(GV nguyễn quốc trí) 76 câu hình học không gian

Câu 1

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình lập phương

ABCD. A′B ′C ′D ′.

Góc giữa hai

đường thẳng BA' và CD bằng:
A.

45°

B.

60°

C.

30°

D.

90°

Đáp án A
CD / / A ' B ' ⇒ ( BA ', CD) = ( BA ', B ' A ') = BA ' B ' = 450
Câu 2 (GV Nguyễn Quốc Trí): Diện tích một mặt của một hình lập phương là 9. Thể tích
khối lập phương đó là
A. 9.

B. 27.

C. 81.

D. 729.

Đáp án B
a2 = 9 ⇒ a = 3
V = a 3 = 27

SA ⊥ ( ABCD ) .
Câu 3 (GV Nguyễn Quốc Trí): Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông,
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) là góc?
A.

·
CSA

B.

·
CSD

C.

·
CDS

D.

·
SCD

Đáp án B

CD ⊥ ( SAD) ⇒
SD là hình chiếu vuông góc của SC lên

(SAD)

⇒ ( SC , ( SAD )) = ( SC , SD) = CSD
Câu 4:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,

SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a.
Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Tính thể tích khối chóp G.ABCD.

A.

1 3
a
6

B.

1 3
a
12

C.

2 3
a
17

D.

1 3
a
9

S

Đáp án D

A
B

G

C

D


1
1
a3
VSABCD = .SA. AB. AD = .a.a.a =

3
3
3
1
d (G;( ABCD )) = d ( S ; ( ABCD ))
3
1
a3
⇒ VGABCD = VSABCD =
3
9

Câu 5:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hình nón có thiết diện qua trục của hình nón là tam

giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng
A π a2 2
3C

B

A.
H

B.

a 2.

π a2 2

2

Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

C.

2 2π a 2

D.

2π a 2

Đáp án D
1
2
=
⇒ AH = a ⇒ BH = a = r
2
AH
AB 2
S xq = π rl = π .a.a 2 = 2π a 2

Câu 6:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh

bằng 1, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho biết
V =

A.

5 15 π
.
54

V =

B.

4 3π
.
27

V =

C.

5π
.
3

·ASB = 120°.
V =

D.

13 78 π
.

27

Đáp án A
S

J
I

A

G
B

M

C


SM =

MB
3
=
0
tan 60
6

IG = x ⇒ JM = IG = x ⇒ SI =
SI = IA ⇒ x 2 +

1
3
1
+(
+ x) 2 , IA =
+ x2
12
6
3

1
3
1
1
5
= (x2 +
x+ )⇒ x =
⇒R=
4
3
12
12
2 3

4
5 15π
V = π R3 =
3
54
Câu 7:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

( P)
Dựng mặt phẳng

cách đều năm điểm A,B,C,D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng

( P)
như vậy ?
A. 4 mặt phẳng.

B. 2 mặt phẳng.

C. 1 mặt phẳng.

D. 5 mặt phẳng.

Đáp án D
Tồn tại 5 mặt phẳng thỏa mãn đề bài là:
-

Mp đi qua trung điểm AD,BC,SC,SD
Mp đi qua trung điểm CD,AB,SC,SB
Mp đi qua trung điểm AD,BC,SB,SA
Mp đi qua trung điểm CD,AB,SA,SD
Mp đi qua trung điểm SA,SB,SC,SD

Câu 8:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hình chóp S. ABC có độ dài các cạnh
x 2 + y 2 + z 2 = 12.

SA = BC = x, SB = AC = y, SC = AB = z

thỏa mãn

Tính giá trị lớn nhất

của thể tích khối chóp S. ABC.

A.

2
.
3

B.

8
.
3

C.

2 2
.
3

D.

8 2
.
3

Đáp án C
Dựng hình chóp SA’B’C’ sao cho A là trung điểm A’B’, B là trung điểm B’C’, C là trung
điểm A’C’.

⇒ SA =

1
1
1
A ' B ', SB = B ' C ', SC = A ' C '
2
2
2

Suy ra SA’,SB’,SC’ đôi một vuông góc với nhau


S

1
1
2
VSA ' B 'C ' = .SA '. .SB '.SC ' =
xyz
3

2
3
1
2
VSABC = .VSA ' B 'C ' =
xyz
4
12

A’

C’

C

x 2 + y 2 + z 2 ≥ 3 3 x 2 y 2 z 2 ⇒ 12 ≥ 3 3 x 2 y 2 z 2 ⇒ xyz ≤ 8
⇒ VSABC =

A

2
2
2 2
xyz ≤
.8 =
12
12
3

B

B’

Câu 9 (GV Nguyễn Quốc Trí): Cho tứ diện có thể tích bằng V. Gọi V’ là thể tích của khối

đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số

A.

V′ 1
= .
V
2

B.

V′ 1
= .
V
4

C.

V′ 2
= .
V
3

D.

V′

.
V

V′ 5
= .
V 8

Đáp án
Gọi M,N,P,Q,H,R lần lượt là trung điểm của SA,SC,BC,AB,AC,SB
VSMNR SM SN SR 1 1 1 1
1
=
.
.
= . . = ⇒ VSMNR = VSABC
VSABC
SA SC SB 2 2 2 8
8
1
⇒ VAMNH = VBPQR = VCNPR = VSABC
8
1
1
⇒ V ' = V − 4. .V = V
8
2
Câu 10:

(GV Nguyễn Quốc Trí)Cho khối tứ diện ABCD, E là trung điểm AB. Mặt phẳng

( ECD )
chia khối tứ diện thành hai khối đa diện nào?
A. Hai khối tứ diện.
B. Hai khối lăng trụ tam giác.
C. Một lăng trụ tam giác và một khối tứ diện.
D. Hai khối chóp tứ giác.
Đáp án A
(ECD) chia A.BCD thành hai khối tứ diện A.ECD và E.BCD


V0 .
Câu 11 (GV Nguyễn Quốc Trí)Cho khối tứ diện ABCD có thể tích

Dựng hình hộp sao

cho AB, AC, AD là ba cạnh của hình hộp. Tính thể tích V của khối hộp đó.
V = 2V0 .

V = 6V0 .

A.

V = 3V0 .

B.

V = 4V0 .

C.

D.

Đáp án B

V = 2VACD. BMQ
VACD. BMQ = 3Vo ⇒ V = 6Vo
r = 1,

Câu 12 (GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình nón có bán kính đáy

chiều cao

h = 3.

S xq

Tính diện tích xung quanh

của hình nón đó.

S xq = 2 3π .
A.

S xq = 3π .
B.

S xq = 4π .

S xq = 2π .

C.

D.

Đáp án D
l = 1+ 3 = 2
S xq = π rl = 2π

Câu 13 (GV Nguyễn Quốc Trí): Cho một khối cầu có thể tích bằng

500π
.
3

Tính diện tích

S của mặt cầu đó.
A.

S = 75π .

B.

S = 100π .

C.

S = 50π .

D.

S = 25π .

Đáp án B
4
500π
V = π R3 =
⇒ R=5
3
3
S = 4π R 2 = 100π

Câu 14:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho lăng trụ tam giác

·
BAC
= 60o,

BB ' = a,
giác vuông tại C,

góc

đường thẳng

ABC. A' B 'C '

BB '

có đáy ABC là tam

( ABC )
tạo với

một góc

60o.


Hình chiếu vuông góc của
của khối tứ diện

A.

A' . ABC

1 3
a.
208

B'

( ABC )
lên

trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Thể tích V

là:

B.

18 3
a.
208

C.

9 3
a.
208

D.

27 3
a.
208

Đáp án C
B ' G = BB 'sin 600 =
BG = a 2 −

a 3
2

3a 2 a
3
3a
= ⇒ BM = BG =

4
2
2
4

3
BC
6
13
9a2
27 a 2
BC 2 + CM 2 = BM 2 ⇒ BC 2 =
⇒ BC 2 =
12
16
13.4
3
1
1
9a
VA ' ABC = B ' G. .BC. AC =
3
2
208
BC = AC.tan 60o = 3 AC = 2 3CM ⇒ CM =

Câu 15:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hình nón ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có tất các
S xq

các cạnh bằng a. Tính diện tích xung quanh
S xq =

S xq = 2π a 2 .
A.

B.

π 2 2
a .
2

của hình nón đó.

S xq = π a 2 .
C.

S xq = π 2a 2 .
D.

Đáp án B
r=

a 2
2

S xq = π rl = π

a 2

π 2 2
.a =
a
2
2

Câu 16 (GV Nguyễn Quốc Trí): Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có
bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 4.

B. 3.

C. 6.

D. 9.

Đáp án D
Hình hộp chữ nhật có 3 kích thước đôi một khác nhau có 3 mặt phẳng đối xứng đó là 3 mặt
phẳng trung trực của các cạnh đáy và cạnh bên


Câu 17

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng

3 2 a,

cạnh bên bằng 5a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A.

R = 3a.

B.

R=

R = 2a.

C.

25
a.
8

D.

RS= 2a.

Đáp án C
BD = 6a ⇒ OB = 3a
SO = SB 2 − BO 2 = 4a

A I

SI = x ⇒ IO = 4a − x

D

IB = 9a 2 + (4a − x) 2

IB 2 = SI 2 ⇒ x =

Câu 18:

O

B

25a
8

C

(GV Nguyễn Quốc Trí)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA

( SBC )
vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng

bằng

a 2
.
2

Tính thể tích V

của khối chóp đã cho.

A.

a3
V= .
2

B.

V = a3.

C.

a3 3
V=
.
9

D.

Đáp án D
S

AH ⊥ SB ⇒ d ( A; ( SBC )) = AH

Kẻ
1
1
1
= 2+
⇒ SA = a
2
AH

SA
AB 2
1
a3
V = SA. AB. AD =
3
3

H

A

D

B
C

a3
V= .
3


Câu

19:

(GV

Nguyễn

Quốc

Trí)

Cho

hình

chóp

S.ABC

có

·ASB = CSB
·
= 60o, ·ASC = 90o, SA = SB = SC = a.
Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng

( SBC ) .

A.

d = 2a 6.

B.

d = a 6.

d=

C.

2a 6
.
3

d S=

D.

a 6
.
3

Đáp án C
Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AC

Ta có:

 BC ⊥ MN
⇒ BC ⊥ ( SMN ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SMN )

 BC ⊥ SM

N

A

H

C

NH ⊥ SM ⇒ d ( N ;( SBC )) = NH

Kẻ

M

a 2
a 1
2
4
a 6
, MN = ,
= 2 + 2 ⇒ NH =
2
2
2 NH
a
a
6
a 6
d ( A;( SBC )) = 2d ( N ;( SBC )) =
3
SN =

B

( S)

Câu 20:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho mặt cầu

có bán kính R. Một hình trụ có chiều

cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp mặt cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho diện tích
xung quanh của hình trụ lớn nhất.
h=

A.

R
.
2

B.

h = R.

C.

h = R 2.

h=

D.

R 2
.

2

Đáp án C
h2
S xq = 2π rh = 2π R − .h = π 4 R 2 − h2 .h
4
−h
π (4 R 2 − h 2 ) − π h 2
S ' = π 4R 2 − h2 + π h
=
4R2 − h2
4R 2 − h2
2

S'=0⇔ h= R 2
Câu 21 (GV Nguyễn Quốc Trí): Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích
đáy bằng B là:


A.

1
V = Bh.
3

V=

B.

1

Bh.
6

C.

V=

V = Bh.

D.

1
Bh.
2

Đáp án A
Câu 22

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng

3π a 2

và bán

kính đáy bằng a. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng:

A.

2 2a.

B.

3a.

C.

2a.

D.

3a
.
2

Đáp án B

S xq = π rl = π al = 3π a 2 ⇒ l = 3a

Câu 23

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình lập phương

ABCD. A' B 'C ' D '

(hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD

có cạnh bằng a
và

A'C '

là:
3a.
A.

C.

B.
3a
.
2

D.

a. 2a.

2a.

Đáp án B
d ( BD; A ' C ') = OO ' = a

Câu 24

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh

bằng a. Gọi M là trung điểm của SD

(tham khảo hình vẽ bên).

( ABCD )

Tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng
bằng:


2
.
2

A.

C.

2
.
3

B.

D.

3
.
3
1
.
3

Đáp án D
AC a 2
a 2

=
⇒ MN =
2
2
4
3
3 2a
BD = a 2 ⇒ BN = BD =
4
4
MN a 2 4
1
⇒ tan α =
=
=
BN
4 3 2a 3

S

SO =

M

D

A
O

B

Câu 25

C

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC

đôi một vuông góc với nhau và
của BC

N

OA = OB = OC.

Gọi M là trung điểm

(tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng OM và

AB bằng:
A.
C.

90o.
60o.

B.
D.

30o.
45o.

Đáp án C

z
A

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

O

B
M
C
x

y


OA = OB = OC = a
a a
O(0;0;0); A(0;0; a); B(0; a;0); M ( ; ;0)
2 2
uuuu
r a a
uuur
OM ( ; ;0), AB(0; a; − a)
2 2
uuuur uuur
a2
OM . AB

1
2
cosα = uuuu
=
r uuur =
2
OM . AB a 2
.a 2
2
0
⇒ α = 60

Câu 26

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. Tính diện tích
S xq

xung quanh

của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và

chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD.
S xq =

A.

16 2π
.
3

S xq =

S xq = 8 2π .
B.

C.

16 3π
.
3

S xq = 8 3π .
D.

Đáp án A
4 3
3
16 4 2 4 6
AG = 16 −
=
=
3
3
3

BM = 2 3 ⇒ BG =

r = GM =

2 3

3

S xq = 2π rh = 2π
Câu 27

2 3 4 6 16 2π
.
=
3
3
3

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng 1, lần

lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi S là điểm đối xứng với B qua đường
thẳng. DE Thể tích của khối đa diện ABCDSEF bằng:

A.

7
.
6

Đáp án D

B.

11
.
12

C.

2
.
3

D.

5
.
6


V = VDAFCBE + VSDCEF

S

F

1
1
1
VDAFCBE = AB. . AD.AF=1. .1.1 =
2
2
2
1
VSDCEF = .d ( S ;( DCEF ).DF .EF
3

1
1 2
1
= .d ( B;( DCEF ).DF .EF= .
. 2.1 =
3
3 2
3
5
⇒V =
6

E

A

B

D
C

Câu 28
AB = 2 3

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình lăng trụ tam giác đều

và

AA' = 2.

có

A' B ' , A'C '
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh

( AB C )
'

6 13
.
65

B.

và

13
.
65

và BC.

( MNP )

'

Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng

A.

ABC. A' B 'C '

bằng:

C.

17 13
.
65

D.

18 63
.
65

Đáp án B
( MNP ) ≡ ( MNBC ) ∩ ( AB ' C ') = IK
 IK ⊥ AJ
⇒ (( MNBC ), ( AB ' C ')) = (AJ, PH )

 IK ⊥ PH
⇒ cosPEA=

Xét hình chữ nhật AA’JP

A’

N
M H

C’

J
K

13
65

B’ E

I
A

C

P
B

Câu 29 (GV Nguyễn Quốc Trí): Cho khối trụ có bán kính hình tròn đáy bằng r và chiều cao
bằng h. Hỏi nếu tăng chiều cao lên 2 lần và tăng bán kính đáy lên 3 lần thì thể tích của khối
trụ mới sẽ tăng lên bao nhiêu lần?
A. 6 lần.

B. 36 lần.

C. 12 lần.

D. 18 lần.

Đáp án D
V = π r 2h
r1 = 3r , h1 = 2h ⇒ V1 = 18V
Câu 30

(GV Nguyễn Quốc Trí) Hình tứ diện có bao nhiêu cạnh?

A. 4 cạnh.

B. 3 cạnh.

C. 6 cạnh.

D. 5 cạnh.

Đáp án C
Hình tứ diện là hình có 4 mặt, mỗi mặt là một tam giác
Câu 31 (GV Nguyễn Quốc Trí)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA
vuông góc với đáy. Mệnh đề nào sau đây sai?

CD ⊥ ( SAD ) .
A.

BD ⊥ ( SAC ) .

BC ⊥ ( SAB ) .

B.

C.

AC ⊥ ( SBD ) .
D.

Đáp án D
Câu 32:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh

a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, đường thẳng SC tạo với mặt phẳng đáy một góc

60o.

Thể

tích của khối chóp S.ABC bằng:

A.

a3
.
8

B.

a3
.
4
S

C.

a3
.
2

D.

3a 3
.
4

Đáp án B
( SC , ( ABC )) = ( SC , AC )
SA = AC.tan 60o = a 3
1
1a 3
a3
⇒V = a 3
a=
3
2 2
4

A

C

B

Câu 33 (GV Nguyễn Quốc Trí): Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy bằng S và chiều
cao bằng h là?

A.

V = 3Sh.

V=

B.

1
Sh.
2

C.

V = Sh.

D.

1
V = Sh.
3


Đáp án D
Câu 34:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh

bằng nhau. Gọi E, M lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và SA,

thẳng EM và mặt phẳng
A.

( SBD ) , tan α

α

là góc tạo bởi đường

bằng:

3.

2.

B.

C. 2.

D. 1.

S

Đáp án A
Gọi I,J lần lượt là trung điểm cạnh BC và SA

AC ⊥ ( SBD ), EI / / AC , MJ / / AC ⇒ EI ⊥ ( SBD), MJ ⊥ ( SBD)
Ta có

M

Suy ra, IJ là hình chiếu vuông góc của EM lên

(SBD)

F

⇒ ( EM , ( SBD )) = ( EM , IJ) = ( EM , EF)

A

AC ⊥ IJ, AC / / MF , IJ / /EF ⇒ MF ⊥ EF
AC a 2
SB a
=
,EF=IJ =
=
2
2
2
2
MF
⇒ tan α =
= 2
EF
MF=

Câu 35:

J

B

D

I
C
E

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho tứ diện đều ABCD có M, N lần lượt là trung điểm

của các cạnh AB và CD. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.

MN ⊥ CD.

B.

AB ⊥ CD.

C.

MN ⊥ AB.

D.

MN ⊥ BD.

Đáp án D
Câu 36 (GV Nguyễn Quốc Trí)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

Điểm M thỏa mãn

uuur uuur
MA = 3MB.

( P)
Mặt phẳng

qua M và song song với hai đường thẳng SC,

BD. Mệnh đề nào sau đây đúng?

( P)
A.

cắt hình chóp theo thiết diện là một tam giác.


( P)
B.

không cắt hình chóp.

( P)
C.

cắt hình chóp theo thiết diện là một ngũ giác.

( P)
D.

cắt hình chóp theo thiết diện là một tứ giác.

Đáp án C
Trong (ABCD) kẻ

MN / / BD

( N = MN ∩ AD , MN ∩ BC = E , MN ∩ DC = F )
S

L

J

I
A

D

N

( P ) ∩ ( SBC ) = EI ( EI / / SC )
B ( P ) ∩ ( SCD) = FJ ( FJ / F/ SC )
M

( P ) ∩ ( SAD
E ) = NJC( NJ ∩ SA = L
Vậy thiết diện là một ngũ giác

( S)
Câu 37:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho khối cầu

tâm I, bán kính R không đổi. Một khối

trụ thay đổi có chiều cao h và bán kính r nội tiếp khối cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho
thể tích của khối trụ lớn nhất.


h=

A.

2R 3
.
3

h=

B.

R 2
.

2

h=

C.

R 3
.
3

D.

h = R 2.

Đáp án A
V = π r 2h
h2
h2
⇒ V = π ( R 2 − )h
4
4
3
h
f (h) = R 2 h − , h ∈ (0; 2 R )
4
3
2 3R
2 3R
f ' = R2 − h2 = 0 ⇔ h = ±
⇒h=

4
3
3

r 2 = R2 −

Câu 38:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn

( O; R ) , ( O; R ' ) , OO ' = 4 R.

( O; R )
Trên đường tròn

( P)
Mặt phẳng

đi qua A, B cắt

OO '

lấy hai điểm A, B sao cho

và tạo với đáy một góc bằng

60o.

AB = R 3.

( P)
cắt khối trụ theo

thiết diện là một phần của elip. Diện tích thiết diện đó bằng:

A.

 4π
3 2
−

÷R .
2 ÷
 3


B.

 2π
3 2
−

÷R .
4 ÷
 3


C.

 2π

3 2
+

÷R .
4 ÷
 3


D.

 4π
3 2
+

÷R .
2 ÷
 3


Đáp án D
OA + OB − AB
1
R
= − ⇒ AOB = 1200 ⇒ OH =
2.OA.OB
2
2
2

cosAOB=

2

2

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

⇒

A

pt đường tròn đáy là:
y

x2 + y 2 = R2 ⇔ y = ± R2 − x2
Hình chiếu của phần elip xuống đáy là miền gạch chéo như hình vẽ
R

S = 2 ∫ R 2 − x 2 dx
R
2

x = R sin t ⇒ S = (

x

2π
3 2
+
)R

3
4

Gọi diện tích phần elip cần tính là S’. theo công thức hình chiếu ta có

B


S'=

S
4π
3 2
= 2S = (
+
)R
0
cos60
3
2
ABC. A' B 'C '

Câu 39 (GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình lăng trụ tam giác đều

có cạnh bên

( M ∈ A C , N ∈ BC )
'

'

bằng cạnh đáy. Đường thẳng MN

'

AC

'

và

A.

BC .

Tỉ số

NB
NC '

5
.
2

là đường thẳng vuông góc chung của

bằng:

B.

3
.
2

C.

2
.
3

D.

1.

Đáp án B
Chuẩn hóa

AB = 2

. Gọi O,H lần lượt là trung điểm cạnh B’C’,BC

⇒ OA ' = 3

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
O(0; 0; 0), A '( 3; 0; 0), C '(0;1; 0), H (0; 0; 2)
⇒ B (0; −1; 2), C (0;1; 2)
x = 0
x
y −1 z − 2


⇒ ( A ' C) :
=
=
, ( BC ') :  y = 1 − t
−1
−2
3
z = t

 M ∈ ( A ' C )  M (m 3;1 − m; 2 − 2m)
⇒

 N (0;1 − n; n )
 N ∈ ( BC ')

Vì MN là đoạn vuông góc chung của A’C,BC’
uuuu
r uuuu
r
 MN .u A 'C = 0
8m + n = 4
1 4
⇒  uuuu
⇔
⇒ N (0; ; )
r uuur
5 5
m + 2n = 2
 MN .uBC ' = 0

H

B

C

A

O

B’

C’

A’

uuur
6 6 uuur 4 4
NB 3
⇒ NB (0; − ; ); NC (0; ; − ) ⇒
=
5 5
5 5
NC ' 2

Câu 40 (GV Nguyễn Quốc Trí): Tính thể tích khối trụ biết bán kính đáy
cao

h = 6cm.

r = 4cm

và chiều


32π ( cm 3 ) .

24π ( cm3 ) .

A.

B.

48π ( cm3 ) .

96π ( cm3 ) .

C.

D.

Đáp án D
V = π r 2 h = π 42.6 = 96π

SA ⊥ ( ABC ) ,
Câu 41

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho khối chóp S.ABC có

SA = a, AB = a, AC = 2a

và

A.

a3 3
.
3

B.

·
BAC
= 120o.
a3 3
.
6

Tính thể tích khối chóp S.ABC.

C.

a3 3
.
2

a 3 3.
D.

Đáp án B

1
1
1
1 1
a3 3
V = .SA.S ABC = .SA. . AB. AC.sin BAC = .a. .a.2a.sin120 0 =
3
3
2
3 2
6

Câu 42

(GV Nguyễn Quốc Trí): Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có độ dài

tất cả các cạnh đều bằng a.
V=

A.

a3 3
.
4

V=

B.

a3 2

.
3

V=

C.

a3 3
.
2

V=

D.

a3 2
.
4

Đáp án A
1 1 a 3
a3 3
A = .a. .
.a =
3 2 2
4

Câu 43

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt

bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp
S.ABCD là:

A.

a3.

B.

a3 3
.
2

C.

a3 3
.
3
S

D.

a3 3
.
6

Đáp án D
C

B
M
A

D


⇒ SM ⊥ AB ⇒ SM ⊥ ( ABCD)

Gọi M là trung điểm của AB
SM =

a 3
1
1 a 3
a3 3
⇒ V = .SM . AB. AD = .
.a.a =
2
3
3 2
6

Câu 44

(GV Nguyễn Quốc Trí): Có bao nhiêu loại khối đa điện đều mà mỗi mặt của nó là

một tam giác đều?
A. 3.

B. 1.

C. 5.

D. 2.

Đáp án A
{3;3},{3; 4},{3;5}

Có 3 loại khối đa diện đều mà các mặt của nó đều là tam giác đều đó là:
Câu 45

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B,

·
AB = 2a, BAC
= 60o, SA = a 2.
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy.

Góc giữa đường

( SAC )
thẳng SB và mặt phẳng
A.

45o.

bằng:
B.

30o.

C.

60o.

D.

Đáp án A

90o.

S

BH ⊥ AC ⇒ BH ⊥ ( SAC )

Kẻ
Suy ra SH là hình chiếu vuông góc của SB lên

(SAC)

⇒ ( SB, ( SAC )) = ( SB, SH )
BC = AB. tan 60o = 2 3a
1
1
1
1
1
=
+

= 2+
⇒ BH = a 3
2
2
2
BH
AB
BC
4a 12a 2

H

A

⇒ AH = a ⇒ SH = a 3
tan α =

HB
= 1 ⇒ α = 45o
SH

B

C


Câu 46

gọi

α

A.

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình lập phương

là góc giữa đường thẳng
3
.
4

AB '

3
.
2

B.

ABCD. A' B 'C ' D '

( BB D D ) .
'

'

và mặt phẳng

C.

Tính
3
.
5

có cạnh bằng a,

sin α .

D.

1
.
2

Đáp án D
Gọi I là giao điểm của AC và BD
 AI ⊥ BD
⇒ AI ⊥ ( BB ' D ' D ) ⇒

 AI ⊥ BB '

B’I là hình chiếu vuông góc của AB’ lên

(BB’D’D)

⇒ ( AB ', ( BB ' D ' D)) = ( AB ', B ' I )
a a
A(0; 0; a), B '( a;0;0), I ( ; ; 0)
2 2

uuuur
uuur a a
B ' A(− a; 0; a ), B ' I ( − ; ; 0)
2 2
uuuur uuur
B ' A.B ' I
1
cosα = uuuur uuur =
B' A . B'I 2

Câu 47

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cắt một hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta

được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng 3a. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã
cho.

A.

9a 2π .

B.

9π a 2
.
2

C.

13π a 2

.
6

D.

27π a 2
.
2

Đáp án D

3a
, h = 3a )
2
9a 2
3a
27π a 2
= 2π
+ 2π .3a =
4
2
2
Stp = 2π r 2 + 2π rh, ( r =

Câu 48

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho khối tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một

vuông góc và
A.

OA = OB = OC = 6.

R = 4 2.

B.

Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

R = 2.

C.

R = 3.

D.

R = 3 3.


Đáp án D
Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và OA
O(0;0;0), B(6;0;0), C (0;6;0), A(0;0;6); M (3;3;0), N (0;0;3)
uuu
r
uuur
uu
r uuu
r uuur
OB(6;0;0), OC (0;6;0) ⇒ ud = [OB, OC ] = (0;0;36)

x = 3

⇒ d : y = 3
z = t

Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của OA:

A

C

O

z −3 = 0

M

⇒ I = ( P ) ∩ d ⇒ I (3;3;3)

Goi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
B

R = IA = 3 3

M ∈ SA, N ∈ SB

Câu 49

(GV Nguyễn Quốc Trí): Cho khối chóp S.ABC có

uuur
uuur uuu
r
uuur
MA = −2MS , NS = −2 NB.

sao cho

(α)
Mặt phẳng

đi qua hai điểm M, N và song song với SC chia

khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó

(số bé chia số

lớn).

A.

3
.
5

Đáp án B

B.

4

.
5

C.

4
.
9

D.

3
.
4


MJ / / AB ⇒ ∆MNJ : ∆INB
MJ JN
IN
⇒
=
=
= 1 ⇒ MJ = IB
IB NB MN
1
1
4
MJ = AB ⇒ IB = AB ⇒ AI = AB
3
3

3
VAMDI AM AD AI 2 2 4 16
=
.
.
= . . =
VASBC
A S AC AB 3 3 3 27

S
M

J

VIBNE IA IN IE 1 1 1 1
= .
.
= . . =
VIAMD IB IM ID 4 2 2 16

A

1
1
⇒ VIBNE = VIAMD = VSABC
16
27
5
⇒ VAMDBNE = VIAMD − VIBNE = VSABC
9

V 4
⇒ 1 =
V2 5

N

D

C

B
I

100π ( cm 2 )

Câu 50:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Mặt cầu

(S) có diện tích bằng

thì có

bán kính là:

3 ( cm ) .

4 ( cm ) .

5 ( cm ) .

A.

B.

5 ( cm ) .

C.

D.

Đáp án D

S = 4π R 2 = 100π ⇒ R = 5
Câu 51 (GV Nguyễn Quốc Trí): Cho khối chóp S.ABC có thể tích V, nếu giữ nguyên chiều
cao và tăng các cạnh đáy lên 3 lần thì thể tích khối chóp thu được là
A. 3V.

B. 6V.

C. 9V.

D. 12V.

Đáp án C
S∆ ' =

p '( p '− a ')( p '− b ')( p '− c ') = 3 p(3 p − 3a )(3 p − 3b)(3 p − 3c) = 9 p( p − a)( p − b)( p − c) = 9S ∆

⇒ V ' = 9V

Câu 52:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hình hộp đứng

( ABCD )

·
BAD
= 600 , AB′
hình thoi cạnh a và
hộp là

ABCD. A′B′C ′D′

hợp với đáy

một góc

30°

có đáy ABCD là

. Thể tích của khối


A.

a3
.

2

B.

3a 3
.
2

C.

a3
.
6

D.

a3 2
.
6

Đáp án C
BD = a ⇒ BO =

a
a2 a 3
⇒ AO = a 2 −
=
⇒ AC = a 3
2
4

2

( A ' A, ( ABCD)) = ( A ' A, A ' B ') = AB ' A ' ⇒ A A ' = A ' B '.tan 30 0 =
⇒V =

a 3
3

1a 31
a3
a 3.a =
3 3 2
6

Câu 53 (GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình lăng trụ đều

ABC. A′B′C ′

có tất cả các cạnh bằng

( ABC )
a. Gọi M là trung điểm của AB và α là góc tạo bởi đường thẳng MC’ và mặt phẳng
Khi đó

A.

tan α

2 7
.

7

bằng
3
.
2

B.

.

3
.
7
C.

D.

2 3
.
3

Đáp án D
Ta có MC là hình chiếu vuông góc của MC’ lên mp

(ABC)

⇒ ( MC ', ( ABC )) = ( MC ', MC )
⇒ tan α = tan CMC ' =

Câu 54:

AB = a

CC '
a
2 3
=
=
MC a 3
3
2

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hàm số S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O,

( SCD )

·
BAD
= 60°, SO ⊥ ( ABCD )

,

và mặt phẳng

tạo với mặt đáy một góc

60°

.

Tính thể tích khối chóp S.ABCD
VS . ABCD

A.

3a 3
=
24

VS . ABCD

B.

3a 3
=
8

VS . ABCD

C.

S

3a 3
=
12

VS . ABCD =

D.

3a 3
48

Đáp án B
D

A
B

O

H
C


a
a 3
⇒ AO =
⇒ AC = a 3
2
2
1
1
1
a 3
OH ⊥ CD ⇒
=
+

⇒ OH =
2
2
2
OH
OC
OD
4
( SCD) ∩ ( ABCD) = CD
⇒ (( SCD ), ( ABCD)) = ( SH , OH )

CD ⊥ ( SOH )
BD = a ⇒ BO =

3a
4
1 3a 1
a3 3
⇒ V = . . .a.a 3 =
3 4 2
8
⇒ SO = OH .tan 600 =

Câu 54:

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hàm số S.ABC có thể tích bằng 72. Gọi M là trung

điểm của SA và N là điểm thuộc cạnh SC sao cho

NC = 2 NS .

Tính thể tích V của khối đa

diện MNABC.
A.

V = 48

B.

V = 30

C.

V = 24

D.

V = 60

Đáp án D
VSMNB SM SB SN 1 1 1
=
. .
= .1. =
VSABC
SA SB SC 2 3 6
⇒ VSMNB =

Câu 55:

VSABC
5
5
⇒ VMNABC = VSABC = .72 = 60
6
6
6

(GV Nguyễn Quốc Trí) Cho hình hộp chữ nhật

ABCD. A′B′C ′D′

có

AA′ = 2a, AD = 4a

. Gọi M là trung điểm của cạnh AD. Tính khoảng cách d từ giữa hai đường
thẳng A’B’ và C’M.
A.

d = 2a 2

B.

d =a 2

C.

d = 2a

D.

Đáp án A
A

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
B

d = 3a

M

D

C
A’

D’

B’
C’


A '(0;0; 0), B '(4a;0;0), C '(4a; 4a;0), M (0; 2a; 2a)
uuuuu
r
uuuuur
uuuuu
r uuuuur

A ' B '(4a;0;0), C ' M ( −4a; −2a; 2a) ⇒ [ A ' B ', C ' M ] = (0; −8a 2 ; −8a 2 )
uuuuur
A ' M (0; 2a; 2a )
uuuuu
r uuuuur uuuuur
[ A ' B ', C ' M ] A ' M
32a 3
d ( A ' B ', C ' M ) =
=
= 2 2a
uuuuu
r uuuuur
8 2a 2
[ A ' B ', C ' M ]
Câu 56 (GV Nguyễn Quốc Trí): Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện ?

A. Hình 1

B. Hình 2

C. Hình 4

D. Hình 3

Đáp án D
Hình đa diện mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng 2 đa giác. Hình số 3 tồn
tại đa giác đáy có chứa 2 cạnh không phải là cạnh chung của 2 đa giác
Câu 57 (GV Nguyễn Quốc Trí): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và

A.

a3
3

B.

3a 3

SA = a

C.

. Thể tích của khối chóp
a3

D.

S . ABCD

bằng

a3
6

Đáp án A
1
1
a3
V = .SA. AB. AD = .a.a.a =

3
3
3
Câu 58 (GV Nguyễn Quốc Trí): Thể tích của khối cầu có bán kính R là
VπR
=

A.

4
3

VπR
=

3

B.

3
4

VπR
=

3

C.

VπR

=4

3

D.

1
3

3

Đáp án A
Câu 59 (GV Nguyễn Quốc Trí): Hình tròn xoay được sinh ra khi quay một hình chữ nhật
quanh một cạnh của nó là
A. hình chóp.

B. hình trụ.

C. hình cầu.

D. hình nón.