rời rạc trên đường cong Eliptic
 Cho trước (E) và hai điểm P, Q thuộc E.
 Tìm số nguyên k để: Q = kP.
 Không thể tìm được k (có thể tìm được trong khoảng thời gian đủ ngắn).

 Page 5


Mã hóa công khai ECC

Mô hình mã hóa dữ liệu ECC (Bên gửi B)

 Page 6


Mã hóa công khai ECC
Mô hình mã hóa dữ liệu ECC (Bên gửi B)

(x1, y1) = k x P
X2 = (x2, y2) = k × Q

C = Φ(Y, M)

f

Y

(x1, y1)

C
C

B ((E), P, QA, k)

 Page 7

Gửi đi

A

Mã hóa công khai ECC
Mô hình giải mã dữ liệu ECC (Bên nhận A)
 A nhận giá trị (x1, y1).
 A tính giá trị của điểm X2 = (x2, y2) = d × (x1, y1). Trong đó X2

là giá trị bí mật sẽ được sử dụng để tạo khóa giải mã thông
điệp.
 Sử dụng cùng một hàm tạo mặt nạ (mask function) như đã sử
dụng ở giai đoạn mã hóa, A tạo mặt nạ Y từ giá trị bí mật X2. Y
chính là khóa bí mật để giải mã.
 A giải mã thông điệp C để lấy thông điệp M ban đầu.
 M = Φ^-1(C, Y) = C Y (thông thường).

 Page 8


Mã hóa công khai ECC
Mô hình giải hóa dữ liệu ECC (Bên gửi B)

Φ^-1(C, Y)

(x1, y1) = k x P
f^(-1)
X2 = (x2, y2) = d x (x1, y1)

A ((E), P, QA, d)

 Page 9

Y

M


Mã hóa công khai ECC
Mô hình mã hóa dữ liệu ECC (Ví dụ)
 Tham số chung:
 (E)y 2

 x3  x  1

 P = (1, 1) thuộc (E)
 Bên A chọn:
 d = 2, đây là khóa riêng.
 QA = d x P = (-1, -1), đây là khóa công cộng.
 Mã hóa (bên B):
 QA = (-1, -1), P, (E). B chọn k=1
 (x1, y1) = k × P = (1, 1)
 X2 = (x2, y2) = kQA = 1(-1,-1) = (-1, -1)
 Y = X2 = (-1, -1)
 C = M Y = (1, -1) + (-1, -1) = (0, -1)

 Page 10


Mã hóa công khai ECC
Mô hình mã hóa dữ liệu ECC (Ví dụ)
 Giải mã (bên A):
 D=2

 (x1, y1) = (1, 1)
 C = (0, -1)
 (x2, y2) = d × (x1, y1) = 2 x (1, 1) = (-1, 1)
 Y = -X2 = -(-1, 1)
 M = Φ^-1(C, Y) = C Y = (0, -1) – (-1, 1) = (0, -1) + (-1, -1) = (1,

-1)

 Page 11


Mã hóa công khai ECC
Thời gian phá mã ECC (Lời giải bài toán ECDLP: Q=kP)
 C có thuật toán nào được xem là hiệu quả để giải quyết bài toán này. Để giải cần phải kiểm










tra tất cả các giá trị nguyên trên [2…n-2].
Nếu điểm P được chọn lựa cẩn thận với n rất lớn thì việc giải bài toán ECDLP xem như
không khả thi.
Các phương pháp giải bài toán ECDLP gồm:
The Pohlig-Hellman algorithm.
Shanks' baby-step-giant-step method.

Pollard's methods.
The Menezes-Okamoto-Vanstone (MOV) attack using the Weil pairing.
The Frey-Rueck attack using the Tate pairing.
The attacks on anomalous elliptic curves due to Semaev, Satoh-Araki and Smart.
Weil descent (for some special finite fields).

 Page 12


Mã hóa công khai ECC
Thời gian phá mã ECC (Lời giải bài toán ECDLP: Q=kP)
 Lời giải bài toán có độ phức tạp hàm mũ (khó)
 Số điểm rời rạc trên đường cong (điểm mà cả tọa độ X và Y là

nguyên) được gọi là bậc của đường cong N.
 Giả sử N là số nguyên tố n bit thì để tính k từ biểu thức trên
cần 2^(n/2) thao tác.
 Giả sử chiều dài n là 160 bits thì cần khoảng 2^80 thao tác.
 Giả sử Hacker có thể thao tác 1 tỉ thao tác trên giây thì C cần
khoảng 2^80/(10^9*365*24*60*60) ≈ 38 triệu năm.

 Page 13


Mã hóa công khai ECC
Ưu nhược điểm ECC
 Ưu:
 Một ưu điểm của ECC là khả năng bảo mật cao
 Kích thước khóa nhỏ dựa vào mức độ khó giải quyết của vấn đề ECDLP.
 Giảm kích thước tham số của hệ thống mã hóa.

 Giảm thời gian tạo khóa.
 Nhược:
 Khó chọn sử dụng các tham số đường cong.
 Khó chọn điểm quy ước chung
 Hầu hết các đường cong được đưa ra đều thất bại khi áp dụng vào thực tiễn

 Page 14


Mã hóa công khai ECC
Ứng dụng ECC
 Áp dụng cho các ứng dụng trên môi trường:
 Giới hạn về thông lượng truyền dữ liệu.
 Giới hạn về khả năng tính toán.
 Giới hạn về khả năng lưu trữ.
 PDA, điện thoại di động và thẻ thông minh (smart card).
 Mật mã trên đường cong Elliptic (ECC) thích hợp với các ứng dụng

nhúng vì việc cứng hóa cần ít tài nguyên phần cứng hơn.

 Page 15